Андреев кузьмин савин саушкин функциональные уравнения

Андреев кузьмин савин саушкин функциональные уравнения

С функциональными уравнениями вы наверняка сталкивались не раз, но, наверное, и не подозревали, что они так называются. Так, функциональные уравнения f(x) = f(-x), f(-x) = —f(x), f(x+T) = f(x) задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Вообще говоря, функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

Крупнейшие математики (в их числе Эйлер, Гаусс, Коши, Даламбер, Абель, Лобачевский, Дарбу, Гильберт) неоднократно обращались к функциональным уравнениям и уделяли много внимания разработке методов их решения. Под выражением «решить функциональное уравнение» понимается нахождение неизвестной функции, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно превращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все). Ещё раз подчеркнём, что соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют постольку, поскольку неизвестные функции — искомые.

Как вы уже заметили, в функциональных уравнениях кроме неизвестных функций могут присутствовать функции известные, заданные в любой форме — явной (такие как x+1, [2/( x+1)], cosx и т. п.) или неявной. Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (1 ) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Многие функциональные уравнения, так же как и уравнения (1 ) (4 ), содержат несколько переменных (x, y и т. д.), и необходимо понимать, что эти переменные являются независимыми. Это значит, что равенство, определяющее функциональное уравнение, выполняется для дюбых значений переменных x, y (независимо друг от друга), и если даже мы зафиксируем y (например, подставим в уравнение y = 0), то равенство будет по-прежнему выполнено для каждого значения x. Этот факт широко используется при решении почти всех функциональных уравнений, содержащих несколько независимых переменных, и, по-видимому, является одним из основных. Тем не менее, в некоторых задачах может быть оговорено, что функциональное уравнение справедливо, например, для значений x и y таких, что x Ј y. Здесь уже наложено ограничение на свободу выбора значений переменных, и различного рода подстановки нужно применять с осторожностью. К этому мы ещё вернёмся при рассмотрении различных методов нахождения общих решений функциональных уравнений.

Следует упомянуть ещё об одном очень важном обстоятельстве. Всегда чётко должно быть оговорено, на каком множестве функциональное уравнение задаётся, т. е. какова область определения каждой неизвестной функции. Это необходимо потому, что общее решение функционального уравнения может зависить от этого множества.

Пример 1. Рассмотрим функциональное уравнение Коши

а) Если мы будем искать решения, определённые на всей вещественной оси (- Ґ , + Ґ ), то, подставив y = 0 » уравнение, получим f(0) = f(x)+ f(0) или f(x) є 0 (это единственное решение).

б) На множестве же (- Ґ , 0) И (0, + Ґ ) уравнение имеет также решения

Пример 2. Другим примером может служить функциональное уравнение

а) Если здесь функция определена для всех действительных x и имеет непрерывную производную, то решением будет функция f(x) = ax.

б) Если же ослабить условия, накладываемые на искомую функцию, то, как нетрудно проверить, решением является также функция

Кроме области определения самих функций, важно знать, в каком классе функций ищется решение. Количество и поведение этих решений очень строго зависит от этого класса. Решение f(x) = log_a|x| есть общее непрерывное решение функционального уравнения (3 ) на множестве (- Ґ , 0) И (0, + Ґ ), но, как уже говорилось, уравнение (3 ) имеет также разрывные (и только неизмеримые) решения на этом множестве. Это одна из характерных особенностей функциональных уравнений, и мы по мере сил будем говорить о ней на протяжении нашего рассказа.

Не начав ещё решать сами функциональные уравнения, мы уже видим, как много здесь «подводных камней». Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши нашёл общие решения

этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x).

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским из функционального уравнения

которое он решил методом, аналогичным методу Коши (это уравнение можно привести к уравнению

.

Функциональное уравнение (1 ) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение — значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (1 ) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослабленгию предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (1 )), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В § 3 мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. f(x) = ax для x О Q. Казалось бы, что тогда f(x) = ax для всех действительных x. Если f(x) — непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить -то нет. Первый пример отличного от f(x) = ax разрывного решения функционального уравнения (1 ) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель (Hamel) с помощью введённого им базиса действительных чисел.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) — класс функций, симметричных относительно прямой x = 1, и т. д.

