Конспект к уроку алгебры в 8 классе по учебнику Алимов Ш.А. ТЕМА УРОКА «Решение квадратных уравнений. Теорема Виета» методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме
Информационные технологии на уроках математики.
Урок в системе деятельностного подхода обучения. Включает в себя слайдовую презентацию, с помощью которой можно активизировать познавательный интерес учащихся, сэкономить время, визуализация изучаемого материала.
1) обобщить и систематизировать знания учащихся по теме: «Квадратные уравнения»; ввести определение приведенного квадратного уравнения; доказать Теорему Виета
2) воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;
3) продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач
Тип занятия: изучение нового материала
Оборудование: компьютер, экран и мультимедийный проектор для показа презентации. Раздаточный материал по теме урока: приложение 1 (карточки для каждого ученика и для групповой работы), приложение 2 (Материал к сообщению по Теореме Виета.).
Учащийся должен знать:
Теорему Виета для вычисления корней квадратного уравнения.
Учащийся должен уметь:
применять полученные знания к решению приведенного квадратного уравнения.
1. Организационный момент
Зачитывается высказывание к уроку:
«Уравнение — это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»
Предлагается отправиться в увлекательный мир квадратных уравнений. С этой целью учащиеся решают квадратные уравнения. Решив уравнение и записав его корни по схеме, отмечают точки на координатной плоскости, соединяя их последовательно.
(На доске расположен плакат с подготовленной координатной плоскостью). Слайд 2
1.Неполные квадратные; квадратные уравнения с четным коэффициентом; квадратные уравнения с нечетным коэффициентом.
2. Изучение нового материала
Предлагается разбить квадратные уравнения на две группы.
— уравнения 1,3 даны в стандартном виде;
-уравнения 2, 4, 5, 6 не приведены к виду ах 2 +вх +с=0;
-в уравнениях 3,4,5 коэффициент в- четный;
-в уравнениях 1,2,6 коэффициент в- нечетный;
— в уравнениях 2,4,5 коэффициент а=1
— в уравнениях 1,3,6 коэффициент а≠1
В случае если ученики затрудняются, предложить им обратить внимание на коэффициенты уравнения
Работа в парах с заданными уравнениями:
1.Дать определение приведенного квадратного уравнения. (Слайд 5)
2.Сообщение темы урока (Слайд 6)
3. Задание для учащихся: Заполните колонки в таблице (работа с карточками).
Приведенные квадратные уравнения, а=1
Предлагается работа в тетрадях (таблицу приготовить заранее)
1. Обучающиеся заполняют первую колонку;
2. Самостоятельно решают уравнения (работа в тетрадях);
3. Заполняют 2 и 3 колонку (работа в парах)
Задание для учащихся:
Посмотрите внимательно в таблицу и постарайтесь увидеть зависимость коэффициентов уравнения от суммы и произведения корней
Сумма корней уравнения равна коэффициенту b с противоположным знаком, произведение равно свободному коэффициенту c.
Предлагается записать формулировку теоремы в тетрадях. Доказательство теоремы учитель проводит с использованием мультимедиа (слайд 7,8)
Задания учащиеся выполняют по группам самостоятельно .
Проверка проводится с использованием мультимедиа слайд 9-11
Сообщение о французском ученом Франсуа Виета . Один из учеников, по просьбе учителя, подготовил сообщение. Для «слабого» ученика учитель дает готовый материал, для «сильного» предлагает подготовить самостоятельно.
4. Подведение итогов урока. Рефлексия.
Ответьте на вопросы:
1.Всегда ли можно применять теорему Виета?
2.Между чем устанавливает зависимость теорема Виета?
1. Нет, только когда D ≥ 0
2. Зависимость значений коэффициентов от корней квадратного уравнения
Сегодня на уроке я узнал…
Сегодня на уроке я повторил…
Сегодня на уроке я закрепил…
Предварительный просмотр:
КАРТОЧКИ для работы в парах
Приведенные квадратные уравнения, а=1
2. КАРТОЧКИ для индивидуальной работы
1. 2х 2 -16х=0 , (х 2 ;х 1 )
2. 5х 2 -50х=0, (х 2 ;х 1 )
3. х 2 -4х-32=0, (х 2 ;х 1 )
4. х 2 +12х+32=0, (х 1 ;х 2 )
5. х 2 +11х-26=0, (х 1 ;х 2 )
6. 5х 2 -40х=0, (х 2 ;х 1 )
7. х 2 -11х-24=0, (х 2 ;х 1 )
8. 4х 2 -12х-40=0, (х 1 ;х 2 )
9.2х 2 -13х-24=0, (х 1 ;х 2 )
МАТЕРИАЛ К СООБЩЕНИЮ
Теорема Виета. Немного истории.
Знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540-1603) был по профессии адвокатом. Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занялся этими науками и вскоре пришел к выводу о необходимости их усовершенствования, над чем и проработал ряд лет.
Виет никогда не прекращал адвокатской деятельности, много лет был советником короля, постоянно был занят государственной службой. Несмотря на это, всю жизнь настойчиво и упорно занимался математикой и сумел до биться выдающихся результатов.
Благодаря его неустанному труду, алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на буквенном исчислении. В 1591 г. Виет впервые ввел бук венные обозначения и для неизвестных, и для коэффициен тов уравнений. Благодаря этому, стало возможным выра жать свойства уравнений и их корней общими формулами.
Как математики древней Греции, Виет признавал только положительные числа. Чисел отрица тельных, иррациональных и мнимых Виет не признавал, что было одним из самых больших недостатков его алгебры. Чтобы избежать отрицательных решений, он изменял условие задачи или применял какой-нибудь искусственный при ем решения, отнимавший много сил и времени, часто за путывавший решение.
Условные обозначения, которые использовал Виет, позволяли ему много записывать сокращенно, в виде фор мул. Эти формулы были не совсем удобны, но значитель но облегчали действия, придавая им наглядность.
Виет занимался не только алгеброй, но и геометрией и тригонометрией. Виет. Сделал много открытий, но сам он больше всего ценил зависимость между корнями и коэф фициентами квадратного уравнения, которая теперь на зывается «теоремой Виета».
Франсуа Виет отличался необыкновенной работоспо собностью. Очень занятый при дворе французского коро ля, он находил время для математических работ, чаще всего за счет отдыха. Иногда, увлекшись какими-нибудь исследованиями, он проводил за письменным столом по трое суток подряд.
Французский ученый Франсуа Виет (1540-1603)
Алгебра 8 класс Учебник Алимов
^. Ответ X > — —. — 3 Это решение коротко можно записать так: 3(х-2)-4(х-н 1) — — , на числовой оси изображается лучом 3 2 (рис. 8). Точка х = —
не принадле- О жит этому лучу, на рисунке 8 она изображена светлым кружком, а луч отмечен штриховкой. Множество чисел X, удовлетворяющих, например, неравенству х>2, иногда называют лучом. Точка х = 2 принадлежит этому лучу. На рисунке 9 эта точка изображена темным кружком. i^//’W//////////m Рис. 8 £. -а Рис. 9 Задача 3 Решить неравенство ——^ + 1 > — — ——-. 6 2 3 ► Умножим обе части неравенства на 6: 6 5+6-1>6- —-6’^ 6 2 3 (х-5) + 6> 15х-2(х-3). 27 Раскроем скобки и приведем подобные члены: х-5 + 6>15х-2д: + 6, х + 1> 13х + 6, Ответ откуда 12 -12л: > 5, 12 Рис. 10 Множество решений этого неравенства, т. е. мно- 5 жество чисел изображено на рисунке 10. В рассмотренных примерах неравенства после упрощения сводились к ■ линейным, у которых коэффициент при неизвестном был не равен нулю. В некоторых случаях этот коэффициент может быть равен нулю. Приведем примеры таких неравенств. Л «А Задача 4 Решить неравенство 2(л:-1- 1)-1-5>3-(1-2х). ► Упростим обе части неравенства: 2x + 2 + 5>3-l + 2л:, 2дс + 7 > 2 -I- 2л:, откуда 2л:- 2л: > 2 — 7, о • л: > -5. Ответ Последнее неравенство является верным при любом значении х, так как его левая часть при любом X равна нулю, а 0 > -5. Следовательно, любое значение X является решением данного неравенства. X — любое число. Задача 5 Решить неравенство 3(2-л:)-2>5-Зл:. ► Упростим левую часть неравенства: 6 — Зх — 2 > 5- Зх, 4 — Зх > 5 — Зх, откуда -Зх + Зх > 5 — 4, 0-д:>1. 28 Ответ Последнее неравенство не имеет решений, так как левая часть неравенства при любом значении х равна нулю, а неравенство О > 1 неверно. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений. Решений нет. 15; 2) л:-6 5-у; 5) 2z>z-7; 6) 32 -36; 2) -7х -27; 6) -4,5х>9. Решить неравенство и изобразить множество его решений на числовой оси (92— 93). 92 1) 2л:-16>0; 2) 18-Зл:>0; 3) Зл:-15 0; 6) 2л: + 4 5+х; 3) 2(х-3) + 4 3(1/-2); 3) 3(х-2)-2д: 2(д: — 1) — Зх. 97 Найти наибольшее целое число, являющееся решением нера- венства: 1) 5-2л:>0; 3) 3(1-д:)>2(2-л:): 2) 6лг4-5 » 4 6 3 99 1) ^ + -; 2 3 2 3) 2x — 1 2x ^ 3jc — 2 X 2 5 5 4 2) £:ii + 3x>^-^; 3 3 4 .. 3x + 1 X 5x — 2 , 3x 4)—— 3(х — 1)-н х; Зх-н 1. 04 Зх-н6 х^х+2 о)————>——-; 4 4 2 5) 5х-11 > 2(х — 1)-I-Зх + 3; .4 2х — 1 . ^ 4)————4 5(х-1-2)-н2(2х-3); 3) х^. 2 2 4) 3 3 103 1) (x-l)2-h7>(x-i4)2; 2) (l-t-x)2-i-3×2 (x-i2)(x-3); 4) (х-н1)(х-4) + 4>(х-н2)(х-3)-х. 104 1) 4) Зх-i- 6 -2,3 0,4х+ 8 30 0; 2х-4 -1.7 2,1-н 6,3х 0; >0. 105 При каких х значения функции j/ = 2,5x-4: 1) положительны; 2) отрицательны; 3) больше 1; 4) меньше -4? 106 При каких X значения функции i/ = 3,5-0,5x: 1) положительны; 2) неотрицательны; 3) не больше 3,5; 4) не меньше 1? 107 Построить график функции у = 3-2х. С помощью графика найти значения х, при которых точки графика лежат: 1) выше оси абсцисс; 2) выше прямой у = 2; 3) ниже оси абсцисс; 4) ниже прямой у = 4. Результаты проверить, составляя и решая соответствующие неравенства. 108 Сколько железнодорожных платформ потребуется для перевозки 183 контейнеров, если на одной платформе можно разместить не более 5 контейнеров? 109 Рабочий по плану должен изготовить 40 деталей. Сколько деталей он должен изготовить, чтобы перевыполнить план более чем на 7%? 110 Одна сторона треугольника равна 8 см, а другая — 13 см. 1) Каким наименьшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны? 2) Каким наибольшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны? 111 Сумма нечетного числа с тремя последующими нечетными числами больше 49. Найти наименьшее нечетное число, удовлетворяющее этому условию. 112 Сумма четного числа с утроенным последующим четным числом меньше 69. Найти наибольшее четное число, удовлетворяющее этому условию. 113 Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 60 км, отправляются одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист с постоянными скоростями. Скорость движения пешехода равна 4 км/ч. С какой скоростью должен двигаться велосипедист, чтобы его встреча с пешеходом произошла не позже чем через 3 ч после начала движения? 114 На соревнованиях велосипедисты должны проехать 155 км. Велосипедисты стартуют поочередно с интервалом 5 мин, и каждый из них едет с постоянной скоростью. Скорость первого велосипедиста равна 30 км/ч. С какой скоростью должен двигаться третий велосипедист, чтобы прибыть к финишу раньше первого? 115 При каких значениях х точки графика функции у = 3х + 4,Ь лежат выше точек графика функции у = -2х + 17 116 При каких значениях х точки графика функции у = 5х-4 лежат ниже точек графика функции у = 0,5х + 5? 31 117 На какое наименьшее целое число сантиметров нужно увеличить длину окружности, чтобы ее радиус увеличился более чем на 10 см? (Длина с окружности радиуса R равна: c = 2nR, где 71 = 3,14. .) Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки 1. Системы неравенств. Задача В пустой бассейн вместимостью 4000 л начали наливать воду. Сколько литров воды в час нужно наливать в бассейн, чтобы через 4 ч было заполнено более половины всего бассейна и чтобы через 5 ч бассейн не переполнился? ► Пусть X литров — количество воды, поступающей в бассейн за 1 ч. По условию задачи 4х>2000, 5х 500, а из второго л: 2000 и 5л: 2000, 5л: 5, |2л:-1>3л:, |4(л:-1)>л:-2; |5(х-1) -А, \3х -4, [3-1 -2 и х 5 жеств чисел, удовлетворяющих неравенствам вида 2 а и х 5 34 7 3 4 118 119 120 121 Упражнения Какие из чисел -3; 10; 12 являются решениями системы неравенств: 2) ||^-2>1, 122 123 124 125 126 1) Г5-л: -4; [5-2х>-25? Какие из чисел -2; 0; 1; 2 являются решениями системы неравенств: 1) |12x-l 4-х, |-3-х 2? Найти все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств: 1) (х> 2, 2) (х -5,l, |jc -1; jjc -2(х + 3); 4) (х — 2)(х^ -I- 2х -ь 4) 3(x +1), [2(л: + 4)>л: + 5. ^ Решим первое неравенство: 5л:-1>3л: + 3, 2д:>4, х>2. Итак, первое неравенство выполняется при х>2. Решим второе неравенство: 2х + 8>х + 5, л:>-3. Итак, второе неравенство системы (1) выполняется при X > -3. ______________ Изобразим на числовой оси множест- ^—- ва решений первого и второго нера- __________► венств системы (1). 2 Решения первого неравенства — ин- тервал х>2, решения второго неравенства — интервал х>-3(рис. 16). Решениями системы (1) являются такие значения X, которые одновременно принадлежат обоим интервалам. Из рисунка видно, что множество всех общих точек этих интервалов — интервал х>2. Ответ х> 2. 13. ► Решим первое неравенство: Зл:-3 16, х> 4. Изобразим на числовой оси множества решений первого и второго неравенств системы (2). Решения (2) 37 / Ч’ Рис. 17 Л -12 Рис. 18 -7 Ответ Задача 3 первого неравенства — луч х 4 (рис. 17). Из рисунка видно, что множество общих точек этих лучей — отрезок [4; 7]. 4 4л: + 4, х>-12. Решим второе неравенство: 28 — 5х 3. (4) Рис. 19 Изобразим на числовой оси интервалы X 3 (рис. 19). Из рисунка видно, что эти интервалы не имеют общих точек. Следовательно, система (4) не имеет решений. 2. 2) /д;>0, 3) |д>2, 4) (х>-2. ‘ х>5; 1 д: > -1; \х>- 3; ]х> — 4. 130 1) (х 0, х 2, |д 3, [д -2; 4) 1) [х -7,5; 2) Гд -1,5; 3) 1х>0,8, I д -0,5. Решить систему неравенств (133—137). 133 134 135 136 1) 3) 1) 3) 1) 3) 1) 2) 3) 4) Зд: — 18 > О, 4д:>12; 2 д; + 5 > О, Здг + 6 ^ О J 3-2х>0, 4д; + 8 0; 5х-20 о, Зд: + 6 > 0; 2) [7д:-14>0, \2х>8; 4) [2д: + 7>0, |5д: + 15>0. 2) |2д: + 4 0; 4) [2д:-9 3jc. 2) [2д; + 5 0, 4д:-8>0. 3x + 3^2x + 1, Зд; — 2 5д: + 3, 2-Зд; 2д: + 2, 4(д; + 1)-2 3(x-l) + 4, ]2^-1> 3x-2. 3) 4) 3 4 X — 5 ^ 3x- 1 6 4 X + 2 ^ X + 3 X + 3 ^ 2x + 7 2 5 2x- 3 x-2 H-A. 21 7 3 Решить систему неравенств (138—140). 138 1) + 15 3 5 l-3x^5x-l 7x ——^———; 12 3 4 3) _ ii —l,5. X — 3 ^ X + 5 140 1) j3(x + 8)>4(7-x), l(x + 2)(x-5)>(x + 3)(x-4); 2) J(x + 3)(x-6) 7(2x-4); 3) f3x + 2>x-2, j X + 15 > 6 — 2x, [5x+lKx + 23; 4) f3x-4 5x — 4, [llx-9 -1, 2) \1-0,5х>0, X
