Алгоритмы решения показательных уравнений и неравенств проект

Исследовательский проект «Решение показательных уравнений с параметрами»

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащегося, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене. По итогам ЕГЭ разных лет можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшею трудность у учащихся. Цель моего исследования: поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами. Исследовательская составляющая моего проекта содержит решение показательных уравнений с параметрами, анализ корней в зависимости от параметра, решение вопроса о рациональности выбранного способа решения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области гимназия города Сызрани городского округа Сызрань

«Решение показательных уравнений с параметрами»

Секция «Математика»

Автор исследовательской работы:
учащаяся 11 класса,
Дуплищева Анна
Научный руководитель:
Константинова Ирина Альбертовна

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащегося, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене. По итогам ЕГЭ разных лет можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшею трудность у учащихся. По данным Рособрнадзора около 87.9% не приступают к выполнению данного типа заданий.

Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Цель моего исследования: поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами. При этом я использовала следующие методы.

1. Изучение учебной литературы.
2. Использование информационных ресурсов (интернет).
3. Обобщение и систематизация материала по данной теме.
4. Анализ условий задач и полученного результата.

Исследовательская составляющая моего проекта содержит решение показательных уравнений с параметрами, анализ корней в зависимости от параметра, решение вопроса о рациональности выбранного способа решения.

2. Основная часть

Уравнение 2 9-10

Уравнение 3 10-11

Уравнение 4 12-13

3. Заключение 14

4. Библиографический список 15

Актуальность выбранной темы :

1. Необходимость подготовки к итоговой аттестации, т.к. одним из важных проверяемых элементов содержания является умение решать уравнения, составляя математическую модель.
2. Необходимость применений знаний в современной жизни, анализ заданий с изменяющимися условиями.

Проблема исследования : систематизация способов решения показательных уравнений с параметрами.

Объект исследования : показательные уравнения.

Предмет исследования : условия, при которых решения показательных уравнений с параметрами будет рациональным.

Цель исследования : поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами.

1. Использовать знания теорий показательных уравнений для решения показательных уравнений с параметрами.
2. Рассмотреть графический и аналитический способы решения и выяснить, какой из них является наиболее рациональным.
3. Выработать рекомендации к решению уравнений с параметрами для ознакомления с ними обучающихся.

Гипотеза: является ли аналитический способ решения наиболее рациональным.

Теоретические основы решения уравнений с параметрами

Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным. Это уравнение относительно показательной функции, т.е. функции вида . При решении показательных уравнений используется свойство показательной функции.

Свойства показательной функции:

1. Область определения:
   все действительные числа

1. Множество значений:
   все положительные числа

1. При а > 1 функция возрастающая;
   при 0

Параметр — величина, значения которой служат для различения групп элементов некоторого множества между собой. Например, уравнение y = kx + b задаёт множество прямых на плоскости, k и b в данном случае — параметры прямой, то есть, если предположить, допустим, что k = 2 и b = 7, мы получим конкретную прямую y = 2x + 7: один из элементов множества.

Под термином «уравнение с параметром», фактически, скрывается целое семейство «почти одинаковых уравнений» , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр — это число, которое меняется от уравнения к уравнению. В уравнениях с параметрами параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня чётной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

При решении уравнений с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства – привести заданные уравнения к более простому виду.

Тип 1. Уравнения, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значения параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Уравнения, где требуется найти количество решений в зависимости от значений параметра.

Тип 3. Уравнения, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений.

Тип 4. Уравнения, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

В данной работе рассматриваются показательные уравнения с параметрами и определённые алгоритмы, которые могут помочь в решении столь нелёгких заданий.

Алгоритмы решения показательных уравнений и неравенств проект

Из предложенных тем я выбрала: «Методы решения показательных уравнений и неравенств», так как она наиболее актуальна не только для меня, но и для детей моего возраста. В связи с приближающимися экзаменами, данный проект так же поможет мне при решении заданий из ЕГЭ.

В данной работе исследуются разные способы решений показательных уравнений и неравенств.

В процессе выполнения проекта я приобрела навыки проектной деятельности, развила коммуникативные и аналитические способности, а также навыки самостоятельного поиска необходимого материала с помощью учебной и художественной литературы и интернет­-источников, более того получила знания как по математики, так и по истории.

