Альтернативы фредгольма для интегральных уравнений

Альтернатива Фредгольма

• Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Приводятся различные формулировки альтернативы. В части источников под альтернативой Фредгольма понимается только первая теорема Фредгольма, утверждающая, что либо неоднородное уравнение имеет решение при любом свободном члене, либо сопряженное (союзное) уравнение имеет нетривиальное решение. Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений является обобщением на бесконечномерный случай аналогичных теорем в конечномерном пространстве (для систем линейных алгебраических уравнений). Обобщена Ф. Риссом на линейные операторные уравнения со вполне непрерывными операторами в банаховых пространствах.

Связанные понятия

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Сглаживающие операторы — это гладкие функции со специальными свойствами, используемые в теории распределений для построения последовательности гладких функций, приближающей негладкую (обобщённую) функцию с помощью свёртки. Интуитивно, имея функцию с особенностями и осуществляя её свёртку со сглаживающей функцией, получаем «сглаженную функцию», в которой особенности исходной функции сглажены, хотя функция остаётся близкой к исходной функции. Операторы известны также как сглаживающие операторы Фридрихса.

В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.

В общей алгебре, термин кручение относится к элементам группы, имеющим конечный порядок, или к элементам модуля, аннулируемым регулярным элементом кольца.

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность решений, строятся на общих принципах, что будет показано ниже.

Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью в ядре Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Зарипов Сарвар Кахрамонович

Для одного модельного интегро-дифференциального уравнения первого порядка с логарифмической особенностью в ядре в зависимости от корней характеристического уравнения найдены интегральные представления многообразия решений через произвольные постоянные. Найдены случаи, когда данное интегро-дифференциальное уравнение имеет единственное решение. Построены аналоги теоремы Фредгольма для этого интегро-дифференциального уравнения. Использованный метод можно применять для изучения модельных и немодельных интегро-дифференциальных уравнений высших порядков.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Зарипов Сарвар Кахрамонович

A construction of analog of Fredgolm theorems for one class of first order model integro-differential equation with logarithmic singularity in the kernel

The integral representations of the solution manifold for one class of the first order model integro-differential equation with logarithmic singularity in the kernel are constructed using arbitrary constants. The cases when the given integro-differential equation has unique solution are found. The analogue of Fredholm theorem is built for given integro-differential equation . The method of solving this problem can be used for the solving of higher order model and non-model integro-differential equations with singular coefficients.

Текст научной работы на тему «Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью в ядре»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21, № 2. С. 236-248 188№ 2310-7081 (опИпе), 1991-8615 (ргт!) с! http://doi.org/10

Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью в ядре

Таджикский национальный университет,

Таджикистан, 734025, Душанбе, пр. Рудаки 17.

Для одного модельного интегро-дифференциального уравнения первого порядка с логарифмической особенностью в ядре в зависимости от корней характеристического уравнения найдены интегральные представления многообразия решений через произвольные постоянные. Найдены случаи, когда данное интегро-дифференциальное уравнение имеет единственное решение. Построены аналоги теоремы Фредгольма для этого интегро-дифференциального уравнения. Использованный метод можно применять для изучения модельных и немодельных интегро-дифференциальных уравнений высших порядков.

Ключевые слова: модельное интегро-дифференциальное уравнение, граничные сингулярные точки, интегральные представления, логарифмическая особенность, характеристическое уравнение.

Получение: 20 октября 2016 г. / Исправление: 14 марта 2017 г. / Принятие: 12 июня 2017 г. / Публикация онлайн: 9 июля 2017 г.

Введение. Многие задачи прикладного характера, например задача Воль-терра о крутильных колебаниях [1], задача Прандтля расчёта крыла самолета [2,3], задача об изучении кинетического уравнения Больцмана, приводят к изучению интегро-дифференциальных уравнений. Существует большое количество работ для изучения обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений с регулярными коэффициентами [4, 5]. Также в последние годы в силу своей прикладной важности изучаются прямые и обратные задачи

9 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Зарипов С. К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных

интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью

в ядре // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 2. С. 236-248.