1 ^ X X -1 X 3) 2 О, 1а1= -а, если а о, если а 0. Тогда по определению модуля |д:|= X, и уравнение принимает вид: х = 7, т. е. х = 7 — корень исходного уравнения. 2) Пусть х 0. ТогдаЗх + 2 = 1,3х =-1,X =-^. О 2) Пусть Зх н- 2 0. Этому неравенству удовлетворяют все точки X, находящиеся на рассто-■- янии, не большем а, от точки 0, т. е. точки отрезка [-а; а] (рис. 21). Отрезок [-а; а] — это множество чисел X, удовлетворяющих неравенству -а 0, означает то же самое, что и двойное неравенство -а а Рис. 23 Это двойное неравенство означает то же самое, что и система неравенств: ]5-Зх -8. Решая эту систему, находим -l а, где а > 0. Этому неравенству удовлетворяют все точки х, находящиеся от точки 0 на расстоянии, не меньшем а, т. е. точки двух лучей х>а и х 2. Получим систему неравенств jx-l>0, \х-1>2. Решая эту систему, находим х>3. 2) Пусть X — 1 2, или х — 1 2 выполняется при X > 3, а во-вторых, при х 3. 2 ^ изображены на рисунке 24. ^Отметим, что если в неравенстве ^ число а равно нулю, то нера- Рис. 24 венство имеет единственное реше- 44 1 ние jc = О, а если а a число а меньше или равно нулю, то любое число является его решением. Упражнения 149 (Устно.) Найти модуль числа: 1) 23; 2) 4,7; 3) |; 4) -47; 5) -2,1; 6) -|. Решить уравнение (150—153). 150 1) xj = 2,5; 2) г| = 1,5; 3) х-1\ = 2; 4) х + 3\ = 3. 151 1) х + 4\ = 0; 2) х-2\ = = 0; 3) 2х-3\ = 0; 4) \3-4х\ = 0. 152 1) Зх-5\ = 5; 2) 4X-I-3I = 2; 3) _ 1, 4) _ 1 3 6 3 ’ 4 2 4 ■ 153 1) 1 = 3,4; 2) |-д:1 = 2,1; 3) |5-х| = 5; 4) 3-х\ = 8; 5) 14-5×1 = 5; 6) |3-4х| = 3. 154 Изобразить на ЧИСЛОВОЙ ОСИ множество решений венства: 1) |х| 3; 2) I дг| 2. 155 156 Записать неравенство с модулем в виде двойного неравенства: 1) \х\ 1,3; 2) |х-2|>1,1; 3) \1-х\>^; 4) |3-х1>|. 45 160 161 162 163 164 165 l)\4x-3\>3; 2)|Зл: + 2|>1: 3) |3x-2|>4; 4) |4-5x|>4. Найти все целые значения х, при которых выполняется неравенство: 1) |5д:-2| 5; 3) |1-Зл;| 3; 6) |1,2-0,8х|>2,8. Решить двойное неравенство, записав его в виде системы двух неравенств: 1)-3 0; 3) |->0: а 4) ^ | для любых чисел а и Ь. 46 Упражнения к главе I Решить уравнение (170— ■171). 170 1) д:(2х + 5) = 0; 2) х(Зх-4) = 0; 3) (д:-5)(Зд: + 1) = 0; 4) (х + 4)(2х-1) = 0. 171 1)2^-^ 3-0; 2) Зх — 1 2x-f 5 3) 3^ =0; X- 3 (х-3)(2х-ь4) х + 1 * 172 173 На числовой оси точка а лежит левее точки Ь. Положительно или отрицательно число: 1) Ь-а; 2) 2+Ь-а; 3) а-Ь; 4) а-3-b? Доказать, что: 1) 9х^ + 1> 6х при любом х; 2) х + > — при л: > 0; 16лг 2 3) + 5 3. 174 то а 2Ь; 2) если 2Ь + а > 2а — Ь, то а Ь. Доказать, что: 1) если д: 2, то ху>^. 176 Доказать, что если д: > -3 и £/ > 1, то: 1) + 2)f*4„>-l; 3) 2,7x + l,li/>-7; 4) l,lx + 2,7i/>-0,7. 177 Пусть a>b>0. Доказать, что: 1) a^>b^; 2) a^>ab^; 3) a*>a^b^; 4) a^b^>b*. 47 X 178 Решить неравенство: 1) х + 9>8-4х; 2) 3(у + 4)>4-<1-Зу); 3) 5(0,2 +у)-1,8 >4,3 + 51/; 4) 3(х-5) + 9>15. 179 Решить систему неравенств: 1) j0,5(x + 3)-0,8 1,6(х + 2) + 1,8. 180 Множество чисел х, изображенное на рисунке 25, записать в виде двойного неравенства и неравенства, содержащего знак модуля. 181 Множество чисел х, изображенное на рисунке 26, записать в виде неравенства, содержащего знак модуля. Г / -5 0 5 -3 0 3 а.) а) Г Л — Л Г -3 0 3 -2 0 2 б) б) Г «Л — Л Г 0 в) 4 ‘ 1 в) 3 г л Г 0 г) 4 2 г) 4 г 3,4; 3) |д:-1| 3; 5) |5jc + 1| 2. Проверь себя! 1 Доказать, что при всех значениях х верно неравенство ^д:(2дг-4)>(дг-2)д:. 2 Решить неравенство: 1) 12-5д:>0: 2) Зх-7 0, 2) |4д:-13>Здг-10, 3) |5x + 3 0; [11 — 4л; д: + 4. 184 Пусть а За — 2Ь; 4) а + Ь > 4а — 5Ь. 185 Одна сторона треугольника больше 4 см, вторая в 1,5 раза больше первой, третья в 1,5 раза больше второй. Доказать, что периметр треугольника больше 19 см. 186 Указать значения х (если они существуют), при которых значения функций у = -д: + 1и у=х + 2 одновременно: 1) положительны; 2) отрицательны; 3) больше 1; 4) больше 2. Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных функций, построенных на одной координатной плоскости. 187 Решить систему неравенств: 1) 2) 4) ]0,4(х + 3) — 1.7 > 0,3(х — 5) + 0.7х. |о,4(х- 1)-*-0.5х>0,3(х-ь5)-0,9: 3) X 4 ^ 2х — 3 5 3-1- 5д I 6х-8 3 0,4x-f| 2(4-х)-1-13: 49 4 7 4 188 189 190 191 192 193 194 195 196 Сумма четного числа с утроенным последующим четным числом больше 134, а сумма этого же четного числа с удвоенным предыдущим четным числом меньше 104. Найти это число. Сумма нечетного числа с удвоенным последующим нечетным числом меньше 151, а сумма этого же нечетного числа с утроенным предыдущим нечетным числом больше 174. Найти это число. Бригада рабочих за 5 дней изготовила меньше 300 деталей, а за 10 дней — больше 500 деталей. Сколько деталей в день изготовил каждый рабочий, если в бригаде 8 человек и производительность труда рабочих одинакова? За 8 рейсов автобус перевез больше 185 пассажиров, а за 15 рейсов — меньше 370 пассажиров. Сколько мест в автобусе, если в каждом рейсе автобус перевозил ровно столько пассажиров, сколько мест в автобусе? Доказать, что: 1) 2Ь — а Ь; 2) а + 2Ь > 4а — Ь тогда и только тогда, когда а За + 2Ь тогда и только тогда, когда а + 25 0. Скорость течения реки равна а километрам в час. С какой постоянной скоростью относительно воды должен двигаться катер, чтобы путь между пристанями он прошел вниз по течению реки по крайней мере в 3 раза быстрее, чем тот же путь вверх по течению реки? В раствор объемом 5 л, содержащий 30% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько нужно влить второго раствора в первый, чтобы их смесь содержала не менее 60% кислоты? Доказать, что если | д: -а| =1 л: -51, где а 0,01, где 0,01 — единица последнего разряда приближенного значения 5,43, то цифра 3 сомнительная. Но уже 0,02 Г] 4,353 ] 110,73814. 0. Поэтому МК не может вычислить значение у^, если у 1) 3,78 2) 1,58 14,2884; + 0.57 1/х — 4,2507859. Упражнения Записать показания табло МК после выполнения действий (273—276). 273 1) (17,2)3; 2) (23,4)3; 3) 453З; 4) 1593; 5) (0,78)3; 6) (0,0141)3. 274 1) 1 17’ 2) 1 . 21’ 3) _ 1 . 23 ’ 4) 1 . 14’ 5) 1 . 6) 1 . 7) 1 . 8) 1 3,78’ 8,12’ 0,013’ 0,081 ■ 275 1) 123; 2) 213; 3) (1,48)3; 4) (3,71)3; 5) (0.027)^ 6) (0,082)6; 7) 1 . 8) 1 (0,15)3 ’ (0,42)2 ■ 276 1) ± i 0,281; 2) 0,37-±; 3) — + —: 71 63 4) 1.1. 0,17 0,23’ 5) 1.1. 3,4 ‘6,3’ 6) 1 1 0,28 0,43 ■ 277 278 279 280 Найти площадь квадратного участка земли, если длина его стороны равна 1915 м. Вычислить: 1) (3,2-10^)3; 2) (9,2310-^)3. Упростить выражение и найти его числовое значение с точностью до 0,01: 9аЗ-16 дЗ-ба + Э ««.„г. 1) ———;———-— при а = 0,0478; (3а + 4)(а-3)^ За3-4а3 4&з_2й+ 1 8*3+1 2) ——-— :———:— при 6 = 0,1385. (2*+1)*з 4b-‘ + 4b^+b Дана функция у=х^. Найти с точностью до 0,01 значения функции при X =-1,11; -3,111; 1,21; 2,31. 79 Последовательное выполнение операций на микрокалькуляторе Задача 1 Ответ Задача 2 Ответ Задача 3 Ответ Задача 4 Ответ Вычислить высоту, на которую поднимается камень, брошенный вертикально вверх со скоростью V, используя формулу ^
^ и * 25 м/с, ^ = 9,8 м/с^ ► Вычисления можно провести по программе 25 25 2 I -i- ] 9,8 31,887755. Л = 32 м. Отметим, что при нажатии очередной клавиши операции на табло высвечивается результат всех предыдущих вычислений. Определить сопротивление участка электрической цепи, состоящей из двух последовательно соединенных сопротивлений, если величина первого из них Д, = 5,15 0м, а на втором падение напряжения и = 12,5 В происходит при силе тока I
2,1 А. ► Сопротивление R на данном участке цепи можно найти по формуле R = j + R^. Получаем 12,5 [ + ] 2,1 [ +] 5,15 [=] 11,102381. Д = 11 Ом. О и 6^ = 36. Приведем другие примеры: V0=0, .Д| = |. V^ = 0,7. В случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом квадратном корне, говорят: «Корень квадратный». Дейслгвие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратный корень можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа -4, так как нет такого числа, квадрат которого равен -4. 86 Итак, выражение -Ja имеет смысл только при а> О. Определение квадратного корня можно кратко записать так: > О, (yfa )^ = а. Равенство (^fa)^ = а справедливо при а>0. Задача 3 Вычислить 5-\/32 ■ 2 — Зл/2 • 8. ► 5л/32-2 -Зл/^ = 5л/б4-Зл/Тб =5-8-3-4 = 28. /бдг-2 при х = 1, х = ^, х = 3. Л 313 При каких значениях а имеет смысл выражение: 1) л/^; 2) >/-а; 3) V2 — а; 4) л/З-на? 314 Решить уравнение: 1) л/1 = 2; 2) 4х = 10. 315 Сравнить числа: 2) V0.04h V0.09. 87 L Действительные числа ‘ 1. Рациональные числа. Появление новых чисел в математике связано с необходимостью выполнения тех или иных действий. При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа. Однако при вычитании двух натуральных чисел не всегда получается натуральное число. Например, разность 2-5 не является натуральным числом. Чтобы вычитание было всегда выполнимо, были введены отрицательные числа и число 0. Множество натуральных чисел расширилось до множества целых чисел: . -3, -2, -1, о, 1, 2, 3. При сложении, умножении, вычитании целых чисел всегда получаются целые числа. Однако при делении двух целых чисел не всегда получается целое число. Например, частное 2:5— нецелое число. Чтобы деление было всегда выполнимо, были введены рациональные числа, т. е. числа т вида —, где т — целое число, п — натуральное п число. Множество целых чисел расширилось до множества рациональных чисел. При выполнении четырех арифметических действий (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получаются рациональные числа. Рациональное число можно записать в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной. Напри- 2 3 мер, числа — и — можно записать в виде конечных 5 4 О О 1 S десятичных дробей: — = 0,4; — = 0,75. Числа -i- и 5 4 3 11 после деления «уголком» можно записать в виде бесконечных десятичных дробей: 1 = 0,333. ; -^ = 0,454545. 3 11 88 в записи бесконечной десятичной дроби 0,333. повторяется цифра 3. Цифру 3 называют периодом этой дроби; саму дробь называют периодической с периодом 3, записывают в виде 0,(3) и читают: «Нуль целых и три в периоде». В записи дроби 0,454545. повторяется группа из двух цифр: 45; эту дробь называют периодической с периодом 45 и записывают в виде 0,(45). Приведем еще примеры бесконечных периодических дробей: = -0,2333. = -0,2(3); 30 27 = 27,0393939. = 27,0(39). 330 Любое рациональное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот, любую бесконечную периодическую или конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби, т. е. в виде —, где т — целое, п — натуральное число. п 27 Задача 1 Представить число — в виде бесконечной десятичной дроби. ► Воспользуемся алгоритмом деления «уголком»: 27 _50 11 60 _50 11 60
Ъ 11 2,4545. Ответ Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 45. Следовательно, |1 = 2,4545. = 2,(45). 2,(45). п’ -!• -4318 Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: 1) 0,(6); 2) 0,(7); 3) 4,1(25); 4) 2,3(81). 319 Сравнить числа: 1) 0,35 и 0,(35); 2) 1,03 и 1,0(3); 3) 2,41 и 2,4(1); 4) 3,7(2) и 3,72. 320 Даны числа: -8; -0,3; —; 12; 0; ,Д; 1, Выпи- 2 V 9 сать те из них, которые являются: натуральными; целыми; рациональными. 321 (Устно.) Какие из указанных чисел являются иррациональными: -2; 1; 0; ЛТ; Лб; -1,7; Vl7; 1/^? 5 322 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,001: 1) л/8; 2) ЛЗ; 3) 4) Л-3; 5) 6) ^0,05. 323 Площадь квадрата равна 12 м^. Найти длину его стороны с точностью до 1 см. 92 КАКИЕ ЦИФРЫ ЗАШИФРОВАНЫ БУКВАМИ В ПРИВЕДЕННОЙ ЗАПИСИ СЛОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ: СМЕХ ГРОМ ГРЕМИ 324 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1: 1) V^ + л/И-л/^; 2) + 3) -у/б87 + л/123; 5) yjyj35604 7) , V/55 —/28 4) Vsoi- 6) VV6023 +V5785; 871 8) ^13^ +18^ 325 Вычислить с точностью до 0,1 на микрокалькуляторе: и 39 , 44 . Л’ТГ ои Тз’Тз’ 3) 7132^ + 1532 . 5) 7332 + 132-232 ; 7) 4) 71392-652 ; 6) 7572-372+ 162 . 7282- 172 . 326 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 2) ^7з + 72 -1; 1) -^/5+73 + 72 ; 3) 77з + 475; 4) 7б75-71з. 93 Квадратный корень из степени Вычислим значение выражения при а=3 и а = -3. По определению квадратного корня = 3. При а = -3 находим = л/з^ = 3. Так как число 3 является противоположным числу -3, то можно записать: V(-3)» =-(-3) или V(-3)== =|-3|. Теорема 1. Для любого числа а справедливо равенство л/о^ = I а I ■ • Рассмотрим два случая: а > О и а о, то по определению арифметического корня л/а^ =а. 2) Если а О и поэтому •Ja^ = -^(-0)2 = -а. Таким образом, _ Ыу если а > О, [-а, если а О, то а® > О и поэтому |а®| = а®. Если а Ь>0,то -Ja > -Jb. # В самом деле, если допустить, что Va ^-Jb, то, возведя обе части неравенства в квадрат, получим а Ь. О Например, >/256 > >/225, так как 256 > 225; 3 /8 — 3)^ . ► Используя тождество у[а^ =|а|. получаем: 7(78-3)2 =|,/8-3|. Так как 8 /8 /8- 3 /8-3|=-(>/8 -3) = 3-78. Ответ 3—Т8. 0, т. е. при х> 7. Ответ х>7. /з. ► Заметим, что 7 — 47з = 4 — 47з-(-3 = (2 — >/3)2. Поэтому 77-47з =7(2-73)2 =|2->/з| = 2->/з, так как 2 = >/4, >Д > -Тз. /(-5)2 = 5; 3) yl(-5f =-5; 4) V(-5)2 = |-5|? 328 Найти значение выражения >/х^ при: 1) х=1; 2) х = 2; 3) х = 0; 4) х = -2. 329 Вычислить: 1) л/з«’; 2) 3) >/б^; 4) Vll’; 5) V( -3)^ ; 6) >/(-5)’* 330 Упростить: 1) %/л^; 2) 3) , а > 0; 4) >/fte’. 331 Найти значение выражения ^-2х + 1 при: 1) л: = 5; 3) л: = 0: 332 Сравнить числа: 1) 4 и л/15; 3) V3.26 и 1,8; 333 Показать, что: 1) 4 <>/17 /7; 4) >/18,49 и 4,3. 2) 3 /Г0 /^ /^ 3) >/0,9; 335 Упростить: 2) >/1б0; 4) >/^. 2) V(>/5-2)2 ; 4) 7(Л5-4)2 1) V(4-V^; 3) д/(^3-2)2 ; 336 Упростить выражение: 1) 5)^ , если X 5> 5; 2) >/(а + 3)2 , если а /l+4ft + 4fe2 , если k > -0,5; 4) — баЬ + 96^ , если а у, 2) X + у + Мх — уг = i „ ^ » ’ » [2J/, если х /16-25 = ViOO= 20; >/l6 • >/25 = 4■ 5 = 20. О, 5 > О, то Jab = >/Х ■ >/ь, т. е. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. • Для того чтобы доказать, что Ja • Jb есть арифметический квадратный корень из аЬ, надо доказать, что: 1) Ja-Jb7>0-, 2) (Ja-Jb)^ = ab. По определению квадратного корня Ja >0, Jb >0, поэтому Ja • -Jb > 0. По свойству степени произведения и определению квадратного корня (Ja • Jb)^ = (Jaf (Jbf = аЬ. 4 Алимов, 8 кл. 97 Например, л/2304 = V36 • 64 = л/36 • V64 = 6 ■ 8 = 48. По доказанной теореме при умножении корней можно перемножить noAKopenjibie выражения и из результата извлечь корень: -Ja • -Jb = J
