Аналитическое решение уравнений с параметром

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 . Так как возрастает на , то z(3) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Аналитические методы решения задач с параметрами

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

Проблема исследования — Традиционно задачи с параметром включаются в варианты письменных экзаменов в вузы, централизованного тестирования и Единого государственного экзамен, поэтому мною выбрана актуальная тема «Аналитические методы решения задач с параметрами».

Цель работы – систематизировать методы решения задач с параметрами, сводящихся к исследованию квадратного.

В ходе исследования решались следующие задачи –

разработать блок схемы, отображающие всевозможные варианты, возникающие при решении квадратных уравнений с параметрами.

систематизировать наиболее часто встречаемые задачи с параметрами, выделить классы задач, решаемых по единой схеме, выработать приёмы для их решения

Методика – В процессе работы изучалась, обобщалась и анализировалась теория научных работ известных математиков, таких как Г.А. Ястребинского, С.А Шестакова, Е.В Юрченко и других.

Результаты – Разработанные блок – схемы помогут учащимся решать задачи с параметрами, которые включаются в варианты предлагаемого Единого государственного экзамена, а также при подготовке к вступительным экзаменам по математике в вузы.

Аналитические методы решения задач с параметрами

Знаки корней квадратного уравнения…..………… …………..…………..…. 6

Задачи с параметрами являются наиболее трудным разделом в школьном курсе математики. Трудности решения такого рода задач вызваны прежде всего тем, что в любом случае, даже при решении простейших уравнений и неравенств ,содержащих параметры ,приходится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. При этом необходимо чётко следить за сохранением равносильности решаемых уравнений и неравенств с учётом области определения выражений, входящих в уравнение или неравенство.

Основной целью исследовательской работы была систематизация (в форме блок-схем)наиболее часто встречающихся и наиболее типичных задач с параметром, связанных с исследованием квадратного трехчлена. Используя блок-схемы, выполнено решение ряда заданий из сборника задач лицея ТРТУ.

Традиционно задачи с параметрами включаются в варианты письменных экзаменов в вузы, централизованного тестирования и Единого государственного экзамена.

Аналитические методы решения задач с параметрами

Определение 1 . Уравнение вида ax 2 + bx + c , где a , b , c Є R , a ≠0 , называется квадратным уравнением относительно переменной x .

Ситуации, возникающие при решении квадратных уравнений, отразим в блок-схеме I .

корня

два различных корня

Пример 1 . При каких значениях параметра c уравнение ( c -2) x 2 +2( c -2)+2=0 не имеет корней?

Решение: Рассмотрим два случая:

2) если с-2=0, с=2, то заданное уравнение примет вид 0 x 2 +0 x +2=0, 2=0, т.е.

уравнение не имеет корней.

Пример 2 . При каких значениях параметра a уравнение

(a 2 -6 a +8) x 2 +( a 2 -4) x +10-3 a — a 2 =0 имеет более двух корней?

Решение: Так как квадратное не может иметь более двух корней, а линейное может иметь бесконечно много корней, то в силу схему VI имеем

10-3a-a 2 =0 a=-5, a=2, a=2.

Пример 3 . При каких значениях параметра m уравнение

Решение: Уравнение mx 2 -( m +1) x +2 m -1=0 имеет два различных действительных корня, если D>0, m≠0.

( m +1) 2 -4(2 m -1) m >0 m 2 +2 m +1-8 m 2 +4 m >0

Знаки корней квадратного уравнения .

Всевозможные комбинации знаков корней квадратного уравнения отразим в блок-схеме II.

Корни разных знаков

Корни одного знака

Пример 1. При каких значениях параметра с уравнение

(с-1)x 2 +( c +4) x + c +7=0 имеет отрицательные корни?

Решение: Рассмотрим два случая (линейный и квадратичный):

1)если с-1=0, с=1, то уравнение примет вид 5х+8=0, х=-5/8-отрицательный корень;

2)если с-1≠0, с≠1, то следуя схеме II, получим систему:

с

1

_{-22/3 2} с

с

_{-4 1} с

-22/3≤с c ≤2 . Объединяя результаты обоих случаев, получим:

Пример 2. При каких значениях а уравнение (а-1)х 2 +2(2а+1)х+4а+3=0 имеет корни одного знака?

Рашение: Рассмотрим два случая:

1)если а-1=0, а=1, то уравнение примет вид 6х=-7, х=-7/6-один корень.

2)если а-1≠0, а≠1, то следуя схеме II:

Ответ:

Определение. Функция вида y = ax 2 + bx + c , где а≠0 , называется квадратичной. График квадратичной функции называется параболой. Абсциссы точек пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью (ОХ) являются корнями уравнения ax 2 + bx + c =0 .

Отразим взаимное расположение параболы и оси (ОХ) в блок-схеме III.