Сведения об авторе

Сарвар Кахрамонович .Зарипов А

кандидат физико-математических наук; старший преподаватель; каф. математического анализа и теории функций; e-mail: sarvar8383@list.ru

для интегро-дифференциальных уравнений, а также разрабатываются методы для приближённого решения этих уравнений [6—11]. Одним из важных разделов теории интегро-дифференциальных уравнений являются уравнения с сингулярными коэффициентами [2, 3, 12] или с сингулярно возмущенными коэффициентами [13, 14]. Также бурно развивается изучение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с фредгольмовыми операторами в банаховых пространствах 17. Но важно заметить, что в этих сингулярных интегро-дифференциальных уравнениях существующие интегралы понимаются в смысле главного значения по Коши и поэтому для решения этих уравнений применяются методы теории аналитических функций. В случае, когда в сингулярных интегро-дифференциальных уравнениях интегралы понимаются в обычном смысле Римана, т. е. когда рассматривается уравнение вида

+ — У(х) + у ^ _ а)а+1 = /(х) (1)

где а = 1 или а > 1, исследователи не обращали особого внимания на решения таких уравнений. Это происходило потому, что ядро уравнений в этих случаях будет нефредгольмовым и поэтому изучение таких уравнений считалось неактуальным. Но оказывается, что в зависимости от класса, в котором ищутся решения уравнения (1), вопрос о его изучении становится актуальным, причём даёт такие эффекты, которые в существующей теории не наблюдались.

Заметим, что впервые в монографии [18] была предложена новая методика изучения интегральных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, которая потом в работах [19,20] обобщалась на случай многомерных интегральных уравнений. Эта методика нами была использована для изучения интегро-дифференциальных уравнений вида (1). Например, в работах [21,22] исследовано уравнение вида (1) в случае, когда а = 1 или а > 1. Следующим этапом в развитии теории уравнений вида (1) является случай, когда в ядро этого уравнения добавляется логарифмическая особенность. Ниже мы будем исследовать именно такое уравнение.

Постановка задачи и ее решение. Пусть Г = <х : а 1.

Решение однородного уравнения (2) будем искать в классе С’а[а, Ь], т. е. в виде

у(ж) = (ж — а)Л, Л > 1. Тогда для определения Л получим алгебраическое уравнение

Л + Р + Л—Г + (л—1? = 0,

которое назовем его характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (2). Исследуем уравнение (2) в зависимости от корней характеристического уравнения (3).

Случай 1.1. Пусть корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и разными и они обозначены через Л1, Л2, Л3. Кроме этого, пусть эти корни удовлетворяют условию 1 Л3 — 1.

Заметим, что если выполняется неравенство 1 = — дк /Х[А1(Л1 — !)'(Н) Л1 +

» ,, %2/ж — а\ Л2 А ,, %2/ж — ^ Л31 „. . 7 + А1(Л2 — 1)2(—) +А3(Л3 — 1)2(—) / да. (8)

Заметим, что в последнем случае для сходимости интеграла в правой части (8) от функции /(ж) никаких условий кроме её непрерывности не требуется.

Таким образом, объединяя вышеприведенные результаты для интегро-дифференциального уравнения (2), можно построить аналог теоремы об альтернативе Фредгольма в таком виде.

Аналог теоремы об альтернативе Фредгольма для интегро-дифферен-циАльного уравнения (2), когда корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и разными. Если корни характеристического уравнения (3) удовлетворяют условию Л1 1, тогда легко можно показать, что общее решение однородного уравнения (2) задаётся формулой

у(ж) = (ж — а)Лс4 + (ж — а)Л 1п(ж — а)с5 + (ж — а)Л 1п2(ж — а)сб,

где С4, С5, Сб — произвольные постоянные числа.

Используя метод вариации произвольных постоянных, после простых вычислений решение неоднородного уравнения (2) находим в таком виде:

у(ж) = (ж — а)Лс4 + (ж — а)Л 1п(ж — а)с5 + (ж — а)Л 1п2(ж — а)сб — (Л — 1)3 ГХ(ж — а)Л

2^2 л и — а/ ! V* — а/

Если поведение функции /(ж) в точке ж = а определяется из асимптотической формулы [ ]

/(ж) = о (ж — а)Й2 , ¿2 > Л — 1, когда ж ^ а, (10)

то интеграл в правой части (9) будет сходящимся. Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (9) коэффициенты Р0, Р1, и Р2 такие, что корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и равными и А > 1. Функция / (х) € С [а, Ь] и / (а) = 0 с асимптотическим поведением (10). Тогда однородное уравнение (2) имеет три линейно независимых решения, а неоднородное уравнение (2) в классе функций у(х) € Са[а, Ь] всегда разрешимо и его общее решение содержит три произвольных постоянных и даётся по формуле (9).

