Алгоритм решения системы тригонометрических уравнений
Е.П. Нелин, В.А. Лазарев
АЛГЕБРА
и начала математического
анализа
10 класс
учреждений. Базовый и
§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3
Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.
Задача 1 . Решите систему уравнений
Из первого уравнения находим и подставляем во второе.
Получаем
Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.
Действительно, в таком случае имеем
Тогда, например, при n = 0 получаем
Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:
Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.
Поэтому следует запомнить:
Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».
Задача 2 . Решите систему уравнений
Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему
Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:
Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:
Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.
Вопросы для контроля
Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.
Упражнения
Решите систему уравнений (1–8).
Решение систем тригонометрических уравнений
Системы тригонометрических уравнений бесконечно разнообразны. При их решении используются как общие методы: подстановки, сложения, замены переменной, так и частные, связанные с особенностями преобразований тригонометрических функций. В этом параграфе мы рассмотрим только некоторые, наиболее характерные, подходы к решению таких систем.
п.1. Системы, в которых одно из уравнений является линейным
Если одно из уравнений системы является линейным, то система решается методом подстановки.
Например: Решим систему \( \begin x+y=\frac\pi4\\ tgx+tgy=1 \end \) Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin \begin y=\frac\pi4-x\\ tgx+tg\left(\frac\pi4-x\right)=1 \end \end Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin tgx+\frac<1+tg\frac\pi4\cdot tgx>=1\Rightarrow \frac<1-tgx><1+tgx>=1-tgx \end ОДЗ: \(tgx\ne -1\) \begin 1-tgx=(1-tgx)(1+tgx)\Rightarrow(1-tgx)(1-1-tgx)=0\\ -tgx(1-tgx)=0\\ \begin \left[ \begin tgx=0\\ tgx=1 \end \right. \\ tgx\ne -1 \end \Rightarrow \left[ \begin tgx=0\\ tgx=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=\pi k\\ x_2=\frac\pi4+\pi k \end \right. \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin \begin x_1=\pi k\\ y_1=\frac\pi4-x=\frac\pi4-\pi k \end \\ \begin x_2=\frac\pi4+\pi k\\ y_2=\frac\pi4-\left(\frac\pi4+\pi k\right)=-\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\pi k;\ \frac\pi4-\pi k\right),\ \left(\frac\pi4+\pi k;\ -\pi k\right)\right\>\)
п.2. Системы с независимыми уравнениями
Если уравнения системы являются независимыми, то они решаются по отдельности. При этом счетчики периодов обязательно должны быть различными (например, \(k\) и \(n\), для двух независимых уравнений).
Например: Решим систему \( \begin sin(x-y)=0\\ cox(x+y)=1 \end \) Уравнения независимы, решаем каждое из них, а затем методом сложения находим \(x\) и \(y\): \begin \begin x-y=\pi k\\ x+y=2\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\pi k+2\pi n\\ 2y=2\pi n-\pi k \end \Rightarrow \begin x=\frac<\pi k><2>+\pi n=\frac\pi2(k+2n)=\frac\pi2(2n+k)\\ y=\pi n-\frac<\pi k><2>=\frac\pi2(2n-k) \end \end Ответ: \(\left(\frac\pi2(2n+k);\ \frac\pi2(2n-k)\right)\)
п.3. Системы с произведениями тригонометрических функций
Системы с произведениями тригонометрических функций и приводимые к ним решаются методом сложения.
Например: Решим систему \( \begin sinx siny=\frac<\sqrt<3>><4>\\ cosx cosy=\frac<\sqrt<3>> <4>\end \) Добавим и вычтем уравнения и используем формулы косинуса суммы и разности: \begin \begin cosxcosy+sinxsiny=\frac<\sqrt<3>><2>\\ cosxcosy-sinxsiny=0 \end \Rightarrow \begin cos(x-y)=\frac<\sqrt<3>><2>\\ cos(x+y)=0 \end \end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти \(x\) и \(y\): \begin \begin x-y=\pm\frac\pi6+2\pi k\\ x+y=\frac\pi2+\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\pm\frac\pi6+\frac\pi2+\pi(2k+n)\\ 2y=\frac\pi2\pm\frac\pi6+\pi(n-2k) \end \Rightarrow \begin x=\pm\frac<\pi><12>+\frac\pi4+\frac\pi2(2k+n)\\ y=\frac\pi4\pm\frac<\pi><12>+\frac\pi2(n-2k) \end \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin\begin x_1=\frac\pi6+\frac\pi2(2k+n)\\ y_1=\frac\pi3+\frac\pi2(n-2k) \end \\ \begin x_2=\frac\pi3+\frac\pi2(2k+n)\\ y_2=\frac\pi6+\frac\pi2(n-2k) \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\frac\pi6+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi3+\frac\pi2(n-2k)\right),\ \left(\frac\pi3+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi6+\frac\pi2(n-2k)\right)\right\>\)
п.4. Замена переменных в системах тригонометрических уравнений
Системы двух уравнений с двумя тригонометрическими функциями легко решаются с помощью замены переменных.
