Аналитический метод решения алгебраического уравнения

Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами.
консультация по алгебре (11 класс) на тему

В работа рассмотрены различные подходы к решению линейных уравнений с параметрами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами.

В работе рассмотрены различные подходы к решению линейных уравнений с параметрами. Данная тема необходима учащимся для первичного ознакомления с методами решения уравнений с параметрами, которая является опорным пунктом подготовки к ЕГЭ (решение заданий части «С5»).

1. Понятие уравнений с параметрами.
2. Различные виды и методы решений линейных уравнений с параметрами.
3. Задания для самостоятельной работы.

Рассмотрим уравнения, в которых некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами. Такие уравнения называются уравнениями с параметрами, а буквы – параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения.

Решить уравнение с параметрами – значит, найти множество всех корней данного уравнения в зависимости от допустимого значения параметра. (Т.е. указать, при каких значениях параметра существуют решения, и каковы они, затем исследовать его относительно параметра)

Алгоритм решения уравнений с параметрами примерно таков:

• Разбить область изменения параметра на промежутки, где при изменении параметра в каждом из них полученные уравнения решаются одним и тем же методом.(Границами промежутков служат те значения параметра, в которых, или при переходе через которые, происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра называют «особыми» или контрольными).
• Отдельно на каждом промежутке находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра.
• Ответ уравнения состоит из списков изменения параметра с указанием всех корней для каждого промежутка (или конкретных значений параметра).

Основные методы решения уравнений с параметрами.

1. Решение простейших линейных уравнений с параметрами.

Исследуем линейное уравнение вида: ax =b (1)

1. а 0, b R, то уравнение (1) имеет единственный корень х= .
2. а=0, b=0, уравнение (1) имеет корнем любое действительное число, т.е. х R.
3. а 0, 0, уравнение (1) не имеет корней.

Пример №1: ax = 5; при a=0 имеем 0х=5, чего не может быть,

тогда х , при а 0 х= .

Пример №2: 0х=а; при а=0 получим 0х=0 х R, при а 0 х .

Пример №3 : Iхl=а, при а=0 х=0; при а>0 х= а, при а х .

Приведем уравнение к виду: х(а-1)=6;

если а=1, то 0х=6, нет решений;

Ответ: при а 1 х = ; при а=1 нет решений.

1. Более сложные линейные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничением на ОДЗ.

Алгоритм решения таких уравнений:

1. Найти ОДЗ.
2. Решить уравнение относительно х.
3. Определить контрольные значения параметра (к.з.п.)
4. Проверить, нет ли таких значений параметра, при которых значение х было бы равно числу, не входящему в ОДЗ.

1. ОДЗ: х 2
2. К.з.п. а=0.
3. Решим уравнение относительно х:

• При а=0 уравнение имеет вид =3. Уравнение корней не имеет.
• При а 0 уравнение имеет вид а=3(х-2), отсюда х=

1. Проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых х=2, т.е. решим уравнение: =2, а=0 ( т.е. приа=0 нет решений)

Ответ: при а 0 х= ; при а=0 нет решений.

2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на а 0: 2(а-1)х=(х-1)а +5;

2ах -2х – ах = 5 – а;

1. К.з.п. а = 2, т.к. коэффициент при х обращается в 0 при а=2

• Если а=2, то 0х=3, нет решений;
• Если а 2, то х = .

Ответ: при а=2 нет решений; при а 2 и при а 0 х = ; при а=0 уравнение не имеет смысла.

Примечание. Если при каком-нибудь значении параметра а=а 0 данное уравнение не имеет смысла, то нет и решений при а=а 0. Обратное утверждение не верно. Бывает, что при контрольном значении параметра уравнение имеет корни, но они не входят в ОДЗ.

3.Уравнения, сводящиеся к линейным

Пример №1 Решить уравнение: m = +

1. ОДЗ: т 0, х 1.
2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на т(х-1) 0, получим т 2 (х-1) = х – 1 + т – 1;

Х( т 2 – 1) = т 2 + т – 2;

1. К.з.п. т= 1

• Если т=1, то 0х=0, следовательно, х-любое действительное число, где х 1.
• Если т=-1, то 0х=-2, нет решений.
• Если т 1 и т то х= .
• Если т = 0, то нет решений.

1. Проверим, нет ли значений параметра а, при которых найденное значение х равно 1:

= 1, т+2=т+1, 0т=1, нет решений.

Ответ: при т=0 и т=-1 нет решений; при т=1 х (-∞;1) (1;+∞); при т 1 и

Пример №2 Решить уравнение: = .

2)Решим уравнение относительно х: (a+b)х = a – b.

3) К.з.п.: a+b = 0, a = -b.

• Если a = -b, то нет решений.
• Если a -b, то х = .

1. Найдем значения параметров а и b, при которых полученное значение х=1:

1 = , 2b = 0, b = 0. Следовательно, при b = 0 нет решений.

Ответ: при a -b и b 0 х = ; при a = -b и b=0 нет решений.

Пример №3 (МГУ, 2002) При каких значениях параметра b уравнение

9х+ b 2 – (2 — )b — 2 = b 4 х – b 2 (b + ) не имеет корней?

1. ОДЗ: х .
2. Решим уравнение относительно х:

(b 4 – 9)х = b 3 + (1+ ) b 2 – (2 — )b -2 ,

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда

Первое уравнение системы имеет два корня: b 1 = , b 2 = — .

1. Подставим во второе уравнение системы b 1 = , получим: 2 +6 ;

b 2 = — , получим 0=0. Т.е. второму условию удовлетворяет b 1 = .

Ответ: при b= уравнение корней не имеет.

Решить самостоятельно уравнения

1) (а+5)(а-3)х=а 2 — 25 ( при а и а х= ; при а=3 ; при а=-5 х ∊ R)

2) а 2 х = а(х+2) – 2 ( при а и а х= ; при а=0 ∅ ; при а=1 х ∊ R)

3) = — ( при а=-3, а=-2, а=1/2 ∅ ; при а и а х= )

4)1+ = — ( при а и а х= ; при а=-3, а=0, а=1 ∅ )

5) Для каких значений а решение уравнения 10х-15а = 13- 5ах = 2а больше 2? (МГУ, 1982)

• Г.А. Ястребинецкий. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М. Просвещение.1972.
• А.Г. Корянов. Задачи с параметрами. Брянск.2010.
• М.А. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Углубленное изучение математики. М. Просвещение. 1992.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая программа элективного курса по математике 10 класс «Методы решения задач с параметром».

Предлагаемый курс «Методы решения задач с параметром» предназначен для реализации в 10 классах для расширения теоретичес.

Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами

Решение задач с параметрами систематизирует знание основных разделов школьной математики, повышает уровень математического и логического мышления, формирует первоначальные навыки исследовательской дея.

Аналитические методы решения задач с параметрами Составитель: Е.М .Чернова МКОУ КГ№ 1

Одними из наиболее сложных задач для учащихся в курсе математики — это задачи с параметрами, так как требуют от них умения рассуждать логически и анализировать полученные решения. С одной сторон.

Графические методы решения уравнений с параметрами

урок в 11 классе.

Применение различных способов и методов решения задач с параметрами

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, ч.

Основные методы решения задач с параметрами

В действующем формате ЕГЭ по математике (профильный уровень) задания №18 содержат параметры и предполагают исследование свойств различных элементарных функций. Поэтому подготовку к и.

Аналитический способ решения задач с параметром.

Данный материал предназначен для обучающихся 10-11 классов и содержит задания для подготовки к ЕГЭ по теме «Задание №18. Решение задач с параметром». Он направлен на совершенствование умений.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В ПАКЕТАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Кафедра информатики и вычислительной техники

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В ПАКЕТАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Автор работы _____________________________________И. Ю. Добрынькина

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль Информатика. Математика

Руководитель работы_______________________________ Т. В. Кормилицына

Введение

Одним из факторов, определяющих уровень развития современного общества и его интеллектуальные возможности, является оснащенность его средствами вычислительной техники. Сфера использования ЭВМ в настоящее время настолько широка, что нет такой области, где ее применение было бы нецелесообразным.

