Алгоритм решения задачи с помощью системы уравнений

Алгоритмы решения задач с помощью систем уравнений

Разделы: Математика

Объяснительная записка.

В курсе алгебры 9 класса отводится всего 4 часа на решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Это задачи на движение, совместную работу и задачи с геометрическим содержанием. Мне захотелось расширить тематику задач, и на факультативе по алгебре я предложила учащимся задачи, которые не включены в учебник. Для каждого из рассматриваемых типов задач я предлагаю алгоритм решения. Уважаемые коллеги, быть может, это покажется интересным и вам.

Алгоритм решения задач на совместную работу.

1. Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за 1.
   Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. , где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.
2. Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за то время, которое он работал.
3. Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.

Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

1. Принимаем площадь участка, с которого необходимо собрать урожай, за 1.

2. Пусть х – время, необходимое первому комбайнеру для уборки всего урожая, у — время, необходимое второму
комбайнеру для уборки всего урожая. Тогда– производительность первого комбайнера, – производительность второго комбайнера.
3. 35 – часть участка, с которого может убрать урожай первый комбайнер за 35 часов работы, 35 – часть участка, с которого может убрать урожай второй комбайнер за 35 часов работы.

4.Составим систему уравнений:

у = 60, х = 84
Ответ: для уборки всего урожая первому комбайнеру потребуется 84 часа, второму – 60 часов.

Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше времени, чем второй.

Мастер и ученик должны были выполнить некоторое задание. После четырех дней совместной работы ученик был переведен в другой цех, и, чтобы закончить выполнение задания, мастеру пришлось еще 2 дня работать одному. За сколько дней мог бы выполнить каждый из них это задание, если известно, что мастеру для этого требуется на 3 дня меньше, чем ученику?

Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного числа.

1. Вводится обозначение:
   х – цифра десятков
   у – цифра единиц
2. Искомое двузначное число 10х + у
3. Составить систему уравнений

Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число.

Х – цифра десятков. У – цифра единиц. 10х + у – искомое число.

2х 2 + 12х – 32 =0

х₁ =-8 (посторонний корень) х₂ =2, тогда у =4.

Задача №2.
Двузначное число в трое больше суммы его цифр. Если из этого числа вычесть произведение его цифр, то получится 13. Найдите это двузначное число. (27).

Задача №3.
Двузначное число в шесть раз больше суммы его цифр. Если это число сложить с произведением его цифр, то получится 74. Найдите это число.(54).

Задача №4.
Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.(32).

Задача №5.
Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.

Алгоритм решения задач на смеси.

х – масса первого раствора, у – масса второго раствора, (х + у ) – масса полученной смеси.

Найти содержание растворенного вещества в растворах, т.е.
а % от х, в % от у, с % от (х+у)

Составить систему уравнений.

Задача №1
Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% -ным и получили 600г 15% -ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Введем обозначение. Пусть взяли х г первого раствора, у г – второго раствора, тогда масса третьего раствора – (х+у).

Определим количество растворенного вещества в первом, втором, третьем растворах, т.е. найдем 30% от х, 10% от у, 15% от 600.

Составим систему уравнений:


0,3х + 60 – 0,1х = 90
0,2х = 30
х = 30:0,2
х = 150, у = 600 – 150 = 450
Ответ: взяли 150 г первого раствора и 450 г второго раствора.

Задача №2
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого их этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Задача №3
Смешали 10% -ный и 25% -ный растворы соли и получили 3 кг 20% -ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

Литература:

1. В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. “ Просвещение”.
2. М.Б.Миндюк, Н.Г. Миндюк. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 9 класс. “Генжер”.

3. М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. “ Высшая школа”.

4. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре.

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Как правильно решать задачи с применением системы уравнений

Понятие системы уравнений

Системой уравнений называют условие, которое включает в себя необходимость одновременного решения нескольких уравнений с несколькими переменными. Чаще всего количество переменных совпадает с количеством уравнений в системе.

Уравнения в системе объединяют фигурной скобкой:

У р а в н е н и е 1 У р а в н е н и е 2 У р а в н е н и е 3 …

Общий вид системы уравнений:

F 1 ( x 1 , x 2 , … , x M ) = 0 F 2 ( x 1 , x 2 , … , x M ) = 0 … F N ( x 1 , x 2 , … , x M ) = 0

Заметим, что фигурная скобка обозначает выполнение каждого из уравнений при решении системы:

( x 1 , x 2 , … , x M )

Решение системы уравнений — ряд чисел (значений переменных) в определенном порядке, которые можно подставить на место переменных в каждое из уравнений системы и получить в результате справедливые равенства.

