Алгоритм линейных уравнений 8 класс

Решение линейных уравнений с параметрами. 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Урок проводится после изучения темы: «Решение дробных рациональных уравнений».

«Решение и исследование уравнений с параметрами» является одной из самых трудных в курсе алгебры, но она постоянно присутствует в материалах Единого государственного экзамена. Это особо подчеркивает ее актуальность. Сложность параметрических задач состоит в том, что с изменением параметров не только меняются коэффициенты, но и происходят качественные изменения уравнения или неравенства, например, меняется его степень, область допустимых значений, свойства входящих в него функций.

Цели урока:

• Ввести понятие «Уравнения с параметром»
• Разобрать методы решения линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

1. Объяснение учителя:

Исследовать и решить уравнение с параметром – это значит:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнение вида: Ах=В

Где А, B – выражения, зависящие от параметров, а х– неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами.

Решить линейное уравнение с параметрами – значит, для всех значений параметров найти множество всех корней заданного уравнения.

Линейное уравнение исследуется по следующей схеме.

1) если А=0 , то имеет уравнение 0*х=В.

Тогда, если B≠0, то уравнение не имеет решений ( х є Ø), а если В=0, то уравнение имеет вид 0*х=0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел (х є R).

2) если A≠0, то уравнение не имеет единственное решение х=В/А.

Замечание. Если линейное уравнение или уравнение, сводящееся к линейному, не представлено в виде (1) , то сначала нужно привести его к стандартному виду (1) и только после этого проводить исследование.

Если для каких-нибудь значений параметров уравнение не имеет смысла, то для этих значений параметров оно не имеет решений. Кроме этого, уравнение может не иметь решений и при других значениях параметров.

Пример №1

Исследование:

2) Если k≠-4, х=(2k+1)/(k+4)

Ответ: Если k=-4, то xєØ, если k≠-4, х=(2k+1)/(k+4).

Пример №2

(5р+1)х +25р 2 +10р+1=0

(5р+1)х =-25р 2 -10р-1

Исследование:

Ответ: Если р=-1/5, то х є R, если р ≠ -1/5, то х=-5р-1.

Пример№3

Исследование:

Ответ: Если а=1,то х є R, если a≠1,то х=1

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Конспект урока на тему: Решение уравнений 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

« О СКОЛЬКО НАМ ОТКРЫТИЙ ТРУДНЫХ

ГОТОВИТ ПРОСВЕЩЁННЫЙ ДУХ…».

* привести в систему знания учащихся по заданной

* выработать умения использовать алгоритм решения

* повышение культуры математических вычислений;

* творческое мышление, желание поиска решения;

* развивать умения применять теоретические знания

* привитие интереса работы в группах;

* воспитание навыков сознательного усвоения знаний;

* чувство взаимовыручки и поддержки;

* карточки — билеты с вопросами;

* бланки учёта ответов;

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ УРОКА.

I . ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.

Объявляется тема урока, цели и задачи, происходит

психологический настрой на продуктивную работу.

Работа с листами, устный опрос учащихся по билетам,

работа с раздаточным материалом.

Решение линейных уравнений на скорость в форме

IV . НАШИ СПОСОБНОСТИ.

Самостоятельное решение уравнений, по выбору уча-

щегося ( дифференцированный уровень заданий).

Исправление ошибок в неверном решении уравнения, сопоставление с решением уравнения учеником из команды

VI . ЭКСПЕРТНОЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЖЮРИ.

Подведение итогов, выставление оценок.

VII . ОБЪЯВЛЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

Подведение итогов работы каждой команды.

Сравнение психологического настроя учащихся в начале урока и в конце.

I . ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ ( СЛАЙД № 1).

Слова нашего сегодняшнего эпиграфа принадлежат перу гениального поэта, прозаика и драматурга. Давайте и мы с вами будем следовать словам А.С.Пушкина. Пусть каждый урок будет для вас открытием чего — то нового интересного,

Сегодня мне хотелось бы пригласить вас в замечательный

мир математики — в мир уравнений, в мир исследований.

В одной шуточной песенки поётся о том, что герой

этой песенки, начинающий волшебник, неумело обращался

с заклинаниями, в результате чего вместо грозы у него

получилась коза, а вместо утюга получился слон.

Так и нам, чтобы решить уравнение, тоже нужно совершить ряд превращений (алгебраических преобразова- ний) и делать это нужно осмотрительно. В ходе урока мы ещё раз убедимся, какая удивительная сила заключена в знании алгоритма решения уравнения, правила раскрытия скобок и правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, правило приведения подобных слагае-

мых, как ловко эти правила работают при решении уравнений. И прежде всего, вы должны чётко знать, что главная задача при решении любого уравнения — свести его к уравнению простейшего вида, то есть к уравнению вида: ах = в и решив его найти корни уравнения ( слайд № ).

На доску проецируется задания для команд:

* решить уравнения и проверить является ли указанное

число корнем уравнения ( слайд № 2).

* Указать область допустимых значений уравнения. К

доске выходят представители команд для записи реше-

ния уравнений на доске ( слайд № ).

* Далее выходят по два ученика от каждой команды

команды для устного опроса по теоретическому мате-

риалу. Каждому учащемуся предлагается ответить на два

вопроса по выбору, из числа вопросов записанных на

билете, который вытягивает ученик.

* Остальные участники команды выполняют задания

теста по восстановлению пропусков в определениях и

понятиях. Задания в тестах одинаковые, только имеют

разный порядок и два варианта.

* После устных ответов проверяется работа учащих-

ся у доски, собираются тестовые задания для проверки

* В ходе разминки ученики распределяют между

собой решение предложенных десяти уравнений. По

очереди каждый член команды выходит к доске и

записывает решение уравнения на доске. В это время

эксперт оценивает решение уравнений у доски и

фиксирует его в листе опроса. Отмечается команда,

закончившая первой решение уравнений. При под-

ведении итогов ей присуждаются дополнительные

* 3(у – 1) – 2(у + 2) = 7. * 16х + 9 = 25.

* 3у – 4у = 14. * 3(х – 5) – 2(х-4) = 8.

* 9 + 13у = 35 + 26у. * -9х = 27.

* — 5у = — 35. * 81х — 71 = 50х + 22.

* 3у = — 9. * — 3х = — 18.

* Ученикам предлагаются примеры различного уровня сложности. Каждый учащийся может выбрать пример себе по силам и решить его и найти верное решение на слайде.

Для оценивания на оценку «3» надо решить три уравнения

из предложенных. Учашиеся, претендующие на « 5», реша-

ют примеры повышенной сложности у доски (слайд № ).

б) х — 7 = — 2. г) 3у — 7 = 11.

Работы сдаются эксперту, он определяет уровень на который претендовал ученик и оценивает его работу.

На экране проецируется решение уравнения, по одному представителю от каждой команды выходят решать

его у доски. Задача команды найти ошибки в решении

уравнения на интерактивной доске, установить их число,

объяснить, где допущены ошибки. Пока проходит обсужде-

ние в группах, ученик решает пример на доске. После

чего проходит объяснение решения и проверка ответа

а) 5(3 + 2а) — 11 = 6 – (8 – 4а) – первой команде.

б) 6(р – 4) + 2(3 -5р) = — 6 — второй команде.

VI . ЭКСПЕРТНОЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЖЮРИ.

В это время учащиеся выполняют самостоятельную работу на закрепление пройденного материала из учебника,

номера заданий проецируются на экране, задание выпо- лняются всей командой, учитывается быстрота и грамот-ность выполнения ( слайд № ).

VII . ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

Учитель объявляет итоги экспертного заключения и

выставляет оценки за урок каждому ученику, составлена

таблица результативности, проверяется закрепляющая са-

мостоятельная работа. Подводятся итоги работы каждой

Рубрика « В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО» (слайд № 14 ).

Посмотрите на экран и ответьте, какую закономерность вы

находите у этих квадратов?

VIII . ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ( слайд № 15 ).