Развитие вычислительной техники повлекло за собой создание и совершенствование языков программирования, а вследствие этого и программного обеспечения. Однако совершенствование программного обеспечения связано с увеличением его сложности. Поэтому процесс разработки программ становится трудоемким, а их модификация и сопровождение затруднительным.

Традиционная инженерная деятельность связана с решением совокупности разнообразных задач расчета, проведением экспериментов, оформление документации. Развитие современных методов и компьютерной технологии существенно изменяет деятельность специалиста.

В начале 90-х гг. на смену универсальным языкам программирования пришли специализированные системы компьютерной математики (СКМ). Среди них наибольшую известность получили системы Eureka, Mercury, Mathcad, Derive, Mathematica 2/3/4, Maple V R3/R4/R5 и Maple 6 и др.

Научное программное обеспечение и математические пакеты играют важную роль в современном естествознании и технике. Такие пакеты как Axiom, Derive, Maсsyma, Maple, MatLab, MathCAD, Mathematica широко распространились в университетах, исследовательских центрах и компаниях развитых стран. Владение одним или несколькими математическими пакетами и регулярное использование их в работе будь то исследовательская или преподавательская задача быстро становится нормой для специалиста.

1. Mathematica . Решение простейших дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений в аналитической форме в пакете Mathematica используется функция DSolve, дифференциальное уравнение 29 относительно функции y(x). Функция y и все ее производные должны быть записаны с аргументом, заключенным в квадратные скобки: y[x], y’[x]

Функция DSolve стремится найти общее решение ДУ в явном виде и выдает результат в виде списка правил замены, причем каждое решение заключается в фигурные скобки. Для ДУ порядка n общее решение содержит n произвольных констант, которые обозначаются C[1], C[2],…,C[n]. Для получения частного решения необходимо в качестве первого аргумента DSolve указать список, состоящий из самого уравнения и начальных или граничных условий:

Найденные с помощью DSolve решения можно подставить в любое выражение, содержащее y(x). Однако это решение не определяет правил замены производных y’(x), y’’(x) и так далее, например:

Чтобы получить решение, не имеющее этого недостатка, нужно в качестве второго аргумента функции DSolve записать только имя искомой функции, не указывая ее аргумент. В этом случае решение представляется в виде чистой функции («purefunction»-объекта), в котором роль аргумента x, в некоторых случаях, играет символ «#1», а признаком этого объекта является символ «&». Полученное решение можно подставить в любое выражение, содержащее как функцию y(x), так и ее производные:

Для решения систем уравнений в качестве первого аргумента функции указывается список уравнений, а в качестве второго аргумента – список искомых функций:

Если в список уравнений включить необходимое количество начальных или граничных условий, то будет найдено частное решение системы ДУ, не содержащее произвольных постоянных:

Для некоторых уравнений решение может быть выражено через спецфункции, встроенные в пакет Mathematica. Если же DSolve не может найти аналитического решения ДУ, то Mathematica просто перепечатывает введенные данные в выходную ячейку:

В этом случае нужно преобразовать ДУ к более простому виду, используя правила, известные из теории дифференциальных уравнений. Если же аналитически решить уравнение не удается, можно попробовать решить его численно.

1.2 Примеры из математического анализа

Разумеется, роль систем символьной математики далеко не исчерпывается приведенными выше примерами. Эти системы способны преобразовывать сложнейшие алгебраические выражения, находить аналитические решения сложных систем линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений, манипулировать со степенными многочленами, вычислять производные и интегралы, анализировать функции, находить их пределы и т. д. Это видно уже из примеров, представленных на рис. 1.6 .

В этих примерах функция D (как приятное исключение из правил, обозначенная одной буквой) вычисляет производную, функция Integrate — интеграл, функция Solve решает нелинейное уравнение (в данном случае квадратное), а функция Series разлагает выражение в ряд относительно заданной переменной и при заданных начальном значении переменной и максимальной степени ряда. В фигурных скобках задаются списки некоторых входных и выходных параметров (аргументов).

Системы символьной математики являются справочниками по многим специальным функциям. При этом они способны давать результаты вычислений в виде специальных функций, что демонстрируют следующие примеры:

Здесь специальные функции получаются в результате вычисления суммы, символьного интегрирования и решения в аналитическом виде дифференциального уравнения. Соответствующие функции будут более подробно описаны в дальнейшем. Обратите внимание на то, что эти примеры даны прямо в тексте книги. Мы будем часто использовать такой прием для представления небольших примеров.

DSolve [Derivative [1] [у] [х] ==2*а*х^3, у[х], х]

DSolve [у» [х] — у’ [х] — 6 у [х] == 0, у [х] , х] <<У[х] ->| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]>>

DSolve [у» [х] + 4 у'[х] == 10 Sin [2 х] , у [х] , х]

DSolve[y'[x] == Sin[Ex] , y[x] , x]

DSolvefz2 w»[z] +zw'[z] — (z2 + l)w[z] ==0, w[z], z]

<BesselI[l, z] C[l] +BesselK[l, z] C[2] >>

Как нетрудно заметить, аналитические решения дифференциальных уравнений могут содержать не только элементарные, но и специальные математические функции, что заметно расширяет возможности применения системы Mathematica в решении задач динамического моделирования.

1. 3 Аналитическое решение дифференциальных уравнений

Общее решение дифференциальных уравнений.

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options),где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение y»+y=x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командой rhs(%).

eq:=<2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2, 2*x-3*y-11*z-15*t=1>: > s:=solve(eq,); s:= < z=-11/8 t , y=y , x=3/2 y - 1/16 t+1/2 >Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs: > subs(,s); < z=(-11)/8, x=31/16 , 1=1>«>

2. Аналитические вычисления в Mathcad

С помощью аналитических вычислений находят аналитические или полные решения уравнений и систем, вычисляют в производные и неопределенные интегралы, а также проводят преобразования сложных выражений (например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить результат в виде некоторой функции. В программе Mathcad при проведении символьных преобразований конкретные значения, присвоенные переменным, игнорируются – переменные рассматриваются как неопределенные параметры.

Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в меню Символика (Symbolics) и продублированы на аналогичной панели инструментов.

Чтобы упростить выражение (или часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать команду Символика > Упростить (Symbolics > Simplify). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и обратную функции. Некоторые действия по раскрытию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды Символика > Раскрыть/Расширить (Symbolics > Expand).

В меню Символика (Symbolics) предусмотрен ряд операций, ориентированных на выделенную переменную, использованную в выражении. Например, команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением. В примере в аналитической форме получены все корни полинома второй степени: сначала применена команда solve для решения, а затем simplify для упрощения результата:

Другие возможности использования этого меню включают:

аналитическое дифференцирование и интегрирование: Символика > Переменная > Дифференцировать (Symbolics > Variable > Differentiate) и Символика > Переменная > Интегрировать (Symbolics > Variable > Integrate);

замена переменной: Символика > Переменная > Подставить (Symbolics > Variable > Substitute) – вместо переменной подставляется содержимое буфера обмена;

Механизм аналитических вычислений можно использовать для аналитического решения уравнений и систем уравнений и неравенств. Для этого задается блок решения Given, в который помещаются уравния и неравенства, а последняя формула блока должна выглядеть как

где в скобках приведен список искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки, направленной вправо:

Отметим, что функция Find пытается найти решение в аналитической форме. В том случае, если до блока Given задать численно значения всех параметров, входящих в уравнения, а также начальные приближения для корней, то получим решение в числовом виде.