Случай 11.2. Если А — D2 ‘»2( н)+

+ 4(А — 1)1п( 1—0^ +2]/ (t)dt. (11

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 6. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (2) коэффициенты Р0, Pi, и Р2 такие, что корни характеристического уравнения (3) являются вещественными и равными и А 1, то однородное уравнение (2) имеет три линейно независимых решения, а неоднородное уравнение (2) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условию (10). В этом случае неоднородное уравнение (2) имеет бесконечное число решений, его общее ‘решение содержит три произвольных постоянных и даётся формулой (9).

Случай III.1. Пусть среди корней характеристического уравнения (3) существуют комплексно-сопряженные корни. Эти корни обозначим через Ai = А и А2,3 = a±i0. Если, не ограничивая общности, предположить, что 1 а — 1, когда ж ^ а.

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 7. Пусть в интегро-дифференциальном уравнении (2) коэффициенты Р0, Pi, и P2 такие, что среди корней характеристического уравнения (3) существуют комплексно-сопряженные корни и выполняется условие 1 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

20. Раджабов Н., Раджабова Л., Репин О. А. Об одном классе двумерных сопряженных интегральных уравнений вольтеровского типа// Дифференц. уравнения, 2011. Т. 47, № 9. С. 1320-1330.

21. Зарипов С. К. Об одном классе модельного интегро-дифференциального уравнения первого порядка с одной сингулярной точкой в ядре // Вестник Таджикского национального университета, 2015. №1/3(164). С. 27-32.

22. Зарипов С. К. Об одном классе модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка со сверх сингулярной точкой в ядре // Вестник Таджикского национального университета, 2015. №1/6(191). С. 6-13.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 2, pp. 236-248

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)

MSC: 45J05, 34K05, 34K30

A construction of analog of Fredgolm theorems for one class of first order model integro-differential equation with logarithmic singularity in the kernel

Tajik National University,

17, av. Rudaky, Dushanbe, 734025, Tajikistan.

The integral representations of the solution manifold for one class of the first order model integro-differential equation with logarithmic singularity in the kernel are constructed using arbitrary constants. The cases when the given integro-differential equation has unique solution are found. The analogue of Fredholm theorem is built for given integro-differential equation. The method of solving this problem can be used for the solving of higher order model and non-model integro-differential equations with singular coefficients.

Keywords: integro-differential equation, boundary singular points, manifold solution, integral representation, characteristic equation.

Received: 20th October, 2016 / Revised: 14th March, 2017 / Accepted: 12th June, 2017 / First online: 9th July, 2017

Competing interests. I have no competing interests.

Author’s Responsibilities. I take full responsibility for submitting the final manuscript in print. I approved the final version of the manuscript.

Plase of work. The work was carried out at the Mathematical Analysis and Function Theory Department at the Tajik National University. Funding. The research has not had any sponsorship.

9 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Zaripov S. R. A construction of analog of Fredgolm theorems for one class of first order model integro-differential equation with logarithmic singularity in the kernel, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 2, pp. 236-248. doi: 10.14498/vsgtu1515 (In Russian). Author’s Details: Sarvar K. Zaripov 1^1

Cand. Phys. & Math. Sci.; Senior Lecturer; Dept. of Mathematics Analysis and Function Theory; e-mail: sarvar8383@list.ru

1. Volterra V. Theory of Junctionals and of integral and integro-differential equations. New York, Dover Publ., 1959, 226 pp.

2. Magnaradze L. G. On a new integral equation of the theory of aircraft wings, Soobshch. AN GruzSSR, 1942, vol.3, no. 6, pp. 503-508 (In Russian).

3. Vekua I. N On the Prandtl integro-differential equation, Prikl. matem. mekh., 1945, vol.9, no. 2, pp. 143-150, https://archive.org/details/nasa_techdoc_19880069126.