ab. Например, >/3 • 4l2 = >/3- 12 = = 6. Отметим, что теорема справедлива для любого числа неотрицательных множителей. Например: ^jabc = ^1а • 4ь • 4с, если а>0, 6>0, с>0. Задача 2 Вычислить v54’24. ► .^/54 ■ 24 = 79 ■ 6 • 6 ■ 4 = .^9 ■ 36 • 4 = -/э • = = 3-6-2 = 36. 0иЬ>0, то по теореме о корне из произведения можно записать: 4а^Ь = 4а^ •4b=a-Jb. Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Задача 3 Упростить выражение 2-J27 +>/l2. Р- 2л/^ +Л2 =2^^ + л/4’-1 = 6^3 + 2л/з=8л/3. В некоторых случаях полезно вносить множители под знак корня, т. е. выполнять преобразование вида а4ь = -Ja^b, где а > О, Ь>0. Задача 4 Упростить выражение где а > О, Ь>0. ► Внося положительные множители а к Ь под знак корня, получаем: = 2yjab-24оЬ = 4аЬ. /4356; 4) Vl764. Вычислить (343—346). 343 1) у/2-у/32; 2) 710-V90; 3) V3-V7-V21; 4) 72-7^—/П; 344 1) 7113^-1122 . 2) 7822-182 ; 3) 7652 _ 032 . 4) 73132-3122 . 345 1) 75^-32 . 2) 77^ ■2«; 3) 7(-5)«-(0,1)2; 4)7122.34 346 1) (78+л/2)2; 2) (77-7^)2; 3) (>/7 + >/б)(>/7-Уб); 4) (5>/2 +2>/5)(5>/2 -2>/5). Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа) (347—348). 347 1) yfl6x\ 348 1) 7^; 2) 3) 4) >/За^ 2) ; 349 Упростить выражение: 1) Зл/^-л/5; 3) 2>/^->/l2; 5) 5л/8-l-|V2-2>/l8; 3) >/7m8; 4)-у/50а®. 2) ^yflS+2-j2; О 4) 2>/^-2л/45-ь—Лб; 4 6) 3V48—/^-ь|Л47. 350 Внести множитель под знак корня: 1) 2л/2; 2) 3>/3; 3) 2,Д-(-|>/28: 4) 10>/^ 03. 351 Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа): 1) aVa; 2) а>/2; 3) а.1
; 4) 4->/з V а 99 5 X 352 Сравнить: 1) 2л/з и 3>/2; 3) 4>/8 и 2л/18; 353 Упростить: 2) 2л/40 и 4л/10: 4) 2^45 и 47^. 1) ^>0: 2) 354 Вычислить: 1) (75-745)2-(7Гз + 7Т1)(7п-7Тз); 2) (7П-77×77+ 7ii)-(7i2-7з)2. 355 Упростить выражение: 1) |7Т^ + з72+27^: 2) 3745-71^ + 780; 3) -i727+^7Ш + 573; 4) 278 +0,б7з2 —^718. 3 5 3 356 Упростить выражение (буквами обозначены положительные числа): 1) -^79х® +i74x® — хуГх + ; 2) з70,04а®Ь* -2^0,25а^Ь^ +4bJ^a4^. 357 Разложить на множители по образцу (а > 0, 6 > 0) 9-а = (3-7а)(3 + 7а): 1) 25-а; 2) 6-16; 3) 0,01-а; 4) 6—^. 49 358 Сократить дробь (а > 0, 6 > 0): 25-а а) 1—9 I— 9 **/ I 9 ^ > I— • 5+vfl 4 + \ Ь vfl+0,7 0,9+v^* 359 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1: 1) 7^’7Й; 2) ТТ^-ТбЗ; 3) ТТз-717^71^ 4) 7^-7i8-7^j 5) 7з-75-78-7ТЗ; 6) 72 •7з-Т5-77. 360 Доказать равенство ^2а + 2yja^ — Ь = -\Ja + -Jb + у]а- y/b , если а> yjb, Ь>0. 361 Построить график функции: I) у = у[х^; 2) y = ^(x-lf . 6-16 0,49 — а . 4) 0,81-6 100 Квадратный корень из дроби Задача 1 Показать, что = \36 . 2 5 4^ _ь 6’ 6′ Теорема. Если а > О, 6 > 0, то Уь ■ т. е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. • Требуется доказать, что: 1) ^>0: Л Так как Л > 0 и 4ь >0,то ^ > 0. Л По свойству возведения дроби в степень и определению квадратного корня получаем: ( ч/а ^ _(Л)^ _ а Wb J
ь‘ Например, = V 225 15 По доказанной теореме при делении корней можно разделить подкоренные выражения и из результата извлечь корень: 4 а _ Га Л Уь- Например, = 4^ = 6. 42 V 2 В некоторых задачах полезно избавиться от иррациональных выражений в знаменателе дроби. 101 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Пусть дано выражение -г=, где Ь>0. Умножая числитель и знаменатель дроби на -Jb, получаем а _ а ■ у[ь _ а • л/ь •/ь V У^. 2 (1) 1 1 кг (у кг) Рис. 30 Требуется доказать, что ^-У^>о. 2 Преобразуя левую часть этого нергшенства, получаем: 2 2 2 Заметим, что в соотношении (1) знак равенства имеет место только при а=Ь. Продавец взвешивает яблоки на рычажных весах. Покупатель купил 1 кг яблок, а затем купил еще 1 кг, попросив продавца поменять местами при втором взвешивании гирю и яблоки. Кто понес убытки, если весы не отрегулированы? ► Пусть плечи весов равны а и Ь (рис. 30). При первом взвешивании покупатель приобрел х килограммов яблок. Из курса физики известно, что (1кг) х-Ь = 1-а, откуда х = ^. При втором О Ь 102 а Ответ взвешивании покупатель приобрел у килограммов яблок. Из условия равновесия уа = 1’Ь находим у = — . Итак, было куплено —+ — килограммов а Ь а яблок. Используя неравенство для среднего арифа Ь метического и геометрического чисел — и —, полу- Ь а « + А чаем Ь о ^ I а Ь а Ь ^ п ——> ./- • -, откуда — + — > 2. 2 \ о а’
■’”6 а Убыток понес продавец. 0; 370 Упростить выражение: 1) (х-3) 121х* 2^ . , ‘ V 64 ’ 4) .1^, где а 3; б) х 2; 2) а ^ — 1) ’ Лб’ Лб 3) Л4-л? . ’’ ■ . . Лз • V45 ’ 6) -Ч’ а Ь 2, 376 Построить график функции: 1) у =-2х + I; 2) у = — бд: -ь 9. 104 Упражнения к главе III 377 Вычислить: • , >2 I ,2 1) (>/3)2; 2) (V04)’; 3) I I ; 4) 378 Что больше: 1) Л7 ИЛИ V82; 3) 3 или л/Ю; Вычислить (379—382). 2) ^/0^2 или д/0,3; 4) 5 или л/Й? 3) (6л/45-Зл/20+9л/80):(3>/5); 4) (7V8-14Vl8+0,7>/l2):(7V2); 5) 5 6 6) ^ i+Ve з + «Уб 6 4 V2—/3 -/2 +Уз’ 384 Сократить дробь: 1)^^; 2)^^-^^ 379 1) У21-6-7-8; 2) У72-6-45-15; 3) У225-0,16-400; 4) УЭОО • 25 ■ 1,69. 380 1) л/7-УбЗ; 2) У8-У98; 3) У75-У3; 4) У10-У40 381 4У^. ЗУ8 ’ 04 2УбЗ. ^ У28 ’ Q4 2У45. г— » У80 4У^ ^ 9У44′ 382 1) У^: 4) Убб’; 2) У^; 5) V(-3)®: 3) У^^’; 6) V(-7)’ • 383 Упростить: 1) зУ^ + У^ + У45-У6З; 4) а-У7 ; 4-Уа + Уь Ь-16а ’ 5) x^j3 У15-5 . Уб — УТо ’ 3) 6) 5х-бУз . 3-х2 ’ 9-2У3 зУб-2У2 105 Проверь себя! 1 Сравнить: 7 и л/48; 2>/з и 3^2. 2 Вычислить: >/81-49; >/0,3-120; ^5^; ^2^; ^(-17)^ ; . 3 Упростить выражение: Зл/8 + >/2-Зл/18; (л/5->/2)2; (2 — >/3)(2 + >/3). 4 Вынести множитель из-под знака корня: -УЗа® , а>0. 5 Сократить дробь: _ — 3 ^ у[х + у[у х-у 6 Исключить иррациональность из знаменателя: -р=; л/7’ 2+Vi’ 385 Решить уравнение: 1) л/д:-1=4; 2) >/jc + 9 =5; 4) У2х-7 = 1. 3) V2(x-1)=2; 386 При каких значениях х справедливо равенство: 1) IX-21 = X — 2; 2) |3- х|= х-3; 3) yj) 2b Vb + 2 2-Vb 4-b^ 390 Сумма двух чисел равна Jl4, а их разность VlO. Доказать, что произведение этих чисел равно 1. 106 391 Упростить: , где д:>0, у>0; , f Я ■ 5 i/f 392 393 394 Исключить иррациональность из знаменателя: -j \ _1__, о\ ____2__^ о\ , дч 5
4Уз Уз-Уг’ ^ УП-Уз’ Ут-Уб’ ’ бУз-э’ Доказать, что если а > О, 6 > О, то а — -Jab +Ь> -Jab. Вычислить на микрокалькуляторе приближенное значение корня с точностью до 0,01: 1) У43; 2) У2,13; 3) У3,148; 4) У 13,69. 395 На микрокалькуляторе вычислить с точностью до 0,001 значение выражения Ja + — — 2 при: 1) а = 1,1; 2) 0 = 1,19; 3) о =0,81; 4) о = 0,9. 396 Вычислить значение выражения -J3x^
■ ► Здесь Ь = 2т. По общей фор14уле корней квадратного уравнения (2) получаем: •*^1. 2
-2т ± ■^4т^ — 4ас 2а -т ± Решить уравнение Зх^ — 4д: If 1 = 0. ► Здесь 6 = -4 = 2 (-2), т. е. т = -2. По формуле (3) находим: 2 ± л/4 — 3 2 ± 1 (3) -2т ± 2-Jm^ — ас 2а , откуда д:, = 1, Х2 = — JC. = 1, Х2 = Упражнения 0, О следовательно, Х2 х + Х1Х2 = = Х^ — Х,Х — Х2Х -I- Х,Х2 = Х(Х — X,) — Х2 (Х — Xj) = = (Х-Х,)(Х-Х2). Таким образом, если числа р, q, Xj и Х2 связаны соотношениями (4), то при всех х выполняется равенство х^-ь рх-н g = (х — Xj)(x — Х2), из которого следует, что х, и Х2 — корни уравнения х^’ + px + q= 0. О 123 с помощью теоремы, обратной теореме Виета, иногда можно подбором най1ги корни квадратного уравнения. | Задача 5 Подбором найти корни уравнения х^-5х + 6=0. ► Здесь р = -5, 9=6. Подберем два числа х^ и Хз так, чтобы Xj + Хз = 5, Xj Хз = 6. Заметив, что 6 = 2 • 3, а 2 3 = 5, по теореме, обрат- ной теореме Виета, получаем, что х, = 2, Хз = 3 — корни уравнения х^ — 5х -и 6 = 0. Задача 6 Упростить дробь ■J х+ 3 Разложим числитель дроби на множители: х^ — X — 12 = х^ — 4х -ь Зх — 12 = = х(х — 4) -t- 3(х — 4) = (х — 4)(х -I- 3). Следовательно, || х^ — X — 12 (х-4)(х+ 3) = х- 4. X + 3 X + 3 Многочлен ах^ + Ьх + с, где а^О, называют квадратным трехчленом. При решении задачи 5 квадратный трехчлен х^ — х — 12 был разложен на множители способом группировки. Его можно было также разложить на множ)^тели, используя следующую теорему: Теорема. Если Xj и Х3 — корни квадратного уравнения ах^ -t- Ьх н- с = 0, то при вс зх х справедливо равенство ах^ и- Ьх + с = а(х — X, К* — Хз). (5) Преобразуем выражение, стоящее в правой части равенства (5): I а(х — Х])(х — Х3) = ах^ — ох — х, — ах — Х3 -ь ох,Хз = = ох^-о(х,-н Хз)х-ЮХ,Хз. (6) Так как Xj и Х3 — корни уравнения ох^ н- 6х -ь с = 0, т. е. уравнения х^ н- — х -I- — = 0, то по теореме Виета а а ^ Ь X, -t- Хз = — — , Х,Хз = -. откуда o(Xj и-Хз) =-Ь, 0x^X3 = с. Подставляя эти выражения в равенство (6) получаем формулу (5). 124 „ „ 2х^ + 5х-3 Задача 7 Упростить выражение —————. х^-х-12 ► Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. 1) Уравнение +5л:-3 = 0 имеет корни = I. ^2 = -3. По доказанной теореме 2х^ + 5х-3=2 1 X — 2 (л:-ьЗ) = (2л:- 1)(л:-1-3). 2) Уравнение л:^-л:-12 = 0 имеет корни JCj = -3, Х2 = 4. По доказанной теореме х^-х-12=(х + 3)(х-4). Таким образом, 2х^ + 5л-3_(2х-1)(х + 3)^2х-1 х^-х-12 (х-ьЗ)(х-4) х-4 450 451 Упражнения Решить приведенное квадратное уравнение: 1) х^ + 4х-5 = 0; 2) х2-6х-7 = 0; 3) х2-8х-9 = 0; 5) -н X — 6 = 0; 4) х2-н6х-40=0; 6) х^-х-2=0. 2) х2-5х-6=0; 4) х^ + Зх-4 = 0; 6) х^-(-9х-6 = 0. 452 453 454 455 456 (Устно.) Найти сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения, имеющего корни: 1) х2-х-2=0; 3) х2-нЗх + 2=0 5) х^-7х + 5 = 0; (Устно.) Один из корней уравнения х^ — 19х н-18 =0 равен 1. Найти его второй корень. (Устно.) Один из корней уравнения 28х^-I-23х — 5 = 0 равен -1. Найти его второй корень. (Устно.) Не решая уравнения, имеющего корни, определить знаки его корней: 1) х2-|-4х-5 = 0; 2) х^ + 5х + 3 = 0; 3) х^-5х-(-3 = 0; 4) х^-8х-7 = 0. Записать приведенное квадратное уравнение, имеющее корни X, и Х2′. 1) X, = 3, Х2 = -1; 2) х, = 2, Х2 = 3; 3) X, = -4, Х2 = -5; 4) Xj = -3, Х2 = 6. Подбором найти корни уравнения: 1) х^ -ь 5х и- 6 = 0; 4) х^ + 8х + 7 = 0; 2) х2-7х-н12 = 0; 3) х2-6х-н5 = 0; 5) х2-8х-н15 = 0; 6) х^-и2х- 15 = 0. 125 457 Квадратный трехчлен разложить на 458 462 1) х^-5х + 6; 3) х^ + 5х-24; 5) 2х^-х-1; 7) -6х^ + 7х-2-, Сократить дробь: 2) х^ + 4х 4) х^ + х-^42; 6) 8×2 + 10x + 3; 8) -4л:2-!7дг + 2. множители: -5; 1) х2 + X — 2 2) х2 + 4х-12 3) х+ 3 . « X- 1 х-2 ’ х2-6х-27’ 4) х-8 . 5) 2×2- Зх-2 6) 3×2 + 8х- 3 X* — X — 56 ’ 4×2-1 * 9×2-1 ‘ 459 Решить приведенное квадратное ура|внение: 460 461 1) д;2-2л/Зл:-1 = 0; 3) дг2 + /2х-4 = 0; Разложить на множители: 1) х^-3х^ + 2х; 3) х^ + 5х^-24х; Сократить дробь: _ х^ + 6х-7 3) х‘ — 7х + 6 х^-8х+15 + 5дг-6 ‘ Упростить: 1) 1 I х^-7х+ 12 7 3) X- 3 5 5х^+ Зх-2 5х-2 2) х2-4) х^ — 2) х® + 4) X®- 2) 4) 2) 4) 2л/5х+1 = 0; 4л/7х + 4 = 0. 4х^ — 21х; 9х2-22х. х2- 8х-9 х2 + 9х+ 8’ 36 + 5х — х2 Х2^ — х-20 3 х2 + 6х+ 9 5 х+1 х2 + 9х — 10 1 х+ 3 5х^ + X х^ — 2х + 463 464 465 466 467 Пусть уравнение x^ + px + q=0 имеет два действительных корня Xj и Хз- Записать приведенное квадратное уравнение, имеющее корни -Xj и -Хз- Корни Xj и Хз квадратного уравнения х^ + 6х + д = 0 удовлетворяют условию Хз = 2хр Найти q, Xj, Х3. Корни Xj и Х3 квадратного уравнения х^ + рх 4- 3 = 0 удовлетворяют условию Хз = 3хр Найти р, Xj, Х3. Не вычисляя корней х, и Х3 уравнения Зх^ — 8х-15 = 0, найти: 1) —+ —; 2) х? + х|; 3) 4) xf-Hx^. Xi Хз 12 Хз X, 12 С помощью микрокалькулятора найти корни уравнения; по теореме Виета выяснить, являются найденные значения точными или приближенными значениями корней уравнения: 1) х2-н2х-1 = 0; 2) х2-: 3) х2 +1,8х-28,35 = 0; 4) х2 — ; 126 2х-2=0; 39х-1026=0. Уравнения, сводящиеся к квадратным Задача 1 Ответ Решить уравнение — 7л:^ + 12 = 0. ► Обозначим x^ = t, тогда уравнение примет вид: f2-7f+ 12=0. Решая это квадратное уравнение, получаем: tj = 4, t2 = 3. Так как t = x^, то решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений: х^ = 4, х^ = 3, откуда ^1.2 = ±2, Хз_4 = ±л/3. ‘’1.2 ‘ = ±2, дгз 4 = ±V3. 0, то дг=12. Следовательно, первая машинистка затрачивает на работу 12 ч, вторая 12 ч + 3 ч = 15 ч. 12 ч и 15 ч. Запишем первое уравнение (дг-1/)(д: + Подставляя сюда значенле х-у = 2 из второго уравнения системы, получаем x+y = S. Итак, \х: +у \х-У Решая эту систему способ’ х = 5, у = 3. (5; 3). 0; 3) не имеет действительных корнН На множестве комплексных чисе^ всегда имеет корень. 142 3) 6) 3 -4i (l + i)(2-i) 3 2 — 3i 2 + 3i + 5i; 1 + 1 4) 1 + i l-i гишее квадратное урав- — неизвестное, исел это урав- = 0; _ РНЯ 2,_2 = ±л/П, й, если а /3i, 22 = -л/31. 