Пересекает ось (ОХ)

Касается оси (ОХ)

Не пе ресекает ось (ОХ)

Лежат выше оси (ОХ)

Лежат ниже оси (ОХ)

Пример 1. При каких значениях параметра а вершина параболы

Решение: Пусть (х ₀ ; у ₀ )- координаты вершины параболы. В силу замечания имеем х ₀ =7а, у ₀ =а 2 -10 +3а. Так как вершина параболы лежит в третьей четверти, то

-5 a

Пример 2. При каких значениях параметра b график функции лежит ниже оси (ОХ) ?

Решение: Рассмотрим два случая:

1)Если b =2 , то прямая у=8х-1 не лежит ниже оси (ОХ).

2)Если . b =-2 , то прямая у=-1 лежит ниже оси (ОХ) .

2.Пусть 4-b 2 ≠0 , тогда в соответствии со схемой III получим:

Настоящая исследовательская работа «Аналитические методы решения задач с параметрами» посвящена актуальному вопросу, систематизации методов решения задач с параметрами, сводящихся к исследованию квадратного трёхчлена.

В процессе работы были разработаны блок схемы, отображающие всевозможные варианты, возникающие при решении квадратных уравнений, исследованию корней квадратных уравнений.

Разработанные блок – схемы помогут учащимся решать задачи с параметрами, которые традиционно включаются в варианты предлагаемого Единого государственного экзамена, а также при подготовке к вступительным экзаменам по математике в вузы.

В процессе работы изучалась, обобщалась и анализировалась теория научных работ известных математиков, таких как Г.А. Ястребинского, С.А Шестакова, Е.В Юрченко и других.

1. Г. А. Ястребинецкий «Задачи с параметрами» Москва: «Просвещение», 1988 год

2. С. А. Шестаков, Е. В. Юрченко «Уравнения с параметром» Москва, 1993 г

3. И. А. Кушнир «Неравенства» Киев: Астарта, 1996 г.

4. П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский «Задачи с параметрами»

М.: Илекса, 1998 г

5. И. А. Лепская, А. Е. Лепский «Методы решения задач с параметрами», материалы II методического семинара, Таганрог: ТРТУ, 2003 г.

Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами.
консультация по алгебре (11 класс) на тему

В работа рассмотрены различные подходы к решению линейных уравнений с параметрами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами.

В работе рассмотрены различные подходы к решению линейных уравнений с параметрами. Данная тема необходима учащимся для первичного ознакомления с методами решения уравнений с параметрами, которая является опорным пунктом подготовки к ЕГЭ (решение заданий части «С5»).

1. Понятие уравнений с параметрами.
2. Различные виды и методы решений линейных уравнений с параметрами.
3. Задания для самостоятельной работы.

Рассмотрим уравнения, в которых некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами. Такие уравнения называются уравнениями с параметрами, а буквы – параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения.

Решить уравнение с параметрами – значит, найти множество всех корней данного уравнения в зависимости от допустимого значения параметра. (Т.е. указать, при каких значениях параметра существуют решения, и каковы они, затем исследовать его относительно параметра)

Алгоритм решения уравнений с параметрами примерно таков:

• Разбить область изменения параметра на промежутки, где при изменении параметра в каждом из них полученные уравнения решаются одним и тем же методом.(Границами промежутков служат те значения параметра, в которых, или при переходе через которые, происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра называют «особыми» или контрольными).
• Отдельно на каждом промежутке находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра.
• Ответ уравнения состоит из списков изменения параметра с указанием всех корней для каждого промежутка (или конкретных значений параметра).

Основные методы решения уравнений с параметрами.

1. Решение простейших линейных уравнений с параметрами.

Исследуем линейное уравнение вида: ax =b (1)

1. а 0, b R, то уравнение (1) имеет единственный корень х= .
2. а=0, b=0, уравнение (1) имеет корнем любое действительное число, т.е. х R.
3. а 0, 0, уравнение (1) не имеет корней.

Пример №1: ax = 5; при a=0 имеем 0х=5, чего не может быть,

тогда х , при а 0 х= .

Пример №2: 0х=а; при а=0 получим 0х=0 х R, при а 0 х .

Пример №3 : Iхl=а, при а=0 х=0; при а>0 х= а, при а х .

Приведем уравнение к виду: х(а-1)=6;

если а=1, то 0х=6, нет решений;

Ответ: при а 1 х = ; при а=1 нет решений.

1. Более сложные линейные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничением на ОДЗ.

Алгоритм решения таких уравнений:

1. Найти ОДЗ.
2. Решить уравнение относительно х.
3. Определить контрольные значения параметра (к.з.п.)
4. Проверить, нет ли таких значений параметра, при которых значение х было бы равно числу, не входящему в ОДЗ.

