Аналитическое решение уравнений численное решение уравнений

Численные методы решения уравнений

Нахождение корней уравнений — одна из наиболее часто встречающихся задач. Вместе с тем не всегда есть возможность найти аналитическое решение уравнения. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестная х находится под знаком трансцендентной функции, например, x 2 — sin 5x = 0.

Доказано также, что не имеют аналитического решения алгебраические уравнения степени выше четвертой:

Для поиска корней таких уравнений используются численные (приближенные) методы, которые по своей сути являются способами уточнения корней 3.

В общем случае запись нелинейного уравнения имеет вида

Задача решения нелинейного уравнения состоит из двух этапов:

1) локализация корней, т.е. определение интервала изоляции (интервала неопределенности), в котором расположен корень;

2) определение с заданной точностью точности ε приближенного значения корня.

Для локализации корней можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема: Если непрерывная функция y=f(x) на концах отрезка [a, b] принимает значения разных знаков, т.е. f(a)·f(b)

и вычисляется значение функции f(d).

Далее делается выбор, какую из двух частей отрезка взять для дальнейшего уточнения корня. Для чего проверяется условие

Блок-схема метода половинного деления представлена на рисунке 12.

Рисунок 12 — Блок-схема алгоритма поиска корней уравнения методом половинного деления

Метод хорд

Идея метода хорд заключается в том, что кривая y=f(x) на участке [a, b] заменяется хордой и в качестве приближенного значения корня х * =x_n принимается точка пересечения оси абсцисс с хордой (рисунок 13).

Рисунок 13 – Графическая интерпретация метода хорд

Запишем уравнение хорды, проходящей через точки С с координатами (a, f(a)) и D – (b, f(b)):

.

Абсцисса точки пересечения хорды с осью ОХ находится из этого выражения при y=0, т.е.

.

Выполнив преобразования, получаем выражение для нахождения приближенного корня:

. (35)

Полученное значение x_n можно снова использовать для дальнейшего уточнения корня, рассматривая интервал [a, x_n] или [x_n , b] в зависимости от знака функции в точке x_n — f(x_n).

Если значения функции при х=а и х=x_n имеют разные знаки, т.е. выполняется условие

Вычисления повторяются до тех пор, пока выполняется условие

Блок-схема, реализующая метод хорд, приведена на рисунке 14.

Метод Ньютона (метод касательных)

Этот метод основан на замене функции y=f(x) в точке начального приближения x=x₀ касательной, пересечение которой с осью х дает первое приближение корня х₁ и т.д. (рисунок 15).

В качестве x₀ выбирают тот конец отрезка [a, b] (т.е. точку С или точку D), для которого выполняется условие:

Рисунок 14 — Блок-схема алгоритма поиска корней уравнения методом хорд

Рисунок 15 – Графическая интерпретация метода Ньютона

Для графической иллюстрации (рисунок 15), где начальное приближение находится в точке D, т.е. x₀=b, запишем:

,

откуда или .

Тогда, в общем виде выражение для нахождения корня можно записать:

Итерационный процесс уточнения корня выполняется до тех пор, пока соблюдается условие

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения 10 -5 — 10 -6 достигается через 5-6 итераций.

Блок-схема, реализующая метод Ньютона, приведена на рисунке 16.

Рисунок 16 — Блок-схема алгоритма поиска корня уравнения методом Ньютона

Комбинированные методы

Комбинированные методы решения уравнения основаны на сочетании описанных выше методов и позволяют получить приближение к корню с противоположных сторон с сужением интервала локализации корня.

Оба метода используются последовательно, при этом интервал локализации сравнивается с заданной точностью e. Корень уравнения находится как среднее двух значений, полученных каждым из методов.

На рисунке 17 приведена блок-схема комбинированного метода хорд-Ньютона.

Рисунок 17 — Блок-схема комбинированного метода хорд-Ньютона

Аналитическое решение уравнений численное решение уравнений

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options), где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение y»+y=x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командой rhs(%).

1. Найти общее решение дифференциального уравнения y’+ycosx=sinxcosx.

Итак, решение искомого уравнения есть функция

Замечание: при записи решения диффреренциального уравнения в Maple в строке вывода произвольная постоянная обозначена как _С1.

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y» — 2y’+y=sinx+e — x.