Примеры использования функции Find для решения уравнений и систем уравнений различного типа приведены в соответствующих разделах пособия.

Любое аналитическое вычисление можно применить с помощью ключевого слова. Cписок ключевых слов

3. Решение систем дифференциальных уравнений в символьном виде в системе MATLAB

Для решения дифференциальных уравнений в форме Коши MatLAB имеет функцию dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, …), которая возвращает аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями. Они задаются равенствами eqni(вначале задаются уравнения, затем начальные условия).

По умолчанию независимой переменной считается ‘t’ . Можно использовать и другую переменную, включив ее в конец списка параметров функции dsolve. Символ D обозначает производную по независимой переменной, то есть d/dt, при этом D2 означает d^2/dt^2 и т.д.

Начальные условия задаются в виде равенств ‘y(a) = b’ или ‘Dy(a) = b’, где y — независимая переменная, a и b – константы. Если число начальных условий меньше, чем число дифференциальных уравнений, то в решений будут присутствовать произвольные постоянные С1, С2 и т.д. Вывод осуществляется в виде массива записей.

Обратите внимание, что уравнение, которое требуется решить, задано как строка, то есть взято в одинарные кавычки. Ответ представляет собой точное (символьное) решение 1+корень(5). Для получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков. Ввод с командой solve может также быть символьным выражением, но в этом случае программа MATLAB потребует, чтобы правая часть выражения была заключена в скобки, и фактически синтаксис решения уравнения х 2 — Зх = -7 будет выглядеть так:

Ответ представляет собой точное (символьное) решение (3 + корень(19i))/2 (сложные числа, где буква i в ответе ставится для мнимой единицы V-1). Для получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков.

Заключение

В настоящее время научное программирование претерпевает серьезную трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем (Maple, Mathematica, MATLAB, MatCad и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов разных профилей, о чем говорит активное применение математических пакетов в научных исследованиях и в преподавании. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять задания, устраивать демонстрации и гораздо быстрее решать исследовательские и инженерные задачи.

Конечным продуктом исследования выступают публикации, подготовка, распространение и использование которых в настоящее время требует квалифицированного применения компьютера. Это касается редактирования текста, изготовления графических материалов, ведения библиографии, размещения электронных версий в Интернет, поиска статей и их просмотра. Де-факто сейчас стандартными системами подготовки научно-технических публикаций являются различные реализации пакета TeX и текстовый редактор Word. Кроме того, необходимы минимальные знания о стандартных форматах файлов, конверторах, программах и утилитах, используемых при подготовке публикаций.

Математические пакеты Maple и MATLAB — интеллектуальные лидеры в своих классах и образцы, определяющие развитие компьютерной математики. Компьютерная алгебра Maple вошла составной частью в ряд современных пакетов, численный анализ от MATLAB и наборы инструментов (Toolboxes) уникальны. Сами пакеты постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы. Пакет Maple и вычислительная среда MATLAB — мощные и хорошо организованные системы, надежные и простые в работе. Освоение даже части их возможностей даст несомненный эффект, а по мере накопления опыта придет настоящая эффективность от взаимодействия с ними.

В заключение, отметим, что пользователь пакетов компьютерной математики должен иметь представление об основных численных методах. Вообще говоря, появление современных вычислительных систем значительно облегчает доступ к компьютеру непрофессионалам в области программирования, и поддерживает постоянное стремление к их усовершенствованию и освоению новых компьютерных технологий.

Список литературы

1. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MATLAB. — М.: «Физматлит» , 1993. — С. 112. — ISBN 5-02-015101-7

2. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. — СПб: «Питер» , 1999, 2001. — С. 1296. — ISBN 5-89251-065-4

3. Дьяконов В.П. MATLAB 5 — система символьной математики. — М.: «Нолидж» , 1999. — С. 640. — ISBN 5-89251-069-7

4. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 608. — ISBN 5-318-00667-608

5. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 448. — ISBN 5-318-00359-1

6. Дьяконов В. П. Simulink 4. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 528. — ISBN 5-318-00551-9

7. Дьяконов В . П . MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2002. — С. 768. — ISBN 5-98003-007-7

8. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5 в математике и моделировании. Основы применения. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2003. — С. 576. — ISBN 5-93455-177-9

9. Дьяконов В . П . MATLAB 6.0/6.1/6.5/6.5+SP1 + Simulink 4/5. Обработка сигналов и изображений. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 592. — ISBN 5-93003-158-8

10. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6. Основы применения. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 800. — ISBN 5-98003-181-2

11. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6 в математике и моделировании. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 576. — ISBN 5-98003-209-6

12. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 576. — ISBN 5-98003-206-1

13. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0/7 SP1 + Simulink 5/6. Работа с изображениями и видеопотоками. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 400. — ISBN 5-98003-205-3

14. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0/7 SP1/7 SP2 + Simulink 5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 456. — ISBN 5-98003-255-X

15. Дьяконов В . П . MATLAB R2006/2007/2008 + Simulink 5/6/7. Основы применения. Изд-е 2-е, переработанное и дополненное. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2008. — С. 800. — ISBN 978-5-91359-042-8

16. Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/R2006/2007. Самоучитель. — Москва: «ДМК-Пресс» , 2008. — С. 768. — ISBN 978-5-94074-424-5

17. Дьяконов В.П. SIMULINK 5/6/7. Самоучитель. — Москва: «ДМК-Пресс» , 2008. — С. 784. — ISBN 978-5-94074-423-8

18. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. Полное руководство пользователя. Изд-е 2-е переработанное и дополненное. — Москва: «СОЛОН-Пресс» , 2004. — С. 400. — ISBN 5-98003-171-5

19. Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3- е изд . — М .: « Вильямс » , 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7

20. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В MATLAB 7. Самоучитель.. — Пресс , 2005. — С. 464.

21. Курбатова Екатерина Анатольевна MATLAB 7. Самоучитель. — М.: «Диалектика» , 2005. — С. 256. — ISBN 5-8459-0904-X

22. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк Численные методы. Использование MATLAB = Numerical Methods: Using MATLAB. — 3- е изд . — М .: « Вильямс » , 2001. — С . 720. — ISBN 0-13-270042-5 u

Научная работа: Решение алгебраического уравнения n-ой степени

Б 903 Решение алгебраического уравнения n-ой степени — Новосибирск: Интернет, Блоги: budnikov57@mail.ru, 2010. — 26 с.

В работе предложено аналитическое решение (в радикалах ) алгебраического уравнения n- ой степени. Решены Проблемы собственных значений для нахождения Функций от Матриц и устойчивости решений линейных дифференциальных и разностных уравнений. Метод решения основан на последовательном получении алгебраического уравнения относительно квадратов независимой переменной и его Решении с последующим возвратом к корням исходного уравнения. Метод характеризуется простотой и требует только умения решать квадратные уравнения и извлекать корни n- ой степени из комплексного числа. Алгоритм решения легко поддаётся программированию. Приведены конкретные примеры решения алгебраических уравнений с третьей по восьмую степень включительно.

Статья может быть полезна Специалистам, занимающимся решением задач Высшей Алгебры, а также Студентам высших учебных заведений, интересующимся сложными математическими Проблемами.

