Андрей андреевич решение квадратных уравнений

math4school.ru

Андрей Андреевич Марков

1856–1922

– Насчет дочерей Маши и Ени я спокоен, – говорил как-то Андрей Григорьевич, – они учатся хорошо. А вот с Андреем беда! Опять меня вызывали к директору. Ничем Андрей не хочет заниматься, кроме математики!

Андрей Андреевич Марков (2 июня 1856 – 20 июля 1922) – русский математик, академик, внёсший большой вклад в теорию вероятностей, математический анализ и теорию чисел.

Марков, родился в Рязани. Он был сыном чиновника Андрея Григорьевича Маркова, служившего в Лесном департаменте в чине коллежского советника, а затем вышедшего в отставку и работавшего частным поверенным, или «ходатаем по делам», как тогда называлась эта профессия. Отец Андрея Григорьевича, Григорий Маркович Марков, был сельским дьяконом где-то близ Рязани. Отставка Андрея Григорьевича была связана с тем, что им были раскрыты злоупотребления вышестоящих служащих Лесного департамента. Чтобы скрыть следы своих проделок, влиятельные жулики заставили его подать в отставку. Андрей Григорьевич был женат дважды. От первой жены, дочери чиновника, Надежды Петровны, он имел шестерых детей; от второй жены, Анны Иосифовны, – трех: Владимира, Лидию и Екатерину. Из братьев Андрея Андреевича Маркова стал известным Владимир Андреевич (1871 – 1897). Он показал себя первоклассным математиком, но туберкулез свел его в могилу в возрасте 26 лет. Сестра Евгения Андреевна, была одной из первых русских женщин-врачей. По специальности психиатр он долгие годы работала в различных больницах для душевнобольных. Умерла она в 1920 году.

Андрюша Марков был болезненным ребенком. Он страдал туберкулезом коленного сустава и ходил на костылях. Впрочем, он умел обходиться и без них, но тогда скакал на одной ноге, – другая была согнута в колене и не разгибалась. В этих способах передвижения он достиг, однако, большого совершенства и мог даже с успехом играть в горелки.

Когда Андрюше было 10 лет, ему сделали операцию. Известный хирург Кадэ разогнул ему ногу, и он получил возможность ходить нормально. Правда, он потом, всю жизнь, слегка прихрамывал, но это не помешало ему стать хорошим пешеходом, любителем дальних прогулок. «Будешь жив, пока на ходу», – любил он цитировать слова одного врача, сказанные какому-то почтальону.

В 1866 году Андрея Маркова отдали в Петербургскую 5-ю гимназию. Это «классическое» учебное заведение с его казенщиной пришлось мальчику не по вкусу. На всю жизнь он сохранил мрачное воспоминание об этом месте, где его старались не столько учить, сколько муштровать и отуплять, чему в особенности способствовало преподавание древних языков (латинского и греческого), построенное на зубрежке бесчисленных правил и исключений. По большинству предметов он учился плоховато и часто получал неудовлетворительные отметки. Исключение составлял только один предмет – математика, по которому Андрей Марков неизменно получал пятерки.

Марков был очень увлечен математикой еще в школьный период и изучал эту науку самостоятельно. Одно время ему казалось, что он изобрел новый метод интегрирования обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Об этом своем открытии он сообщил известным русским математикам того времени: Буняковскому, Золотареву и Коркину. Из них первый ничего не ответил на письмо гимназиста Маркова, а два других подробно и обстоятельно разъяснили ему, что этот способ в действительности не является новым. Так завязалось знакомство Маркова с профессорами Петербургского университета А.Н. Коркиным и Е.И. Золотаревым.

Во время пребывания Андрея в выпускном классе произошел инцидент, едва не окончившийся исключением его из школы. Как-то раз во время молитвы после учения он складывал книги в портфель. На его беду последний урок вел преподаватель усердно искавший повода для придирок. Он не столько молился сам, сколько следил за поведением учеников во время молитвы. «Вы нарушаете благоговейное чувство класса, – заявил он ему по окончании молитвы. – Я сообщу директору». Когда товарищ Андрея, Капустин (впоследствии физик, профессор Петербургского университета), пытаясь заступиться за него, сказал преподавателю, что благоговейное чувство класса не было нарушено, рассвирепевший учитель закричал: «Вы никакой адвокат! Ступайте в карцер!». Педагог пожаловался директору; директор вызвал Андрея Григорьевича Маркова и заявил ему, что не потерпит у себя в гимназии «атеистов и нигилистов». История умалчивает о средствах, к которым пришлось прибегнуть Андрею Григорьевичу, чтобы утишить гнев директора – тройного ренегата, несколько раз менявшего религию и в конце концов остановившегося на православии.