2j 2 = ±V3i. / 36 4 ± 6/ = 2±3i. /3; -1; -0,2; 0; 1; л/з являются нулями квадратичной функции: 1) у=х^ + 2х-, 2) у=х^ + х; 3) у=х^-3; 4) у = Ъх^-Ах-\. Найти нули квадратичной функции: 1) у = х^-х‘, 3) г/ = 12х^-17х-1-6; 5) y-3x^-5x + S; 7) у = 8х^ + 8х + 2-, 9) у = 2х^ -н X — 1; 2) 1/=х2 + 3; 4) у=-6х^ + 7х-2; 6) у = 2х^ -7х + 9; 8) у = 1х^-х + 1; 583 10) у = Зх^ + Ъх-2. Найти коэффициенты р и q квадратичной функции у= х^ + px + q, если известны нули х, и Хз этой функции: 1) Xj = 2, Х2 = 3; 2) х, = -4, Хг = 1; 3) Xi = -1, Х2 = -2; 4) X, = 5, Х2 = -3. 153 584 Найти значения х, при которых функции у=х^ + 2х-3 и у = 2х + 1 принимают равные значения. 585 Найти координаты точек пересечения графиков функций: 1) у = 4:Х^ + ^х + \ и у = 2х+\\ 2) у=х^-Зх + \Ъ и 1/ = |х-2; 3) у=х^-3^х + 4 и у=:/1х-1; 4) y = ^f3x^ + 3x и у = ^х+1. : Функция Рассмотрим функцию у=х^, т. е. квадратичную функцию у — ах^ + Ьх + с при а = 1,6 = с = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу некоторых ее значений: X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у=х^ 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Построив указанные в таблице точки и соединив их плавной кривой, получим график функции у=х^ (рис. 32). Кривая, являющаяся графиком функции г/= д:^, называется параболой. Рассмотрим свойства функции у=х^. 1) Значение функции у=х^ положительно при х^О VI равно нулю при д: = 0. Следовательно, парабола у= х^ проходит через начало координат, а остальные точки параболы лежат выше оси абсцисс. Говорят, что парабола у=х^ касается оси абсцисс в точке (О; О). 2) График функции у=х^ симметричен относительно оси ординат, так как (-х)^ = х^. Например, 1/(-3) = у(3) = 9 (рис. 32). Таким образом, ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с ее осью симметрии называют 154 Задача вершиной параболы. Для параболы у = х^ вершиной является начало координат. 3) При х>0 большему значению х соответствует большее значение у. Например, 1/(3) > 1/(2). Говорят, что функция у = х^ возрастает на промежутке х>0 (рис. 31). При л: 3; 4) на отрезке [-3; 4]? На одной координатной плоскости построить параболу у = х^ и прямую у = 3. При каких значениях х точки параболы лежат выше прямой? ниже прямой? При каких X значения функции у=х^: 1) больше 9; 2) не больше 25; 3) не меньше 16; 4) меньше 36? 156 и функция у = ах ^ Задача 1 Построить график функции у = 2х^. ► Составим таблицу значений функции у = 2х^: X -3 -2 -1 0 1 2 3 у = 2х^ 18 8 2 0 2 8 18 Построим найденные точки и проведем через них плавную кривую. О ветви параболы направлены вверх, а при а О, то функция у = ах^ принимает положительные значения при х ^ 0; если а 0, то функция у = ах^ возрастает при х>0 и убывает при х 0 и возрастает при х 8. ► Построим графики данных функций (рис. 39). Для того чтобы решить неравенство 2х^ >8, нужно найти те зна-. чения X, при которых точки парабо- : лы у = 2х^ лежат выше прямой у = 8. у = ах: а > о Рис. 38 159 Из рисунка 39 видно, что неравенство 2х^>8 верно при х 2. 0. Найти коэффициент а, если парабола у = ах^ проходит через точку: 1) А(-1; 1); 2)В(2;1); 3)С(1;1); 4)П(3;-1). С помощью графика функции у=-2х^ решить неравенство: 1)-2х2 -18; 3)-2д:2 -32. При каких X значения функции у = 3х^: 1) больше 12; 2) не больше 27; 3) не меньше 3; 4) меньше 75? Найти координаты точек пересечения графиков функций: 1) у = 2х^ и у = Зх + 2; 2) У = -^х^ иу = ^х-3. Найти значение а, при котором одна из точек пересечения параболы у = ах^ и прямой у = 5х-2 имеет абсциссу х = 2. 160 603 Найти значение k, при котором парабола у = -5х^ и прямая у= kx + 6 пересекаются в точке с абсциссой х = 2. Имеются ли другие точки пересечения графиков? 604 Является ли убывающей на промежутке лс О, влево на I Хд I, если Хд 0, вниз на |i/ol. если Уд * — 4 ас 2а , 4а т. е. в виде у = а(х-Хд)^-\-уд, Ь , , Ь^-4ас где Хд = — — ,уд = у <Хд) =-----. Za 4а Таким образом, графиком функции y = ax^ + bx-i-c является парабола, получаемая сдвигом параболы у = ах^ вдоль координатных осей. Равенство у = ах^-<■ Ьх-i-с называют уравнением параболы. Координаты (Хд; Уд) вершины параболы у = ах^ -ь + Ьх -(- с можно найти по формулам ь 2а ’ Уо = У(^оУ= 0-х'о+ЬХд-\- С. Ось симметрии параболы у = ах^Ьхс — прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы. Ветви параболы у = ах^ -t- йх -(- с направлены вверх, если а >о, и направлены вниз, если а 3, равны нулю при х =-2 и х = 3. 3) Функция возрастает на промежутке убы- вает на промежутке ^ ^ • 4) При ^ = ^ функция принимает наибольшее зна- с 1 чение, равное 6-. 5) График функции симметричен относительно прямой х = ^ Отметим, что функция у = ах^ + Ьх + с принимает наименьшее или наибольшее значение в точке Хо = — —, которая является абсциссой вершины 2а параболы. Значение функции в точке Xq можно найти по формуле Уо= у(Хо). Если а >0, то функция имеет наименьшее значение, а если а 36. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат: 1) у = х^ + х-\2\ 2) у = -х^ + Зх + \0\ 3) у=-Зх’^-2х + 1-, 4) у = 7х^ + 4х-\\-, 5) у = Ъх^+х-\\ 6) у = 5х^ + Зх-2; 7) у = 4х’^-Пх + 6; 8) у = Зх^ + 13х-10. Найти координаты вершины параболы: 1) у = х^-4х-5; 2) у = -х^-2х + 3; 3) у=х^-6х+10; 5) у = -2х(х + 2); 4) у = х^ + х + ^; 6) 1/ = (д:-2)(х + 3). Построить график функции и по графику выяснить ее свойства: 1) у = х^-5х + 6; 2) у = х^ + \0х + 30\ 3) у = -х^-6х-8; 4) у = 2х^-5х + 2; 5) у=-3х^-3х + и 6) у = -2х^-3х-3. Не строя график функции, найти ее наибольшее или наименьшее значение: 1) у = х^ + 2х + 3; 2) у = -х^ + 2х + 3; 3) у = -3х^ + 7х; 4) у = Зх^ + 4х + 5. Периметр прямоугольника 600 м. Какими должны быть его высота и основание, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей? 171 Проверь себя! Построить график функции у=х^-&х + Ь и найти ее наименьшее значение. С помощью графика функции y = -x^ + 2x + Z найти значения X, при которых значение функции равно 3. По графику функции у=\-х^ найти значения х, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения. На каких промежутках функция у = 2х^ возрастает? убывает? Построить график этой функции. Найти координаты вершины параболы у = (х-3)^ и построить ее график. 642 643 644 645 646 647 648 Прямоугольник разбит на 3 части двумя отрезками, концы которых лежат на противоположных сторонах прямоугольника, и параллельными одной из его сторон. Сумма периметра прямоугольника и длин отрезков равна 1600 м. Найти стороны прямоугольника, если его площадь наибольшая. Найти коэффициенты рад квадратичной функции у = х^ + + рх + д, если эта функция: 1) при X = о принимает значение 2, а при х=1 — значение 3; 2) при л: = 0 принимает значение 0, а при х = 2 — значение 6. Найти р тл д, если парабола у= х^ + рх + д: 1) пересекает ось абсцисс в точках х = 2 и х = 3‘, 2) пересекает ось абсцисс в точке х = 1 и ось ординат в точке 12, откуда + 5д: -t- 6 > 12, или -I- 5д: — 6 > 0. Разложим левую часть этого неравенства на множители: (д:-н6)(д:-1)>0. Так как по условию задачи д:>0,то Jc-t-6>0. Поделив обе части неравенства на положительное число д: -и 6, получим д; — 1 > 0, т. е. д; > 1. Ответ Каждую сторону прямоугольника увеличили боль- ше чем на 1 дм. О В неравенстве д;^ -и 5д; — 6 > 0 буквой х обозначено неизвестное число. Это пример квадратного неравенства. Если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в правой — нуль, то такое неравенство называют квадратным. 173 Задача 2 Ответ Например, неравенства 2х2-Зл:+1>0, -Зх^ + 4х + 5 0. ► Квадратное уравнение л:^ — 5х + 6 = 0 имеет два различных корня л:, = 2, ^2 = 3. Следовательно, квадратный трехчлен л:^ — 5л: -ь 6 можно разложить на множители: л:2-5л:-1-6=(л:-2)(л:-3). Поэтому данное неравенство можно записать так: (х-2)(л:-3)>0. Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки. 1) Рассмотрим случай, когда оба множителя положительны, т. е. лс-2>0 и л:-3>0. Эти два неравенства образуют систему: |л:-2>0, \л:-3>0. Решая систему, получаем 1 ^ ^ откуда л: > 3. [ л: > о, 2) Рассмотрим теперь случай, когда оба множителя отрицательны, т. е. л’-2 0, а значит, и исходного неравенства — 5л: + 6 > о являются числа х 3. X 3. 0. Чтобы удобнее проводить вычисления, представим данное неравенство в виде квадратного неравенства с положительным первым коэффициентом. Для этого умножим обе его части на -1: Зх’^ + 5х-2 0. Первую систему можно записать так: X -2. откуда -2 О, являются все числа интервала f -2; -^ ]. -2 0; 2) л;2-Зл:-5 0: 4) 4л:-5 0. 650 Свести к квадратным следующие неравенства: 1) х^ х; Z) Зх^ 0; 2) -д:^-ь 3,5д: + 2 > 0; 3) д;2-д:-2 0; 2) (д:-11)(д:-3) 0. 653 1) д:2-4 0; 3) д:^-ь3лс 0. 654 1) д;2-Зд: + 2 0; 4) д^ 2д — 3 > 0; 5) 2х2-ьЗд:-2>0; 6) Зд2-ь2д-1>0. 655 Решить неравенство; 1) 2-f дг-ll >0; 2) 7-f * — д! ^0; V 3j 3) Зд;2 — 3 5. 656 Построить график функции: 1) у = 2х^\ 2) у = -(х + 1,5)^‘. 3) у = 2х^ — X + 2; 4) р = -3д2- д-2. По графику найти все значения х, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значения, равные нулю. 657 Известно, что числа х-у и дг2, где д:, являются нулями функции у = ах^ + Ьх + с. Доказать, что если число jCq заключено между д:, и дг2, т. е. jc, 0 являются все числа промежутков ^ лс>1; 3) решениями неравенства 2х^-х-1>0 являются все числа промежутков х 1. Решить неравенство 4х^ + 4х + 1>0. ► Построим эскиз графика функции у = 4х^ + 4х + 1. Ветви этой параболы направлены вверх. Уравнение 4х^ + 4д: + 1 = О имеет один корень х = — ^ 2’ поэтому парабола касается оси Ох в точке | ® j — График этой функции изображен на рисунке 50. Для решения данного неравенства нужно установить, при каких значениях х значения функции положительны. Таким образом, неравенству 4х:-ь 1 > 0 удовлетворяют те значения х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох. Из рисунка 50 видно, что такими являются все действительные числа X, кроме X = -0,5. xji-0,5. 0 являются все действительные числа; 2) неравенство 4х^ + 4х + КО имеет одно решение 3) неравенство 4х^-ь 4л:-I-1 0 и -х^ + х-1>0 не имеют решении. Итак, для решения квадратного неравенства с помощью графика нужно: 1) определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента квадратичной функции; 2) найти действительные корни соответствующего квадратного уравнения или установить, что их нет; 3) изобразить эскиз графика квадратичной функции, используя точки пересечения (или касания) с осью Ох, если они есть; 4) по графику определить промежутки, на которых функция принимает нужные значения. 659 660 661 662 Упражнения Построить график функции р = х^ -н х — 6. Определить по графику значения х, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения. Решить квадратное неравенство (660—664). 1) х2-Зх + 2 0; 3) 4х2-4х-ь1>0; 5) -9х^ — 6х — 1 0; 4) -х^-и Зх + 4 > 0. 2) Зх2-5х-2>0; 4) -4х2-нЗхн-К0. 2) х2-14х-1-49 0: 3) + д: + 2 > 0; 5) 2х2-Здг+7 0; 3) -2,1дг2 + 10,5х 0; 7) -|дг2 + 4,5х-4>0; (Устно.) Используя график функции у = ах^ + Ьх + с (рис. 52), указать, при каких значениях х эта функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значение, равное нулю. 2) 10 0. 2)
х^ + 7 0. 6) д) в) а) -1 г) У , У‘ ‘ \ 1 0 . / \ ‘х ‘ / / 1 1 t ‘ 0 2 *х 0 1 ‘х ж) Рис. 52 666 (Устно.) Решить неравенство: 1) д;2-1-10>0; З) (X- 1)2-ь 1>0; 5) -(д:+1)^-2 0; 2 7) 0,5×2-ь 8 0. V 4 ) 180 Решить неравенство (667—669). 667 1) -9>0; 2) 9×2 -25>0; 3) Зх + 2 >0; 4) Х2- Зх-4 0; 7) 1^’ -4х> -8; 8) 1×2 3 + 2х -36; 3) 9х^ + 25 8х; 5) 2х^ -х>0\ 6) 3×2 + х l решениями неравенства х^-2х + + q >0 являются все действительные значения х. Найти все значения г, при которых неравенство х^ —<2 + г)X + 4>0 выполняется при всех действительных значениях х. Найти все значения г, для которых при всех действительных значениях х выполняется неравенство (/-2- 1)х2 + 2(г- 1)х + 2 >0. Метод интервалов При решении неравенств часто применяется метод интервалов. Поясним этот метод на примерах. Задача 1 Выяснить, при каких значениях х квадратный трехчлен х^ -4х + 3 принимает положительные значения, а при каких — отрицательные. 181 ► Найдем корни уравнения -4х + 3 = 0: x^ = 1, Х2 = 3. Поэтому д:^-4х + 3 = (д:-1)(х-3). Точки х = \ и л: = 3 (рис. 53) разбивают числовую ось на три промежутка: х 3. Двигаясь вдоль числовой оси справа налево, видим, что на интервале х>3 трехчлен х^ -4х + 3 = = (л:-1)(д:-3) принимает положительные значения, так как в этом случае оба множителя л: -1 и л: — 3 положительны. На следующем интервале 1 3 значения трехчлена х^ -4х + 3 положительны, расставляем его знаки на остальных интервалах в порядке чередования (рис. 54). Из рисунка 54 видно, что х^ -4х + 3>0 при д: 3, а лс^-4д:-ь3 0 и х’^-4х-\-3 1. При X > 1 все множители произведения (x-i-l)x(x-l) положительны, и поэтому (х-(-1)х(х — 1) > 0 на интервале х>1. Учитывая смену знака произведения при переходе к соседнему интервалу, найдем для каждого интервала знак произведения (хн- 1)х(х- 1) (рис. 56). Таким образом, решениями неравенства являются все значения х из интервалов х 0. ^ Данное неравенство можно записать в виде (х-(-3)2(х-2)(х-3)>0. (1) Так как (х-ь3)^>0 при всех х;^-3, то при х;^-3 множества решений неравенства (1) и неравенства (х-2)(х-3)>0 (2) совпадают. Значение х = -3 не является решением неравенства (1), так как при х = -3 левая часть неравенства равна 0. -1 Рис. 55 -1 Рис. 56 183 -3 Рис. 57 -I-1—► 2 3 Рис. 58 Ответ Задача 4 Ответ Решая неравенство (2) методом интервалов (рис. 57), получаем х 3. Учитывая, что д: = -3 не является решением исходного неравенства, окончательно получаем: д: 3. 0. Зх-4 Разложив числитель и знаменатель дроби на мно жители, получим: (ДГ+ 3)(д:-1) 0. (3) (х+ 1)(д:-4) Отметим на числовой оси точки -3; -1; 1; 4, в которых числитель или знаменатель дроби обращается в нуль. Эти точки разбивают числовую прямую на пять интервалов (рис. 58). При х>А все множители числителя и знаменателя дроби положительны, и поэтому дробь положительна. При переходе от одного интервала к следующему дробь меняет знак, поэтому можно расставить знаки дроби так, как это показано на рисунке 58. Значения д: = -3 и дс = 1 удовлетворяют неравенству (3), а при д: = -1 и х = А дробь не имеет смысла. Таким образом, исходное неравенство имеет следующие решения: х 4. 0; 2) (х + 2)(х + 5)>0; 3) (х-7)(х-10)>0; 4) (х-I-1)(х-4) >0. Решить методом интервалов неравенство (675—682). 675 1) (х + 2)(х-7)>0; 2) (х-н5)(х-8) 0. 676 677 1) x2-i-5x>0; 4) x2 + 3x 0; 5) x2-i-x-12 0; 4) (x2-4)(x-5)>0. 3) 2×2-x 0. 184 1 4 678 1) 3) 5) 679 1) 5) 680 1) 3) 5) 681 1) 2) 3) 5) 682 1) 3) 5) (x-5f(x^-25)>0-, (x-3)0; т 0; 6) (ж + 2)(+ ж — 12) > 0. (ж2-7ж+12)(ж2-ж + 2) 0; 0; 4) 6) 2) 4) 6) ж*-4ж- 12 ж^^2 2-Зж-4 0. ж^ + Зж ж + 3 ж^ + 7ж+ 10 ж^^-4 ж^- 16 2ж* + 5ж- 12 >0; >0. Исследование квадратичной функции Напомним, что квадратичная функция — это функция, заданная формулой у = ах^ + Ьх + с, где а, Ь, с — заданные действительные числа, причем афО, X — действительная переменная. Эту функцию можно также задать следующей формулой: ,2 .J Ь I Ь^-Аас Ai у = а ‘ Ь \ ж + —————— 2а ) Аа (1) 185 Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке (jCq; у^), где Ь . . Ь^-4ас Уо = У^^о) =