Замечание: так как исходное уравнение было второго порядка, то полученное решение содержит две произвольные константы, которые в Maple обычно обознаются как _С1 и _С2. Первые два слагаемых представляют собой общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а вторые два – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

3. Найти общее решение дифференциального уравнения порядка y»+k2y=sin(qx) в двух случаях: q ¹ k и q=k (резонанс).

Теперь найдем решение в случае резонанса. Для этого перед вызовом команды dsolve следует приравнять q=k.

Фундаментальная (базисная) система решений.

Команда dsolveпредставляет возможность найти фундаментальную систему решений (базисные функции) дифференциального уравнения. Для этого в параметрах команды dsolve следует указать output=basis.

Найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения: y(4)+2y»+y=0.

>dsolve(de, y(x), output=basis);

Решение задачи Коши или краевой задачи.

Команда dsolve может найти решение задачи Коши или краевой задачи, если помимо дифференциального уравнения задать начальные или краевые условия для неизвестной функции. Для обозначения производных в начальных или краевых условиях используется дифференциальный оператор , например, условие y»(0)=2 следует записать в виде

1. Найти решение задачи Коши: y(4)+y»=2cosx, y(0)= — 2, y'(0)=1, y»(0)=0, y»'(0)=0.

y(x)= — 2cos(x) — xsin(x)+ х

2. Найти решение краевой задачи:кккк

y(x)=2x — p + p cos(x)

Замечание: для построения графика решения предварительно следует отделить правую часть полученного выражения.

Системы дифференциальных уравнений.

Команда dsolve может найти решение системы дифференциальных уравнений (или задачи Коши), если в ней указать: dsolve(,), где sys — система дифференциальных уравнений, x(t),y(t),… — набор неизвестных функций.

Найти решение системы дифференциальных уравнений:

Найдены две функции x(t) и y(t), которые зависят от двух произвольных постоянных _С1 и _С2.

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Для многих типов дифференциальных уравнений не может быть найдено точное аналитическое решение. В этом случае дифференциальное уравнение можно решить с помощью приближенных методов, и, в частности, с помощью разложения в степенной ряд неизвестной функции.

Чтобы найти приближенное решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда, в команде dsolve следует после переменных указать параметр type=series (или просто series). Для того, чтобы указать порядок разложения n, т.е. порядок степени, до которой производить разложение, следует перед командой dsolve вставить определение порядка с помощью команды Order:=n.

Если ищется общее решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд, то коэффициенты при степенях х найденного разложения будут содержать неизвестные значения функции в нуле y(0) и ее производных D(y)(0), (D@@2)(y)(0) и т.д. Полученное в строке вывода выражение будет иметь вид, похожий на разложение искомого решения в ряд Маклорена, но с другими коэффициентами при степенях х. Для выделения частного решения следует задать начальные условия y(0)=у1, D(y)(0)=у2, (D@@2)(y)(0)=у3 и т.д., причем количество этих начальных условий должно совпадать с порядком соответствующего дифференциального уравнения.

Разложение в степенной ряд имеет тип series, поэтому для дальнейшей работы с этим рядом его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom), а затем выделить правую часть полученного выражения командой rhs(%).

1. Найти решение задачи Коши:

y(0)=0>, y(x), type=series);

В полученном решении слагаемое O(x^5) означает, что точность разложения была до 5-го порядка.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения y»(х) — y3(х)=е — хcosx, в виде разложения в степенной ряд до 4-го порядка. Найти разложение при начальных условиях: y(0)=1, y'(0)=0.

>restart; Order:=4: de:=diff(y(x),x$2)-

Замечание: в полученном разложении запись D(y)(0) обозначает производную в нуле: y'(0). Для нахождения частого решения осталось задать начальные условия:

3. Найти приближенное решение в виде степенного ряда до 6-го порядка и точное решение задачи Коши:

Замечание: тип решения дифференциального уравнения в виде ряда есть series, поэтому для дальнейшего использования такого решения (вычислений или построения графика) его обязательно следует конвертировать в полином с помощью команды convert

На этом рисунке видно, что наилучшее приближение точного решения степенным рядом достигается примерно на интервале — 1

Численное решение дифференциальных уравнений

Численное решение дифференциальных уравнений с помощью команды dsolve. Построение графиков решений дифференциальных уравнений с помощью команды odeplot.

