Аналитический способ решения квадратного уравнения

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
статья по алгебре (8 класс) по теме

Работа предназначена для учащихся 8-9 классов, она поможет разобраться с различными способами решения квадратных уравнений.

«В материале рассматриваются способы решения, которые изучаются в школе : с помощью дискриминанта, теорема Виетта, а так же такие методы решения, которые не изучаются в школьной программе.

В работе одно уравнение решено всеми способами, показанными в работе.

Также в работе представлен список рекомендуемой литературы, составлен дидактический материал для самостоятельного изучения всего материала работы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Различные способы решения квадратных уравнений.

1. Введение.
2. Из истории квадратных уравнений.
3. Способы решения квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений по формуле.
2. Разложение левой части уравнения на множители.
3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета.
4. Метод выделения полного квадрата.
5. Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов.
6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
7. Графическое решение.
8. Решение с помощью линейки и циркуля.
9. Номограммы в решении квадратных уравнений.
10. Геометрический способ решения.
11. Решение квадратных уравнений по теореме Безу.

1. Решение одного уравнения всеми способами.
2. Литература.
3. Приложение.

Прежде чем рассмотреть способы решения квадратных уравнений, вспомним

определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Расширение и углубление знаний в области решений квадратных уравнений.

1. Рассмотреть всевозможные способы решений квадратных уравнений.
2. Научиться применять эти способы решений.
3. Выявить наиболее удобные способы решений.
4. Составить дидактический материал для использования разных способов решений квадратных уравнений.

Актуальность этой темы заключается в том, что при сдаче ГИА и ЕГЭ квадратные уравнения необходимо решать не только на алгебре, геометрии, но и на физике. А так как время экзамена ограничено, значит надо уметь быстро найти рациональный способ решения. Работа способствует выработке навыка решения квадратных уравнений и умению быстро находить рациональный способ решения.

Из истории квадратных уравнений.

Развитие земледелия и астрономии ставили перед учеными древности задачи, для решения которых требовалось умение решать квадратные уравнения.

Решение некоторых квадратных уравнений известно было вавилонянам около 2000 лет до н.э.. Затем решение уравнений стало под силу грекам, а за ними индейцам, которые графически научились решать некоторые виды квадратных уравнений. Но общих способов решения пока не вывели.

В III в. н.э. квадратное уравнение х 2 — 20х + 96 = 0 решил древнегреческий математик Диофант без обращения к геометрии, но решение х= -2 для Диофанта не существовало, т.к. отрицательные числа древняя математика не знала.

Способы решений квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0,

на 4а и следовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0.

((2ах) 2 + 2*2ах * b + b 2 ) – b 2 + 4ас = 0,

(2ах + b) 2 = b 2 – 4ас,

2ах + b = ± √ b 2 – 4ас

2ах = – b ± √ b 2 – 4ас

а = 2, b = -5, с = 2, D = b 2 – 4ас =(-5) 2 -4*2*2=25-16=9, D >два разных корня;

х = , х = ; х = , х 1 =2 , х 2 = , х 2 = 1/2

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,

т. е. при b2 – 4ас≥0 уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

а =4, b= — 12, с = 9. D = b 2 – 4ас=144-4*4*9=0, D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. D = b 2 – 4ас= 0, то уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х 2 -3х + 2 = 0, а =2, b= -3, с = 2, D = b 2 – 4ас= 9 – 4∙2∙2 =9 – 16 = — 7, D

Уравнение не имеет корней.

1. Разложение левой части на множители.

х 2 — 2х — 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х 2 — 2х — 8 = х 2 — 4х +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -4).

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4.

Это означает, что число — 2 и 4 являются корнями уравнения х 2 — 2х — 8 = 0.

1. Решение квадратных уравнений по теореме Виета.

Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603)

Сумма корней приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х 1 + х 2 = — р,

Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, x 1 , x 2 таковы, что х 1 + х2 = — р,

х 1 · х 2 = q, то х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 + рх + q = 0

1. Метод выделения полного квадрата.

Поясним этот метод на примере.

Решим уравнение х 2 + 6х – 40 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9, так как

х 2 + 2· х ·3 + 9 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 40 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем: х 2 + 6х – 40 = х 2 + 2х ·3 + 9 – 9 – 40 = (х + 3) 2 – 49.

Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3) 2 –49 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 49.

Следовательно, х + 3 = 7, х 1 = 4, или х +3 = -7 , х 2 = -10.

1. Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов.

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х =y/a; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = и х 2 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 -9x+9 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 9y +18 = 0.

Согласно теореме Виета

y 1 =6 x 1 =6/2 x 1 =3
y 2 =3 x 2 =3/2 x 2 =1,5

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1 ) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а.

Решим уравнение 2013х 2 –2014х + 1 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (2013 – 2014 + 1 = 0), то х 1 = 1, х 2 = c/a = 1/2013.

2) Если a + c=b , то х 1 =-1, х 2 = -с/а

Решим уравнение 11x 2 +27x+16= 0

х 1 = — 1, х 2 = -16/11

Ответ: х 1 =-1, х 2 =-16/11

Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = — px — q.