— 4а (2) Выражение — Аас называют дискриминантом и обозначают буквой D, т. е. D=b‘^-4ac. (3) Поэтому формулы (1) и (2) можно записать так: У = а X + ■ 2а _D 4а ‘ Ь D ^^ = -Га’ ^<> = -Та’ (4) (5) Из формулы (4) видно, что знак квадратичной функции зависит от знаков чисел а и D. Теорема 1. Если D 0, -D >0, >0. Поэтому при 2а ) D 0, D о (рис. 59), ветви параболы направлены 4а вверх и вся парабола также лежит выше оси Ох. На рисунках 59—64 координаты вершины параболы XQ = m, Уо = 1. В случае а 0,D О и П = — 4р 0. Ответ о 0 при а>0 и у 0, Z)=0 вершина параболы лежит на оси Ох, ветви параболы направлены вверх и вся парабола, кроме ее вершины, лежит выше оси Ох (рис. 61). В случае а 0, D = 0 и ниже оси Ох только при а 0, то знак квадратичной функции у = ах^ +Ьх + с совпадает со знаком числа а для всех х, лежащих вне отрезка [Xj; Xg], т. е. при X Х2, где Xj 0, то квадратное уравнение ах^ + + Ьх -I- с = о имеет два действительных корня х, и Xg, где X, Х3, то (х — х,)(х — Хз) > о и знак функции совпадает со знаком числа а; если Xj 0, D > 0, то вершина параболы лежит ниже оси Ох, так как ее ордината Уд = -— Хз (рис. 63). Если а о, то вершина параболы лежит выше оси Ох (уд Х2 (рис. 64). При каких значениях р функция i/ = 4x^ + px + l принимает как положительные, так и отрицательные значения? ► По теореме 3 условия задачи означают, что £) = — 16 > О, откуда -4 0. Рассмотрим числа х, — 1 и Xg — 1. Они положительны только тогда, когда их сумма и произведение положительны, т. е. (Х,- 1)-Н(Х2-1)>0, (Xi-l)(X2-l)>0, откуда X,-нх2>2, XjX2 — (Xj-I-Х2) + 1 > 0. Используя теорему Виета, получаем — —>2,—и- — + 1>0. а а а Но если Xj — 1 > о, Х2 — 1 > о, то х, > 1, Х2 > 1. Ь^-4ас>0, ->-2, а 0. В данном случае А = 1>0, D = <а+ Ь)^ - 4(а - Ь)^ = 0, откуда + 2аЬ +Ь^ - 4а^ + Sab - 4Ь^ = 0, 3a^-l0ab + 3b^ = 0, (8) За^ - 9аЬ -аЬ + ЗЬ^ = 0, За(а - ЗЬ) - Ь(а - ЗЬ) = 0, (а - ЗЬ)(За -Ь) = 0. Это означает, что или а = ЗЬ, или Ь = За. 0, -А 0. 2а 684 Доказать, что квадратичная функция у(х) = ах^ + Ьх+с, где а^О, имеет действительные нули х^ и Xg такие, что К 0, К 0, ау(К)>0. 685 Найти все действительные значения Ь, при которых корни х^ и Х2 уравнения х^ + 2Ьх + 4Ь = 0 действительные и такие, что X, > -1, Х2 > -1. 686 Найти все действительные значения Ь, при которых корни уравнения х^ -Ьх + 2 = 0 действительные и принадлежат интервалу (0; 3). Упражнения к главе VI Решить неравенство (687—691). 687 1) (X- 5,7)(х-7,2)>0; 2) (х-3)(х-4)>0; 3) (X- 2,5)(3-х) х; 6) х2>36; 7) 4>х2; 8) 688 1) -9х 2 + 1 0; 3) -5×2-х>0; 4) -Зх2 + х 0; 7) 4×2 н- Зх — 1 0; 2) 5х2-9хч-4>0; 3) х2 — 2х + 1>0; 4) х2ч-10хч-25>0; 5) -х2 -ь 6х — 9 0; 3) 2х2-Здг + 5>0; 5) -х2 + 2д: + 4 0: 3) 0: ж + 3 2) ж2-5ж + 10 0. 2) (ж2-1)(д: + 4) 0; ж- 1 0; Решить методом интервалов неравенство х(ж- 1)(ж + 2)>0. 2) Зх2-4ж + 8>0; 4) х2 + 20х + 100 2 — ж; 3) X+ 8 8; 7) £i + 2 2х; 3) -х2 + Зх 2х; 6)2х2+1 1-х; ix-i. 3 9 3) х(1 — х) > 1,5- х; ( 695 5) X —1 ‘ 4 1) 3) х-42 9 V х^ + X + 1; 3 Зж 2) ix(x + l) х(х-1); 6) 2х — 2,5 > х(х — 1). /З ^ 2 . X + * 2ж+2 ж-1 2-2ж 2) 4) 3-ж2 3 -1 0; 3) 2+ 7ж 4ж^ Зж^ + 2ж — 1 2) 4) 4ж^ + ж — 3 5ж^ + 9ж-2 2 + 9ж — 5ж^ Зж^-2ж-1 0. 191 1 2 > 697 Катер должен не более чем за 4 ч пройти по течению реки 22,5 км и вернуться обратно. С какой скоростью относительно воды должен идти катер, если скорость течения реки равна 3 км/ч? 698 В одной системе координат построить графики функций и выяснить, при каких х значения одной функции больше (меньше) значений другой, результат проверить, решив соответствующее неравенство: 1) 1/ = 2х2, у = 2-Ъх-, 2) у=х^-2, у=1-2х; 3) у = х^-5х + 4, у = 7-3х; 4) у = Зх^-2х + 5, у = 5х + 3; 5) у=х^-2х, у = -х^ + х + Ъ\ 6) у = 2х^-Зх + Ъ, J/= -(-4х — 5. 699 Решить неравенство: 1) 3) -5×2- 36 2 + X — 2 — х2 — 2 >0; 0. 700 Найти четыре последовательных целых числа такие, что куб второго из них больше произведения трех остальных. Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 701 Вычислить: 11 27 . 8 . 72 . 32 162 69’ 21 38 . 91 . 65 . 147 152 ■ 264 ’ I2jrii ^iij’ ^Ч^ 9jt46 Чб> ^ ч ‘ 5) 34,17:1,7 + 1 2- + 0,15 V 4 ^ 6) 5,86-3— —+ -:4-: 6 23 28 7 7) 121-3—4 —-45 4 118. 11—23 7 702 Решить уравнение: 1) (д:-9)(2-л:) = 0; 3) 2х^-х = 0; 5) l-4x=* = 0; 5д:^-х „ 7) ——= 0; 8) 51 ■si -f 5-* з1 7 4 8 5 10—: 1 — 13 26 2) (д: + 4)(3-д:) = 0; 4) Зл;2 + 5л: = 0; 6) 9д;2-4 = 0; 8) = 1 703 Доказать, что если х> и у >4, то: 1) 4х + 3у>14; 2) 2ху-3>1; 3) х^у>1; 4) х^ + у^ > 16. 704 (Устно.) Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству: 1)л -12; 2)п>-5,2; 3)л>8,1; 4) п >-8,1. Решить неравенство: 1) х + 4>3-2х; 2) 5(у + 2)> 8-(2 — Зу); 3) 2(0,4 + л:)-2,8>2,3 + Зл:; 4) 7(л; + 5) + 10 > 17; 5) ini[ + £>7; 2 4 6) £-?jl£ 6x-l, [4-3x>2x-6; 3) |12д:-3(л: + 2)> 7д:-5, [13л: + 6 4-5х; 4 14х-3 710 5 2 Найти целые числа, являющиеся решениями системы нера- венств: 2х-5 1) -2 5,4; 4) |3х-ь2|>5; 5) |2x-t-3| 3. 194 713 714 715 716 717 718 719 720 Найти погрешность приближения: 1) числа 0,2781 числом 0,278; 2) числа -2,154 числом -2,15; 7 1 3) числа—-числом —; 18 3 3 4) числа — числом 0,272. И Доказать, что число 3,5 есть приближенное значение числа 3,5478 с точностью до 0,05. 7 Найти относительную погрешность приближения числа -числом 0,777. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: 1) 0,(7); 2) 1,(3); 3) 2,(31); 4) 0,(52); 5) 1,1(3); 6) 2,3(7). Сравнить числа: 1) 4^ и 5; 2) 3,1 и ЛО; 3) VO.0361 и 0,19; 4) ^7^ и 2,7. При каких значениях а верно равенство: 1) 4а+ 1= 2; 3) 2^1а-2 = 1; 2) 43-2а =5; 4) -V7a-4=0? 3 Вычислить: 1) (42 — 2X42 + 2); 2) (3>/5 + 1)(1 — ЗЛ). Разложить на множители по образцу а^-7 =(а-47Ха + 4т): 1) 0^-13; 2) 15-&2; 3) х^-80; 4) ^-х^. ’ 41 721 Вычислить: 1) л/Го-ЛбО; 4) 47-421-43; 5) (Зл/12 +2-/3)2; 3) 4з-4п-4зз; 6) (242 -з4^^. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если высота его см, ширина 4ь см, длина Ло см. Площадь одного квадрата равна 7,68 м^, площадь другого 300 дм^. Во сколько раз сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата? Вынести множитель из-под знака корня: 1) -Jl6xy^ , где х> о, у +^412; 2) -\412 +4^0,08 -242. 195 726 Вычислить: 727 728 1) :^ + ^4^ + (V20-л/45 + зЛ^):2л/5; /З V17 ___ 2) ^5 + 2^J6■^5-2^6 + Лэ /и Упростить выражение: 1) 2Vl8 + Зл/8 + 3^f^ — 2) Зл/^-л/45 + Зл/18 + л/^-л/80; 3) 5-\/а — зЛа + 2л/9а, где а >0; 4) л/х® + -л/Збл:^ — ^л/Эх, где х > 0. 2 о Упростить выражение: I/ + X ; 2х^ аЬ_ Ь 1) ——— i/+xj гх-^ 3) [ь а ) а-Ь 2) а — \ а + 1 J 4) (a+6)fi—J а Ь аЧ^ 729 Решить уравнение (729—731). 1) 3(х + 1)(х + 2)-(Зх-4)(х + 2) = 36; 2) 2(3х- 1)(2х + 5)-6(2х-1)(х + 2) = 48; 3) 5у-4 _ 1б1/ + 1 2
7 ’ 5) ^11^ = 11; 4) 6) 19+Зх 1-9х 8 2х-(3 5 = 0; 2 X) _ о 3 730 731 1) х^ = 7; 4) х2 + 5х = 0; 1) 1,5х — 4х^ = 6,3х — х^; 3) Зх(х + 2) = 2х(х-2); 2) х2 = 11; 5) х^ = 8х; 3) х^ + 6х = 0; 6) х2 = 12х. 2) lli/-15 = (// + 5)(.v-3); 4) i(3×2 + D-4 40х +3 X — 3 5) 1/2-5 15-у2 j/2_4 6) 2×2 _ 1 6 1+ 1,5×2 12 732 733 734 Прямоугольник, одна сторона которого на 2 см больше другой, имеет площадь, равную площади квадрата со стороной, на 4 см меньшей периметра прямоугольника. Найти стороны прямоугольника. Прямоугольник, одна сторона которого на 8 см меньше стороны квадрата, а другая вдвое больше стороны квадрата, имеет площадь, равную площади этого квадрата. Найти стороны прямоугольника. Решить уравнение (734—737). 1) х2-н6х4-5 = 0; 2) х2 н-3,5х — 2 = 0; 3) х2-1,8х-3,6=0; 4) 2×2-ь Зх — 2 = 0; 5) 4×2-X-14 = 0; х2-х-ь 3,5 = 0. 196 735 1) 2х^ + х-3 = 0; 2) 20 + 8х-х^ = 0; 3) 2л:2-9х = 35; 4) (д: + 5)(x — 3) = 2х — 7; 5) 2(х-2)(х + 2) = (х + 1,5)^ + 4^х-5^\, 6) (д:-3)(х-2) = 7д:-1. ‘ If,; 736 737 1) + + = 9 2 16 QV X* 2х 5 3 х+ 5. 1) х2 + Зх + 70 = 0: 3) х2 + 20х +100 = 0; 5) х(х-15) = 3(108-5х); 6) (х-3)2 + (х + 4)2-(х-5)* = 17х + 24; 5x^ + 9 4x^-9 „ х(х-З) 2) -х^-х + — = 0; 4 9 Зх^-11 74-2х^ 4) ——+———= 10. 8 12 2) х2-12х + 11 = 0; 4) х^+18х-208 = 0; 7) = 3: 8) -11 = -х. 738 739 740 741 6 5 ‘7 Найти коэффициенты р к q, если известно, что числа 10 и -15 являются корнями уравнения х^ + рх + д=0. Записать квадратное уравнение, корни которого отличались бы от корней данного уравнения только знаками: 1) х2-8х+15 = 0; 2) х^ + Ьх + с=0. Решить уравнение (740—743). 1) 4х^-17х2 + 4 = 0; 3) 7×2+ 12=0; 1) х^ + х2-2=0; 3) х“ + Зх2 + 2=0; 742 1) X + 2 • = 4 + • 2) 4х^-37×2+ 9 = 0; 4) х“-11×2+18=0. 2) х‘‘-х2-12=0; 4) х“ + 5х2 + 6 = 0. 1 0.3. 743 744 3) 1 + 5) 1) 5х х-1 6х+ 2 2) х+ 1 = 3 + х + 1 (х+ 1)2 ’ Зх , 1 4 X + 2 X х-2 х2-4 3 3)3 + х-3 х2 5 ■ 5х + 6 2 2-х 4) 2 + 6) 2) Зх- 1 12-х X + 2 (X + 2 )2 ’ 2х 1 6 х-3 3 X + 3 х2 — 9 3 1- х-1 X + 2 4) 5 + х-3 х2 2 ■7х+ 12 17 х-2 X + 3 Разложить на множители квадратный трехчлен: 1) х2-12х + 35; 2) х2-5х-36; 3) 2×2 +х-3; 4) 2×2-Зх-5; 5) -5×2 +Их-2; 6) -4х2-10х + 6; 7) -|х2 + 8х + 27; 8) ^х2 + х 5 -10. 197 6 745 Сократить дробь: 746 1) 4) а^-.\ а + 2 ’ 2fl2-5a-3 2) 5) а + 2 а*-7а-18 -2а^ + За + 2 2а^ + 5а + 2 3) 6) а^ + 7а + 12 _ а^ + 6а + 8 -5о^ + 13а + 6 5а^- 8а — 4 747 748 749 750 751 752 753 754 4а^- 6а — 4 Разложить на множители: 1) -Ь*+Ь^-а’^\ 2) т^п — п + тп^ — m; 3) т^ + т^-т^-т*; 4) х‘* — — х + х^; 5)* 16х^ + 8ху-3у^; 6)* 4 + а‘‘-5а2; 7)* Ь* — 13Ь’^ + 36; 8)* Зх^ -бхт — 9т^. Для приготовления бронзы берется 17 частей меди, 2 части цинка и одна часть олова. Сколько нужно взять каждого металла отдельно, чтобы получить 400 кг бронзы? Инспектор рыбнадзора, исследуя свой участок, проплыл на катере по течению реки за 4 ч расстояние, в 3 раза большее, чем за 2 ч против течения реки. Какое расстояние преодолел инспектор, если скорость течения реки 3 км/ч? Бригада формовщиков должна была в определенный срок изготовить 48 пресс-форм для отливки деталей. Предложенная бригадой новая технология формовки позволила изготовлять на 4 пресс-формы больше в месяц, поэтому все задание они выполнили за месяц до срока. Сколько пресс-форм выпускала бригада за месяц? С одного участка собрали 450 т картофеля, а с другого, площадь которого на 5 га меньше, 400 т. Определить урожайность картофеля с каждого участка, если на втором участке она была на 2 т выше, чем на первом. Числитель некоторой обыкновенной дроби на 11 больше знаменателя. Если к числителю дроби прибавить 5, а к знаменателю 12, то получится дробь, втрое меньшая исходной. Найти эту дробь. Двумя комбайнами можно убрать урожай с некоторого поля за 12 дней. Если бы уборку производили на каждом комбайне отдельно, то первому потребовалось бы на 10 дней больше, чем второму. За сколько дней на каждом из комбайнов отдельно можно выполнить эту работу? Две бригады монтажников затратили на сборку агрегата 6 ч 40 мин. Сколько времени потребуется на сборку такого же агрегата каждой бригаде отдельно, если одной из них потребуется на эту работу на 3 ч больше, чем другой? Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению реки за то же время, которое ему понадобилось для прохождения 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч? 198 755 756 757 758 Построить графики функций и найти координаты точек их пересечения: 1) 1/ = 2х и 1/ = 3; 2) !/ = х-1 и 1/ = 0; 3) у = 3х и у = -2х + 1; 4) у = 2х-1 и у=-х + 3. Дана функция у = 2,Ъх-Ъ. Найти: 1) значение х, при котором значение функции равно нулю; 2) координаты точек пересечения графика функции с осями координат. Дана функция у = -Зх + 1. 1) Вычислить: у(0), у <1), у(-1), i/(-4). 2) Найти значения х, при которых i/(x)=l, у<х) = -1, у(х) = -3. 3) Найти значения х, при которых у<х) >О, у(х) 0; 2) (х + 15)(х + 4) 0. 764 1) х2-|-Зх>0; 2) х2-хл/б 0. 765 1) х^-8х + 7>0; 2) х2-ьЗх-54 0; 4) 5х2-н9,5х-1 0; 6) -8х=*-ь17х-2 0; 2) х2-ь24х-ь 144 0; О 5) 4х^ — 4х -1-1 > 0; 6) 5х^ + 2х + — 0; 5) 4л:2-9л:-1-7 0; 2) ( Х— 1(х-ь0,7) 0; 2) (хн-2)(х-1)2 0; 4) (2- х)<х + 3х^)>0. 770 1) |^>0; 2) 2 -1- X х-2 (х- 1)(х+ 2) ^ 3) (3 -н у)(у — 3), то I/ 0. Решить систему неравенств: 1) [5д:-4>х-3, 2) [Зл: л-1, i-Зд:-I-1 4-5л:; [? — 2л: > 2л:-н9; 3) [Зл:-2>2(х-3)-1-5д:, \2л:2 -и (5+ д:)2 > 3(л:- 5)(л: -1 5); 4) 8 д;(2 + д:)(х — 2) -3; , 4 JU ) 201 5) 21 л:-^1(л: + 3)>2д:(л: + 3), j \ 2 у X + 3 ^ Зх + 4 , ^ . 1 6) Зх + -1(2 — X) + i(x + 1) > 3(3 — х)(3 + X) — 1, I 2; 2 2-(2х + 3)2 + (3 + 2х)(2х-3) 4. 786 Упростить выражение: 1) а-/4а-2а^ ^ +—ау/25а, где а > 0; \ а 3 2) -6ab^Jab^ -ь0,45^ где а > 0, Ь>0. 787 Вычислить: .s2 ,2 1) |,/з775 + ^3-^ I : 2) [^13-t-5V4^2 -ь ^13-5^4^ 3) ^25^-24^ 121,52-14,52 ’ 788 Упростить выражение: 4) 232-222 132-122 1) 2) 3) 4) “ +1 -.АТТТ 1 1 ^ \и -г 1 ^ Va- 1 . 4 а + 1 4а -1J 1 ^•Ja + у]а + 1 -Jа — а + \ , 1 Wl — а а + 1 — -J \ + CL 1 _ -\1 а + I _ »77^’ а 1 >/з — о V 3 1 , 4а а — 4а 1+ 4а 202 а -f 1 789 Упростить выражение: 795 796 797 1) 2) 3) 4) а + Ь а + 2Ь Г Ь — с а* — 2аЬ 2аЬ а-2Ь Ь___________________Ьс ‘I._______________________ ^Ь-с