В 1874 году Марков окончил гимназию и поступил в Петербургский университет. Там он слушал лекции Чебышева, влияние которого отразилось на всей его научной деятельности. Слушал он также профессоров Коркина и Золотарева, которые помимо лекций вели кружковые занятия с лучшими студентами. Он участвовал в этих занятиях, быстро решая трудные задачи, которые там ставились.

31 мая 1878 года Марков окончил Петербургский университет по математическому разряду физико-математического факультета со степенью кандидата. В том же году он был награжден золотой медалью за сочинение на предложенную факультетом тему «Об интегрировании дифференциальных уравнений при помощи непрерывных дробей» и был оставлен при Университете «для приготовления к профессорскому званию».

В 1880 году Марков защитил свою знаменитую магистерскую диссертацию «О бинарных квадратичных формах положительного определителя», сразу выдвинувшую его в первые ряды русских математиков.

В 1881 году он защитил докторскую диссертацию «О некоторых приложениях алгебраических непрерывных дробей».

В 1880 году началась преподавательская деятельность Маркова в Петербургском университете в качестве приват-доцента. В учебных 1880/81 и 1881/82 годах он читал повторительный курс дифференциального и интегрального исчислений. В 1883 году ему был передан курс «Введения в анализ», до того читавшийся Сохоцким и Поссе. В том же году из Университета ушел Чебышев, и Марков первый раз читал курс теории вероятностей. С учебного 1885/86 года он читал этот курс непрерывно из года в год.

В 1883 году Марков женился на Марии Ивановне Вальватьевой. Знакомство будущих супругов началось еще в их детские годы, на даче Екатерины Александровны Вальватьевой. Потом, когда Андрей Андреевич уже был студентом, а Мария Ивановна училась в гимназии и ей не давалась математика, Екатерина Александровна Вальватьева пригласила «сына управляющего» в качестве учителя математики к своей дочери.

Вскоре он просил у Екатерины Александровны руки ее дочери. Он, однако, не сразу получил согласие. Екатерина Александровна долго колебалась, опасаясь выдать дочь за человека, по ее мнению, недостаточно обеспеченного, не имеющего определенного «места». Лишь в 1883 году, когда Марков был уже приват-доцентом, собирался защищать докторскую диссертацию, и в перспективе намечалась профессура, было получено согласие, и свадьба состоялась.

13 декабря 1886 года, по предложению Чебышева, Марков был избран адъюнктом Академии Наук, 3 марта 1890 года – экстраординарным академиком, 2 марта 1896 года – ординарным академиком. В 1886 году он был назначен экстраординарным профессором Петербургского университета, а в 1893 году – ординарным.

В 1905 году Марков вышел из Университета в отставку со званием заслуженного профессора, но курс теории вероятностей продолжал читать. Стремясь найти полезное практическое применение для этой своей основной научной специальности, он принимал деятельное участие в расчетах Эмеритальной кассы Министерства юстиции при ее основании и обзорах ее действий.

Марков является первооткрывателем обширного класса стохастических процессов с дискретной и непрерывной временной компонентой, названных его именем. Марковские процессы обладают следующим (марковским) свойством: следующее состояние процесса зависит, вероятностно, только от текущего состояния. В то время, когда эта теория была построена, она считалась весьма абстрактной, однако в настоящее время практические применения данной теории чрезвычайно многочисленны. Теория цепей Маркова выросла в огромную и весьма важную область научных исследований – теорию марковских случайных процессов, которая в свою очередь представляет основу общей теории стохастических процессов. Марков существенно продвинул классические исследования предшественников, касающиеся закона больших чисел и центральной предельной теоремы теории вероятностей, а также распространил их и на цепи Маркова.

Следует указать, что Марков своим открытием (как и затем Колмогоров, предложивший строгую теоретико-вероятностную формулировку на основе теории меры) сделал крупнейший вклад в теорию случайных процессов и теорию вероятностей вообще.

Как и все выдающиеся русские математики, Андрей Андреевич Марков занимался многими проблемами математического анализа. В общем списке его научных трудов работы по математическому анализу составляют более одной третьей части.

Внимание Маркова привлекали теория непрерывных дробей, исчисление конечных разностей, теория интерполирования функций, экстремальные задачи в функциональных пространствах, проблема моментов, теория ортогональных многочленов, квадратурные формулы, дифференциальные уравнения, теория функций, наименее уклоняющихся от нуля, и другие вопросы. По многим разделам математического анализа Марков получил выдающиеся результаты, которые играют важную роль и в наши дни.

