Квадратные уравнения
Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Алгоритм решения квадратного уравнения:
- Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
- Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
- Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
- Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
- Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
- Если D 0, решений нет: x ∈ ∅
Примеры решения квадратного уравнения:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0
a = − 1, b = 6, c = 7
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64
D > 0 – будет два различных корня:
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7
Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7
a = − 1, b = 4, c = − 4
D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0
D = 0 – будет один корень:
x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2
a = 2, b = − 7, c = 10
D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31
D 0 – решений нет.
Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо c = 0, либо b = c = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!
Как найти дискриминант квадратного уравнения
О чем эта статья:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:
13 = 12 — противоречие.
Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:
12 = 12 — верное равенство.
Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.
Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.
Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.
Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные
Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.
Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
D = 0, значит уравнение имеет один корень:
Ответ: корень уравнения 3.
Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, значит уравнение имеет два корня:
Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
Формула корней квадратного уравнения
Дискриминант и решение квадратного уравнения
Решим квадратное уравнение $ax^2+bx+c = 0, a \neq 0$ в общем виде:
$$ ax^2+bx+c=0 | \times 4a $$
$$ 4a^2 x^2+4abx+4ac = 0 |+b^2 $$
$$ ((2ax)^2+2 \cdot 2ax\cdot b+b^2 )+4ac = b^2 $$
Если выражение справа неотрицательное, то:
И решение нашего уравнения:
Выражение $D = b^2-4ac$ называют дискриминантом квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$.
Если $D \gt 0$, то квадратное уравнение имеет два корня: $x_ <1,2>= \frac<-b \pm \sqrt
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень: $x = — \frac<2a>$
Если $D \lt 0$, то квадратное уравнение решений не имеет, $x \in \varnothing$
Количество корней квадратного уравнения
Общий алгоритм решения квадратного уравнения
Ниже представлен полный алгоритм решения квадратного уравнения на множестве действительных чисел.
В зависимости от выполнения условий (в ромбах), в алгоритме происходит ветвление. Всего на ветках «вырастает» 11 листьев – 11 возможных решений.
Если условие в ромбе выполняется, выход обозначен синей веткой, не выполняется – красной. Над некоторыми ветками для наглядности представлены текущие значения параметров.
В простейшем (в математике говорят, «тривиальном») случае, при всех нулевых коэффициентах, уравнение имеет бесконечное множество решений.
Три ветки заканчиваются пустым множеством, с отсутствием решений.
Четыре ветки дают по одному корню, и три ветки дают по два корня.
Примеры
Пример 1. Решите уравнение, вычислив дискриминант:
$$ D = 24^2-4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576+100 = 676 = 26^2 $$
$$ D = 19^2-4 \cdot 3 \cdot (-14) = 361+168 = 529 = 23^2 $$
$$ D = 4^2-4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16+48 = 64 = 8^2 $$
$$ D = 24^2-4 \cdot 16 \cdot 9 = 576-576 = 0 $$
$$D = 53^2-4 \cdot 7 \cdot (-24) = 2809+672 = 3481 = 59^2$$
$$ D = 3^2-4 \cdot 6 \cdot 4 = 9-96 = -87 \lt 0 $$
$x \in \varnothing$, решений нет
Пример 2. Решите уравнения:
$D = 4^2-4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16+128 = 144 = 12^2 $
$ x = \frac<-4 \pm 12> <2>= \left[ \begin
$ \frac<2x^2>
$$ \Rightarrow 4x^2-7x-6 = 3(x^2-4) \Rightarrow x^2-7x+6 = 0$$
$$ D = 7^2-4 \cdot 6 = 49-24 = 25 = 5^2$$
$$ x = \frac<7 \pm 5> <2>= \left[ \begin
$$ 3y^2+y = y^2+11y-12 \Rightarrow 2y^2-10y+12 = 0 \Rightarrow y^2-5y+6 = 0 $$
$$ D = 5^2-4 \cdot 6 = 1 $$
$$ x = \frac<5 \pm 1> <2>= \left[ \begin
Пример 3*. Решите уравнение:
$$ \frac
$$ x^2-5 \frac
Корни каждого из уравнений:
$$ D = 5^2-4 \cdot (-6) = 25+24 = 49 = 7^2, x = \frac<-5 \pm 7> <2>= \left[ \begin
$$ D = (-5)^2-4 \cdot (-6) = 25+24 = 49 = 7^2, x = \frac<5 \pm 7> <2>= \left[ \begin
$$ \left[ \begin
$$ \left[ \begin
Корни каждого из уравнений:
$$ x^2+4x+4 = (x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2 $$
$$ D = 4^2-4 \cdot (-4) = 16+16 = 32, \sqrt
$$ \left[ \begin
http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-diskriminant-kvadratnogo-uravneniya
http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/formula-kornej-kvadratnogo-uravneniya/