Алгоритм решения задач с помощью системы уравнений

Системы уравнений решают с помощью нескольких стандартных алгоритмов.

Распространен метод решения системы уравнений, содержащих две переменные « х » и « у », путем подстановки:

1. Выбрать самое простое уравнение из системы. Выразить одну переменную через вторую из этого уравнения.
2. Выполнить подстановку полученного в результате вычислений выражения на место второй переменной в другое уравнение из системы.
3. Найти корни уравнения и определить одну переменную.
4. Путем подстановки по очереди каждого корня в полученное на первом этапе уравнение определить вторую переменную.
5. Представить ответ, как пару значений, в виде ( х ; у ).

Пример 1

Предположим, что имеется некая система уравнений, которую требуется решить:

В первую очередь нужно представить х с помощью у. Для этого определим менее сложное уравнение и выразим переменные:

В результате подстановки получим:

По очереди выполним подстановку каждого корня в уравнение х = 5 + у . В результате:

при у 1 = — 6 , х 1 = 5 + ( — 6 ) = 5 — 6 = — 1

при у 2 = 1 , х 2 = 5 + 1 = 6

пары чисел ( − 1 ; − 6 ) и ( 6 ; 1 ) являются решениями системы.

Ответ: ( − 1 ; − 6 ) и ( 6 ; 1 ) .

Решать системы уравнений с переменными « х » и « у » можно способом алгебраического сложения. Порядок действий следующий:

• уравнять модули коэффициентов, которые расположены при одном из неизвестных;
• выполнить действие сложения или вычитания уравнений;
• осуществить поиск корней уравнения, имеющего одну переменную;
• подставить каждый найденный корень по очереди в одно из уравнений системы, вычислить второе неизвестное;
• представить ответ, как пару значений, в виде ( х ; у ).

Решать многие задачи с системами уравнений можно с помощью введения новых переменных. При этом допустимо использовать один из методов:

1. Ввод одной новой переменной для использования исключительно в одном из уравнений системы.
2. Ввод пары новых переменных для их одновременного применения в том и другом уравнениях системы.

Пример 2

Решим систему уравнений:

x y ( x + y ) = 6 x y + ( x + y ) = 5

Дополним систему новыми переменными:

Система решается с помощью двух пар чисел.

Первая пара чисел:

Вторая пара чисел:

Ответ: ( 1 ; 2 ) и ( 2 ; 1 )

Системы уравнений, содержащих две переменные, решаются и с помощью графического метода:

• построение графика для первого уравнения;
• построение графика для второго уравнения;
• поиск точек пересечения графиков;
• запись ответа в виде координат найденных точек пересечения.

Пример 3

x 2 + y 2 = 9 y — x = — 3

Начать следует с построения графика:

Получится окружность с центром, который совпадает с началом координат, и радиусом, равным 3.

Далее изобразим график по уравнению:

Выразим перед построением у:

Данный график представляет собой прямую, которой принадлежат две точки:

Заметим, что прямая и окружность имеют общие точки, в которых пересекаются, А и В.

У точки А будут координаты ( 3 ; 0 ) . Точка В обладает координатами ( 0 ; — 3 ) . Эти координаты являются корнями для обоих уравнений.

Ответ: ( 3 ; 0 ) и ( 0 ; — 3 )

Пояснение на примерах

Дана система уравнений, которую требуется решить:

2 x 2 + x y — y 2 = 0 x 2 — 3 x y + y 2 = — 1

Заметим, что с левой стороны в обоих уравнениях расположены однородные многочлены одной степени от переменных « х » и « у ». Попробуем заменить « х » на 0 :

2 × 0 2 + 0 × у — у 2 = 0 ⇔ у 2 = 0 ⇔ у = 0 .