Введение

Проблема решения в радикалах алгебраического уравнения произвольной степени, так называемого Векового уравнения, интересовала математиков всех времён и народов. Удача Тартальи и Феррари в решении уравнений третьей и четвёртой степеней внесла надежду на успехи в этом направлении и далее. Однако Решения долгое время найти не удавалось / 1/. Могу с уверенностью сказать, что все Великие математики, в течение последних пятисот лет, занимались решением уравнений высших степеней. Уравнение пятой степени решали Ньютон, Лейбниц, Лагранж, Эйлер, Гаусс, Тэйлор, Абель, Галуа, Пуанкаре, Клейн, Гильберт и многие другие (Список можно было бы ещё долго продолжать). В справочниках по высшей Математике сказано, что НЕ СУЩЕСТВУЕТ решения в радикалах алгебраических уравнений выше четвёртой степени / 2/. Казалось бы, не существует и решать не надо! Однако в Технике очень важно выбирать параметры Систем в соответствие с принципами Оптимальности, чтобы Объекты, описываемые системами дифференциальных или разностных уравнений, удовлетворяли заданному Критерию качества (например, минимуму потребляемой Энергии или максимальному быстродействию).

Для пояснения дальнейших рассуждений введём систему условных обозначений.

** — знак возведения в степень,

ABS (x) — абсолютная величина комплексной переменной x,

Rex, Imx- действительная и мнимая величины комплексной переменной x соответственно,

Modx, Fix- модуль и угол комплексной переменной xсоответственно,

SIN (x), COS (x) — тригонометрические функции sinx и cosx,

ARCTAN (Imx, Rex) — обратная тригонометрическая функция arctg ( (Imx) / (Rex)).

SQRT (x) — операция извлечения квадратного корня из действительного числа x.

PI = 3.141592653589793 — число π.

В 1683 году друг Г.В. Лейбница Э.В. фон Чирнгауз (1651 — 1708) опубликовал в журнале «ActaEruditorum» метод преобразования алгебраического уравнения в уравнение той же степени с меньшим числом членов.

Чирнгауз из уравнения

(x**n) + A1* (x** (n — 1)) + A2* (x** (n- 2)) + … + An = 0,

и уравнения с неопределёнными коэффициентами

y = B1* (x** (n- 2)) + B2* (x** (n- 3)) + … + Bn-1,

исключал x. Он полагал, что в полученном уравнении

(y**n) + C1* (y** (n — 1)) + C2* (y** (n — 2)) + … + Cn = 0,

можно будет подобрать коэффициенты Bi, от которых зависят Ci, так, что все коэффициенты Ci, кроме одного, обратятся в нуль. Тогда последнее уравнение примет вид

и исходное уравнение относительно переменной x будет разрешимо в радикалах.

Отметим, что в общем случае коэффициент Cnможет быть комплексной величиной, для которой, в соответствие с теорией функций комплексного переменного, существуют понятия модуля и угла вектора на комплексной плоскости. Для упрощения рассуждений будем полагать коэффициент Cn действительной величиной ( (-Cn) > 0)

Пусть q = (-Cn) ** (1/n), тогда уравнение относительно переменной yiлегко может быть решено

yi = q* (COS (2* (i — 1) *PI/ n) + j*SIN (2* (i — 1) *PI/ n),

где q- арифметический корень n- ой степени из числа (-Cn),

i- порядковый номер корня уравнения, i = 1, n;

j- квадратный корень из ( — 1), мнимая величина.

Выражение COS (2* (i — 1) *PI/ n) + j*SIN (2* (2* (i — 1) *PI/ n) задаёт корни уравнения

( (x**n) — 1) / (x- 1) = 1 + x + (x**2) + … + (x** (n- 1)) = 0.

Последнее представляет собой выражение для суммы nчленов геометрической прогрессии с основанием x.

Чирнгаузу удалось решить таким образом уравнение при n = 3, но в общем случае приём к цели не приводил. Лейбниц, которому Чирнгауз сообщил письмом в 1677 году идею метода, заметил, что ничего не получается даже для уравнения пятой степени.

Исаак Ньютон (1643 — 1727) после безуспешных попыток точно решить уравнение пятой степени разработал приближённый метод численного определения действительного корня алгебраического уравнения произвольной степени, получивший его имя и используемый до сих пор (так называемый метод касательных Ньютона). Суть метода заключается в следующем: Предположим, что действительный корень заданного алгебраического уравнения y1 находится в интервале (a, b).

Вычисляют значение алгебраической функции F (a) или F (b), ( F (a) = (a**n) + A1* (a** (n- 1)) + A2* (a** (n- 2)) + …+ An), записывают уравнение касательной в этой точке и определяют точку пересечения касательной с осью абсцисс, которой присваивают новое значение a или b.

Процесс вычислений выполняют до тех пор, пока не будет достигнута требуемая степень точности вычислений EPS (y1 = aили y1 = b в зависимости от того с какой стороны (слева или справа) решено приблизиться к корню y1).

Метод всегда сходится, но НИЧЕГО не говорит об оптимальных значениях коэффициентов уравнения, которые непосредственно связаны с параметрами Систем.

Следующий этап развития теории решения уравнений связан с творчеством Леонарда Эйлера (1707 — 1783), который, как и все предшественники, считал возможным решение уравнений любой степени.

Эйлер установил, что уравнения второй, третьей, четвёртой степеней сводятся к уравнениям первой, второй и третьей степеней, которые он назвал «разрешающими уравнениями», резольвентами.

Резольвенту приведённого кубического уравнения (x**3) + B2* x+ B3 = 0, Эйлер получил, положив

Для приведённого уравнения четвёртой степени (x**4) + B2* (x**2) + B3*x + B4 = 0, он рекомендовал подстановку

x= (A** (1/ 4)) + (B** (1/ 4)) + (C** (1/ 4)).

Тем самым он открыл ДРУГОЙ способ решения уравнения четвёртой степени, отличный от решения Феррари.

Эйлер полагал, что приведённое уравнение n-ой степени

(x**n) + B2* (x** (n — 2)) + B3* (x** (n — 3)) + … + Bn = 0,

может быть решено с помощью подстановки

x= (A** (1/ n)) + (B** (1/ n)) + … + (G** (1/ n)),

где число слагаемых равно (n- 1). Им использовались и другие подстановки. Однако уравнение выше четвёртой степени Эйлеру решить не удалось.

При доказательстве невозможности решения уравнения пятой степени Н.Х. Абель (1802 — 1829) опирался на предложенную Эйлером подстановку

x = w + A* ( (v** (1/ 5)) + B* ( (v** (2/ 5)) + C* ( (v** (3/ 5)) + D* ( (v** (4/ 5)),

применив опыт великого Математика в своей работе.

Феликсом Клейном (1849 — 1925) написана монография / 3/, в которой наиболее полно показана сложность нахождения точного решения уравнения пятой степени. Книга содержит 336 страниц текста, а решения — нет! Оговорюсь сразу, что я вовсе не собираюсь принижать вклад Великих математиков в Науку, напротив, преклоняюсь перед их Волей и Настойчивостью при решении столь сложной Задачи. Они, как все лучшие представители Человечества, опережали своё Время. При отсутствии средств вычислительной техники все попытки были обречены: не было не только персональных компьютеров, но даже простых калькуляторов. Точность вычислений на логарифмической линейке для этой цели оставляла желать лучшего.

Мне удалось решить алгебраическое уравнение n- ой степени в радикалах , но Решение это — приближённое и требует вычислений с высокой степенью точности. За всё надо платить, бесплатно НИЧЕГО не даётся! Для определения корней уравнения не требуется знание интервала, где алгебраическая функция меняет свой знак (интервала нахождения действительного корня), что отличает разработанный Метод решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n- ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с любой степенью точности, если мощность персонального компьютера позволяет избежать влияния погрешностей округления на вычисления.

Отметим также, что с Решением Векового уравнения решаются Проблемы собственных значений при вычислении Функций от Матриц и Устойчивости решений линейных дифференциальных и разностных уравнений, описывающих движения сложных технических Объектов с постоянной и переменной структурой (например, вентильных преобразователей). В любом учебнике по Теории Автоматического Управления / 4/ можно прочитать: Решение линейного дифференциального уравнения устойчиво, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости корней. Решение разностного уравнения устойчиво, если все корни характеристического уравнения находятся внутри круга единичного радиуса на комплексной плоскости с центром в начале координат.