— аЬ — 2Ь^ 8u* + 27fc® 2а^ + об — 3fe^ 3) 2) 4) 2a^ + 5ab-3b^ _ 40^ + 406-362 ’ 8о®-27б2 2о2- об — Зб2 ‘ 830 831 832 833 834 835 836 Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя за 7 с и затрачивает 25 с на то, чтобы пройти с той же скоростью мимо платформы длиной 378 м. Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24 с. Если пассажир идет с той же скоростью, но по неподвижному эскалатору, то он спускается за 42 с. За сколько секунд он спустится, стоя на ступеньке движущегося эскалатора? Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются через каждые 8 мин. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль? Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке; скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях? Пешеход и велосипедист отправляются из пункта А в пункт В одновременно. Прибыв в пункт В, велосипедист поворачивает обратно и встречает пешехода через 20 мин после начала движения. Не останавливаясь, велосипедист доезжает до пункта А, поворачивает обратно и догоняет пешехода через 10 мин после первой встречи. За какое время пешеход пройдет путь от А до В? Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, и одновременно навстречу ему из пункта В в пункт А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт В через 2 ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в пункт А через 4,5 ч после встречи с мотоциклистом. Сколько часов были в пути мотоциклист и велосипедист? Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1: 1) 48,3 + 17,83-16,94 8,367 3) 5,31-(3,57-4,28-7,04); 2) 67.8- 8604-48,4 7651 4) 1,34- 8354 375 + 37,6 j. 207 837 Вычислить на микрокалькуляторе приближенно с точностью до 0,01: 1) 34,32-23,12+17,82; 2) 7,622 + 3,562-6,982; 1 . 1 34 ^ +________________ ’ 0,54 0,32 ^ 0,87’ 4) ———-— + -^. 0,17 0,38 0,87 838 Вычислить на микрокалькуляторе приближенно с точностью до 0,01: 1) 27,3-1,28+ (43,4-39,8)-2,34; 2) (257 — 189): 2,31 — (354 — 487): 3,14. Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1 (839—842). 839 1) ЛО +л/3; 2) 3) 31,4+Vs20->/104; 4) 87,3-ЛбЗ + ЛЛ. 840 1) ^2 + д/з + Л; 3) ^у[з + -^3 + л/з ; 841 1) 123 251 . ч/П Лз ’ 842 843 844 3) Л4.22 +89,32 . — Лз 1) 2) ^30-Л^»^: 4) -у’2Л + 4>/5. „V 426 _ 43 . ^ Л Л’ 4) ЛО-2*-4.732. 4/99 — Лз 4/5 + ч/б 2) ч/89 -ч/З С помощью микрокалькулятора найти корни уравнения: 1) д;2-62л:-7503 = 0; 2) л;2 + 181д: + 5412 = 0; 3) д;2-9,7л:+ 21,42 = 0; 4) л:2 + 1,5л:- 62,85 = 0. С помощью микрокалькулятора решить уравнение: 1) х“-14,9л:2 +50,8369 = 0; 2) л:^-8,01×2+ 12,96=0. Старинные задачи Задача Пифагора Самосского (ок. 580—500 гг. до н. э., древнегреческий математик и философ). 845 Сумма любого числа последовательных нечетных чисел, начиная с единицы, есть точный квадрат. Задача Архимеда (ок. 287—212 гг. до н. э., древнегреческий математик, физик и механик). 846 Доказать равенство 12 + 22 + 32 + . + л2 = 1„(„ + 1)(2п + 1). 6 208 Задачи Диофанта (вероятно, III в., дневнегреческий математик). 847 Катет прямоугольного треугольника равен кубу числа, другой катет равен разности между кубом числа и самим числом, а гипотенуза равна сумме куба числа и самого числа. Найти это число. 848 Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления была втрое более меньшей части от первого деления. Индийская задача. 849 Показать, что yJlO + ^J24 + ^|40 + -УбО = V2 + ^Js + -J5. Задача Омара Хайяма (1048 — ок. 1131, среднеазиатский поэт, философ, астроном и математик). 850 Решить уравнение 1 -н2—1- = 1-. Задача ал-Караджи (ум. в 1016, иранский математик, автор трудов по арифметике и алгебре). 851 Найти число, которое от умножения на 3+ Vs дает 1. Задача Л. Эйлера (1707—1783, математик, механик, физик и астроном, академик Петербургской академии наук). 852 Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, О я выручила бы за них 6— крейцера». Сколько яиц было 3 у каждой? Задача Э. Безу (1730—1783, французский математик). 853 Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он потерял столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается: за какую сумму он ее купил? 2 Задачи для внеклассной работы 854 Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11. 855 Если между цифрами двузначного числа х вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти х. 856 Доказать, что сумма 333®®® -I- 555®®® делится на 37. 857 Доказать, что сумма 11“12^® н-13^® делится на 10. 858 Какой цифрой оканчивается степень 1999*®®*? 859 Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех натуральных чисел от 1 до 100? 860 Доказать, что сумма 10’®-н 10“ — 74 делится на 9. 861 Доказать, что значение выражения л® н- 11га делится на 6 при любом натуральном л. Доказать, что значение выражения л® н-Зга®-t-5га-н 3 делится на 3 при любом натуральном л. 863 Доказать, что при любом целом га значение выражения га® — га делится на 30. 864 Доказать, что при любом целом га значение выражения л® — 5га®-н 4л делится на 120. 865 Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. 210 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 Доказать, что разность между трехзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может равняться квадрату натурального числа. Доказать, что если х и у — целые числа такие, что число 3x + 8i/ делится на 17, то сумма 35д:-н651/ также делится на 17. Доказать, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом натурального числа. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является квадратом натурального числа. Доказать, что ни при каком целом п значение выражения + 5п + 16 не делится на 169. Доказать, что если сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3, то и каждое из этих чисел делится на 3. Доказать, что ни одно из чисел вида л® — 3, где п — натуральное число, не делится на 7. Доказать, что если р — простое число, большее трех, то значение выражения — 1 делится на 24. Найти все простые числа п такие, что л^ + 8 — простое число. Доказать, что если р — простое число и р > 5, то остаток от деления р^ на 12 равен 1. Доказать, что если п — натуральное число и л > 1, то л’* + 4 — составное число. Найти целые числа х к у, удовлетворяющие уравнению х + у=ху. 2 т= + 5 Доказать равенство: 1) 2) 3) 3 V5—/3 л/з + 2л/г yfs-yjb’ 4__________________________8 _ 4 . ■Ji + 4з -/з-л/п >/ТТ->/7’ 1+V2 V2 + V3 1 , 1 ■ + ■ -н= V99 — 1; V98 + л/99 . 1 3 879 4) . а(а+1) (а+1)(а + 2) (а + 2)(а+3) а(в+3) 5) л (л + 1)(л + 2)(л -I- 3) + 1 = (л2 + Зл + 1)2. Доказать, что 1980 • 1981 • 1982 • 1983 + 1 является квадратом некоторого натурального числа х, и найти х. 211 880 Доказать равенство: 881 1) а*(с-6) + 6^(а-с) + (Ь- а) а^(с — Ь)+ (а — с)+ (Ь — а) = а+Ь + с; 2) а(Ь^ -с^) + Ь(с^ — а^) + с(а^ — Ь^) = (а — Ь)(Ь-с)(с — а); 3) (а + Ь + с)® -а^ -Ь^-с^ = 3(а + Ь)(Ь + с)(с + а); 4) а® + Ь® + — ЗаЬс =(а+Ь + с)(а^ + — аЬ-Ьс — са); 5) (а + Ь + с)® —<а + Ь- с)^ -(Ь + с - а)^ -<с + а- Ь)^ = 24аЬс; 6) (Ь - с)® + (с - а)® + (а - Ь)® = 3(а - Ь)(а - с)(с - Ь). Доказать, что из равенства 1 а Ь с а+ Ь + с следует равенство 1 1 а ® 6® с® а® + Ь® + с® 882 Доказать, что выражение a®(c-b) + b®(a-c)+c®(b-a) не равно нулю, если а, Ь, с — попарно не равные между собой числа. 883 Доказать, что если а*Ь к а® - Ьс Ь® - ас а(1-6е) Ь(1-ас) -, то 884 885 а +5-hc = - + i + -. а Ь с Пусть х+у = а,ху = Ь. Доказать, что: 1) x®-t- j/® = a®-3ab; 2) X* + у* =а*-4a^b + 2b^; 3) X®-t-1/® = а® - 5а®Ь-I-5аЬ®; 4) лг®-!-1/® = а®-6а"6-1-9а®Ь®-26®. Упростить выражение: 4 . 2 1 + x"* ^ 1 + д:® а® - Ьс ■ -h ■ 1 + д: 1 - jc i>® — ас ■ аЬ 1) 2) ————+————-+ ■ (а+Ь)<а + с) (Ь+с)(а+Ь) (а + с)<Ь+с) 3) ^х + 2у[х- 1 + -^X- 2у!х- 1, если 1 О, О О, то выполняется неравенство xj + xf+ (XiX2)^>0. 891 Доказать, что если (а+5)2>с2 и (о-5)2 0. Доказать, что при всех действительных значениях х справедливо неравенство: 1 ^ — х + 1 3 ^ 0, р>0, q >0. Найти все значения г, при которых корни уравнения 2гх^ -(г + 1)дс-н1 = 0 действительны и оба по модулю меньше единицы. 214 903 904 905 906 Известно, что корни квадратного уравнения + рх + q = 0по модулю больше единицы и имеют разные знаки. Доказать, что р + q + 1 0; 2) а-Ь+с 2. Доказать, что asm+*s„,_i + cs„.2 = 0. Доказать, что выражение “1 + ^ -8 — + — U10 907 908 909 910 911 912 3 принимает неотрицательные значения при любых значениях а и Ь, не равных нулю. Доказать, что при любых действительных значениях хну справедливо неравенство х^ + 5у^ — 4ху -н2х-6г/ + 3>0. Найти все значения а, при которых вершины двух парабол у = х^ — 2(а + 1) X + 1 и у = ах^ — х +а лежат по разные стороны — 3 ‘ от прямой у = —. 4 Найти все значения а, при которых вершины двух парабол у = 4х^ + 8ах-а н у = 4адг*-8дг + а -2 лежат по одну сторону от прямой у = -5. Разложить на множители: 1) дгЗ-бдг^-дг-нЗО; 2) X* — х^-1 х^-+ x + Q\ 3) <х^ + х + 1)(х^ + х + 2)-12; 4) <х^ + 4х + 8)^^ + 3х(х^ + 4х + 8) + 2х^. Разложить многочлен х® + л: -(-1 на два множителя с целыми коэффициентами. Сократить дробь: J ^ X® + - JT* - 1 3) 5) X'* + х' •* X + 1 х^ -2х* + х-2 X® - Зх^ + Зх - 2 ’ X® + .'i + 7 X + 3 2х® + 5х* + 4х I 2) 4) 6) х»-Зх-2 х^ - 2х* + 2х* - 2х + 1 X® - 4х^ + 5х • х"* - 16 х‘ -4х® + 8х^ 16х+ 16 215 913 Построить график функции: 1) у = \х^-2х\-, 3) у = \х'^-Ъх + &У, 5) у = х^-\хУ, 7) i/ = |x2-3|x|-4|; 2) у = \х^ + хУ, 4) у = \х^
Х-2У, 6) у=х^-2\х\-Ъ-, 8) 1/ = |д:2-6|д:| + 5|. 914 Решить неравенство: Ь-Ах 1) 3) 3x^-x-4 х*-х’^ — 12 0; + 1 5) \x^-bx\>Q\ 7) |л;2 + 4х + 3|>|аг + 3|; 2) 4) 19 — 33;с 7х^ — 11л:+ 4 X* -9 >3; |4х-3|; 8) |х2- х + 1| 2(a-i-ft-l): 3) + Ь^ > аЬ + а+ Ъ 5) + >a®ft + aft®; 2) 2а^ + ЬЬ^ >2аЬ; 4) + аЬ + Ь^ > 0; 6) ia^ + b^)(a* + b*)>(,a^ + b^f. 916 Доказать, что для любых положительных чисел а и ft справедливо неравенство: 1) G + — + ft + -^^2VоЪ н—: а Ь ^ 2) 1 + 1 + 1> 1 ч- 1 + 1 ; а Ь ’Ja >[Ь yjab 3) i + а ft ft* 4) ‘ » 917 1+a+ft 1+a 1+ft Доказать, что для любых чисел а, ft, с выполняется неравенство: 1) а’^ + Ь^ + > аЬ+Ьс + ас\ 2) yja^ + b^ + c^ 3abc(a+b + c). Краткое содержание курса алгебры VII класса 1. Алгебраические выражения Числовое выражение образуется из чисел с помощью знаков действий и скобок. Например, 1,2 • (-3) — 9 :(0,5 + 1,5) — числовое выражение. Порядок выполнения действий. Действия первой ступени — сложение и вычитание. Действия второй ступени — умножение и деление. Действия третьей ступени — возведение в степень. 1) Если выражение не содержит скобок, то сначала выполняют действия третьей ступени, затем действия второй ступени и, наконец, действия первой ступени; при этом действия одной и той же ступени выполняют в том порядке, в котором они записаны. 2) Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все действия над числами, заключенными в скобках, а затем все остальные действия; при этом выполнение действий над числами в скобках и вне скобок производится в порядке, указанном в п. 1). 3) Если вычисляется значение дробного выражения, то сначала выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе, а затем первый результат делится на второй. 4) Если выражение содержит скобки, заключенные внутри других скобок, то сначала выполняются действия во внутренних скобках. Алгебраическое выражение образуется из чисел и букв с помощью знаков действий и скобок. Примеры алгебраических выражений: 2(т + п)\ 3a + 2a5-l; 0, к — коэффициент пропорциональности. Например, в формуле s = vt путь s прямо пропорционален времени t при постоянной скорости V. Ь Обратная пропорциональная зависимость: у = — , где Л > О, х > О, к — коэффициент обратной пропорциональности. Например, в формуле V = — объем газа V обратно пропорциона- Р лен плотности р при постоянной массе т. 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными Общий вид системы линейных уравнений с двумя неизвестными: iaiX + b^y = Ci, \а2Х + Ь2У = С2, где Ор 6р Ср U2, ^2’ ^2 — заданные числа, х, у — неизвестные числа. Решение системы — пара чисел х, у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное равенство. Например, решением системы Ux-y = 2, \5х + у=7 является пара чисел х = 1, у = 2. Решить систему — это значит найти все ее решения или установить, что их нет. 223 При решении систем уравнений применяются следующие способы. 1) Способ подстановки. Из какого-нибудь уравнения одно из неизвестных выражают через другое и подставляют в другое уравнение системы. 2) Способ алгебраического сложения. Уравняв модули коэффициентов при одном из неизвестных, почленным сложением или вычитанием уравнений системы исключают это неизвестное. 3) Графический способ. В одной системе координат строят графики уравнений системы; по взаимному расположению прямых определяют число решений системы; находят координаты общих точек графиков (если они имеются). 8. Комбинаторика Правило произведения. Если существует п вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть т вариантов выбора второго элемента, то всего существует п ■ т различных пар с выбранными первым и вторым элементами. Например, с помощью букв а, Ь и с можно составить 3-3 = 9 различных двухбуквенных кодов, в которых буквы могут повторяться, и 3 2 = 6 различных двухбуквенных кодов, в которых буквы должны быть различными. Краткое содержание курса алгебры VIII класса 1. Р1еравенс’тва Неравенство а > Ь означает, что разность а-Ь положительна, т. е. а-Ь>0. Неравенство а Ь, а=Ь, а , =, ft, то Ь Ь и 6 > с, то а >с. 3. Если прибавить к обеим частям неравенства или вычесть из них одно и то же число, то знак неравенства не изменится: если а> Ь, то а+оЬ + с и а-оЬ-с для любого числа с. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный. 4. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Если а > Ь, то аоЬс и — > — при с>0, ас Ь KC>d,Toa+c>b + d. 6. Умножение неравенств. Неравенства одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, можно перемножать, при этом получается неравенство того же знака: если а>Ь, о d к а, Ь, с, d — положительные числа, то aobd. 7. Возведение неравенства в степень. Неравенство, у которого левые и правые части положительны, можно возводить в натуральную степень, при этом получается неравенство того же знака: если а>Ь>0,то а» >Ь» при любом натуральном п. Строгие неравенства — неравенства со знаками > (больше) и 3, х (больше или равно) и 2аЬ. Нестрогое неравенство а> Ь означает, что а> Ь или а =Ь. Свойства нестрогих неравенств такие же, как и свойства строгих неравенств. При этом в свойствах строгих неравенств противоположными считаются знаки > и и 2 — х, так как 3+1>2-3 — верное неравенство. Решить неравенство — это значит найти все его решения или установить, что их нет. Система неравенств с одним неизвестным — это два или несколько неравенств, содержащих одно и то же неизвестное число и рассматриваемых совместно. Примеры систем неравенств с одним неизвестным: [2(х- 1)>3, 13х44> 1 — х; х + 2 4, Х-4 3, так как 3-2-4 3 — верные неравенства. Решить систему неравенств — это значит найти все ее решения или установить, что их нет. Числовые промежутки — отрезки, интервалы и полуинтервалы. Отрезок [а; Ь] — множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а а или х О, если а 0, причем |а| = о только при а = 0. Неравенству | дс | О, удовлетворяют числа х из отрезка [-а; а], т. е. такие числа дс, что -а О, удовлетворяют числа дс из интервала (-а; а), т. е. такие числа х, что -а а, где а > О, удовлетворяют все числа дс а. Неравенству | х| > а, где а > О, удовлетворяют все числа х а. 2. Приближенные вычисления Абсолютная погрешность приближения — модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением. Если а — приближенное значение, а дс — точное, то абсолютная погрешность равна | дс — а |. Запись х = а ±h означает, что абсолютная погрешность приближения не превосходит Л, т. е. | дс — а | ^ Л, или а — h /l6 = 4, Vl44 = 12. Выражение Va имеет смысл только для а>0, при этом •Ja>0, (л/а)^ = а. Тождество — равенство, справедливое при любых значениях входящих в него букв. Равенство -Ja^ = \а\ является тождеством, так как выполняется при любом а. ______ _______________ Например, ^(25)2 =|25| = 25, 7(-15)^ =|-15|=15. Если а > Ь > О, то ^fa > Гь. Например, ->!п > >/l3, так как 17 > 13 > 0. Свойства квадратных корней: 1) = Vo • л/ь, если а > о, Ь>0. Например, Vl44-196 = Vl44 • =12-14= 168. 2) ./^ = если о > о, Ь>0. У Ь ^ Например, Ш = Щ = V225 ^ 15 3) Вынесение множителя из-под знака корня: •Ja^b =a-Jb, если о > о, Ь> 0. 4) Внесение множителя под знак корня: а4ь =-ja‘^b, если о > 0, 6>0. Среднее арифметическое двух чисел а к Ь — число а + Ь Сред1«е геометрическое двух положительных чисел а и Ь — число ■fab. Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел: fab, если о > 0, Ь>0. Рациональное число — число вида —, где т — целое, п — на- п туральное число. Рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, — = 0,4; —5-=-0,333. =-0,(3). 5 3 Иррациональное число — бесконечная непериодическая десятичная дробь. 229 Например, 0,1001000100001. . _ Иррациональными числами являются также числа >/2, л/з, -/б, л. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Каждое иррациональное число можно приближенно заменить конечной десятичной дробью, т. е. рациональным числом. _ Например, число л можно приближенно заменить числом 3,14; л/2 приближенно равен 1,41. На практике при вычислениях с иррациональными числами выполняются действия над их рациональными приближениями. Например, так как >/2 = 1,4, ^fз
1,7, то -t“ -Уз ^ 3,1, Для приближенного нахождения квадратных корней используют таблицы или вычислительные машины. 4. Квадратные уравнения Квадратное уравнение — уравнение вида ах^ + Ьх + с = 0, где а, Ь и с — заданные числа, причем а ;^0, х — неизвестное. Коэффициенты квадратного уравнения называют так: а — первый или старший коэффициент, Ь — второй коэффициент, с — свободный член. Примеры квадратных уравнений: 2х^-х-1 = 0, Зх^ + 7 = 0. Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение ах^ + Ьх + с =0, у которого хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю. Примеры неполных квадратных уравнений: = 0, 5;с^-ь 4 = 0, 8х2-(-х = 0. Уравнение вида х^ = d, где d > 0, имеет два действительных корня X, 2 = ±Vd. Если d=0, то уравнение х^ = 0 имеет один корень X = о (два равных корня). Если d ^1^2 = ^- Теорема, обратная теореме Виета. Если числа р, д, х,, Xg таковы, что х,-ьх2 = -р, х,Х2 = 9, то Xj и Х2 — корни уравнения х^ + рх + д = 0. Квадратный трехчлен — многочлен ах^ + Ьх + с, где а^О. Разложение квадратного трехчлена на множители — представление его в виде ах^ + Ьх + с =а(х — х,)(х — Хг), где X,, Х2 — корни квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = 0. Например, 2х^ -1- Зх — 2 = 2х — ^ j(x -и 2). Комплексное число — выражение вида а +Ы, где а и Ь — действительные числа, = -1; а — действительная часть, Ь — мнимая часть комплексного числа а + Ы. Равенство комплексных чисел: а + Ы = с + di, если а = с, Ь = d. Арифметические действия над комплексными числами выполняются так же, как действия над многочленами, считая, что = -1. Сопряженные комплексные числа — числа а+Ы и а -Ы. 5. Квадратичная функция Квадратичная функция — функция вида у = ах’^+ Ьх + с, где а, Ь, с — заданные действительные числа, а ^ 0, х — действительная переменная. Нули квадратичной функции — значения х, при которых она обращается в нуль. Например, функция у=х^-2х-3 имеет нули: х, = -1, Xg = 3. 231 Графиком квадратичной функции является парабола. В частности, графиком функции у=х^ является парабола с вершиной в точке (0; 0); ось симметрии параболы — ось ординат. В общем случае вершиной параболы у = ах^ + Ьх + с = = а(х- Xq)^ + Уо является точка (Xq; j/q), где Xq = у^ = yix^). Ось симметрии параболы — прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы (см. рис. 44). Параболу у = ах^ -i- Ьх + с = а (х — дГо)^ + Уо можно получить сдвигом параболы у = ах^ вдоль координатных осей. Схема построения графика квадратичной функции у = ах^ + Ьх + с: 1. Построить вершину параболы (х,,; Уо), вычислив Хц, i/q по формулам Xq = -:^, у(, = у(Хо). 2. Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, — ось симметрии параболы. 3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. 4. Построить две какие-нибудь точки параболы, симметричные относительно ее оси, например точки с абсциссами х = 0 и х = 2хо = -— и ординатой у = с. й 5. Построить дополнительно еще две точки параболы. Провести через построенные точки параболу (рис. 67). д у, ‘о 0 X Уо \ /’ / \ \ \ ‘\ / / ч. \ \ / \ / Уо \ Ч / . 0 д Го X г) д) и, Уо Хо . 0 / / / \ \ \ е) Рис. 67 232 Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции. Функция у = ах’^ + Ьх + с = а <х - Xq)^ + Уо принимает наименьшее (если а >0) или наибольшее (если а 0, 2л:2 — Зх — 4 0, так как l-l-i-2>0 — верное неравенство. Решить неравенство — это значит найти все его решения или установить, что их нет. Для решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции нужно: 1) определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента; 2) найти корни, если они есть, соответствующего квадратного уравнения; 3) изобразить эскиз графика и с его помощью определить промежутки, где функция принимает положительные (неотрицательные) или отрицательные (неположительные) значения. Решение неравенств методом интервалов рассмотрим на примере неравенства (х-х,)(х-хг)(х-хз) Хд левая _______ ______ ___________ часть неравенства положительна, то v . > 0,3; 4) > -0,7. 29. 2) 5 > а; 4) а 0. 40. 2)-9 -2й. 42. 2) 8 >6. 43. 2)а-ЗЬ 12; 4)-12 >-14. 48. 2) а -2; 4) 5 > 3. 50. 2) а —; 6)-(а-5,2) 0; 6 6 3 3 3) да, при 6 = 0; 4) да, при 6 26; 6) да, при а =26. 58. 1) Нет, верно только при 6 > 0; 2) нет, верно только при 6>0; 3) нет, верно только при а6 > 0; 4) верно. 60. 2) -5 1. 61. 2) 25 5; 4) у х-(-4). 85. 2) -2; -5; 234 4) i; 0; -1; -2; -5. 86. 2) y>0; 4) при любом у; 6) у ^ -2. 87. 2) i/ 0; 6) X 9; 6) г -8; 4) г >-15; 6) х 5; 6) х 3; 4) х>0; 6) X > 2. 94. 2) X ^; 4) у
. 743. 2) x = -2; 3 3 2 4) = 744. 2) (x-9)(x + 4); 4) (д:+l)(2x-5); 6) 2(x+3)(l-2x); 8) i(x-5)(x+ 10). 745. 2) ; 4) _£JL§_; 6) 746. 1) (о — b)(a + b)x 5 0-9 2(o-2) 0-2 x(o3 + b3-l); 2) (m + o)(oin-1); 3) (m -l)(m3 + 1); 4) x(x-l)(x3 + 1); 5) (4x-p)(4x+3(/); 6) (o-l)(o + l)(o-2)(o + 2); 7) (6-2)(b+2)(b-3)x x(b+3); 8) 3(x+m)(x-3m). 747.340 кг, 40 кг, 20 кг. 748.96 км. 749. 16 пресс-форм. 750. 18 т с га, 20 т с га. 751. —. 752. 30 дней, 20 дней. 4 753. 15 ч, 12 ч. 754. 27 км/ч. 755. 2) (1; 0); 4)[1;-1 756. 2) (2; 0), i. 3 3 / (0;-5). 757. 2) х = 0, х = -, х =
. 758. 2) (-4;-4), (-2; 0), (-6; 0), 3 3 (0; 12); 4) f|; -ij, (0; 0), (1; 0); 6) (-3; -1), (-2; 0), (-4; 0), (0; 8); 242 8) 0), (-1.5; О), (0; 3). 763. 2) -15 13. 4 8J 764. 2) 0 /з. 765. 2) -9 2. 766. 2) X = -12; 4) x — любое действительное число; 6) реше-8 ний нет. 767. 2) X — любое действительное число; 4) х — любое действительное число; 6) X — любое действительное число. 768. 2) -0,7 1. 771. От леса до дома. 772. На первом руднике. 773. Десятиклассник. 777. 2) Меньше 400 км. 778. Не более 400 Дж. 781. 2) Решений нет; 4)1 4 —. 782. Больше 2 см, но меньше 3 см. 12 783. Не меньше 4 м/ч, но меньше 5 м/ч. 784. Между 18 и 19 часами. 785. 2) х 3. 786. 2)-4,6а&2 Vob. 787. 2) 42; 4) 3. 788. 2)2л/а-1; 3 4) -V3. 789. 2) ; 4) Я. 791. k>-^. 792. *, = 3, Л, = -1- 793. 2) х, = 1,2, 4(5+c) Ь 16 Х2 = -2; 4) X = 3; 6) X = 2. 794. 2) J/+ 4. 795. 6 км. 796. 15 км/ч. 797. 120 км. 798. 3 км/ч, 20 км/ч. 799. 12 р., 2 р. 800. 12 вагонов, 190 т. 801. 5 листов. 802. 30 г, 24 г. 803. 16 или 48 обезьян. 804. 2)2- -1. 805. Высота больше 3,1 см, средняя линия больше 6,2 см. 806. Больше 8 с. 807. Больше 5 см. 808. 2) х -. 809. р = 5, д = -14. 810. 2)р = 14, д=49. 811. у =-2×2 + 11х-5. 3 812. у = —х^. 813. 2) а = -1, Ь = -1, с = 2. 815. Указания. 1) Обозначая г2 — = Л®, — = £ = С® и учитывая равенство АВС = 1, записать данное нера- Ь с а венство в виде > ЗАВС, которое преобразовать к виду (А + В + С)х X ( а2 + в2 + С2 — АВ- АС — ВС) > 0. Неравенство А^ + В^ + С^ > АВ+ АС + ВС получается сложением неравенств А^+В^>2АВ, А^+С^>2АС, В^ +С2 >2ВС; 2) сложить неравенства для среднего арифметического и среднего геометрического: —— >2с, — + — >2а, — + — >25;3) вычесть из а Ь Ь с с а левой части неравенства правую и числитель полученной дроби записать в виде (а+ Ь)(,а- Ь)^ + (Ь+ с)(Ь-с)^ + (а + с)(а-с)^; 4) см. указание к 815(3). 817. 1)Xi.2 = ±2; 2)х,.2 = ±1. Хз.4 = ±3; 3) Xj =-1, Х2 = 2; 4) д. 2=
^ |^: 5) Xj = 0, Х2_з = ±2; 6) Xi_2 = ±4, Х3 4 = ±6. 819. Tj 2 = ±1- 820. х^- — 343х+ 81 = 0. 821. 1) I; 2) -5—; 3) 339,5; 4) 378-L. 822. г, = 2, Г2 =-8. 8 16 16 824. -3. 825. -8. 826. а =-3, 5 = 6, с = 0. 827. Через 0,6 с. 828. 1)(а—/3)х 243 X (а+/3)(а2 + 1); 2) (а — 1)(о + 1)(о-2)(а + 2). 829. 1) 2) а+Ь 2а+3й „ 4а^-6а ^4 = 1 6) Xi = -6, X2 = -3-Vs, хз = -3+Vs, Х4=0; 7) x, = i^, Х2 = 1, Х3 = 8)Xi = ^l^, X2 = -Ii^. 887. 1) (2; 3), (-2;-3); 2) (3; 4), (4; 3) 2 3) (2; 3), (3; 2); 4) (-4; -3), (-4; 2), (3; -3), (3; 2); 5) (1; 2), (2; 1); 6) (0; 0) (6; 3), (3; 6), (-2; 1), (1; -2); 7) (-3; -5), (3; 5), J-|; -1| j, [|; H 8) (-4; -5), (4; 5), (-SVS; -Vs), (SVS; Vs). 888. 1) (1; 2), (2; 1); 2) (4; 3) (3; 4); 3) (0; 2), (0; -2), (1; -3), (-1; 3); 4) (2; -1), (-1; 2); 5) ^2; |U|; 2] 6) (0; 0), (V7; V7). (-V7; — V7),(Vl9; — Vl9),(-Vl9; Vl9), (2; 3), (-2; -3); (3; 2) (-3; -2); 7) (2; 1), (-1; -2); 8) (-4; -2), (4; 2). 889. 1) r, = 6, rg = 2; 2) г = 0 894. a >0, 5>0, a 5. 895.-0,5 1. 898. a =-2. 900. г 3 + 2^2 . 904.1)с>0; 2) с 1. 909. а 1; 2 3 2)—^ -\Ъ\ 3)лг Z; 3 4 3) х V48; 2-/з 0 при -1 1. 4. Функция возрастает при х > 0; функция убывает при х 1, -2 т) также делятся на число к. Произведение (п — 1)л(п + 1) = п® — л, где натуральное число п>2, трех последовательных натуральных чисел делится на 6, так как одно из них делится на 3 и хотя бы одно из них является четным. Вычтем из данного числа л® + 11 и число л®-л (с целью уничтожения л®) и прибавим это же число л® + 11л-(л®-л) + (л®-л) = 12 л + (л® — л). Так как 12 л делится на 6 и л® — л делится на 6, то их сумма, т. е. данное число, также делится на 6. 862. См. указание к задаче 861. 863. Из разложения данного числа на множители л®-л =(л — 1)л(л + 1)(л® + 1) следует, что это число делится на 6 (см. указание к задаче 861). Если ни одно из чисел л -1, л, л + 1 не делится на 5, то л = 5л1 + 2 или л = 5т + 3, где т — целое число. Показать, что в обоих этих случаях число л® + 1 делится на 5. 864. Показать, что л® -5л® + 4л = = (л-2)(л — 1)л(л + 1)(л + 2). 865. Запишем искомое пятизначное число х в виде суммы разрядных слагаемых д: = 10 000а + 10006 + 100с + 10d +/, где а, Ь, с, t — цифры, причем а/0. По условию задачи второе число у = 9х = 10 000 1, то число 9х шестизначное. Следовательно, а = 1, поэтому 1 левая часть равенства больше 899, а правая часть меньше или равна 91-9 = 819. Из равенства 80с + 8 = 91с( следует, что d?t0 и d делится на 8, т. е. d = 8, и поэтому с = 9. 