Марков воспринял идеи своего учителя Чебышева и занимался решением многих задач, поставленных в его трудах. Классические работы Чебышева и Маркова о предельных величинах интегралов составили основы теории моментов и теории экстремальных задач в функциональных пространствах.

Работ по теории чисел у Маркова сравнительно немного – 15, но они имеют непреходящее значение для этой теории. Сюда относится, прежде всего, магистерская диссертация «О бинарных квадратичных формах положительного определителя». Она примыкала к исследованиям Коркина и Золотарева и была высоко оценена Чебышевым. Диссертация посвящена проблеме арифметических минимумов неопределенных бинарных квадратичных форм. В последующих статьях рассматривается проблема арифметических минимумов неопределенных тернарных и кватернарных квадратичных форм. Идеи и результаты Маркова оказали большое влияние на дальнейшее развитие теории чисел.

Андрей Андреевич Марков был человеком открытым, прямым и смелым, никогда не изменявшим своим убеждениям, всю жизнь яростно боровшимся со всем, что считал глупым и вредным. Его гражданское мужество было очень стойким: он не считался ни с лицами, против которых выступал, ни с последствиями, которые его выступления могли иметь для него самого. Когда ему возразили как-то на одно его предложение, что оно идет вразрез с «высочайшим постановлением», он во всеуслышание сказал:

Я вам дело говорю, а вы мне – высочайшее постановление!

Вот несколько фактов, характеризующих Андрея Андреевича Маркова.

25 февраля 1902 года на соединенном заседании Отделения русского языка и словесности и Разряда изящной словесности Академии Наук был избран почетным академиком А.М. Горький (Пешков). 1 марта в «Правительственном вестнике» об этом появилось официальное сообщение. Оно взбесило царя Николая II, который решил немедленно кассировать выборы. С этой целью царь через министра народного просвещения Ванновского потребовал от «августейшего» президента Академии Наук великого князя Константина Константиновича Романова опубликования в том же «Правительственном вестнике» объявления о кассации выборов от имени самой Академии Наук. Такое объявление и было опубликовано. В качестве мотива кассации в объявлении делалась ссылка на то, что Горький находится под гласным надзором полиции. На этот акт грубого произвола «самодержца» и трепетавшего перед ним президента Академии Наук, действовавшего от лица Академии без ведома и согласия ее Общего собрания, Марков реагировал следующим заявлением:

В Общее собрание Академии Наук.

Честь имею предложить Собранию настаивать, чтобы объявление о кассации выбора г. Пешкова в почетные академики было объявлено недействительным или исправлено, так как, во-первых, это объявление сделано от имени Академии, которая в действительности не кассировала выбора г. Пешкова, и, во-вторых, приведенный в объявлении мотив кассации лишен значения.

3 июня 1907 года царское правительство распустило неугодную ему II Государственную думу и издало новый закон о выборах в III Государственную думу, нарушив тем самым свой манифест 17 октября 1905 года, согласно которому оно должно было издавать новые законы только с согласия Думы. В связи с этим Марков обратился в Правление Академии Наук со следующей просьбой:

Просьба академика А. А. Маркова

Ввиду того, что созыв III Государственной думы соединен с нарушением закона и потому она будет не собранием народных представителей, а каким-то незаконным сборищем, честь имею покорнейше просить Правление не вносить мое имя в списки избирателей.

Академик А. Марков.

В 1908 году Министерство народного просвещения издало в связи со студенческими волнениями циркуляр, в котором пыталось возложить на профессоров Университетов полицейские функции. В связи с этим Марков подал в Министерство следующее заявление:

Его превосходительству господину министру народного просвещения

Заявление Андрея Маркова

Ввиду известного циркуляра, который основан на разъяснении Сената и был мне предъявлен в канцелярии С.-Петербургского университета 25 сентября, считаю своим долгом сообщить вашему превосходительству, что я решительно отказываюсь быть в Университете агентом правительства, хотя согласно желанию Физико-математического факультета сохраняю за собой чтение лекций по теории вероятностей.

Академик А. Марков.

Ещё в 1901 году академик Марков резко протестовал против решения Синода об отлучении от православной церкви великого русского писателя Льва Толстого. Чтобы выявить всю смехотворность этой пахнувшей средневековьем акции, учёный 12 февраля 1912 года сам подал в Синод прошение об отлучении его от церкви. Вот неполный текст этого прошения:

Святейшему Правительствующему Синоду

Прошение академика А. А. Маркова

Честь имею покорнейше просить Святейший Синод об отлучении меня от церкви.