Для достижения цели исследовательской работы необходимо было решить следующие задачи:

— осваивание математических знаний и умений, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

-изучить различные методы решения показательных уравнений и неравенств.

— развитие логического мышления и алгоритмической культуры;

Обычно математику считают прямой противоположностью поэзии. Однако математика и поэзия — ближайшие родственники, ведь и то и другое — работа воображения.
Томас Хилл

Определенно, чтобы понять и научиться решать любые математические задания, мало просто знать все многочисленные формулы и свойства, которыми богата данная наука. Если не подходить к заданию творчески, широко и открыто мыслить, то легко попадешь «в тупик», что может привести не только к разочарованию в науке, но и в самом себе. Математика как игра привлекательна свое содержательностью, сложностью и неожиданностью результатов. Так же для овладения почти любой современной профессии требуются математические познания. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, поскольку эта наука строга и абстрактна. Именно поэтому, на примере решения показательных уравнений и неравенств, я хочу показать, что данный процесс может не только увлечь вас, но и так же заставить ваш мозг работать куда продуктивнее.

История Показательных уравнений

Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent: «выставлять напоказ». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Готфрид Вильгельм Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости y=ax и экспоненциальной кривой для графика этой функции.

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид:

Показательные уравнения путём алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнениям, которые решаются, используя следующие методы:

• метод приведения к одному основанию;
• метод введения новых переменных;
• метод вынесения общего множителя за скобки;
• метод почленного деления;
• метод группировки;
• метод оценки.

Метод приведения к одному основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду:

Представим правую часть в виде 3 log 3 7 x+1 3 2x-1 = 3 log 3 7 x+1 2x-1= log 3 7 x+1 2x-1=x log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> + log 3 7 x(2- log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> )= log 3 7 x= 1+ log 3 7 2- log 3 7 x= log 3 3+ log 3 7 log 3 3 2 — log 3 7 x= log 3 21 log 3 9 7 x= log 9 7 21 ≈12.1144 Ответ: 12.1144 4 x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012.png» /> — 2 x 2 Обозначим t= 2 x 2 t 2 t 1 t 2 Так как -1 2 x 2 x 2

Из первого уравнения совокупности находим x1 = — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image019.png» /> ,x2= 1 2 x — 1= x — 3 +2 x — 3= x — 3 x — 3= x — 3, если x ≥3 x — 3=- x +3, если x 0∙ x =0, если x ≥3 2 x =6, x =3, если x Ответ: — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image025.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image027.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 3; +∞ 22х·2– 7·2х·5х+52х·5=0 /52х≠ 0
2· 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> 2х– 7· 2 5 Пусть 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х =t, t>0
2t2-7t+5=0
D=b2-4ac=49-4·2·5=9
t1=1, t2= 5 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image030.png» />
2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х=1, 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х = 5 2 3·22х+ 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1– 6·4х+1= — 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1+ 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х·9+ 1 3 31,5= 21· 4 9 4 9 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image032.png» /> х= 3 2 2 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image034.png» /> 2х= 2 3 ( 5 ) 2+4+6+. +2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image035.png» /> = 5 45 1 2 Sn =n( a 1 + a n 2 x 1+ x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image038.png» /> =45 2 x — 3 ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image040.png» /> 4+ 1 6- 2 x — 3 Пусть 2 x — 3 t ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image043.png» /> 4+ 1 6- t 4+ 1 6- t 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image045.png» /> – t ≤ t 2 — 10 t +25 6- t ≤ (t-5) 2 6-t ≤ t=5, t > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image049.png» /> 6. Отсюда 2 x — 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image042.png» /> =5 и 2 x — 3 > Пусть 2 x Из уравнения a-3 a-3=5 a-3=-5 a=8 a=-2 Подставим вместо a= 2 x 2 x =8 2 x =-2 Модуль a — 3 Для решения неравенств a — 3 > a — 3 > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image056.png» /> 6 получаем a 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image057.png» /> -3 или a > 2 x 2 x >9 2 x > 2 log 2 9 x > log 2 9 Ответ: <3>∪ ( log 2 9 2 (3 2x + 2 x ∙ 3 x+1 + 3 0 ) > 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> log 2 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2)∙ log 2 3 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 +1 3 2x + 2 x ∙ 3 x > (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 Поделим каждое слагаемое неравенства на ( 2 x ∙ 3 x ) 3 2 x +1> 2 3 x — 3 ∙ log 2 3 Обозначим: 3 2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image069.png» /> =y, где y > y+1 > 1 y — 3 ∙ log 2 3 y 2 +y> 1-3y ∙ log 2 3 y 2 +y- 1-3y ∙ log 2 3 >0 y 2 +y — log 2 3+3y log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3=0 D = 3 log 2 3 +1 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image076.png» /> 2 + 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image077.png» /> 4 log 2 3= 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 D >0 y = — 3 log 2 3 +1 ± 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 В связи с тем, что log 2 3 >0 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image081.png» /> , то и D > 3 log 2 3 +1 y = — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 Отметим точку y на оси, y >0 y Î — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Из этого следует, что x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Ответ: x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2