866. Если первое трехзначное число X = 100а +106+с, где а, 6, с — цифры и а^О, то второе число i/ = 100с+106+а и с^О. Разность х-(/ = 99(а-с). Предположим, что 99(а — с) = л®, где л — натуральное число. Тогда л делится на 3, т. е. л = ЗА, и поэтому 11( а — с) = А®. Из этого равенства должно следовать, что А делится на 11, но тогда разность а — с должна делиться на 11, а этого не может быть, так как а и с — цифры. 867. Воспользоваться равенством 35х+651/= 6(Зх+8.v)+17(х+у). 868. Показать, что сумма квадратов двух нечетных чисел является четным числом, не делящимся на 4, и что такое число не может быть квадратом натурального числа. 869. Сумму S квадратов пяти последовательных натуральных чисел можно записать так: S = (л -2)® + (л -1)® + л® + (л + 1)® + (л + 2)® = 5(л® + 2), где натуральное число л > 3. Если предположить, что 5(л® + 2) = А®, где А — натуральное число, то число А должно делиться на 5 и поэтому число л® + 2 также должно делиться на 5. Однако покажем, что число л® + 2 не делится на 5 ни при каком натуральном л. При делении натурального числа л на число 5 остаток г может быть равен одному из чисел 0, 1, 2, 3, 4, т. е. л = 5А+ г, где А — неотри- 246 цательное целое число. Тогда + 2 = 5(5А^ + 2kr)+ + 2. Для того чтобы это число делилось на 5, нужно, чтобы число + 2 делилось на 5. Однако при г, равном О, 1, 2, 3, 4, значения + 2 равны соответственно 2, 3, 6, 11, 18. 870. Данное число а = + 5п + 16 можно записать так: а = (л -4)^ + 13л. Если это число делится на 169 = 13-13, то число (л -4)^ и число л -4 делятся на 13, т. е. л = 4+ 13k, где k — неотрицательное целое число. Но тогда а = 169й^ + 13(4 + 13fe) = 169(fe^ + А)+ 13-4, а это число не делится на 169. 871. Нужно доказать, что если хотя бы одно из натуральных чисел л, т не делится на 3, то и число не делится на 3. Пусть число л не делится на 3, т. е. или п = 3k + 1, или л = 3fe + 2, где k — неотрицательное целое число. Тогда или л^ = 3(3k^ + 2k)+ 1, или л^ = 3(3k^ + 4k+ 1)-ь 1. В обоих случаях при делении числа л^ на 3 остаток равен 1. Поэтому при делении числа л^ + на 3 остаток равен 1, если число m делится на 3, или остаток равен 2, если число т не делится на 3, т. е. число не делится на 3. 872. Показать, что если л = 7т + г, где т — неотрицательное целое число, а г — остаток от деления числа л на 7, то л® — 3 = 7fe + г® — 3, где k — целое неотрицательное число. Осталось проверить, что при каждом значении г, равном О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, число г* — 3 не делится на 7. 873. Так как р — простое число, то оно нечетное: p = 2k+l, где k — натуральное число, k>2. Поэтому число р^ -1 = 4k(k+ 1) делится на 8. Так как число р не делится на 3, то р = Зт + 1 или р = Зт + 2, где т — натуральное число. В первом случае число р^ — 1 = 3( Зт^ + 2т) делится на 3, во втором случае число р^ -1 = 3(9т^ + 4л1-ь 1) также делится на 3. 874. При л = 3 значение л^ + 8 = 17 — простое число. Если л > 3, л — простое число, то число л^ ч- 8 не является простым, так как л^ + 8 = (л^ — l)-i- 9 делится на 3 (см. указание к задаче 873). 875. Так же как и в задаче 873, показать, что при делении р^ на 4 и на 3 остаток равен 1. Пусть г — остаток от деления числа р^ на 12, т. е. р^ = 12л + г, где л — натуральное число, а г — целое число, О О, Ь>0, а Ф Ь. 4) Воспользоваться равенством * _ 1 1 а-Ь (а + п)(а + п + 1) 5) Выражения левой и правой частей равенства предста- а + л а-нл-н1 вить в виде многочленов стандартного вида и сравнить их. 879. Воспользоваться равенством задачи 878 (5). 881. Преобразовать исходное равенство к виду (ач-6)(Ь+с)(с-1-а) = 0. 882. Показать, что данное выражение равно (а-5)(6-с)(с-о). 883. Преобразовать исходное равенство к виду аЬ < а - 6)4- с(л^ - = аЬс(а^ -Ь^)+ аЬс^ (а-Ь). Делением обеих частей это- го равенства на (а-Ь) получается равенство аЬ+Ьс + са = аЬс(а+Ь+с), откуда делением на аЬс получается равенство, которое нужно доказать. 247 884. Полезно ввести обозначение S„ = х" + у", где п — натуральное число. По условию $1 = х+ у= а, ху=Ь. Поэтому 82 = х^ + у^ = (х+у)^-2ху = = -2Ь. Показать, что при п>3 справедлива формула S, = aS„ _ , — bS„ _2- По этой формуле поочередно выразить S3, S4, Sj, Sg через а я Ь. 885. 1) Сначала сложить третью и четвертую дроби данного выражения, к результату прибавить вторую дробь и к последнему результату прибавить первую дробь. 2) Привести дроби к общему знаменателю и упростить числитель получений дроби. 3) Показать, что при 1 Гх-1 = ^( 1-Vx-1)^ = = |1—\/х-1|=1—\/х-1. 4) Сначала показать, что при данных условиях подкоренные выражения данного выражения положительны и его знаменатель не равен нулю, затем исключить иррациональность в знаменателе умножением числителя и знаменателя на (Vm -ь X + -Jm — х). При дальнейших преобразованиях воспользоваться равенством yj®-ь 65о-ь 65 = 0 не имеет действительных корней. 6) Сначала рассмотреть случаи у=±х. При у*±х, разделив первое уравнение на X- I/, а второе — на х-ь у, получаем систему f X® + xy-t- у® = 19, X® — ху-1- у® = 7. Вычитая из первого уравнения этой системы второе уравнение, получаем 2ху = 12, откуда у = —. 7) Разделив первое уравнение на второе, получаем X 2у® -Зху+ 2х® = о, откуда у = 2х или у = ix. 8) Перемножая уравнения, по- О лучаем ху = 8, откуда у = —. 889. 1) С помощью формулы корней квадратно- X го уравнения ах®-t-i»x-i-с = 0, где а^О, показать, что это уравнение имеет равные корни (т. е. один корень) только тогда, когда D=b^ -4ас = 0. В данном случае П = г®-4(2г-3). 2) Если корни квадратного уравнения дейст- 249 вительные, то из теоремы Виета следует, что они являются противоположными числами только при ft = О, т. е. в данном случае ft = г = О. Осталось показать, что при г = О корни данного уравнения действительные. 890. Показать, что при г > О корни данного квадратного уравнения действительные, поэтому Xj -(• ^2 = г, XjX2 = — г. Используя эти равенства и равенства задачи 884 (1), показать, что х®-i-х* ч-(xjX2)® = Зг^. 891. Доказать, что в данном случае 0 = ((а+Ь)^-с^)((а-Ь)^-с^). 892. Доказать равенство , , , ,2 рациональное р2-4(^1 r—L I = 4р2 + I г—!-j (p^-4q). 893. Пусть число х = —, где т — целое число, п — натуральное число, — — несокра-п п 2 тимая дробь, является корнем данного уравнения, т. е. ——+ р—+ д = 0. ,2 п п» Тогда = -рт -дп — целое число, поэтому л = 1. 894. Данное биквадрат-п ное уравнение имеет четыре различных действительных корня только тогда, когда уравнение
<а + b)t + аЬ = 0 имеет два действительных различных положительных корня, т. е. когда, во-первых, (a-bft)^-4aft = = (а - ft)^ >О, откуда а ^ ft, и, во-вторых, по теореме Виета а+Ь>0иаЬ>0, откуда а > О, ft > 0. 895. Корни данного уравнения действительные, так как 4(г-1)^-4(2г-ь 1) = 4г^-16г>0 при г 0. 896. Сначала рассмотреть случаи, когда первый коэффициент г^-1 = 0, т. е. г = ±1. При г ^ ±1 данное неравенство является квадратным. Так как оно должно выполняться при всех действительных значениях х, то уравнение (r^-l)x^-b + 2(г- 1)х-(-1 = о не должно иметь действительных корней, т. е. должно выполняться условие 4(г-1)^ -4(г^ -1) 1. Таким образом, если г > 1, то квадратичная функция i/(x) = (г^ — 1)х^ + 2 <г- 1)хч- 1 при всех действительных значениях х принимает значения одного знака: или только положительные, или только отрицательные. Осталось заметить, что 1/(0) = 1 >0. 897. Сначала показать, что + х + 1>0 при всех значениях х. Поэтому, умножая исходное двойное неравенство на х^ + х+1, получаем -^(х^ч-х-+-1) 0, а второе — к виду(х-н 1)^ >0. 898. Пусть X — общий действительный корень данных уравнений, т. е. х^-нах+1 = 0 и х^-1-х+а=0 — верные равенства. Вычитая из первого равенства второе, получаем (а-1)(х-1) = 0. Если а = 1, то исходные уравнения одинаковы и не имеют действительных корней. Следовательно, общим корнем может быть только х = 1. Подставляя х = 1 в первое уравнение, находим а = -2. Проверка показывает, что при а = -2 оба уравнения имеют общий корень х=1. 899. Пусть Xj — общий корень данных уравнений, Х2 — второй корень первого уравнения, Хз — второй корень второго уравнения. Вычитая из равенства х^ -I- axj ftc = 0 равенство х^ + bx^ + ас =0, получаем (а — ft)(Xj — с) = 0. Так как а ft, то х, = с. Подставляя х = с в первое уравнение, получаем с(а+ Ь+ с) = 0. Так как с ^0, то а + ft-i- с = 0. По теореме Виета находим Х2 = ft, Хз = а. Осталось проверить, что если а + Ь + с = 0,то Xi = c, Х2 = ft— корни первого уравнения, Xj = с, х^ = а — корни второго уравнения, Х2 = ft, Х3 = и — корни третьего уравнения. 900. Сначала рассмотреть случай г = 4. При г/4 данное уравнение является квадратным. 2 250 Показать, что корни уравнения + рх + q = 0 положительны только тогда, когда — Ад >0, р 0. Поэтому при г /4 задача сводится к решению системы неравенств 9-2г >0, 3-г г-4 0. г-4 901. Воспользоваться формулой корней квадратного уравнения и теоремой Виета. 902. Сначала рассмотреть случай г = 0. При г ^ 0 данное уравнение имеет действительные корни только при условии (г+1)^-8г>0, откуда г 3 + 2у/2. Пусть г > 0. Тогда графиком функции !/= 1/(х) = 2гх^
ГДЗ по Алгебре за 8 класс Алимов, Колягин, Сидоров Учебник ФГОС
«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Алимов, Колягин (Просвещение)» разработан признанными специалистами в образовательной сфере, и соответствует всем требованиям федерального государственного стандарта. Решебник включает верные ответы на все номера упражнений основного издания. Восьмиклассники испытывают достаточно серьезную нагрузку по всем предметам, усложняются и задания по математике. Конечно, хорошее подспорье в изучении этой непростой науки им не помешает. Такой поддержкой для ребят станет данное учебное пособие, с которым они лучше и быстрее смогут разобраться во всех темах курса:
каким основным свойством обладает алгебраическая дробь;
первые представления о решении рациональных уравнений;
что включает понятие квадратного корня из неотрицательного числа;
выполнить преобразование графиков функций;
графически решить квадратное уравнение;
исследовать функции на монотонность.
Регулярные занятия под руководством ГДЗ способствуют улучшению качества знаний и повышению успеваемости. Школьники чувствуют стопроцентную подготовленность к каждому уроку, это придаёт им уверенность в своих знаниях.
Подробнее о решебнике и его преимуществах
«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. (Просвещение)» размещён в формате онлайн, доступен с любого устройства с выходом в интернет. Удобный интерфейс позволит быстро найти нужный номер. Нумерация заданий сборника и первоисточника абсолютно идентичны. Используя данный решебник, учащиеся смогут:
сэкономить время на приготовлении домашних заданий, чтобы потратить его на другие предметы, прогулку на свежем воздухе или поход в кино;
самостоятельно изучить пропущенные или проблемные темы;
потренироваться в решении задач и примеров;
подготовиться к текущим и итоговым испытаниям;
углубить свои знания по дисциплине;
выявить пробелы, отработать их.
Онлайн-ресурс станет настоящим карманным помощником школьника, ведь он всегда под рукой, воспользоваться им можно с обычного смартфона, даже в школе на перемене между уроками.
ГДЗ по алгебре за 8 класс от Алимова – максимальный результат
Самый продуктивный способ применения решебника – для проверки самостоятельно выполненных упражнений. Внимательный анализ ошибок позволит избежать их появления в дальнейшем.
Номера задач
Наш онлайн-решебник входит в комплекс полезной учебной литературы. Данный справочник пригодится школьникам не только дома, но и на уроках. Только ребята должны его использовать правильно, а не бездумно переписывать результаты в чистовик. Чтобы добиться успехов за короткий срок, необходимо регулярно совершать самопроверку и проводить качественную работу над ошибками.
Структура и состав программы по алгебре за 8 класс Алимов
Поможет успешно освоить рабочую программу по предмету это пособие, в котором освещены следующие важные и весьма сложные темы:
Операции над множествами.
Рациональные числа.
Познакомимся с квадратными корнями.
Числовая прямая.
Линейные неравенства.
В этом замечательном справочнике, который был разработан лучшими педагогами страны, подростки не только смогут отыскать верные ответы на вопросы в рамках программы, но еще и алгоритмы решения задач и уравнений из учебника, развернутые авторские комментарии, подробное объяснение тем и много другой полезной информации. Здесь есть задания разного уровня сложности, направленные на реализацию системно-деятельностного подхода, развитие у учащихся предметных и общеучебных умений и навыков. Теперь ни у кого нет надобности скачивать непонятные файлы, которые могут нести в себе вирусы для вашего устройства.
ГДЗ по алгебре для 8 класса авторы: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров— к знаниям ключ
Даже если ученику не нравится этот предмет, все же рабочую программу по нему ему следует освоить. Для этого подросток должен неплохо разбираться в материале, а также устранить все пробелы в знаниях. Самостоятельно это сделать не так просто, ведь есть и другие уроки, к которым тоже нужно хорошо готовиться. Но что же в таком случае делать? В этом деле обязательно пригодится решебник. В нем ученик найдет много полезной информации, которая представлена простым и понятным языком. Каждое задание в нем решено несколькими способами. Это поможет восьмикласснику понять не только теорию, но еще и начать неплохо разбираться в практике.
Для чего нужны готовые ответы
Использовать пособие школьники могут в различных целях. Все, конечно же, зависит от результатов, которых бы они хотели добиться. В основном, в данный справочник заглядывают, чтобы:
Все это превращает данный методический комплекс в незаменимого онлайн-помощника, который всегда выручит в трудную минуту и выведет из любой тупиковой ситуации.