Иногда для функциональных уравнений определяют понятие «порядка». Под порядком уравнения подразумевается порядок искомой функции, входящей в уравнение. В качестве примера рассмотрим два уравнения:

Существует важное различие между уравнениями (7 ) и (8 ). Первое из них не содержит суперпозиции неизвестной функции f, а второе -содержит. Так что (7 ) имеет первый порядок, а (8 ) — второй.

Мы будем в основном изучать уравнения 1-го порядка одной или нескольких переменных. Функциональные уравнения нескольких переменных — это уравнения типа

(в которых встречаются функции одной переменной, а самих независимых переменных несколько), а также типа

(т. е. уравнения, в которых сами неизвестные функции зависят от нескольких переменных).

Кроме этого, мы затроним вопрос о решении функциональных уравнений с несколькими неизвестными функциями и систем функциональных уравнений.

Вообще, для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно мало общих методов решения. Далее будут рассмотрены некоторые приёмы, позволяющие решать функциональные уравнения.

Математика, Функциональное уравнения, Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н., 1997

Математика, Функциональное уравнения, Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н., 1997.

Цель этой брошюры — познакомить читателя с некоторыми методами решения функциональных уравнений. Книга предназначена для учащихся старших классов, а также окажет неоценимую помощь в работе школьного математического кружка.

Крупнейшие математики (в их числе Эйлер, Гаусс, Коши, Даламбер, Абель, Лобачевский, Дарбу, Гильберт) неоднократно обращались к функциональным уравнениям и уделяли много внимания разработке методов их решения. Под выражением «решить функциональное уравнение» понимается нахождение неизвестной функции, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно превращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все). Ещё раз подчеркнём, что соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют постольку, поскольку неизвестные функции — искомые.

Введение.
§ 1. Идея непрерывности
§2. Уравнения Коши.
§ 3. Метод сведения функционального уравнения к известному с помощью замены переменной и функции
§4. Метод подстановок
§5. Предельный переход
§6. Производная и функциональные уравнения
§7. Функциональные уравнения, содержащие несколько неизвестных функций
§8. Системы функциональных уравнений.
§ 9. Графический способ решения некоторых функциональных уравнений.
§ 10. Решение функциональных уравнений. заданных на множестве натуральных чисел.
§11. Функциональные неравенства
§12. Некоторые общие приемы, позволяющие находить частные решения различных функциональных уравнений
§13. Уравнение Эйлера
§14. Разные задачи
Задачи для самостоятельного решения
Историческая справка.

Метод подстановок.
Общая суть метода такова: применяя различные подстановки (т. е заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями), мы пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. В задачах, решаемых таким методом очень часто не указывается класс функций, в котором решение ищется. В таких случаях предполагается, что нужно найти все решения без всяких ограничений (непрерывные, разрывные и т. д.). Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.

Идея непрерывности
Нахождение непрерывного решения функционального уравнения — как правило, непростая задача. Вся трудность обычно состоит в использовании самого факта непрерывности функции. (Здесь речь не идёт об уравнениях, для которых решение находится без использования этого факта.) Поэтому для начала напомним определение непрерывности.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика, Функциональное уравнения, Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н., 1997 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Решение функциональных уравнений методом подстановки

В условиях современного экзамена могут встретиться задачи, далеко выходящие за рамки школьного курса. Ряд таких задач вообще не встречается в учебниках, но их можно встретить в заданиях части С единого государственного экзамена. Речь идет, в том числе, о функциональных уравнениях.