1. ОДЗ: х 2
2. К.з.п. а=0.
3. Решим уравнение относительно х:

• При а=0 уравнение имеет вид =3. Уравнение корней не имеет.
• При а 0 уравнение имеет вид а=3(х-2), отсюда х=

1. Проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых х=2, т.е. решим уравнение: =2, а=0 ( т.е. приа=0 нет решений)

Ответ: при а 0 х= ; при а=0 нет решений.

2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на а 0: 2(а-1)х=(х-1)а +5;

2ах -2х – ах = 5 – а;

1. К.з.п. а = 2, т.к. коэффициент при х обращается в 0 при а=2

• Если а=2, то 0х=3, нет решений;
• Если а 2, то х = .

Ответ: при а=2 нет решений; при а 2 и при а 0 х = ; при а=0 уравнение не имеет смысла.

Примечание. Если при каком-нибудь значении параметра а=а 0 данное уравнение не имеет смысла, то нет и решений при а=а 0. Обратное утверждение не верно. Бывает, что при контрольном значении параметра уравнение имеет корни, но они не входят в ОДЗ.

3.Уравнения, сводящиеся к линейным

Пример №1 Решить уравнение: m = +

1. ОДЗ: т 0, х 1.
2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на т(х-1) 0, получим т 2 (х-1) = х – 1 + т – 1;

Х( т 2 – 1) = т 2 + т – 2;

1. К.з.п. т= 1

• Если т=1, то 0х=0, следовательно, х-любое действительное число, где х 1.
• Если т=-1, то 0х=-2, нет решений.
• Если т 1 и т то х= .
• Если т = 0, то нет решений.

1. Проверим, нет ли значений параметра а, при которых найденное значение х равно 1:

= 1, т+2=т+1, 0т=1, нет решений.

Ответ: при т=0 и т=-1 нет решений; при т=1 х (-∞;1) (1;+∞); при т 1 и

Пример №2 Решить уравнение: = .

2)Решим уравнение относительно х: (a+b)х = a – b.

3) К.з.п.: a+b = 0, a = -b.

• Если a = -b, то нет решений.
• Если a -b, то х = .

1. Найдем значения параметров а и b, при которых полученное значение х=1:

1 = , 2b = 0, b = 0. Следовательно, при b = 0 нет решений.

Ответ: при a -b и b 0 х = ; при a = -b и b=0 нет решений.

Пример №3 (МГУ, 2002) При каких значениях параметра b уравнение

9х+ b 2 – (2 — )b — 2 = b 4 х – b 2 (b + ) не имеет корней?

1. ОДЗ: х .
2. Решим уравнение относительно х:

(b 4 – 9)х = b 3 + (1+ ) b 2 – (2 — )b -2 ,

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда

Первое уравнение системы имеет два корня: b 1 = , b 2 = — .

1. Подставим во второе уравнение системы b 1 = , получим: 2 +6 ;

b 2 = — , получим 0=0. Т.е. второму условию удовлетворяет b 1 = .

Ответ: при b= уравнение корней не имеет.

Решить самостоятельно уравнения

1) (а+5)(а-3)х=а 2 — 25 ( при а и а х= ; при а=3 ; при а=-5 х ∊ R)

2) а 2 х = а(х+2) – 2 ( при а и а х= ; при а=0 ∅ ; при а=1 х ∊ R)

3) = — ( при а=-3, а=-2, а=1/2 ∅ ; при а и а х= )

4)1+ = — ( при а и а х= ; при а=-3, а=0, а=1 ∅ )

5) Для каких значений а решение уравнения 10х-15а = 13- 5ах = 2а больше 2? (МГУ, 1982)

• Г.А. Ястребинецкий. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М. Просвещение.1972.
• А.Г. Корянов. Задачи с параметрами. Брянск.2010.
• М.А. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Углубленное изучение математики. М. Просвещение. 1992.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая программа элективного курса по математике 10 класс «Методы решения задач с параметром».

Предлагаемый курс «Методы решения задач с параметром» предназначен для реализации в 10 классах для расширения теоретичес.

Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами

Решение задач с параметрами систематизирует знание основных разделов школьной математики, повышает уровень математического и логического мышления, формирует первоначальные навыки исследовательской дея.

Аналитические методы решения задач с параметрами Составитель: Е.М .Чернова МКОУ КГ№ 1

Одними из наиболее сложных задач для учащихся в курсе математики — это задачи с параметрами, так как требуют от них умения рассуждать логически и анализировать полученные решения. С одной сторон.

Графические методы решения уравнений с параметрами

урок в 11 классе.

Применение различных способов и методов решения задач с параметрами

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, ч.

Основные методы решения задач с параметрами

В действующем формате ЕГЭ по математике (профильный уровень) задания №18 содержат параметры и предполагают исследование свойств различных элементарных функций. Поэтому подготовку к и.

Аналитический способ решения задач с параметром.

Данный материал предназначен для обучающихся 10-11 классов и содержит задания для подготовки к ЕГЭ по теме «Задание №18. Решение задач с параметром». Он направлен на совершенствование умений.