Для того, чтобы найти численное решение дифференциального уравнения (задачи Коши или краевой задачи) в команде dsolve следует указать параметр type=numeric (или просто numeric). Тогда команда решения дифференциального уравнения будет иметь вид dsolve(eq, vars, type=numeric, options), где eq – уравнения, vars – список неизвестных функций, options – параметры, позволяющие указать метод численного интегрирования дифференциального уравнения. В Maple реализованы такие методы: method=rkf45 — метод Рунге-Кутта-Фельберга 4-5-ого порядка (установлен по умолчанию); method=dverk78 – метод Рунге-Кутта 7-8 порядка; mtthod=classical – классический метод Рунге-Кутта 3-его порядка; method=gear и method=mgear – одношаговый и многошаговый методы Гира.

График численного решения дифференциального уравнения можно построить с помощью команды odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2), где в качестве функции используется команда dd:=dsolve(, y(x), numeric) численного решения, после нее в квадратных скобках указывают переменную и неизвестную функцию [x,y(x)], и интервал x=x1..x2 для построения графика.

1. Найти численное и приближенное решение в виде степенного ряда до 6-ого порядка задачи Коши: ,

Сначала найдем численное решение задачи Коши

Замечание: в строке вывода появляется сообщение о том, что при решении использован метод rkf45. Во избежание вывода строк, не несущих полезной информации, рекомендуется отделять промежуточные команды двоеточием. Если необходимо получить значение решения при каком-то фиксированном значении переменной х (заодно будет выведено значение производной решения в этой точке), например, при х=0.5, то следует набрать:

Теперь найдем приближенное решение задачи Коши в виде степенного ряда и построим графики численного решения и полученного степенного ряда в интервале их наилучшего совпадения.

Наилучшее приближение решения степенным рядом достигается примерно на интервале — 1

2. Построить графики решений задачи Коши системы дифференциальных уравнений:

х ‘(t)=2y(t)sin(t) — х (t) — t,

Пакет графического представления решений дифференциальных уравнений Detools.

Для численного решения задачи Коши, построения графиков решения и фазовых портретов в Maple имеется специальный пакет DEtools.

Команда DEplot из пакета DEtools строит численными методами графики решения или фазовые портреты. Эта команда аналогична команде odeplot, но более функциональна. Она, в отличие от odeplot, сама производит численное решение дифференциального уравнения. Основные параметры DEplot похожи на параметры odeplot: DEplot(de, vars, range, x=х1..х2, y=у1..у2, cond, ptions), где de — дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений; vars – список неизвестных функций; range – диапазон измерения независимой переменной; cond – начальные условия; x=х1..х2 и y=у1..у2 – диапазоны изменения функций; options – дополнительные параметры.

Наиболее часто используемые параметры: linecolor=цвет линии; scene=[x,y] — определяет, какие зависимости выводить на график; iterations=число итераций, необходимое для повышения точности вычислений (по умолчанию это число равно 1); stepsize=число, равное расстоянию между точками на графике, по умолчанию оно равно (x2 — x1)/20, этот параметр необходим для вывода более гладкой кривой решения;obsrange=true/false — прерывать или нет вычисления, если график решения выходит за установленный для рисования интервал.

Для решения дифференциального уравнения n-ого порядка начальные условия можно задавать в более компактной форме: [x0, y0, y’0, y»0,…], где x0 — точка, в которой задаются начальные условия, y0 — значение искомой функции в точке x0, y’0, y»0,… — значения производных первой, второй и т.д. до (n — 1)-ого порядка.

Нарисовать график решения дифференциального уравнения:

, у(0)=0,у'(0)=1 ,у»(0)=1 , в интервале .

> restart; with(D Е tools):

(D@@2)(y)(0)=1]], stepsize=.1, linecolor=black,

Построение фазовых портретов систем дифференциальных уравнений.

Для дифференциального уравнения порядка выше первого команда DEplot рисует только кривые решений дифференциальных уравнений, а для систем дифференциальных уравнений первого порядка могут быть нарисованы и фазовые портреты.

С помощью команды DEplot можно построить фазовый портрет в плоскости (x, y), для системы двух дифференциальных уравнений:

Если система дифференциальных уравнений является автономной, то на фазовом портрете будет построено поле направлений в виде стрелок. Размер стрелок регулируется параметром arrows=SMALL, MEDIUM, LARGE, LINE или NONE.