Изучать функциональные уравнения математики начали боле двухсот лет назад, когда к ним привели некоторые задачи механики. В данной работе мы рассматриваем понятие функционального уравнения и один из методов решения таких уравнений. Кроме того, мы решаем системы уравнений, содержащих сложные функции. В своей работе мы опираемся на известные из школьного курса факты, однако весь рассматриваемый материал достаточно сложен и интересен.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Комитет по образованию администрации

муниципального образования «Город Саратов»

МУ «Городской методический центр»

МОУ «Гимназия №87»

Решение функциональных уравнений методом подстановки

ученицы 10«Б» класса

Золкина Светлана Владимировна

1. Определение функции. Сложная функция. ……………. 4

2. Сложная функция в уравнениях………………………..…. 7

3. Сложная функция в системах….………………………..….13

В условиях современного экзамена могут встретиться задачи, далеко выходящие за рамки школьного курса. Ряд таких задач вообще не встречается в учебниках, но их можно встретить в заданиях части С единого государственного экзамена. Речь идет, в том числе, о функциональных уравнениях.

Изучать функциональные уравнения математики начали боле двухсот лет назад, когда к ним привели некоторые задачи механики. В данной работе мы рассматриваем понятие функционального уравнения и один из методов решения таких уравнений. Кроме того, мы решаем системы уравнений, содержащих сложные функции. В своей работе мы опираемся на известные из школьного курса факты, однако весь рассматриваемый материал достаточно сложен и интересен.

1. Определение функции. Сложная функция

Определение 1. Дано некоторое числовое множество Х и указано правило f (закон), по которому каждому значению x (независимой переменной, или аргументу) из множества Х ставится в соответствие единственное значение y (зависимой переменной или функции) из множества Y= . Закон f называют функцией (выражение f(x) также называют функцией)

Запись y=f(x) означает, что y зависит от x . Буква x означает правило, по которому получается значение y, соответствующее данному значению x из множества X.

Определение 2. Множество X называется областью определения функции y= f(x) и обозначается D (f).

Определение 3. Множество Y =, где x принадлежит D (f), называется множеством значений (областью изменения) функции y=f(x) и обозначается E(f).

Функция f полностью определена, если известна область её определения и для каждого значения x, принадлежащего D(f), известно значение функции f(x) (известно правило, по которому находится это значение)

Функция может задаваться одной формулой для всех значений аргумента или несколькими различными формулами, для различных частей области определения. Например, f(x)= + ,

Определение 4. Если u=u(x) ( u есть функция от x ) и y=y(u) ( y есть функция от u ), то функция f(x)=y(u(x)) называется сложной функцией или композицией функций u=u(x) и y=y(u).

Например, если u(x)=sin x и y(u)= , то сложная функция f(x)=y(u(x)) есть , если f(x)= , то f( )= .

Найти функцию если .

2. Понятие функционального уравнения

В примерах 4 и 5 (приложение 1) мы встретили особый вид уравнений, которые называют функциональными. Мы с ними знакомы по уравнениям вида f(x) = f(-x), f(-x) = =-f(x), f(x+a) = f(x), которые задают такие свойства функций, как четность, нечетность, периодичность. Сложная функция – неотъемлемый компонент таких уравнений.

Определение 5. Функциональное уравнение – это некоторое соотношение, из которого нужно найти неизвестную функцию.

Определение 6. Решить функциональное уравнение – значит установить, имеет ли оно решения, и найти их, если они имеются.

Отдельные функциональные уравнения можно решить методом подстановки . Этот метод достаточно трудоемкий, так как в ходе решения уравнения получаются системы уравнений, из которых путем исключения получаются алгебраические уравнения относительно искомой функции.

Проиллюстрируем метод подстановки примерами. Будем считать, что все уравнения решены для допустимых значений переменных .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение Выполним некоторые преобразования.

После подстановки значения х в исходное уравнение получаем систему двух уравнений:

Пусть тогда система примет следующий вид:

Эту систему двух линейных уравнений с двумя переменными a и b можно решить с помощью формул Крамера. Причем искать будем только а.

Вернёмся к исходным переменным:

Пример 3. Решить уравнение

Введем новые переменные получим систему уравнений с двумя переменными, которая является линейной.

Решим эту систему, используя метод Крамера. Вычислим главный определитель системы.

