Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.
Решения задач о треугольнике онлайн
Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $\cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.
Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.
Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.
Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.
Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.
Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.
Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.
Решить треугольник Онлайн по координатам
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ) | Примечание: дробные числа записывайте Округлять до -го знака после запятой. Аналитическая геометрияЗадача 3. Даны вершины треугольника ABC (рис. 1): А(-4,8), В(5,-4), С(10, 6). 1) длину стороны АВ; 2) уравнение высоты СД и ее длину; 3) уравнение медианы, проведенной из вершины А; 4) записать уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.
1. Расстояние d между точками М1(x1у1) и М2(х2у2) определяется по формуле (1) Подставим в формулу (1) координаты точек А и В, получим . 2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1(x1у1) и М2(х2у2), имеет вид (2) Подставив в формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ: Для нахождения углового коэффициента КАВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: . Отсюда . Т. к. высота СD перпендикулярна АВ, то угловой коэффициент будет равен , . Искомая высота проходит через точку С(10,6). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом: Y-6= (x-10), 3x-4y-6=0 (СD) Для нахождения длины СD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD): , откуда х=2, у=0, т. е. D(2,0). Подставив в формулу (1) координаты точек С и Д, находим 3. Обозначим основание искомой медианы через М. По определению медианы М делит сторону ВС пополам. Координаты точки М найдем по формуле (4) Чтобы записать уравнение медианы AM, воспользуемся формулой (2). , , , (АМ) 4. Обозначим искомую прямую СР. Угловой коэффициент , т. к. АВ и СР параллельны, то искомая прямая проходит через точку С (10,6). Воспользуемся уравнением (3) , , (СP) Задача 4. Расходы на автомобильном транспорте выражаются формулой у=120+30х, а на железнодорожном — у=160+20х, где х — расстояние в километрах, у — транспортные расходы на 1 км. (в усл. ден. ед.). Построить графики функций, произвести экономический анализ, рассчитать транспортные расходы при х=200 км. 1. Построим прямые у=120+30х (I) и у=160+20х (II) (рис. 4). Рис.4 Найдем точку пересечения двух прямых х0=4 у0=240 Если х=4, оба вида транспорта эквивалентны по затратам. Если х 4 выгоднее становятся железнодорожные перевозки. Рассчитаем транспортные расходы при х=200 км. У=160+4000=4150 (усл. ден. ед.) — затраты на железнодорожном транспорте. источники: http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik http://matica.org.ua/primery/primery/analiticheskaia-geometriia |