Оптимальное управление Системами требует отдельного рассмотрения. Скажу лишь, что Оптимальные параметры Систем могут быть достигнуты на Границе устойчивости.

Ниже приводятся СУТЬ метода Решения алгебраических уравнений и конкретные Примеры определения корней уравнений с третьей по восьмую степень включительно, доказывающие ПРАВИЛЬНОСТЬ полученных результатов и уже изложенные автором в других работах / 5, 6/.

Общий вид алгебраического уравнения n- ой степени

(x**n) + A1* (x** (n-1)) + A2* (x** (n-2)) + … + A (n-1) *x + An = 0, (1)

n- порядок алгебраического уравнения, ___

Ai- коэффициенты уравнения, любые действительные числа, i = 1,n.

Случай комплексных коэффициентов уравнения в данной работе не рассматривается.

Поскольку Вычисления на персональном Компьютере обладают конечной точностью, целесообразно уравнение (1) нормировать по старшему коэффициенту An, чтобы не происходило переполнения разрядной сетки. Нормирующий коэффициент RCn = (ABS (An)) ** (1/n). Если n- нечётная величина, знак абсолютной величины обычно опускают. Вычисления на персональном Компьютере всегда ведутся с определённой степенью точности EPS, которая задает Критерий окончания Счета.

Критерий окончания Счета: Если алгебраическая функция, заданная уравнением (1), при вычисленном значении корня xi меньше величины ABS (EPS*An), то вычисления названного корня прекращают. Далее понижают порядок исходного уравнения до величины (n — 1), если корень xi- действительный, или до величины (n — 2), если xi принадлежит паре комплексно — сопряжённых корней. Вся процедура повторяется сначала для полученного уравнения более низкого порядка до тех пор, пока не будут найдены все корни исходного уравнения (1). Если возможности Компьютера не достаточны, следует понизить степень точности EPS (в ущерб точности вычисления корней) или приобрести более мощную Персоналку. (Персоналка — персональная вычислительная Машина для каждого Пользователя)

Очевидно, что чем мощнее Компьютер, тем больше возможностей для решения уравнений более высоких Степеней n.

В общем случае, корни алгебраического уравнения отличаются друг от друга по величине. Следовательно, ВСЕГДА можно выделить в Решении наибольший по модулю (доминирующий) и наименьший корни. (Уместно оговориться сразу, что наименьший по модулю корень будет доминирующим в уравнении, обратном данному).

Попробуем последовательно возводить корни в квадрат и сравнивать их по величине между собой. После нескольких таких операций легко убедиться, что все корни уравнения для квадратов относительно переменной xc = (x** (2**J)) — ничтожно малы, кроме доминирующего корня xc1.

ВСЕ коэффициенты уравнения, кроме первых двух, будут стремиться к нулю и, следовательно, ими можно пренебречь. Тогда корень xc1 может быть найден из квадратного уравнения, а корень исходного алгебраического уравнения определится выражением x1 = (xc1** (1/ (2**J))).

Зачастую, при обеспечении заданной степени точности EPS, раньше вычисляется доминирующий корень обратного уравнения, поэтому РЕКОМЕНДУЕТСЯ определять доминирующие корни как прямого, так и обратного, уравнений.

При этом удаётся минимизировать затраты машинного времени и, следовательно, добиться максимальной скорости вычислений.

Уравнение (1) является частным случаем другого алгебраического уравнения n- ой степени для переменной xc = (x** (2**J)), где J- шаг преобразования, J = 1,m, m и n- любые натуральные числа.

(xс**n) + B1* (xс** (n-1)) + B2* (xc** (n-2)) + … + B (n-1) *xc + Bn = 0, (2)

B2 = (C2**2) — (2*C1*C3) + (2*C4),

B3 = — ( (C3**2) — (2*C2*C4) + (2*C1*C5) — (2*C6)),

B (n-1) = ( (-1) ** (n-1)) * ( (C (n-1) **2) — (2*C (n-2) *Cn)),

Уравнение (2) может быть получено умножением исходного уравнения (1) на уравнение для корней, взятых с обратным знаком. Например, для случая n = 3это выглядит следующим образом:

( (x**3) + A1* (x**2) + A2*x + A3) * ( (x**3) — A1* (x**2) + A2*x — A3) = 0.

Тогда относительно переменной xc = (x**2) получают уравнение (2) при J = 1

(xc**3) — ( (A1**2) — (2*A2)) * (xc**2) + ( (A2**2) — (2*A1*A3)) *xc — (A3**2) = 0.

Не вызывает сомнений, что

J = 0, Bi = Ai, xc = x.

J = 1, Ci = Ai, xc = (x**2).

J = 2, Ci = Bi для J = 1, xc = (x**4).

Пусть L = (2**J) — величина степени корня xc1 на J-ом шаге преобразования,

Как уже отмечалось выше, на определённом шаге преобразований Jвсе коэффициенты уравнения (2), кроме первых двух B1 и B2, становятся пренебрежительно малы и их можно отбросить. Тогда корень xc1 может быть найден из квадратного уравнения, получаемого путём отбрасывания ничтожно малых старших коэффициентов. (Не следует забывать, что исходное уравнение (1) уже нормировано по старшему коэффициенту An).

(xc1**2) + D1* (xc1) + D2 = 0, (3)

D1 = B1, D2 = B2 — для прямого уравнения,

D1 = (Bn-1) / Bn, D2 = (Bn-2) / Bn — для обратного уравнения.

xc1 = ( — D1/ 2) + ( ( ( — D1/2) **2) — D2) ** (1/ 2),

xc1 = ( — D1/ 2) — ( ( ( — D1/ 2) **2) — D2) ** (1/ 2), (4)

Корень исходного уравнения

Если алгебраическая Функция при вычисленном значении корня x1 F (x1) не удовлетворяет Критерию окончания Счета, переходят к следующему шагу преобразования (J присваивают значение J + 1) до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность вычислений EPS.

Уместно отметить, что величина xc1 может быть как действительной, так и комплексной величиной. При вычислении корня x1 следует подвергать Проверке ВСЕ КОРНИ степени L из переменной xc1:

Если xc1 — комплексная величина (общий случай), тогда

PI = 3.141592653589793, I2 = 1, L

Mod xc1 = SQRT ( (Re xc1) **2) + ( (Im xc1) **2)),

Fi xc1 = ARCTAN (Im xc1, Re xc1),

Re x1 = ( (Mod xc1) ** (1/L)) *COS ( ( (Fi xc1) /L) + (2*PI/L) *I2),

Im x1 = ( (Mod xc1) ** (1/L)) *SIN ( ( (Fi xc1) /L) + (2*PI/L) *I2).

Для любого алгебраического уравнения при заданной степени точности EPS всегда существует такая величина J, при которой корень квадратного уравнения (3) совпадает с одним из корней исходного уравнения (1).

При выборе формулы расчёта следует помнить, что

Если I1 = 1 или I1 = 2, то вычисление xc1 осуществляется по формуле (3) для прямого уравнения (2).

Если I1 = 3 или I1 = 4, то вычисление xc1 происходит по формуле (3) для уравнения, обратного уравнению (2).

Теорема может быть доказана с помощью Метода Математической Индукции.

В заключение отметим, что в работе / 5/ коэффициенты квадратного уравнения (3) определены несколько иначе, однако корни исходного алгебраического уравнения (1) вычисляются с той же степенью точности EPS. Ввиду того, что коэффициенты Аi алгебраического уравнения (1) являются независимыми переменными, но возможны и ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, указать величину Jзаранее не представляется возможным. Программы, используемые для проверочных расчётов, составлены автором на алгоритмическом языке FORTRAN- 90 и доказали свою высокую Эффективность.

Проверка всегда позволяет избежать Ошибок.