4. Vainberg M. M. Integro-differential equations, Itogi Nauki. Ser. Mat. Anal. Teor. Ver. Reg-ulir. 1962. Moscow, VINITI, 1964, pp. 5-37 (In Russian).

5. Nekrasov A. I. On a Class of Linear Integro-Differential Equations, Tr. Tsentr. Aerogidrodin. Inst., 1934, no. 190, pp. 1-25 (In Russian).

6. Durdiev D. K. Global solvability of an inverse problem for an integro-differential equation of electrodynamics, Differ. Equ., 2008, vol.44, no. 7, pp. 893-899. doi: 10.1134/ S001226610807001X.

7. Durdiev D. K. On the uniqueness of kernel determination in the integro-differential equation of parabolic type, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 4, pp. 658-666 (In Russian). doi: 10. 14498/vsgtu1444.

8. Safarov Zh. Sh. Evaluation of the stability of some inverse problems solutions for integro-differential equations, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2014, no. 3, pp. 7582 (In Russian).

9. Yuldashev T. K. Inverse problem for a nonlinear integral and differential equation of the third order, Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Estestvenno-Nauchnaya Seriya, 2013, no. 9/1(110), pp. 58-66 (In Russian).

10. Yuldashev T. K. On inverse problem for nonlinear integro-differential equations of the higher order, Vestnik VGU. Seriia: Fizika. Matematika, 2014, no. 1, pp. 153-163 (In Russian).

11. Yuldashev T. K. Inverse Problem for a Fredholm Third Order Partial Integro-differential Equation, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2014, vol. 1(34), pp. 56-65 (In Russian). doi: 10.14498/ vsgtu1299.

12. Magnaradze L. G. On a system of linear singular integra-differential equations and on the linear Riemann boundary problem, Soobshch. AN GruzSSR, 1943, no. 5, pp. 3-9 (In Russian).

13. Bobodzhanov A. A., Safonov V. F. The method of normal forms for singularly perturbed systems of Fredholm integro-differential equations with rapidly varying kernels, Sb. Math., 2013, vol.204, no. 7, pp. 979-1002. doi: 10.1070/SM2013v204n07ABEH004327.

14. Bobodzhanov A. A., Safonov V. F. «Splashes» in Fredholm integro-differential equations with rapidly varying kernels, Math. Notes, 2009, vol.85, no. 2, pp. 153-167. doi: 10.1134/ S0001434609010192.

15. Falaleev M. V. Integro-differential equations with Fredholm operator by the derivative of the higest order in Banach spaces and it’s applications, IIGU Ser. Matematika, 2012, vol. 5, no. 2, pp. 90-102 (In Russian).

16. Falaleev M. V. Singular integro-differential equations of the special type in Banach spaces and it’s applications, IIGU Ser. Matematika, 2013, vol.6, no. 4, pp. 128-137 (In Russian).

17. Falaleev M. V. Degenerate integro-differential equations of convolution type in Banach spaces, IIGU Ser. Matematika, 2016, vol. 17, pp. 77-85 (In Russian).

18. Rajabov N. Integral’nye uravneniia tipov Vol’terra s fiksirovannymi granichnymi i vnutren-nimi singuliarnymi i sverkhsinguliarnymi iadrami i ikh prilozheniia [Integral equations of Volterra types with fixed boundary and internal singular and supersingular kernels and their applications]. Dushanbe, Devashtich, 2007, 221 pp. (In Russian)

19. Rajabov N. Multidimensional Volterra-type integral equation with singular boundary domains in kernels, Dokl. Math., 2011, vol.83, no. 2, pp. 165-168. doi: 10.1134/ S1064562411020116.

20. Rajabova L., Rajabov N., Repin O. A. On a class of two-dimensional adjoint integral equations of Volterra type, Differ. Equ., 2011, vol.47, no. 9, pp. 1333-1343. doi: 10.1134/ S0012266111090102.

21. Zaripov S. K. On a class of model first-order integro-differential equations with one singular point in the kernel, Vestnik Tadzhikskogo natsional’nogo universiteta, 2015, no. 1/3(164), pp. 27-32 (In Russian).

22. Zaripov S. K. On a class of model first-order integro-differential equations with an additional singular point in the kernel, Vestnik Tadzhikskogo natsional’nogo universiteta, 2015, no. 1/6(191), pp. 6-13 (In Russian).