Надеюсь, что достаточным основанием для отлучения может служить ссылка на мою книгу «Исчисление вероятностей», где ясно выражено моё отрицательное отношение к сказаниям, лежащим в основании еврейской и христианской религии.

Вот выдержка из этой книги: «Независимо от математических формул, на которых мы не остановимся, не придавая им большого значения, ясно, что к рассказам о невероятных событиях, будто бы происшедших в давно минувшее время, следует относиться с крайним сомнением. И мы никак не можем согласиться с акад. Буняковским, что необходимо выделить известный класс рассказов, сомневаться в которых он считает предосудительным».

Если приведенной выдержки недостаточно, то покорнейше прошу принять во внимание, что я не усматриваю существенной разницы между иконами и идолами, которые, конечно, не боги, а их изображения, и не сочувствую всем религиям, которые подобно православию поддерживаются огнем и мечом и сами служат им.

Академик А. Марков.

12-го февраля 1912 года.

Это заявление вызвало сильный переполох, в правительственном лагере. Сенат рассмотрел письмо Маркова 24 февраля и поручил митрополиту Петербургскому произвести «вразумление» академика, однако тот отказался от встречи, заявив, что она будет напрасной потерей времени. После этого митрополит Антоний наложил резолюцию: «г.Маркова следует считать отпавшим от Церкви и подлежащим исключению из списков лиц православных».

28 сентября 1912 года Санкт-Петербургская духовная консистория утвердила это решение. 30 октября дело вновь рассмотрел Синод, который постановил известить о происшедшем петербургского градоначальника, Министерство народного просвещения и ближайшее начальство Маркова.

В 1918 году ему пришлось сделать глазную операцию. Марков уже несколько лет страдал глаукомой – тяжелой глазной болезнью, проявлявшейся под старость у многих представителей его рода. Глазная операция была сделана удачно. Зрение Маркова улучшилось, и он возобновил чтение лекций в Петроградском университете. Однако здоровье учёного неуклонно ухудшалось. В 1920/21 учебном году сын водил его на лекции под руку, чего раньше никогда не требовалось.

Осенью 1921 года Марков слег в постель. У него была тяжелая форма радикулита с мучительными болями. Весной 1922 года к этому присоединилась новая болезнь – аневризма, образовавшаяся в ноге. Была сделана операция. После операции Марков почувствовал себя лучше. Но через несколько дней появились угрожающие симптомы, резко повысилась температура. Консилиум врачей установил общее заражение крови и признал состояние ученого безнадежным.

20 июля 1922 года в 10 часов вечера Андрей Андреевич Марков скончался. Он похоронен на Митрофаниевском кладбище в Ленинграде. В 1954 году перезахоронен на Литераторских мостках.

Имя Маркова носят следующие математические объекты:

• неравенство Маркова
• теорема Маркова
• цепь Маркова
• эргодическая теорема Маркова
• марковский процесс
• марковское свойство
• марковский процесс принятия решений.

Математик Андрей Андреевич Марков: биография, личная жизнь, вклад в науку

Андрей Андреевич Марков — известный отечественный математик, академик, который внес большой вклад в науку, изучая теорию вероятности. Также в сфере его интересов находились теория чисел и математический анализ. Примечательно, что при этом Андрей Андреевич воспитал сына, который тоже стал ученым. Он считается основоположником советской школы по изучению конструктивной математики.

Биография ученого

Андрей Андреевич Марков родился в 1856 году. Он появился на свет в Рязани. Его отец по имени Андрей Григорьевич был чиновником, служивший коллежским советником в Лесном департаменте. После того, как он вышел в отставку с этого поста, перебрался в Санкт-Петербург, где стал поверенным и главным управляющим в имении Екатерины Александровны Вальватьевой.

Дедушка героя нашей статьи Григорий Маркович был сельским дьяконом. Биография Андрея Андреевича Маркова сегодня хорошо известна всем, кто интересуется математикой. Он был дважды женат. Его первой супругой стала Надежда Петровна Федорова, дочь чиновника. Они родили шестерых детей. Мальчик Павел умер в детстве. Остальных детей звали Петр, Евгения, Мария, Михаил и Андрей.

Во второй раз он заключил брак с Анной Иосифовной, от которой у него родилось еще трое детей — Лидия, Владимир и Екатерина. Владимир Андреевич был талантливым ученым, который подавал большие надежды в математике. Но он умер в возрасте 26 лет от туберкулеза.

Хорошо известна и сестра его отца, которую звали Евгения Андреевна. В русскую историю она вошла как одна из первых отечественных женщин-врачей.

Сам Андрей Андреевич Марков страдал от туберкулеза коленного сустава с самого детства. Из-за этого ему пришлось до десяти лет передвигаться на костылях. Только когда известный хирург Кадэ провел операцию, он получил возможность нормально передвигаться.