Для того, чтобы нарисовать весь фазовый портрет, необходимо для каждой фазовой траектории указывать начальные условия: например, для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка несколько начальных условий в команде DEplots указываются после задания диапазона изменения независимой переменной t: [[x(0)=x1, y(0)=y1], [x(0)=x2, y(0)=y2],…, [x(0)=xn, y(0)=yn]].

Начальные условия можно задавать в более компактной форме: [t0, x0, y0], где t0 — точка, в которой задаются начальные условия, x0 и y0 — значения искомых функций в точке t0.

Фазовый протрет системы двух дифференциальных уравнений первого порядка можно также построить с помощью команды phaseportrait(sys, [x,y],x1..x2,[[cond]]), где sys — система двух дифференциальных уравнений первого порядка, [x,y] — имена искомых функций, x1..x2 — интервал, на котором следует построить фазовый портрет, а в фигурных скобках указываются начальные условия. Эта команда находится в пакете DEtools, поэтому данный пакет должен быть предварительно загружен.

1. Построить фазовый портрет системы дифференциальных уравнений:

для нескольких наборов начальных условий: х(0)=1, у(0)=0.2; х(0)=0, у(0)=1; х(0)=1, у(0)=0.4; х(0)=1, у(0)=0.75; х(0)=0, у(0)=1.5; х(0)= — 0.1, у(0)=0.7.

> restart; with(D Е tools):

stepsize=0.1, arrows=none, linecolor=black);

2. Построить фазовый портрет с полем направлений автономной системы

для различных начальных условий х(0)=1, у(0)=0; х(0)= — 1, у(0)=0; х(0)= p , у(0)=1; х(0)= — p , у(0)=1; х(0)=3 p , у(0)=0.2; х(0)=3 p , у(0)=1; х(0)=3 p , у(0)=1.8; х(0)= — 2 p , у(0)=1;.

> restart; with(D Е tools):

3. Построить фазовый портрет системы дифференциальных уравнений:

Начальные условия, диапазон изменения переменной и размеры координатных осей подбираются самостоятельно из соображений наглядности фазового портрета.

Решение уравнений

Цель лекции. Показать технику численного решения нелинейных уравнений с использованием сервисов MathCAD. Показать различные методы аналитического решения систем линейных уравнений.

4.1. Численное решение нелинейных уравнений

Относительно небольшое количество задач решения уравнений можно решить аналитически. Аналитическое решение предполагает точное определение корней либо нахождение алгоритма, по которому корни всегда могут быть найдены. На практике часто приходится искать решение при помощи численных методов [1, 11]. Уравнения решаются численными методами с заданной погрешностью. В MathCAD погрешность задается системной константой TOL . Как правило, отыскание корней алгебраического уравнения (или системы уравнений) численными методами связано с двумя задачами:

• локализация корней, т. е. определение их существования в принципе, а также исследование их количества и примерного расположения;
• собственно отыскание корней с заданной погрешностью

Для численного решения уравнений в MathCAD существуют встроенные функции[1, 10], в которых реализованы алгоритмы известных численных методов: итерационный метод секущих ; различные градиентные методы и другие. Почти все встроенные функции предполагают, что корни уже приблизительно локализованы.

Использование функции root()

Рассмотрим решение простейших уравнений вида F(x)=0 . Решить уравнение – значит найти все его корни, т.е. такие числа, при подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Если функция нескольких аргументов F(x, у, ..)=0. , все остальные значения должны быть заданы для искомого x . Для локализации корней (исследования их количества и примерного расположения) полезно построить график функции и определить все точки пересечения графика функции с осью OX.

Функция root () вычисляет значение переменной, при котором F(x, у, ..)=0 . Если уравнение имеет несколько корней, функцию надо вызывать соответствующее число раз. Вычисления реализуются итерационным методом. Данный метод заключается в постепенном приближении к искомому корню с некоторой точностью от начального значения переменной. Точность вычислений задаётся системной переменной TOL , определённой в меню Tools/ Worksheet Options .. По умолчанию равной 0.001.

root(F(x, у, . ), x, [a, b]) возвращает с заданной точностью значение переменной, x , лежащей между a и b при котором функция равна нулю. Значения F() для a и b должны быть разных знаков. Третий аргумент не обязателен. Выбор решения определяется выбором начального значения переменной

Пример 4.1

Решить уравнение