Корни (0;0) первого уравнения не являются корнями второго уравнения, так как:

0 2 — 3 × 0 × 0 + 0 2 = 0 ≠ — 1

Исходя из этого, допустимо разделить обе части первого уравнения на x 2 ≠ 0 , что исключает потерю корней. В результате:

2 x 2 x 2 + x y x 2 — 2 y 2 x 2 = 0

2 + y x – ( y x ) 2 = 0

( y x ) 2 — y x – 2 = 0

t 2 — 1 – 2 = 0 ⇔ t 1 = 2 t 2 = — 1

у = 2 х при x ≠ 0

Преобразуем систему уравнений:

y = 2 x x 2 — 3 x y + y 2 = — 1

y = — x x 2 — 3 x y + y 2 = — 1

Первая система обладает двумя корнями:

х 1 = 1 , у 1 = 2 ; х 2 = — 1 ; у 2 = — 2

Вторая система уравнения является несовместной. Таким образом, решения системы:

Ответ: ( 1 ; 2 ) , ( — 1 ; — 2 )

Требуется решить систему уравнений путем подстановки:

2 x + 5 y = 15 3 x + 8 y = — 1

Выполним вычисления по методу подстановки:

2 x + 5 y = 15 3 x + 8 y = — 1

y = 15 – 2 x 5 3 x + 8 y = — 1

3 x + 8 × ( 15 – 2 x 5 ) = — 1

3 x + × ( 120 – 16 x 5 ) = — 1

15 x + 120 – 16 x = — 5

15 x – 16 x = — 5 – 120

y = 15 – 2 × 125 5 )

Ответ: ( 125 ; — 47 )

Имеется некий прямоугольник. Периметр этой геометрической фигуры равен 48 см. Длина многоугольника превышает его ширину в три раза. Требуется вычислить стороны фигуры.

Предположим, что a и b являются длиной и шириной прямоугольника. Из условия задания имеем:

P = 2 ( a + b ) = 48 a = 3 b ⇒ a + b = 24 a = 3 b ⇒ 3 b + b = 24 a = 3 b ⇒ 4 b = 24 a = 3 b ⇒ a = 18 b = 6

Ответ: прямоугольник имеет длину 18 см и ширину 6 см

Двумя программистами было написано 100500 строк кода. Первый программист трудился в течение 70 дней, а второй — 100 дней. Требуется определить количество строк, которое было написано каждым программистом в течение дня при условии, что за первые 30 дней первый программист выполнил работу на 5550 строк больше по сравнению со вторым программистом.

Представим, что « х » является числом строк, написанным первым программистом ежедневно. Аналогичный показатель для второго программиста обозначим « у ». В таком случае:

70 x + 100 y = 100500 | : 10 30 x — 30 y = 5550 | : 30 ( — ) ⇒ 7 x + 10 y = 10050 x — y = 185 | × 10

⇒ ( + ) 7 x + 10 y = 10050 10 x — 10 y = 1850 ⇒ 17 x = 11900 y = x — 185 ⇒ x = 700 y = 515

Ответ: 700 строк написал за день первый программист и 515 строк — второй.

Конфеты весом 2 кг и печенье весом 3 кг стоили 1540 руб. Известно, что печенье в количестве 2 кг дороже по сравнению с 1 кг конфет на 210 руб. Необходимо вычислить цену 1 кг конфет и 1 кг печения.

Представим, что 1 кг конфет стоит « х » руб. За « у » обозначим цену 1 кг печенья. Тогда:

2 x + 3 y = 1540 2 y — x = 210 | × 2 ⇒ ( + ) 2 x + 3 y = 1540 — 2 x + 4 y = 420 ⇒ 7 y = 1960 x = 2 y — 210 ⇒ x = 350 y = 280

Ответ: цена 1 кг конфет 350 руб, 1 кг печенья — 280 руб.

В течение трех часов лодка, двигаясь против течения реки, и за два часа движения по течению преодолевает расстояние в 73 км. Известно, что за четыре часа пути по течению лодка преодолевает расстояние, которое на 29 км превышает путь лодки, пройденный против течения в течение трех часов. Необходимо вычислить собственные скорости лодки и течения.

Обозначим скорость лодки v ( к м / ч ), u — скорость течения ( к м / ч ). Тогда:

3 ( v — u ) + 2 ( v + u ) = 73 4 ( v + u ) — 3 ( v — u ) = 29 ⇒ 3 v — 3 u + 2 v + 2 u = 73 4 v + 4 u — 3 v + 3 u = 29

⇒ 5 v — u = 73 v + 7 u = 29 ⇒ 5 ( 29 — 7 u ) — u = 73 v = 29 — 7 u ⇒ 145 — 35 u — u = 73 v = 29 — 7 u ⇒

⇒ — 36 u = — 72 v = 29 — 7 u ⇒ v = 15 u = 2

Ответ: скорость лодки 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч.

Стоимость пяти карандашей и трех тетрадей составила 170 руб. Скидка на карандаши получилась равной 20%, а тетради возросли в цене на 30%. В итоге за три карандаша и пять тетрадей пришлось заплатить 284 руб. Необходимо определить начальную цену одного карандаша и одной тетради.