Пример 1. Решите систему уравнений: a) \( \begin x+y=\pi\\ sinx+siny=\sqrt <3>\end \) Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin \begin y=\pi-x\\ sinx+sin(\pi-x)=\sqrt <3>\end \end Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin sinx+sinx=\sqrt<3>\Rightarrow 2sinx=\sqrt<3>\Rightarrow sinx=\frac<\sqrt<3>><2>\Rightarrow\\ \Rightarrow x=(-1)^k\frac\pi3+\pi k= \left[ \begin\frac\pi3+2\pi k\\ \frac<2\pi><3>+2\pi k \end \right. \end Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin\begin x=\frac\pi3+2\pi k\\ y=\pi-x=\pi-\frac\pi3-2\pi k=\frac<2\pi><3>-2\pi k \end \\ \begin x=\frac<2\pi><3>+2\pi k\\ y=\pi-x=\pi-\frac<2\pi><3>-2\pi k=\frac\pi3-2\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\frac\pi3+2\pi k;\ \frac<2\pi><3>-2\pi k\right),\ \left(\frac<2\pi><3>+2\pi k;\ \frac\pi3-2\pi k\right)\right\>\)
б) \( \begin sinxcosy=\frac34\\ cosxsiny=\frac14 \end \) Добавим и вычтем уравнения и используем формулы синуса суммы и разности: \begin \begin sinxcosy+cosxsiny=1\\ sinxcosy-cosxsiny\frac12 \end \Rightarrow \begin sin(x+y)=1\\ sin(x-y)=\frac12 \end \end Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти \(x\) и \(y\): \begin \begin x+y=\frac\pi2+2\pi k\\ x-y=(-1)^n\frac\pi6=\pi n \end \Rightarrow \begin 2x=\frac\pi2+(-1)^n\frac\pi6+\pi(2k+n)\\ 2y=\frac\pi2-(-1)^n\frac\pi6+\pi(2k-n) \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin x=\frac\pi4+(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k+n)\\ y=\frac\pi4-(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k-n) \end \end Ответ: \(\left(\frac\pi4+(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi4-(-1)^n\frac<\pi><12>+\frac\pi2(2k-n)\right)\)
Пример 2*. Решите систему уравнений: a) \( \begin \sqrtcosx=0\\ 2sin^2x-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0 \end \) Первое уравнение является независимым. Решаем его, чтобы найти \(x\): \begin \begin \left[ \begincos2x=0\\ cosx=0 \end \right.\\ cos2x\geq 0 \end \Rightarrow \begin \left[ \begin2x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right.\\ -\frac\pi2+2\pi k\leq 2x\leq\frac\pi2+2\pi k \end \Rightarrow \begin \left[ \beginx=\frac\pi4+\frac<\pi k><2>\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right.\\ -\frac\pi4+\pi k\leq x\leq\frac\pi4+\pi k \end \end
Семейство решений \(x=\frac\pi2+\pi k\) не подходит по требованию ОДЗ (закрашенные сектора). Остается только: \begin x=\frac\pi4+\frac<\pi k> <2>\end
б) \( \begin tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>cos^3y\\ tg\left(\frac\pi4-x\right)=2\sqrt<2>sin^3y \end \) Рассмотрим произведение: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)\cdot tg\left(\frac\pi4-x\right)=\frac<1+tgx><1-tgx>\cdot \frac<1-tgx><1+tgx>=1 $$ Умножим уравнения и получим: \begin 1=8cos^3ysin^3y=(2cosysiny)^3=sin^32y\Rightarrow sin2y=1\Rightarrow 2y=\frac\pi2+2\pi k\\ y=\frac\pi4+\pi k \end Поставляем полученный y в первое уравнение: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>cos^3\left(\frac\pi4+\pi k\right) $$ Косинус равен ±1, в зависимости от четверти, в которой находится угол \(y\): \begin cos\left(\frac\pi4+\pi k\right)= \left[ \begin\frac<\sqrt<2>><2>,\ \ y=\frac<\pi><4>+2\pi k\\ -\frac<\sqrt<2>><2>,\ \ y=\frac<5\pi><4>+2\pi k \end \right. \end В первом случае: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>\cdot\left(\frac<\sqrt<2>><2>\right)^3=1\Rightarrow\frac\pi4+x=\frac\pi4+\pi n\Rightarrow x=\pi n $$ Во втором случае: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt<2>\cdot\left(-\frac<\sqrt<2>><2>\right)^3=-1\Rightarrow\frac\pi4+x=-\frac\pi4+\pi n\Rightarrow x=-\frac\pi2+\pi n $$ Получаем две пары решений: \begin \left[ \begin\begin x=\pi n\\ y=\frac\pi4+2\pi k \end \\ \begin x=-\frac\pi2+\pi n\\ y=\frac<5\pi><4>+2\pi k \end \end \right. \end Ответ: \(\left\<\left(\pi n;\ \frac\pi4+2\pi k\right),\ \left(-\frac\pi2+\pi n;\ \frac<5\pi><4>+2\pi k\right)\right\>\)