Образование

В 1866 году Андрей Андреевич Марков поступил в пятую гимназию в Санкт-Петербурге. В то время это учебное заведение считалось классическим, в нем преподавались греческий и латинский языки. Гуманитарные науки пришлись не по вкусу герою нашей статьи, поэтому по большинству предметов он не успевал, прикладывая практически все усилия только для изучения математики.

Окончить гимназию ему удалось в 1874 году. После этого Андрей Андреевич Марков-старший стал студентом Санкт-Петербургского университета. В вузе он занимался у известных профессоров Золотарева, Коркина, а также у легендарного Пафнутия Чебышева (на фото выше), который сыграл значительную роль в судьбе героя нашей статьи.

Выпускником университета он стал в 1878 году. В Петербургском университете окончил физико-математический факультет по математическому разряду, получив степень кандидата наук. Отличился, став обладателем золотой медали за сочинение, посвященное интегрированию дифференциальных уравнений с помощью непрерывных дробей. Ему предложили остаться при университете, чтобы начать готовиться к получению профессорского звания.

Магистерская диссертация

В 1880 году Андрей Андреевич Марков-старший защитил свою знаменитую работу, посвященную бинарным квадратичным формам положительного определителя. Эта диссертация сразу сделала его одним из самых влиятельных ученых в этой области.

Вскоре после этого он успешно защищает докторскую диссертацию по приложениям алгебраических непрерывных дробей. Начиная с 1880 года, преподает в Петербургском университете на должности приват-доцента. Через три года успешной трудовой деятельности получает курс под названием «Введение в анализ», который до этого читали Поссе и Сохоцкий. Так совпало, что параллельно университет покинул знаменитый Чебышев, поэтому математик Андрей Андреевич Марков начал обучать студентов основам теории вероятностей.

В 1886 году героя нашей статьи выбрали адъюнктом на физико-математическом отделении, с тех пор он начал заниматься исключительно чистой математикой. С 1896 года становится ординарным академиком при императорской академии наук в Санкт-Петербурге.

По возрастающей развивалась его карьера и на физико-математическом факультете. В 1886 году он получил пост профессора, а в 1898 — действительного статского советника.

В 1922 году Марков умер в Петрограде. Ему было 66 лет. Ученого похоронили на Митрофаниевском кладбище. В 1954-м был перезахоронен на Литераторских мостках на Волковском кладбище.

Научная работа

Говоря о математике Андрее Андреевиче Маркове и его достижениях, нужно отметить, что наибольший вклад он внес в изучение теории вероятностей. Марков стал первооткрывателем большого класса стохастических процессов, которые сопровождались непрерывной временной и дискретной компонентой. В будущем они были названы в его честь.

Его процессы можно описать таким образом. Состояние самого процесса напрямую зависит исключительно от текущего состояния. Сама теория вероятности в те годы была построена таким образом, что она считалась исключительно абстрактной, но в настоящее время она находит применение на практике.

Марков вывел теорию цепей, которая сразу стала важной областью научных исследований. Так называемая теория марковских процессов представляла собой базис для более глобальной теории, посвященной стохастическим процессам. Это также известно, как неравенство Маркова. Математик сыграл большую роль в продвижении классических исследований своих предшественников, которые относились к большим числам и центральной теореме теории вероятностей, занимался проблемой распространения их на так называемые цепи Маркова.

Отдельно стоит отметить, что знаковым открытием Маркова стала работа, связанная с теорией случайных процессов, а также с теорией вероятности в целом. Похожих успехов в будущем добился Колмогоров, который предложил строгую и четкую теоретико-вероятностную формулировку, выдвинув ее на основе теории меры.

Успехи в математическом анализе

Большой вклад ученый, которому посвящена эта статья, внес в математический анализ. В исчерпывающем списке трудов, над которыми трудился Марков, работы по математическому анализу занимают около трети. В первую очередь он усердно изучал теорию непрерывных дробей, вычисление конечных разностей, экстремальные задачи, которые предстоит решать в так называемых функциональных пространствах, а также занимался изучением теории интерполирования функций, проблемой моментов, квадратурными формулами, теорией ортогональных многочленов, дифференциальными уравнениями, теорией функций, которая менее всего уклоняется от нуля. По большинству из этих перечисленных разделов Марков сумел добиться важнейших результатов.

Мысли своего непосредственного учителя Чебышева Марков в основном перенял, начав заниматься решение проблем, обозначенных в его трудах. Ключевые и классические работы Маркова и Чебышева были посвящены предельным величинам интегралов, составляли ключевые основы теорий моментов и экстремальных задач в области функциональных пространств.