Дано алгебраическое уравнение третьей степени

(x**3) — 11* (x**2) — 10*x + 200 = 0.

Степень точности EPS = 0.00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC3 = 5,8480.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

Порядковый номер преобразования J = 3

Корень x3 — действительный

Корни x1, x2 — действительные

x1 = 5,0000; x2 = — 4,0000.

Дано алгебраическое уравнение третьей степени

(x**3) — 25* (x**2) + 216*x — 580 = 0.

Степень точности EPS = 0.00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC3 = — 8,3396.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

Порядковый номер преобразования J= 3

Корень x3 — действительный

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = 10,000; Im x1 = 4,0000;

Re x2 = 10,000; Im x2 = — 4,0000.

Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени

(x**4) + 6* (x**3) — 57* (x**2) — 110*x + 600 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 4,9492.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корень x4 — действительный

Корень x3 — действительный

Корни x1, x2 — действительные

x1 = 3,0000; x2 = — 4,0000.

Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени

(x**4) + 0* (x**3) + 67* (x**2) — 808*x + 1740 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 6,4586.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3, I2 = 1.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Rex3 = — 4,0000; Imx3 = 10,000;

Rex4 = — 4,0000; Imx4 = — 10,000;

Корни x1, x2 — действительные

x1 = 3,0000; x2 = 5,0000.

Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени

(x**4) + 4* (x**3) — 66* (x**2) + 76*x + 1360 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 6,0727.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 0

Корни x3, x4 — действительные

x3 = — 10.000; x4 = — 4.0000.

Корни x1, x2 — комплексно — сопряжённые

Rex1 = 5,0000; Imx1 = 3,0000;

Re x2 = 5,0000; Im x2 = — 3,0000.

Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени

(x**4) — 2* (x**3) + 70* (x**2) — 888*x + 3944 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 7,9247.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 4.

Корни x3, x4 — комплексно — сопряжённые

Rex3 = 5,0000; Imx3 = 3,0000;

Rex4 = 5,0000; Imx4 = — 3,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 4,0000; Im x1 = 10,000;

Re x2 = — 4,0000; Im x2 = — 10,000.

Дано алгебраическое уравнение пятой степени

(x**5) + 18* (x**4) — 96* (x**3) — 1198* (x**2) — 1425*x + 2700 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC5 = 4,8559.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корень x5 — действительный

Корни x3, x4 — действительные

x3 = 9,0000; x4 = — 20,000;

Корни x1, x2 — действительные

x1 = — 3,0000; x2 = — 5,0000.

Дано алгебраическое уравнение пятой степени

(x**5) + 24* (x**4) + 19* (x**3) — 1646* (x**2) — 9222*x — 14040 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC5 = — 6,7526.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

Порядковый номер преобразования J = 3

Корень x5 — действительный

Корни x3, x4 — действительные

x3 = — 3,0000; x4 = 9,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 5,0000; Im x1 = 1,0000;

Re x2 = — 5,0000; Im x2 = — 1,0000.

Дано алгебраическое уравнение пятой степени

(x**5) + 30* (x**4) + 309* (x**3) + 2510* (x**2) + 6150*x — 9000 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC5 = — 6,1780.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 1

Корень x5 — действительный

Корни x3, x4 — действительные

x3 = — 5,0000; x4 = — 20,000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 3,0000; Im x1 = 9,0000;

Re x2 = — 3,0000; Im x2 = — 9,0000.

Дано алгебраическое уравнение пятой степени

(x**5) + 36* (x**4) + 496* (x**3) + 4576* (x**2) + 23460*x + 46800 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC5 = 8,5911.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корень x5 — действительный

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Re x3 = — 3,0000; Im x3 = 9,0000;

Re x4 = — 3,0000; Im x4 = 9,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Rex1 = — 5,0000; Imx1 = 1,0001;

Re x2 = — 5,0000; Im x2 = — 1,0001.

Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 1* (x**5) — 261* (x**4) + 251* (x**3) + 14708* (x**2) — 13260*x — 79200 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 6,5532.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 3,0000; x6 = — 2,0000;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = 11,000; x4 = — 15,000;

Корни x1, x2 — действительные

x1 = 10,000; x2 = — 8,0000.

Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 13* (x**5) — 29* (x**4) — 660* (x**3) — 17300* (x**2) — 79944*x + 411840 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 8,6256.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корни x5, x6 — действительные

x5 = — 8,0000; x6 = 3,0000;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Rex3 = — 2,0000; Imx3 = 10,000;

Rex4 = — 2,0000; Imx4 = — 10,000;

Корни x1, x2 — действительные

x1 = — 15,000; x2 = 11,000.

4.3 Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 8* (x**5) — 246* (x**4) — 2592* (x**3) + 35945* (x**2) — 15176*x — 190740 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 7,5871.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 3,0000; x6 = — 2,0000;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = 11,000; x4 = 10,000;

Корни x1, x2 — комплексно — сопряжённые

Rex1 = — 15,000; Imx1 = 8,0000;

Rex2 = — 15,000; Imx2 = — 8,0000.

Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 9* (x**5) — 44* (x**4) + 1034* (x**3) — 4800* (x**2) — 170200*x — 312000 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 8,2355.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3, I2 = 2.

Порядковый номер преобразования J = 1.

Корни x5, x6 — действительные

x5 = — 15,000; x6 = — 2,0000;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = 10,000; x4 = — 8,0000;

Корни x1, x2 — комплексно — сопряжённые

Rex1 = 3,0000; Imx1 = 11,000;

Rex2 = 3,0000; Imx2 = — 11,000.

Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 16* (x**5) + 27* (x**4) — 226* (x**3) + 15462* (x**2) — 343880*x — 751400 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 9,5348.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 1.

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 10,000; x6 = — 2,0000;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Rex3 = — 15,000; Imx3 = 8,0000;

Rex4 = — 15,000; Imx4 = — 8,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = 3,0000; Im x1 = 11,000;

Re x2 = 3,0000; Im x2 = — 11,000.

Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 21* (x**5) + 284* (x**4) + 4486* (x**3) + 36328* (x**2) + 298480*x + 1622400 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 10,840.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

Порядковый номер преобразования J = 4.

Корни x5, x6 — действительные

x5 = — 8,0000; x6 = — 15,000;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Rex3 = 3,0000; Imx3 = 11,000;

Rex4 = 3,0000; Imx4 = — 11,000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 2,0000; Im x1 = 10,000;

Re x2 = — 2,0000; Im x2 = — 10,000.

Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 20* (x**5) + 70* (x**4) — 1784* (x**3) — 12879* (x**2) — 279676*x + 991848 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 9,9864.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

Порядковый номер преобразования J = 1.

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 11,000; x6 = 3,0000;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Rex3 = — 15,000; Imx3 = 8,0000;

Rex4 = — 15,000; Imx4 = — 8,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 2,0000; Im x1 = 10,000;

Re x2 = — 2,0000; Im x2 = — 10,000.

Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 28* (x**5) + 439* (x**4) + 5618* (x**3) + 71090* (x**2) + 375544*x + 3907280 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 12,550.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

Порядковый номер преобразования J = 5.

