образовательные: – научиться распознавать однородные уравнения, отработать метод решения однородных уравнений.
развивающие: – развивать логическое мышление, навыки самостоятельной работы и самоконтроля.
воспитательные: – развивать познавательный интерес к предмету, творческие способности обучающихся.
Материал для лекции.
Определение: Многочлен называется однородным, если
Многочлен от двух переменных называют однородным многочленом степени k, если все его одночлены имеют степень k.
Например: = – однородный многочлен второй степени, а – однородный многочлен третьей степени.
Определение: Уравнение вида называется однородным уравнением степени k относительно , если – однородный многочлен степени k.
Понятие однородности распространяется и на уравнения с большим числом неизвестных.
Например: – однородное уравнение третьей степени относительно неизвестных
Однородное уравнение относительно и делением на (если не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного . Это свойство однородности облегчает процесс решения.
Однородные уравнения и неравенства
Однородные уравнения – это уравнения, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.
Однородные неравенства – это неравенства, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.
Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cosx, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cosx=0\) решением уравнения. Если \(\cosx=0\), то \(\sinx=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).
Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cosx\)
Заметьте, что в этом примере перед тем, как делить на \(\cosx\), была сделана проверка — является ли \(\cosx=0\) решением уравнения. Нужно каждый раз проверять, является ли выражение, на которое вы хотите поделить, решением. Иначе вы рискуете потерять корни уравнения .
Показатели степеней в уравнении похожи – в каждом есть \(x^2-3x\). Давайте сделаем их одинаковыми. Представим \(48\cdot 4^\) как \(12\cdot 4^1\cdot 4^\).
Получился классический вид однородного уравнения. Поделим уравнение на \(4^\) . Положительное число в степени никогда не будет равно нулю, поэтому проверку можно не делать.
Обратите внимание: \((\frac<3><2>)^2\) \(=\) \(\frac<9><4>\) . С учетом этого сделаем замену.
Положительное число в любой степени всегда больше нуля, поэтому \(t>0\). Отметим это в решении, чтобы не забыть.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение
Как определить однородное дифференциальное уравнение
Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx : y → ty , x → tx . Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется. .
Пример
Определить, является ли данное уравнение однородным
Делаем замену y → ty , x → tx .
Делим на t 2 .
. Уравнение не содержит t . Следовательно, это однородное уравнение.
Метод решения однородного дифференциального уравнения
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux . Покажем это. Рассмотрим уравнение: (i) Делаем подстановку: y = ux , где u — функция от x . Дифференцируем по x : y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u Подставляем в исходное уравнение (i). , , (ii) . Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f ( u ) – u ) .
При f ( u ) – u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:
Интегрируем:
Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:
Заменим постоянную интегрирования C на ln C , тогда
Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C . Тогда общий интеграл примет вид:
Далее следует рассмотреть случай f ( u ) – u = 0 . Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii). Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i).
Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое-либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g ( x, y ) , то дальнейшие преобразования справедливы при g ( x, y ) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g ( x, y ) = 0 .
Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка
Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty , x → tx . При этом y′ → y′ . , , . Сокращаем на t .
Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.
Делаем подстановку y = ux , где u – функция от x . y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u Подставляем в исходное уравнение. , , , . При x ≥ 0 , |x| = x . При x ≤ 0 , |x| = – x . Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0 , а нижний – к значениям x ≤ 0 . , Умножаем на ± dx и делим на .
При u 2 – 1 ≠ 0 имеем:
Интегрируем:
Интегралы табличные, .
Применим формулу: ( a + b )( a – b ) = a 2 – b 2 . Положим a = u , . . Возьмем обе части по модулю и логарифмируем, . Отсюда .
Таким образом имеем: , . Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C .
Умножаем на x и подставляем ux = y . , . Возводим в квадрат. , , .
Теперь рассмотрим случай, u 2 – 1 = 0 . Корни этого уравнения . Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.
Использованная литература: Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-07-2012 Изменено: 24-02-2015