Построим графики зависимости у = х 2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

1. Решение с помощью линейки и циркуля.

1. Номограммы в решении квадратных уравнений.

номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам

1. Геометрический способ решения.

Решение представлено на рис.8 , где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = – 8.

у2

3у

1. Решение квадратных уравнений по теореме Безу.

Разделим р(х) на (х-1)

Ответ: x 1 =1, x 2 =3

Решение одного уравнения всеми способами.

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

1)Решение квадратного уравнения по формуле:

D=8 2 -4*1*(-9)=64+36=100>0-действуют 2 корня

2)Разложение левой части на множители:

а)x 2 +8x-9=0 б)x 2 +8x-9=0

x 2 +9x-x-9=0 x 2 +8x-8-1=0

x 2 -x+9x-9=0 x 2 -1+8x-8=0

x-1=0 или x+9=0 x-1=0 или x+9=0

x 1 =1 x 2 =-9 x 1 =1 x 2 =-9

3)Решение по теореме Виета.

x 1 *x 2 =-9

Методом подбора находим:

4)Метод выделения полного квадрата:

x 2 +2*x* 4 + 4 2 -4 2 -9=0 x+4=±5

x 2 +2 x 4+16-25=0 x+4=5 или x+4=-5

(x+4) 2 =25 x 1 =1 x 2 =-9

5)Решение способом переброски коэффициентов.

Квадратное уравнение решается данным способом если a ≠1.

Поэтому х 2 +8х-9=0 данным способом не решается.

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

a+b+c=0, тогда х 1 =1 х 2 = -9

7) Графическое решение:

Построим графики данных функций:

у=х 2 — парабола с центром в точки О(0:0)

у=-8х+9- линейная функция, графиков является прямая.

Теоретический материал по теме «10 способов решений квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

10 способов решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Многие практические задачи решаются с их помощью. Например, квадратное уравнение позволяет рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов – от элементарных частиц до звёзд.

В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Предлагаю 10.

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + b х + с = 0, где коэффициенты а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.

Определение 2 . Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + вх + с обращается в нуль.

Определение 4 . Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х — 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

х + 12= 0 или х – 2=0

2. Метод выделения полного квадрата двучлена.

Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат:

тогда, данное уравнение можно записать так:

х + 3=4 или х + 3 = -4

3.Решение квадратных уравнений по формулам.

а) Решим уравнение:

б) Решим уравнение:

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

Данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a ,, тогда

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

5. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0,

Его корни у ₁ и у ₂ найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме Виета

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

А. Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

Б. Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

2) Решим уравнение 2х 2 + 3х +1= 0. Так как 2 — 3+1=0, значит х ₁ = — 1, х ₂ = -с/а= -1/2

Данный метод удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами.

2. Если второй коэффициент уравнения b = 2 k – четное число, то формулу корней можно записать в виде

Решим уравнение 3х 2 — 14х + 16 = 0 .

Приведенное уравнение х 2 + рх + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид

Формулу ( ) удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем а=1, в =-14, (к=-7),с=-15.

7.Графическое решение квадратного уравнения.

И спользуя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами, рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение =0

1способ . Построим график функции , воспользовавшись алгоритмом.

Значит, вершиной параболы служит точка (1;-4), а осью параболы – прямая x=1

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки рис.2

х= -1 и х=3, тогда f (-1)= f (3)=0.

3) Через точки (-1;0) , (1;-4), (3;0) проводим параболу (рис 2).

Корнями уравнений являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения

Преобразуем уравнение к виду .

Построим в одной системе координат графики функций и (рис 3 ).

Они пересекаются в двух точках A(-1;1) и B(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B , значит, .

3 способ

Преобразуем уравнения к виду.

Построим в одной системе координат графики функций и (рис.4) Они пересекаются в двух точках A(-1;-2) и В (3;6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому .

Преобразуем уравнение к виду , затем т.е.

Построим в одной системе координат параболу и прямую . Они пересекаются в точках А(-1;4) и В(3;4). Корнями уравнений служат абсциссы точек А и В, поэтому (рис.5) .

Рис.5

Разделим почленно обе части уравнения на x, получим:

Построим в одной системе координат гиперболу и прямую (рис.6). Они пересекаются в двух точках А(-1;-3) и В(3;1). Корнями уравнений являются абсциссы точек А и В, следовательно, .

Первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида

ах 2 + b х + с = 0, а пятый- только к тем, у которых с не равно нулю.

Графические способы решения квадратных уравнений красивы, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.7 ).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому

Итак:

1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х ₁ ; 0) , где х ₁ — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 8в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0 (рис.9).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA , где А (0; 1).

9. Решение квадратных уравнений с помощью

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII . Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен-

там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.10):

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из

подобия треугольников САН и CDF получим

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,

3) Для уравнения z 2 — 25 z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение t 2 — 5 t + 2,64 = 0,

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.12).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD , достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0 .

Решение представлено на рис 13. где

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у ₁ = 2, у ₂ = — 8 (рис. .

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис 14. находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у — 3 . Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25 , или у — 3 = ± 5, где у ₁ = 8 и у ₂ = — 2.