Предположим, что начальная цена карандаша равна «х», а тетради — «у». Согласно условиям задания:

5 x + 3 y = 170 3 · 0 , 8 x + 5 · 1 , 3 y = 284 ⇒ 5 x + 3 y = 170 | × 2 , 4 5 2 , 4 x + 6 , 5 y = 284 ⇒ ( — ) 2 , 4 x + 1 , 44 y = 81 , 6 2 , 4 x + 6 , 5 y = 284

⇒ ( 6 , 5 — 1 , 44 ) y = 284 — 81 , 6 x = 170 — 3 y 5 ⇒ y = 202 , 4 : 5 , 06 = 40 x = 170 — 120 5 = 10

Ответ: изначально карандаш стоил 10 руб, а тетрадь — 40 руб.

Велосипедист построил свой маршрут из пункта А в пункт В. Когда он увеличивает свою скорость на 3 к м / ч по сравнению с обычной скоростью, у него появляется возможность сократить время пути на 1 час. При замедлении на 2 км/ч велосипедист достигнет конечного пункта на 1 час позднее. Требуется вычислить обычную скорость велосипедиста и время, которое он проведет в пути при этой скорости.

Представим, что v является обычной скоростью велосипедиста и измеряется в к м / ч , а t — это время, за которое он преодолеет намеченный путь в часах. Пункты А и В удалены друг от друга на неизменное расстояние, которое по заданию составит:

s A B = v t = ( v + 3 ) ( t — 1 ) = ( v — 2 ) ( t + 1 )

Можно записать систему уравнений:

v t = ( v + 3 ) ( t — 1 ) v t = ( v — 2 ) ( t + 1 ) ⇒ ( — ) v t = v t — v + 3 t — 3 v t = v t + v — 2 t — 2 ⇒ ( + ) v — 3 t = — 3 — v + 2 t = — 2 ⇒

⇒ — t = — 5 v = 2 t + 2 ⇒ t = 5 v = 12

Ответ: велосипедист обычно развивает скорость 12 к м / ч , время в пути при этой скорости составит 5 ч .

Первая бочка содержит 12 л , а вторая — 32 л . Когда первую бочку наполняют полностью водой из второй бочки, во второй бочке остается лишь половина от всего объема. Если вторая бочка наполняется полностью из первой бочки, то в первой бочке останется 1/6 от всего объема. Требуется рассчитать объем первой и второй бочки.

Предположим, что « х » является объемом первой бочки, а « у » — второй. Рассмотрим ситуацию, при которой а литров переместили из второй бочки, чтобы полностью заполнить первую бочку. В результате вторая бочка опустела на половину своего объема:

( + ) 12 + a = x 32 — a = 1 2 y ⇒ x + 1 2 y = 44

Далее обозначим за b воду в литрах, которую забрали из первой бочки и поместили во вторую так, что она полностью заполнилась. Тогда в первой бочке осталось 1/6 от всего объема:

( + ) 32 + b = y 12 — b = 1 6 x ⇒ 1 6 x + y = 44

Можно составить систему уравнений:

x + 1 2 y = 44 | × 2 1 6 x + y = 44 ⇒ ( — ) 2 x + y = 88 1 6 x + y = 44 ⇒ ( + ) 1 5 6 x = 44 y = 88 — 2 x ⇒

x = 44 : 11 6 = 44 · 6 11 = 24 y = 88 — 2 · 24 = 40

Ответ: объем первой бочки 24 л , второй — 40 л .

Для того чтобы добраться до школы, ученик садится на автобус. Дорогу домой школьник преодолевает пешком. Путь туда и обратно в этом случае занимает 1,5 часа. Когда в обе стороны ученик едет на автобусе, время в пути составляет 30 минут. Требуется вычислить время, затраченное школьником на поход пешком в школу и из школы.

Предположим, что s является расстоянием, на которое удалены друг от друга пункты: школа и дом. Обозначим за v скорость движения автобуса, u — скорость ученика, t – время, которое школьник тратит на поход в школу и домой пешком. Согласно условиям задачи:

1 , 5 = s v + s u 0 , 5 = 2 s v t = 2 s u

Анализируя второе уравнение, запишем:

s v = 0 , 5 2 = 0 , 25

Выполним подстановку в первое уравнение:

s u = 1 , 5 — s v = 1 , 5 — 0 , 25 = 1 , 25