в) \begin \begin \sqrt<1+sinxsiny>=cosx\\ 2sinxctgy+1=0 \end \end ОДЗ: \( \begin 1+sinxsiny\geq 0\\ cosx\geq 0\\ cosy\ne 0 \end \Rightarrow \begin cosx\geq 0\\ cosy\ne 0 \end \) \(1+sinxsiny\geq 0\) — это требование всегда выполняется. Возведем первое уравнение в квадрат: \begin 1+sinxsiny=cos^2x\Rightarrow 1-cos^2x+sinxsiny=0\Rightarrow\\ \Rightarrow sin^2x+sinxsiny=0\Rightarrow sinx(sinx+siny)=0\Rightarrow \left[ \beginsinx=0\\ sinx+siny=0 \end \right. \end Из второго уравнения следует, что \(sinx=0\) никогда не является решением \((0+1\ne 0)\). Значит, остается \(sinx+siny=0\) \begin \begin sinx+siny=0\\ 2sinxctgy+1=0 \end \Rightarrow \begin siny=-sinx\\ ctgy=-\frac<1> <2sinx>\end \Rightarrow cosy=siny\cdot ctgy=\frac12\Rightarrow\\ \Rightarrow y=\pm arccos\frac12+2\pi k=\pm\frac\pi3+2\pi k\\ sinx=-siny\Rightarrow \left[ \beginx=y+\pi=\pi\pm\frac\pi3+2\pi n= \left[ \begin\frac<4\pi><3>+2\pi n\\ \frac<2\pi><3>+2\pi n \end \right. \\ x=-y=\pm\frac\pi3+2\pi n \end \right. \end По ОДЗ \(cosx\geq 0\), подходят только нижние корни. Получаем две пары решений. Ответ: \(\left\<\left(-\frac\pi3+2\pi n;\ \frac\pi3+2\pi k\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi n;\ -\frac\pi3+2\pi k\right)\right\>\)
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 49. Системы тригонометрических уравнений.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
что такое система тригонометрических уравнений;
как решать системы тригонометрических уравнений;
какие приемы можно использовать при решении систем тригонометрических уравнений.
Глоссарий по теме
Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.
Записывается с помощью знака <
– система из трех уравнений с тремя неизвестными.
Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.
Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. — 368 с.
Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 752 с.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Основными методами решения систем уравнений являются:
— метод замены переменной.
Также при решении систем тригонометрических уравнений используются многие тригонометрические формулы.
Рассмотрим решение систем тригонометрических уравнений.
При решении этой системы можно действовать по-разному:
1) можно использовать формулы преобразования произведения в сумму синусов (в первом уравнении) или косинусов (во втором уравнении)
2) можно использовать формулами косинуса суммы и разности во втором уравнении.
Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:
.
Теперь, учитывая, что косинус двойного аргумента может быть выражен через квадрат синуса и косинуса аргумента, возведем в квадрат первое уравнение. Но, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, введем ограничение:
, то есть и должны быть одного знака.
.
Теперь введем новые переменные:
, (*) и решим вспомогательную систему:
.
Решим ее методом подстановки.
.
.
. Вернемся к исходным переменным.
,
.
С учетом условия получим две системы:
или
Ответ:
Или
Рассмотрим еще один пример.
С учетом области определения уравнений преобразуем каждое уравнение:
.
Теперь сложим эти уравнение, оставив в системе, например, первое уравнение:
,
,
.
Теперь выразим из второго уравнения y:
,
,
,
,
,
,
.
Ответ: .
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Решите систему уравнений:
Введем новые переменные: .
Тогда вспомогательная система будет иметь вид:
.
,
или
.
Получаем четыре пары решений для вспомогательной системы:
; ; ; .
Так как , то решение имеет только первая система: .
.
Решите систему уравнений: .
Пусть .
Система примет вид: , то есть мы получили простую линейную систему.
Ее можно решить методом подстановки или методом алгебраического сложения: