Аналитическое решение уравнения нестационарной теплопроводности

Решение задач нестационарной теплопроводности.

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ.

Общие положения. Описание процесса.

Ранее были рассмотрены условия распространения теплоты при стационарном режиме, когда температурное поле не менялось во времени, оставалось постоянным.

Если же температурное поле меняется во времени, т.е. является функцией времени, то протекающие в таких условия процессы называются нестационарными.

Нестационарные процессы теплопроводности встречаются при охлаждении и нагреве металлических заготовок, прокалывании твердых тел, в производстве стекла, обжига кирпича и т.д.

В качестве примера рассмотрим такой случай. Тело внесено в среду более высокой температурой; сразу же между средой и телом возникает процесс теплообмена, и тело начинает прогреваться. Сначала нагреваются поверхностные слои, но постепенно процесс прогрева распространяется вглубь тела (рис. 1.6.1).

По истечении некоторого времени (теоретически бесконечно большого) температура всех частей тела выравнивается и становится равной температуре окружающей среды, т.е. наступает тепловое равновесие.

На рис. 1.6.1 показан характер кривых, полученных при нагревании однородного твердого тела в среде с постоянной температурой .По мере нагрева температура в каждой точке асимптотически приближа­ется к температуре нагревающей среды. Наиболее быстро изменяется температура точек, лежащих вблизи поверхности тела. С увеличением времени прогрева эта разность будет уменьшаться и теоретически через достаточно большой отрезок времени она будет равна нулю.

При нестационарном режиме количество переданной теплоты также непостоянно во времени (рис. 1.6.2). По мере прогрева тела количество воспринимаемой теплоты уменьшается и в пределе становится равным нулю. Площадь, заключенная между осями и кривой, определяет собой полное количество теплоты, переданное за время . Эта теплота аккумулируется телом. Нестационарные тепловые процессы всегда связаны с изменением внутренней энергии или энтальпии вещества.

Аналогичным образом протекает и процесс охлаждения тела, при этом выделенная теплота передается в окружающую среду.

Скорость теплового процесса при нестационарном режиме определяется значением коэффициента температуропроводности

а , .

Любой процесс нагревания или охлаждения тела можно разделить на три режима.

Первый режим — начало процесса.

Характерной особенностью этого режима является распространение температурных возмущений в пространстве и захват все новых и новых слоев тела. Скорость изменения температуры в отдельных точках при этом режиме различна и зависит от начальных условий.

Это режим неупорядоченного процесса.

С течением времени скорость изменения температуры во всех точках тела становится постоянной. Это режим упорядоченного процесса, он называется регулярным режимом.

По прошествии длительного времени наступает третий режим, характерной особенностью которого является постоянство распределения температур во времени – это стационарный режим.

Например, в работе паровых котлов нестационарный режим возникает лишь при пуске в работу, выключении и изменении режима работы и имеет временный характер. Поэтому расчет таких аппаратов производится лишь для основного, стационарного режима, а для нестационарного совсем не рассчитывается. В работе же нагревательных печей, наоборот, нестационарный режим является основным, при их расчете приходится определять время, необходимое для прогрева металла до заданной температуры, или температуру, до которой металл нагреется в течение определенного промежутка времени.

Описанный характер изменения температуры и количества переданной теплоты справедливы лишь для твердых тел.

Решение задач нестационарной теплопроводности.

Решить задачу нестационарной теплопроводности это значит найти зависимость изменения температуры и количество теплоты переданной телу во времени для любой точки тела:

Для аналитического нахождения этих зависимостей может быть использовано дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье:

.

Это уравнение решается с помощью рядов Фурье. Аналитическое решение получается очень сложным и возможно лишь для тел простой формы (пластины, цилиндра и шара) при целом ряде упрощающих предпосылок.

Аналитическое описание процесса теплопроводности кроме дифференциального уравнения также включает в себя и условия однозначности.

Условия однозначности задаются в виде:

· физических параметров , , ;

· формы и геометрических размеров объекта ;

· температуры тела в начальный момент времени ; t = t₀ = f(x, у, z).

· граничных условий, которые могут быть заданы в виде граничных условий третьего рода:

.

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключается в отыскании функции, которая удовлетворяла бы уравнению и условиям однозначности.

t=f(x,y,z,i,a,t₀,t_ж, )

Если решить это уравнение для плоской стенки и рассмотреть процесс изменения температуры только в одном направлении x, то решение будет иметь следующий вид:

,

где b иcопределяются из условий стационарности процесса, т.е. при ;

, — из граничных условий 3 рода;

— из начальных условий, т.е. при .

Из уравнения видно, что искомая функция t зависит от большого числа переменных, которые можно сгруппировать в 3 безразмерных комплекса, эти комплексы называются числами подобия.

Первое число подобия — Число Био:

,

где — коэффициент теплоотдачи на границе жидкости и твердого тела;

λ — коэффициент теплопроводности твердого тела;

l— характеристический размер, который определяется в зависимости от формы тела:

для пластины l=δ;

для цилиндра l= ;

для шара l= .

Второе число подобия — Число Фурье:

,

гдеa— коэффициент температуропроводности;

Число Фурье называют также безразмерным временем.

Третий безразмерный комплекс — безразмерная координата:

.

Установлено, что θ— безразмерная температура, является функцией чисел Био и Фурье, для фиксированных значений , т.е.

.

Изменение безразмерной температуры θ для центра ( ) и поверхности ( ) можно представить графическим решением, которое приведено на рисунке 1.6.3.

Подобные графики построены для центра и поверхности пластины, цилиндра и шара, а так же для безразмерного количества теплоты, которая является функцией числа Bi и :

.

Следовательно, чтобы определить температуру на поверхности или в центре тела необходимо знать две величины: число Bi и число .

Таким образом, метод решения задач нестационарной теплопроводности заключается в следующем:

1) задаются геометрическими, начальными и граничными условиями [(с;λ; ; ;α; ),( или )];

2) вычисляют числа Bi и ;

, ;

3) зная числа Bi и по графику, определяют безразмерную температуру θ;

4) определив θ, рассчитывают температуру в центре

или на поверхности тела

,

где — начальная температура тела;

— температура среды.

Рассмотрим влияние значений чисел Bi на распределение температуры в теле на примере охлаждения пластины.

Из полученного решения следует, что для любого момента времени температурное поле имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины ( ). В каждый последующий момент будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхности (рис. 1.6.4).

Для любого момента времени касательные к кривым в точках проходят через направляющие точки +А и

– А, которые расположены на расстоянии от поверхности пластины, причем

или ,

отсюда , т.е. расстояние до точки А полностью определяется условиями однозначности.

Сказанное справедливо для всех поверхностей.

Аналитическое решение нестационарных задач теплопроводности

Если в объеме корпуса нет источника тепла и раковины, то общее Тепловой поток через поверхность F согласно (8.2)、 Q = = 4 ″ zqdF(14.8） Равна скорости изменения энтальпии (количества тепла) вещества, заключенного в объеме (14.9） По теореме Остроградского-Гаусса ^ в сфере туризма » = Ф див qdV. (14.10) в q = — K град /и затем divx Xgrad. / = П2 / ДФ dx2 + dz2 ’ И затем При сравнении формул (14.9) и (14.10)、 kV2tdV = \ СР ^ — дв. (14.11） Равенство (14.11) справедливо для произвольно выбранных томов, поэтому подынтегральные функции также равны друг другу. И затем… в ^ 72(= д (/ДМ (14.12） Где » X /(cp) — коэффициент теплопроводности.

Это нестационарное дифференциальное уравнение теплопроводности. Для его закрепления необходимо задать начальные условия определения температуры ионов, которые необходимо учитывать Объектом в первый момент времени является r = 0, граничное условие, определяющее законы температуры или теплообмена на границах объекта. В теплопередаче принята классификация граничных условий. Я добрый-устанавливаю температуру поверхности геля. II вид-устанавливается плотность теплового потока на поверхности тела. III тип-поверхность тела представляет собой теплообменник со средой известной температуры в соответствии с законом Ньютона (9.1). IV тип-рассматриваемое тело находится в тесном контакте с другим телом.

При решении стационарных задач теплопроводности использовались граничные условия типа 1 для типа 8.3 и типа 3 для типа 12.2. Анализ решений различных нестационарных задач Условия описаны в специальной литературе. Здесь мы рассмотрим только 1 из них-постоянную температуру/ х и охлаждение бесконечной пластины в среде при постоянном коэффициенте Теплопередача(рис. 14.1).

Если рассматриваемое поперечное сечение находится далеко от края, то распределение температуры по сечению пластины конечных размеров почти такое же, как и у бесконечной На расстоянии более чем в 10 раз превышающем толщину пластины） Для этого 1-го случая (температура изменяется только вдоль толщины пластины) уравнение (14.12) принимает вид: dx2 ad2t / = ДТ / ДТ(14.13） В исходном состоянии Zt_0 = / 0 =минусы (.(14.14） Граничное условие типа 3 получено из баланса 2 тепловых потоков. От глубины к поверхности охлаждающего тела Подходит за счет теплопроводности-X (d / / dx) r » ft и удаления Передача тепла теплоносителю?

Из-за условия симметрии температурного поля при x = 0 (^t_o = O. (14.16） Аналитическое решение задачи (14.13) — (14.16) 1 обычно дается в безразмерном виде. Рисунок 14.1 к заявлению о проблеме охлаждения Новое блюдо 2 раковины^ + зп » КГУ» потому что(Р «Х») Х н-я Хехр (- ПФО). (14.17） Где k = (/- /a)/ (/o-U)является безразмерным Температура, p * — корень характеристического уравнения ctgp = pn / Bi. 1 методы решения такого рода задач рассматриваются в специальных науках, предметной физике, и не предусмотрены в данном кратком курсе. Вы можете проверить точность решения.

Подставляя начальное уравнение, а также начальные и граничные условия для n. / ’O = ar / b2 — число Фурье (безразмерное время). Bi = a6 / X-это число био. Число смещений характеризует соотношение теплопередачи и теплопередачи за счет теплопроводности твердых тел от центра к поверхности относительно теплового сопротивления теплопередачи Я /(АФ).Термически тонкое состояние объекта(14.1) может быть описано в виде Bi-*-0 (фактически Bi 0.1). Расчеты по формуле (14.17) можно выполнить с помощью любого микрокалькулятора с самым простым программированием.

Во-первых, в диапазоне от 0 до s / 2 мы находим первый корень pi уравнения ctg P, rt = p» / Bi и вычислить первый член ряда и добавить к нему следующий член. Поэтому интервал сдвигается на величину l по сравнению с предыдущим значением (рис.14.2).Линия Он сходится быстро, обычно 6 членов достаточно. Для Fo > > 0.3, вы можете ограничить до первого 1 члена. Решение таких задач включает в себя следующее, Поэтому еще проще использовать номограммы, имеющиеся в справочнике[9], особенно если форма рассматриваемого объекта цилиндрическая или сферическая.

• Распределение температуры по толщине пластины в различных точках представляет собой группу кривых в координатах 0, X (или t, x)с максимальным значением на оси пластины (рис.14.3). В любой момент времени E0> 0 (m> 0) тангенс кривой распределения температуры границы пластины появляется на расстоянии 1 / Bi от поверхности в 1 точке C на оси X. Пластина. Это может легко указать, сводится ли граничное условие (14.15) к безразмерной форме (30 / dX) x»i- -Bi9f. По определению производной (д0 / дх) Ке / = — тг Ф(рис. 14.3), следовательно, тг Ф = орудий Б-10.14.3 тг (Р = ^ АВ / АС, где АВ ^ КК. Следовательно, AC = I / Bi. Если значение Bi велико(фактически Bi> 100), то С другой стороны, 14.2.

Графические решения этг Уравнения Рисунок 14 3.Распределение температуры в направлении толщины охлаждающей плиты Стоя л / би — *-0.Это означает, что сразу после начала процесса поверхность корпуса остынет до температуры жидкости(рис. 14.4, а). Определяется только термическим сопротивлением теплопроводности, и дальнейшее увеличение а уже не ускорит процесс охлаждения. Если значение Bi-I) невелико, то его специально рассматривали в начале этого chapter. In в этом случае LS =(!/ B|) — » — oo, то есть температура не изменяется с толщиной пластины(рис. 14.4, b).

Вы также можете использовать решение (14.17) для расчета температурного поля бесконечного прямоугольного стержня и параллелепипеда. Такое объединение считается образованным. 9. ФО-0 е-я Джи?、 Икс 9. Рис. 14.4.

Распределение температуры Bi — *в направлении толщины охлаждающей пластины при oo (a) и Bi — * О (b) Пересечение 2 или 3 взаимно перпендикулярных бесконечных пластин и безразмерной температуры в любой точке будет иметь вид произведения безразмерной температуры Это тело образовано пересекающимися бесконечными пластинами. Например, электрическая печь с температурой 14,1 900 ° C, диаметром 50 мм и длиной 2 м, вычисляет время нагрева круглой стальной полосы 20 ° C от 0 до 800°.

В пределах определенного интервала температуры топления частей, теплофизические свойства металла и условия теплообмена меняют значительно, для того чтобы выполнить точный расчет、 Разделите этот интервал на меньшие интервалы и найдите общее время нагрева как sum.

To проиллюстрируйте этот метод, выполните только приблизительную оценку сразу для всей температуры Интервал (метод расчета не зависит от размера интервала температур нагрева).Теплофизические свойства металла и условия теплообмена учитываются в среднем и заданном интервалах Температура нагрева/и −400°C В [ссылка 115], найти теплофизические свойства стали с/ «= 400С: Л» = −42.7 Вт /(мК); p «-7682 кг / М5: s- = * 682 Дж /(КГК); в = 0,8. / f −900°C и= 40(1°C: Хж- −7.63-10 * 2 Вт /(м-К); в»-155.1-10- м?/ С; РГХ-0,717; РГС-0,678; 0. = 1 / ГФ^ 1 /(273 + + 900)= 8.5-10″ 4 1 /К.

Коэффициент теплопередачи естественной конвекции по аналогии с примером (10.2) Ну * = 0,5 (Кржррж) 0 25 (РЖ / Ргэ) 0= = 0.5（2.17 −10 *•0.717）°-、с.（0.717 / 0.678）°•«= 5.66。 Хе КРФ = ^^ ^ 1₽ * Вт = 9.81

IQ-4（900-400）-0.053（155.1-10〜6）2 = 2.17-IO4; А «= ну » л » / д = = 5.66■7.63•10″ 2 / 0.05 = 8.6 ж /(м2 * к). Тепловой поток за счет излучения от стенок печи с температурой/ f. найти стержень по аналогии с примером (11.1). Ци 2-iCtfxdt [(ТЖ / 100) ’ — (ГС / 100> «|- = 0.8-5.67-3.14 0.05-2 — (ш)‘] −24,°’ БТ- Коэффициент теплопередачи излучением a, = Q (2 / lt / / (/k -/) = = 24-103 / 3.14 −0.05 −2（900-400）= = 153 Вт / (м2 * к).

Общий коэффициент теплопередачи выглядит следующим образом а = а> + ал = 8,6 + 153 = 162 Вт /(мг > К). При высоких температурах теплопередача за счет излучения является доминирующей, обратите внимание на величину а без существенного errors. It не удалось проигнорировать и счет. Для выбора метода расчета времени нагрева можно использовать «Bi-ar / l»-162-0.025 / 42.7 вычислить—0.095. Следует отметить, что численное значение Bi содержит теплопроводность нагреваемого объекта (металла), а численное значение NuM содержит теплопроводность газа.

Так Как Bi 0.1.Нагретый объект можно рассматривать как термически тонкий, и можно использовать формулу(14.7).Из этой формулы мы вычисляем£ / V ’= 4 / rf (площадь обоих концов Игнорировать), получаем Ов * ’ж»’ г 4 * ’ ш» о 682-7682-0.05, 000-800. 4-162 С.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института