Ученый также работал над теорией чисел. При этом конкретных публикаций у него всего около пятнадцати. Но каждая из них имеет определяющее значение для этой теории в целом. К ним в первую очередь необходимо отнести магистерскую диссертацию, посвященную бинарным квадратичным формам положительного определителя, которая увидела свет в 1880 году.

Эта теория примыкала к исследованиям Золотарева и Коркина, ее высоко ценил Чебышев, многим настоятельно советуя ее изучить. Эта диссертация была посвящена проблемам арифметических минимумов, которые применяются в неопределенных бинарных квадратичных формах. В большинстве своих последующих статей Марков рассматривал эту проблему как неопределенные тернарные и кватернарные квадратичные формы. Результаты работы и идеи самого Маркова оказали огромное влияние на развитие теории чисел в целом.

Конфликт с церковью

В самом начале XX столетия у Маркова возник конфликт с Русской православной церковью. В 1901 году ученый-математик выступал с резкой критикой решения Синода, который отлучил Льва Толстого от церкви.

В 1912 году Марков отправил письмо в Святейший синод при Русской православной церкви, в котором самостоятельно попросил отлучить его от церкви. Академик, в частности, писал, что не видит никакой существенной разницы между мощами и иконами, а также идолами и богами, с одной стороны, а с другой стороны, не сочувствует ни одной мировой религии, каждая из которых, также как и православие, поддерживается исключительно огнем и мечом.

В феврале синод рассмотрел обращение Маркова, поручив петербургскому митрополиту вразумить академика. Но герой нашей статьи отказался даже от встречи со священником. Он официально заявил, что считает это пустой тратой своего времени.

Тогда митрополит Антоний подписал резолюцию, в которой призвал всех официально считать Маркова отпавшим от православия и подлежащим незамедлительному исключению из списков православных лиц.

В сентябре 1912 года духовная консистория Санкт-Петербурга официально утвердила это решение. В очередной раз дело было рассмотрено синодом в октябре. Служители православной церкви постановили известить об этом случае его непосредственных руководителей, чиновников в министерстве народного просвещения. После этого они затребовали подробные сведения о его родителях, дате и месте крещения. В ответ на это Марков отказался предоставлять эти сведения, из-за чего было решено обратиться за ними в Академию наук. Однако в ней ответили, что не располагают подобной информацией. Такой же ответ пришел из Петербургского университета и полиции.

Если перечислять основные работы Маркова, то необходимо упомянуть такие труды, как «Исчисление вероятностей», «Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющиеся от нуля», «Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятностей».

Марков был весьма разносторонним и образованным человеком, у него было много увлечений, о которых знали многие его друзья, знакомые и коллеги. В первую очередь, Андрей Андреевич был заядлым шахматистом. Он участвовал в большом количестве турниров по переписке. В основном, это были турниры и отдельные матчи, которые организовывались под эгидой всевозможных печатных изданий. Марков занимался шахматной композицией, близко дружил с Чигориным, они даже были спарринг-партнерами. Между прочим, к удовольствию для будущего академика, их встреча завершилась со счетом 1,5:2,5. Марков сумел выиграть одну партию, следующую свел вничью, только после этого Чигорин одержал две победы подряд, играя белыми фигурами. Если оценивать его успехи в шахматах по современным меркам, то становится очевидным, что Марков играл в шахматы на уровне современного мастера спорта.

Всего в шахматном архиве ученого-математика содержится около полутора тысяч писем. Особенную ценность представляет архив его переписки с сыном. Частично материалы из этого архива публиковались при непосредственном содействии Романова и Гродзенского.

Марков-младший

Андрей Андреевич Марков-младший родился в 1903 году. Он появился на свет в Санкт-Петербурге. Андрей Андреевич, которому посвящена первая часть этой статьи, был его отцом. Сын пошел по его стопам, но уже не в царской России, а в Советском Союзе, став одним из самых известных советских математиков. Считается, что именно он стал основоположников отечественной школы конструктивной математики. В биографии Андрея Андреевич Маркова-младшего, детство которого прошло в Санкт-Петербурге, большую роль сыграло воспитание, которое дал ему отец, и образование, которое избрал сам юноша. Все это оказало непосредственное влияние на будущее Маркова-младшего.

Андрей Андреевич Марков-младший стал выпускником Восьмой Петроградской гимназии в 1919 году. В 1924 году стал выпускником Ленинградского государственного университета, отправившись учиться в аспирантуру при Астрономическом институте Ленинграда.