Корни x5, x6 — комплексно-сопряжённые

Rex5 = — 15,000; Imx5 = 8,0000;

Rex6 = — 15,000; Imx6 = — 8,0000;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Re x3 = 3,0001; Im x3 = 11,000;

Re x4 = 3,0001; Im x4 = — 11,000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Rex1 = — 2,0001; Imx1 = 10,000;

Rex2 = — 2,0001; Imx2 = — 10,000.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) — 12* (x**6) — 128* (x**5) + 1950* (x**4) — 2321* (x**3) — 30018* (x**2) + 37728*x + 142560 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = 5,4486.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корень x7 — действительный

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 11,000; x6 = 9,0000;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = 5,0000; x4 = — 12,000;

Корни x1, x2 — действительные

x1 = 4,0001; x2 = — 3,0000.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) + 2* (x**6) — 21* (x**5) — 480* (x**4) — 11794* (x**3) + 99364* (x**2) — 38400*x — 561600 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = — 6,6275.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корень x7 — действительный

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 5,0000; x6 = 4,0000;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = — 12,000; x4 = 9,0000;

Корни x1, x2 — комплексно — сопряжённые

Re x1 = — 3,0000; Im x1 = 11,000;

Re x2 = — 3,0000; Im x2 = — 11,000.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) + 4* (x**6) — 240* (x**5) — 930* (x**4) + 19919* (x**3) + 22286* (x**2) — 276240*x — 475200 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = — 6,4712.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корень x7 — действительный

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 5,0000; x6 = — 3,0000;

Корни x3, x4 — комплексно — сопряжённые

Re x3 = — 12,000; Im x3 = 4,0000;

Re x4 = — 12,000; Im x4 = — 4,0000;

Корни x1, x2 — действительные

x1 = 11,000; x2 = 9,0005.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) — (x**6) — 80* (x**5) — 160* (x**4) — 7961* (x**3) + 67841* (x**2) + 51960*x — 673200 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = — 6,8013.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

Порядковый номер преобразования J = 4.

Корень x7 — действительный

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 3,9999; x6 = — 3,0000;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = 11,000; x4 = 5,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 2,0000; Im x1 = 9,0000;

Re x2 = — 2,0000; Im x2 = — 9,0000.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) + 18* (x**6) + 91* (x**5) — 528* (x**4) — 18082* (x**3) — 141180* (x**2) + 720800*x + 1872000 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = 7,8712.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

Порядковый номер преобразования J = 1.

Корень x7 — действительный

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 9,0000; x6 = 5,0000;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Re x3 = — 12,000; Im x3 = 4,0000;

Re x4 = — 12,000; Im x4 = — 4,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Rex1 = — 3,0000; Imx1 = 11,000;

Rex2 = — 3,0000; Imx2 = — 11,000.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) + 13* (x**6) + 181* (x**5) + 1107* (x**4) — 4492* (x**3) — 130* (x**2) — 725200*x + 2652000 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = 8,2728.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

Порядковый номер преобразования J = 5.

Корень x7 — действительный

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 5,0001; x6 = 3,9999;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Re x3 = — 3,0000; Im x3 = 11,000;

Re x4 = — 3,0000; Im x4 = — 11,000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Rex1 = — 2,0000; Imx1 = 9,0000;

Rex2 = — 2,0000; Imx2 = — 9,0000.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) + 15* (x**6) — 16* (x**5) — 1392* (x**4) — 14233* (x**3) — 101775* (x**2) + 537400*x + 2244000 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = 8,0777.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корень x7 — действительный

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 11,000; x6 = 5,0000;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Re x3 = — 2,0000; Im x3 = 9,0000;

Re x4 = — 2,0000; Im x4 = — 9,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Rex1 = — 12,000; Imx1 = 4,0000;

Rex2 = — 12,000; Imx2 = — 4,0000.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) + 29* (x**6) + 469* (x**5) + 5171* (x**4) + 32180* (x**3) + 59950* (x**2) — 382000*x — 8840000 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = — 9,8254.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4, I2 = 5.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корень x7 — действительный

Корни x5, x6 — комплексно-сопряжённые

Re x5 = — 2,0000; Im x5 = 9,0000;

Re x6 = — 2,0000; Im x6 = — 9,0000;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Rex3 = — 12,000; Imx3 = 4,0000;

Rex4 = — 12,000; Imx4 = — 4,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 3,0000; Im x1 = 11,000;

Re x2 = — 3,0000; Im x2 = — 11,000.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 1* (x**7) — 236* (x**6) + 358* (x**5) + 9757* (x**4) — 26423* (x**3) — 59346* (x**2) + 127440*x + 151200 = 0.

Степень точности EPS = 0,00003.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 4,4406.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корни x7, x8 — действительные

x7 = — 2,0000; x8 = — 1,0000;

Корни x5, x6 — действительные

x5 = — 15,000; x6 = 3,0002;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = — 7,0000; x4 = 12,000;

Корни x1, x2 — действительные

x1 = 5,0001; x2 = 3,9997.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 14* (x**7) + 77* (x**6) + 1046* (x**5) — 11317* (x**4) — 66934* (x**3) + 430495* (x**2) + 109650*x — 1827000 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 6,0634.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корни x7, x8 — действительные

x7 = 3,0001; x8 = — 2,0000;

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 5,0001; x6 = 3,9998;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = — 15,000; x4 = — 7,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Rex1 = — 1,0000; Imx1 = 12,000;

Rex2 = — 1,0000; Imx2 = — 12,000.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 20* (x**7) — 125* (x**6) — 3906* (x**5) — 913* (x**4) + 128248* (x**3) + 33893* (x**2) — 698826*x — 607320 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 5,2836.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корни x7, x8 — действительные

x7 = — 2,0000; x8 = — 1,0000;

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 5,0000; x6 = 3,0000;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = — 7,0001; x4 = 12,000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Rex1 = — 15,000; Imx1 = 3,9999;

Rex2 = — 15,000; Imx2 = — 3,9999.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 33* (x**7) + 435* (x**6) + 3925* (x**5) + 21545* (x**4) — 155853* (x**3) — 1297839* (x**2) + 1818455*x + 7338450 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 7,2144.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корни x7, x8 — действительные

x7 = 3,0000; x8 = — 2,0000;

Корни x5, x6 — комплексно-сопряжённые

Rex5 = — 15,000; Imx5 = 4,0000;

Rex6 = — 15,000; Imx6 = — 4,0000;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = 5,0000; x4 = — 7,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 1,0000; Im x1 = 12,000;

Re x2 = — 5,0004; Im x2 = — 12,000.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 6* (x**7) — 207* (x**6) — 744* (x**5) + 6135* (x**4) + 18930* (x**3) + 17543* (x**2) — 322320*x — 327600 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 4,8912.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корни x7, x8 — действительные

x7 = — 15,000; x8 = — 1,0000;

Корни x5, x6 — действительные

x5 = — 7,0000; x6 = 12,000;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = 3,9997; x4 = 5,0002;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Rex1 = — 2,0000; Imx1 = 2,9999;

Rex2 = — 2,0000; Imx2 = — 2,9999.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 19* (x**7) + 171* (x**6) + 1821* (x**5) — 3285* (x**4) — 90963* (x**3) — 95035* (x**2) + 320675*x + 3958500 = 0.

Степень точности EPS = 0,00005.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 6,6787.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

Порядковый номер преобразования J = 5.

Корень x8 — действительный

Корни x6, x7 — комплексно-сопряжённые

Re x6 = — 1,0000; Im x6 = 12,000;

Re x7 = — 1,0000; Im x7 = — 12,000.

Корни x4, x5 — действительные

x4 = 5,0000; x5 = — 7,0000;

Корень x3 — действительный

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 2,0000; Im x1 = 3,0000;

Re x2 = — 2,0000; Im x2 = — 3,0000.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 25* (x**7) — 1* (x**6) — 3997* (x**5) — 22165* (x**4) + 27671* (x**3) + 429697* (x**2) + 1699693*x + 1315860 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 5,8197.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корень x8 — действительный

Корни x6, x7 — комплексно-сопряжённые

Re x6 = — 15,000; Im x6 = 3,9999;

Re x7 = — 15,000; Im x7 = — 3,9999.

Корни x4, x5 — действительные

x4 = — 6,9978; x5 = — 7,0000;

Корень x3 — действительный

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 2,0004; Im x1 = 2,9971;

Re x2 = — 2,0004; Im x2 = — 2,9971.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 38* (x**7) + 624* (x**6) + 6946* (x**5) + 53590* (x**4) + 76618* (x**3) — 1243008* (x**2) — 6182290*x — 15899980 = 0.