«Хитрости » свойств логарифмов:

при А≠1 и В≠0 имеют единственный корень х=А 1/В ;

при А=1 и В=0 имеют решением любое положительное, отличное от единицы, число;

при А=1 и В≠0 корней нет;

Логарифмы с переменным основанием

Методы решения логарифмических уравнений

1.Решение уравнений, основанных на определении логарифма

2.Решение уравнений потенцированием

3.Применение основного логарифмического тождества

6.Переход к другому основанию

Рассмотрим каждый из этих методов на примерах .

1. Решение уравнений, основанных на определении логарифма

По определению логарифма

х = –3 – корень уравнения.

2. Решение уравнений потенцированием

Учитывая область определения получаем систему:

Откуда х ₁ = 0, х ₂ = – 4. Так как х > –1, то корень х ₂ = – 4 – посторонний.

3. Применение основного логарифмического тождества

Область определения уравнения

откуда х основное логарифмическое тождество , получим:

log ₂ (9 – 2 x ) = 3 – x или 9 – 2 x = 2 3 – x или , 2 2 х – 9 · 2 х + 8 = 0, откуда 2 х = 1, х ₁ = 0; 2 х = 8, х ₂ = 3. Так как x 3 , то х ₂ = 3 – посторонний корень.

Область определения уравнения задается условиями х > 0, х ≠ 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, предварительно упростив его:

(10 lg x ) lg x + x lg x = 20, x lg x + x lg x = 20, x lg x = 10 или lg x lg x = lg 10, lg 2 x = 1, lg x = ±1, значит lg x = 1, x ₁ = 10; lg x = –1, x ₂ = 0,1.Оба корня удовлетворяют ограничениям x > 0, x ≠ 1.

5. Замена переменной в уравнениях

Две основные идеи решения логарифмических уравнений :

приведение уравнения к виду

с последующим потенцированием;

замена неизвестных вида

с предшествующим преобразованием уравнения к удобному для этой замены виду.

Так как – х > 0, т.е. х IxI =- x , то данное уравнение можно записать в виде

Пусть = t , t ≥0, тогда получаем t = t 2 , t ( t – 1) = 0, откуда t ₁ = 0, t ₂₌ 1.

6 .Переход к другому основанию

Запишем уравнение в виде

Далее имеет

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 3,получим: *= или

Методы решения показательных уравнений

2 2 x -4 = 64. (методом уравнивания показателей)

2 2 x – 6∙2 x + 8 = 0.(метод введения новой переменной)

7 2 x +1 + 7 2 x +2 + 7 2 x +3 = 57. (вынесение общего множителя.)

Схемы решения логарифмических и показательных неравенств

1. Сведение к рациональным неравенствам

2.Метод интервалов и систем

1. a f (x) > a g( x) f(x) > g( x)

a f (x) > a g( x) f(x)

Решить неравенство: 3 х – 3 х – 3 ≥ 26

2.Решить неравенство: lg 2 x 2 + 3 lg x > 1

=t, 4+3t-1>0; t=1/4, t=-2 ; x=, x=10 -2

3. Решить неравенство

Разделим обе части неравенства на :

Пусть =m, m>0, тогда

, , ; ; ;

Ответ: .

4. Решить неравенство Решение:

Так как то последнее соотношение равносильно

Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств.