Рассказывая кратко биографию А. А. Маркова-младшего, нужно обязательно упомянуть, что ученую степень доктора физико-математических наук была ему присвоена в 1935 году без официальной защиты диссертации, настолько уже в то время ценились его труды и достижения. В 1953 году произошло важное событие в биографии Андрея Андреевича Маркова-младшего. Кратко этот факт обязательно стоит упомянуть. Он стал членом Академии наук Советского Союза. Параллельно в том же году стал членом КПСС.

Научная карьера

Внес большой вклад в информатику Андрей Андреевич Марков. Его же трудовая и научная карьера развивалась так. В 1933 году он начал работать в Ленинградском университете, в 1936 году получил там должность профессора. Затем до 1942 года, а также с 1943-го по 1953 годы заведовал кафедрой геометрии. При этом чуть меньше года провел в блокадном Ленинграде, который оккупировали фашисты во время Великой Отечественной войны.

С 1959 по 1979 годы Марков заведовал кафедрой математической логики в Московском государственном университете. Параллельно начал работать в институте математики имени Стеклова Академии наук Советского Союза. В этом заведении он прослужил вплоть до 1972 года.

Успехи в информатике

После войны открывается новая страница в биографии Андрея Андреевича Маркова-младшего. На базе вычислительного центра, который работает при Академии наук Советского Союза, он создает настоящую лабораторию логики и структуры машин, которой лично руководит более двух десятилетий.

Рассказывая кратко о самом важном в биографии А. А. Маркова-младшего, нужно отметить, что работа именно в этой лаборатории оказала влияние на всю его дальнейшую карьеру.

Хорошо известна общественная и политическая позиция Маркова по так называемому «Письму 99». Это коллективное обращение, которое в 1968 году подписали ряд знаменитых советских математиков, стремясь защитить своего коллегу Александра Есенина-Вольпина. Последнего принудительно отправили в психиатрическую лечебницу из-за того, что он вел диссидентскую деятельность. Письмо стало важным событием не только в жизни видных деятелей советской математики, но и в отечественной истории правозащитного движения. Марков это письмо подписал вместе с другими знаменитыми деятелями науки.

Примечательно, что это письмо стало важной вехой во взаимоотношении между властью и советским математическим сообществом. Многие из тех, кто его решился подписать, были подвергнуты репрессиям. Как минимум, подписанты лишались работы или завидных привилегий. Из-за этого письма произошла смена руководителей советского образования и математической науки. И все же на Маркове его подпись, поставленная под письмом, сильно не отразилась, в отличие от многих других.

Сам Есенин-Вольпин, который, кстати, был сыном Сергея Есенина, в 1972 году эмигрировал в США, на чем настояли и советские власти. Он умер в Бостоне только в 2016 году.

Исследовательская работа

Наибольший вклад в советскую информатику внес Андрей Андреевич Марков. При этом основные его труды посвящены топологии, теории алгоритмов, теории динамических систем, конструктивной математике и теории алгоритмов.

В частности, Андрею Андреевичу Маркову удалось доказать неразрешимость проблемы равенства в ассоциативных системах, к такому выводу он пришел в 1947 году. В 1958 вывел ключевые проблемы гомеоморфии и топологии, а также стал основателем и создателем школы конструктивной логики и математики в Советском Союзе. Именно его авторству принадлежит термин нормального алгоритма.

Изучение темы «Квадратные уравнения» при онлайн-обучении

Мы любим все — и жар холодных чисел,
И дар божественных видений,
Нам внятно всё — и острый галльский смысл,
И сумрачный германский гений.

А. Блок, «Скифы»

Какое редкое по красоте и глубине содержания словосочетание «жар холодных чисел»! Эти слова могут, пожалуй, послужить эпиграфом не только к этой теме, но и ко всей математике в целом.

Тема «Квадратные уравнения» изучается в курсе 8 класса и является одной из самых важных, базовых в математике. Однако часто даже ученики девятых-десятых классов не владеют некоторыми нюансами решения квадратных уравнений, потому что успех обучения зависит от понимания изучаемого материала.

Каковы преимущества обучения в режиме онлайн? При онлайн-обучении обязательно учитывается индивидуальный уровень знаний каждого ученика и соответственно задания составляются как на онлайн-урок, так и на оффлайн-урок. Ученику удобно в любое время получить консультацию или проверить свои практические знания в режиме онлайн под наблюдением опытного преподавателя, готового продемонстрировать при этом свой экран или доску с записями.

На пробном уроке ученику показывают, как работать на доске, дают ссылки на курсы, рекомендации по подготовке домашнего задания.