Теперь найдем вспомогательные определители :

Пример 4. Решить уравнение

2) Подставим значение в уравнение, получаем:

2) Получаем уравнение:

2) Получаем уравнение:

Переходя во всех уравнениях к одной переменной (выполняя переобозначение), получаем систему из четырех уравнений:

После выполнения замены переменных , получаем линейную систему из четырех уравнений и четырех переменных.

Эту систему решали следующим образом: разбили ее на две системы (из первого и второго уравнений и из третьего и четвертого), затем в каждой системе выразили а через с. Получили:

В этой системе выражаем а через с способом алгебраического сложения.

Пример 5. Решить уравнение

2) Подставим значение в выражение для функции :

3) Получаем уравнение:

2) Подставим значение в выражение для функции :

3) Получаем уравнение:

Получаем систему из трех уравнений:

Пусть . Тогда система примет следующий вид:

Решим систему трех линейных уравнений с тремя переменными с помощью метода Крамера. Достаточно найти значение t. Подсчитаем главный определитель.

Подсчитаем определитель относительно :

Так как при допустимых значениях а определитель относительно получился ненулевой, то у системы нет решений.

Замечание. Строго говоря, числитель полученной дроби может быть равен нулю, но мы не смогли найти это значение а точно. Вообще, ситуация получилась интересная! Мы предположили, что система несовместна, на основании того, что ее главный определитель равен нулю при всех допустимых значениях а, а все остальные определители – только при одном (одинаковом)! Поэтому….

Ответ: нет решений.

3. Системы функциональных уравнений

Пример 6. Решить систему уравнений

При решении этой (и аналогичных) системы будем использовать метод замены переменной. Но замена производится не совсем обычным образом! Выбираем более простой аргумент и…

Теперь выполним подстановку:

Для того, чтобы решать систему было легче, сведем ее к линейной с помощью простой замены.

Вернёмся к исходным переменным.

f(x )=-2. Первое уравнение необходимо дорешать.

Пример 7. Решить систему уравнений

Решение. Выполним замену переменной:

Тогда система примет вид:

Сведем систему к линейной и решим ее.

Ответ.f(x) = x, g(x) = x+1.

В данной работе были рассмотрены функциональные уравнения и один из способов их решения — метод подстановки. В ходе работы мы убедились, что функциональные уравнения – это общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям относятся, в том числе, уравнения вида f(x) = f(-x), f(-x) = -f(x), f(x+a) = f(x), которые задают такие свойства функций, как четность, нечетность, периодичность. Сложная функция – неотъемлемый компонент таких уравнений.

Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональное уравнение можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

Отметим также то, что нам удавалось решить далеко не каждое функциональное уравнение, особенно из тех, что мы пробовали придумать самостоятельно. Например, уравнение мы решить методом подстановки не смогли, так как мы никак не могли получить линейную систему, появлялись все новые переменные. От чего это зависит, нет ли закономерностей, более общих, чем данный метод? Возможно, что ответы на эти вопросы мы сможем получить в ходе дальнейших исследований.

1. Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н. Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999
2. Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, 1983. – 96 с
3. Кострикина Н.П. “Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов” — М: “Просвещение”, 1991г.
4. Смышляев В.К.. Практикум по решению задач школьной математики. – М: “Просвещение”, 1978г.
5. Селиванова М.Решение уравнений и систем уравнений, содержащих сложную функцию. — Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября» «Математика» , №10, 1999 г., стр. 29.

Примеры сложных функций

Пусть g(f(x))= и f(x)= . Найдите f(g(2)).

Пусть f(x)=t. Тогда =t, откуда . Так как g(f(x))= , то g(t)=0,5(t+3)+(0,5(t+3) +0,1. Тогда g(2)=3 и f(g(2))=f(3)=15.

Найдите f(x) и g(x), если f( , f(g(x))= .

Пусть , тогда x= . Так как , то +1. Получаем . Так как по условию , то . Откуда

Пусть , где . Откуда . Переходя в равенстве к переменной , получим, что t≠1. Обозначая t через x, найдём где x≠1, x≠0, x≠