1.Таблица работает при условии : f ›0, g ›0, h ›0, h ≠1

где f и g — функции от х, h — функция или число, V — один из знаков ≤,›,≥,‹

Заметим также, вторая и третья строчки таблицы — следствия первой.

2.И еще несколько полезных следствий :

где f и g — функции от x , h — функция или число, V — один из знаков ‹,≥,≤,›

Пример 2:

Рассмотрим таблицы, позволяющие рационализировать показательный неравенства .

Таблица для рационализации в показательных неравенствах:

f и g — функции от x , h — функция или число, V — один из знаков ›,≤,≥,‹.Таблица работает при условии h ›0, h ≠1.

Опять же, по сути, нужно запомнить первую и третью строчки таблицы. Вторая строка -частный случай первой, а четвертая строка — частный случай третьей .

( x 2 _{— x -2)} 2 x -6 ≥ ( x 2 — x -2) 3-4 x
X 2 — x -2›0

(( X 2 — x -2)-1)((2 x -6)-(3-4 x ))≥ 0

x ›2 ; x ‹-1
( x 2 — x -3)(6 x -9)≥0 , x _{2= ,} x _3=1,5

Так как 3‹ √13 ‹4,то x 2‹ x 3‹ x 1

С учётом ОДЗ получаем: ( ; -1) U ( ; +∞)

Доклад про логарифмическую спираль:

Вопрос: Если идти все время на северо-восток, то куда придешь?

Обычно на этот вопрос отвечают так:

обойду земной шар и вернусь в

точку начала пути.

Но этот ответ неверен.

Ведь идти на северо-восток — это

значит постоянно увеличивать

восточную долготу и северную

широту, и вернуться в более южную

точку мы не сможем.

Ответ: Рано или поздно мы попадем на северный полюс.

При этом путь, который мы пройдем, будет иметь вид логарифмической спирали.

На рисунке вы можете видеть этот путь так, как мы увидели бы его, смотря на земной шар со стороны северного полюса.

Уравнение логарифмической спирали

где r – расстояние от точки,

вокруг которой закручивается

спираль (ее называют полюсом),

до произвольной точки на спирали,

φ – угол поворота относительно полюса, ά – постоянная.

Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния ( log _ά r ) возрастает пропорционально углу поворота φ.

Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение.

Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали – под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно.

Очень часто логарифмическая спираль встречается в природе.

Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении.

Чтобы не слишком вытягиваться, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфган Гёте считал ее математическим символом жизни и духовного развития.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины.

В подсолнухе семечки располагаются по дугам, также близким к логарифмической спирали.

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям закручены и многие Галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Задания ЕГЭ №7(базовый);№ 5,15(профильный )

Задание15 № 507708. Решите неравенство:

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 2010 год вариант 201. (Часть С)

Задание 15 № 507764. Решите неравенство:

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 06.05.2010 вариант 1. (Часть С)

Задание 15 № 508210. Решите неравенство:

Задание 15 № 508366. Решите неравенство:

Задание 5 № 26651 Найдите корень уравнения .

Задание 5 № 26653. Найдите корень уравнения .

Задание 5 № 26646. Найдите корень уравнения

Задание 5 № 26657. Найдите корень уравнения .

Задания №7 базового уровня такие же как и задания№5 профильного уровня

Проведя исследовательскую работу, дети узнают много полезного и интересного о методах решения логарифмических уравнениях и неравенствах, научатся работать с источниками информации, узнают в каких случаях и как используются те или иные или другие нестандартные методы.

Я, как учитель, в процессе работы над проектом с большим интересом составляла его, соблюдая нормы структурных требований. Интерес к чему-то новому, помню еще, было со школы: когда будучи ученицей седьмого класса, я получила задание от учительницы (на следующий урок подготовить выступление) по геометрии по теме «Средняя линия трапеции», построить чертеж на доске и доказать теорему о средней линии трапеции.(1982г)

Я справилась этим заданием. « Все новое — это хорошо забытое старое » гласит народная мудрость.

Выпускник получит возможность овладеть специальными приемами решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств, применять их для решения заданий ЕГЭ.

Проектную работу с успехом можно применить при подготовке к ЕГЭ.

Элементы проекта могут быть использованы также при подготовках к олимпиаде. В дальнейшем эта работа будет продолжаться по другой теме по заданиям ЕГЭ «Нахождение объемов тел».