Наличие дистанционных курсов помогает учиться более эффективно, доступно в режиме как онлайн, так и оффлайн. Обратимся к ссылке, например http://dist-tutor.info/mod/lesson/view.php?id=43875, где размещены учебные материалы по теме «Квадратные уравнения». Ученик может самостоятельно изучить и закрепить этот материал, а если проблемы и возникнут, то при общении с преподавателем задать ему уже продуманные и возникшие при самостоятельном изучении вопросы.

Опытный преподаватель при индивидуальном общении сразу увидит проблемы каждого из своих учеников и поможет их преодолеть. Только систематизируя знания, можно проложить путь к пониманию:

Скажи мне – и я забуду;
Покажи мне – и я запомню;
Вовлеки меня –и я научусь.

Именно деятельный метод «вовлеки меня» и используется на дистанционных уроках. Поэтому на своих уроках стараюсь научить ребят учиться.

Где проводится онлайн-урок? На интерактивной доске. Это чаще всего доска IDroo, которая является приложением к Skype, и доска виртуального кабинета, размещенная на сайте «Дистанционный репетитор». С электронных учебников копируется нужный материал на IDroo или помещается на доску в виртуальном кабинете сайта.

Знакомство с квадратными уравнениями начинается с неполных квадратных уравнений. Составляются задания по этим видам. Ученик решает на доске IDroo или в виртуальной комнате сайта dist-tutor, преподавателю видно, как постепенно появляется решение, поэтому тут же производится проверка, комментируются ошибки. На последующих уроках аналогичные уравнения составляются для устного счета. Затем следует разбирать с учениками квадратные уравнения полного вида. Важно напомнить, что число корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Но обязательно следует учесть: при D=0 квадратное уравнение имеет два одинаковых корня и при разложении квадратного трехчлена на множители, имеем:

После этого необходимо показать решение приведенного квадратного уравнения по теореме обратной Виета. Этот способ экономит время при решении более сложных заданий. Отрабатываются с учеником навыки решения по этой теме. Теорему Виета можно изучить здесь http://dist-tutor.info/mod/book/view.php?id=20138

Удобно использовать теорему, обратную Виета, для решения квадратных уравнений полного вида. Неплохо ознакомить учеников со стихотворением поэта Александра Гуревича, которое посвящено теореме Виета. Оно помогает запомнить теорему:

По праву достойн в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
В числителе с, в знаменателе а;
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда —
В числителе b, в знаменателе а.

Как ряд формул помогает при решении квадратных уравнений (см. Рис.1)?

Если ученик усвоил данный способ нахождения корней квадратного уравнения, то задание «Найдите наибольший корень уравнения 134х 2 – 131х – 3 = 0» выполняется быстро. Тогда как при другом способе решения дискриминант очень велик и затруднено нахождение корней уравнения.

Знаем, что графиком квадратичной функции является парабола. Для демонстрации числа корней квадратного уравнения можно использовать координатную плоскость, которую всегда необходимо иметь на доске. Важно напомнить ученику, что если квадратное уравнение имеет два корня, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, если одно решение, то парабола пересекает ось абсцисс в одной точке, а если нет решений, то парабола не пересекает ось абсцисс.

Удобно теперь показать ученикам на доске решение уравнений, приводящихся к квадратным путем замены переменной. Можно начать работу с биквадратных уравнений, потом рассмотреть на онлайн и оффлайн-занятиях более сложные уравнения, приводящихся к квадратным. Для проверки знаний учащихся используются тестовые задания. Усвоение знаний по решению квадратных уравнений можно проверить тестом, размещенным по ссылке:

Тест проверяется автоматически и сразу выдается результат, поэтому нет необходимости тратить время на решение тестов во время онлайн-занятия.

Получив данные о наличии пробелов в знаниях учащихся, следует приступить к их устранению.

Важное место занимают квадратные уравнения, содержащие модули. Прежде показываются правила раскрытия модуля. Затем следует тема «Квадратные уравнения, содержащие параметр». Уделяется внимание каждому из возможных способов решения квадратного уравнения, что позволит ученику найти более рациональный способ решения задач с параметрами. Желательно показать исследование квадратного уравнения общего вида в зависимости от параметров а, b, с и продемонстрировать пошаговое решение квадратного уравнения с параметром на доске IDroo, что также поможет хорошему усвоению материала (см. Рис.2).

Далее следим за логикой рассуждения учеников, при этом не забываем включать их в активную деятельность на всех этапах урока, осуществлять личностно-ориентированный подход в обучении при изучении квадратных уравнений с учетом мониторинга качества образовательной подготовки ученика.

© Статья написана специально для сайта «Дистанционный репетитор»