Степень точности EPS = 0,001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 7,9465.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

Порядковый номер преобразования J = 5.

Корни x7, x8 — комплексно-сопряжённые

Rex7 = — 15,000; Imx7 = 4,0001;

Rex8 = — 15,000; Imx8 = — 4,0001.

Корни x5, x6 — комплексно-сопряжённые

Re x5 = — 1,0002; Im x5 = 12,000;

Re x6 = — 1,0002; Im x6 = — 12,000.

Корни x3, x4 — действительные

x3 = 5,0015; x4 = — 7,0057;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Rex1 = — 1,9978; Imx1 = 3,0071;

Rex2 = — 1,9978; Imx2 = — 3,0071.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 13* (x**7) — 139* (x**6) — 2139* (x**5) — 3282* (x**4) + 68366* (x**3) + 41148* (x**2) — 348192*x — 319680 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 4,8763.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

Порядковый номер преобразования J = 4.

Корни x7, x8 — действительные

x7 = — 1,0000; x8 = — 15,000;

Корни x5, x6 — действительные

x5 = 3,0000; x6 = — 2,0000;

Корни x3, x4 — действительные

x3 = 12,000; x4 = 4,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Rex1 = — 7,0000; Imx1 = 5,0000;

Rex2 = — 7,0000; Imx2 = — 5,0000.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 26* (x**7) + 330* (x**6) + 3410* (x**5) + 13755* (x**4) — 56128* (x**3) — 750358* (x**2) + 719700*x + 3862800 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 6,6583.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корни x7, x8 — действительные

x7 = 3,0000; x8 = — 2,0000;

Корни x5, x6 — действительные

x5 = — 15,000; x6 = 4,0000;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Rex3 = — 1,0000; Imx3 = 12,000;

Rex4 = — 1,0000; Imx4 = — 12,000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 7,0000; Im x1 = 5,0000;

Re x2 = — 7,0000; Im x2 = — 5,0000.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 32* (x**7) + 200* (x**6) — 3456* (x**5) — 50935* (x**4) — 192668* (x**3) + 364414* (x**2) + 1793820*x + 1284048 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 5,8019.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корни x7, x8 — действительные

x7 = — 2,0000; x8 = — 1,0000;

Корень x6 — действительный

Корни x4, x5 — комплексно-сопряжённые

Re x4 = — 15,000; Im x4 = 3,9999;

Re x5 = — 15,000; Im x5 = — 3,9999.

Корень x3 — действительный

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 7,0000; Im x1 = 5,0002;

Re x2 = — 7,0000; Im x2 = — 5,0002.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 45* (x**7) + 916* (x**6) + 12200* (x**5) + 116345* (x**4) + 630537* (x**3) + 925550* (x**2) — 7666718*x — 15515580 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 7,9222.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корни x7, x8 — действительные

x7 = 3,0000; x8 = — 2,0000;

Корни x5, x6 — комплексно-сопряжённые

Rex5 = — 7,0000; Imx5 = 5,0000;

Rex6 = — 7,0000; Imx6 = — 5,0000;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Re x3 = — 15,000; Im x3 = 4,0000;

Re x4 = — 15,000; Im x4 = — 4,0000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Rex1 = — 1,0000; Imx1 = 12,000;

Rex2 = — 1,0000; Imx2 = — 12,000.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 18* (x**7) — 50* (x**6) — 2468* (x**5) — 16413* (x**4) — 3790* (x**3) + 169678* (x**2) + 852096*x + 692640 = 0.

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 5,3711.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корни x7, x8 — действительные

x7 = — 15,000; x8 = — 1,0000;

Корень x6 — действительный

Корни x4, x5 — комплексно-сопряжённые

Re x4 = — 7,0000; Im x4 = 5,0000;

Re x5 = — 7,0000; Im x5 = — 5,0000;

Корень x3 — действительный

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 2,0000; Im x1 = 3,0000;

Re x2 = — 2,0000; Im x2 = — 3,0000.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 18* (x**7) — 50* (x**6) — 2468* (x**5) — 16413* (x**4) — 3790* (x**3) + 169678* (x**2) + 852096*x + 692640 = 0.

Степень точности EPS = 0,00005.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 7,3339.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

Порядковый номер преобразования J = 5.

Корень x8 — действительный

Корни x6, x7 — комплексно-сопряжённые

Re x6 = — 1,0000; Im x6 = 12,000;

Re x7 = — 1,0000; Im x7 = — 12,000;

Корни x4, x5 — комплексно-сопряжённые

Rex4 = — 7,0000; Imx4 = 5,0000;

Rex5 = — 7,0000; Imx5 = — 5,0000;

Корень x3 — действительный

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 2,0000; Im x1 = 3,0001;

Re x2 = — 2,0000; Im x2 = — 3,0001.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 50* (x**7) + 1165* (x**6) + 17914* (x**5) + 201957* (x**4) + 1563958* (x**3) + 7735883* (x**2) + 21352090*x + 33617090 = 0.

Степень точности EPS = 0,001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 8,7261.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

Порядковый номер преобразования J = 5.

Корни x7, x8 — комплексно-сопряжённые

Rex7 = — 15,000; Imx7 = 4,0002;

Rex8 = — 15,000; Imx8 = — 4,0002;

Корни x5, x6 — комплексно-сопряжённые

Re x5 = — 2,0026; Im x5 = 2,9975;

Re x6 = — 2,0026; Im x6 = — 2,9975;

Корни x3, x4 — комплексно-сопряжённые

Rex3 = — 0,9999; Imx3 = 12,000;

Rex4 = — 0,9999; Imx4 = — 12,000;

Корни x1, x2 — комплексно-сопряжённые

Re x1 = — 6,9976; Im x1 = 4,9993;

Re x2 = — 6,9976; Im x2 = — 4,9993.

Выводы

Предложен Метод приближённого решения алгебраического уравнения n-ой степени в радикалах, характеризующийся простотой и доступностью для практического применения.

Метод основан на последовательном получении общего алгебраического уравнения относительно квадратов независимой переменной и его Решении с последующим возвратом к корням исходного уравнения.

Для решения уравнений разработанным Методом не требуется знания специальных разделов Высшей Алгебры: теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и специальной математической терминологии: полей, колец, идеалов, изоморфизмов и т.д., нужно лишь умение решать квадратные уравнения и извлекать корни n- ой степени из комплексного числа.

Разработанный Метод решения может быть использован при проведении оптимизационных расчётов и определении Оптимальных параметров сложных технических Систем, часть которых может быть достигнута на Границе устойчивости.

На конкретных примерах доказана ПРАВИЛЬНОСТЬ разработанного Метода и приведены Примеры решения алгебраических уравнений с третьей по восьмую степень включительно.

Решение может быть проверено Студентами, обладающими математическими знаниями в объеме институтского курса и имеющими навыки программирования на языках высокого уровня.

Литература

1. В.А. Никифоровский. В мире уравнений — Москва, Издательство «Наука», (Серия «История науки и техники») АКАДЕМИЯ НАУК СССР, 1987. — 176 с.

2. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ. — Москва, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1980. — 976 с., ил.

3. Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени: Пер. с нем. / Под ред. А.Н. Тюрина. — Москва, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1989. — 336 с.

4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. — Москва, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1987. — 712 с.

5. В.А. Будников. Классическая Алгебра. — Новосибирск, Типография ООО «ЮГУС — ПРИНТ», 2008. — 16 с.

6. В.А. Будников. Метод решения алгебраических уравнений. Решение Векового уравнения. — СТАТЬИ ДЕПОНИРОВАНЫ в «СИБКОПИРАЙТ», № 2480 от 02.09.08., Новосибирск, 2008. — 21 с.