Аппарат дифференциальных уравнений первого порядка реферат

Дифференциальные уравнения. Аппарат дифференциальных уравнений первого порядка

Название	Аппарат дифференциальных уравнений первого порядка
Дата	27.06.2021
Размер	327.5 Kb.
Формат файла
Имя файла	Дифференциальные уравнения.doc
Тип	Реферат #221924

С этим файлом связано 2 файл(ов). Среди них: физра.docx, реферат по обж.docx.

Показать все связанные файлы Подборка по базе: Демо-Синергия-Программные и аппаратные средства информ. безоп..d, Решение системы линейных уравнений.docx, комплекс на развитие вестибулярного аппарата..docx, Пример выполнения решения уравнений командой FIND.rtf, кривые второго порядка практика.pdf, 300Электрические аппараты (рус)

Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования «Сибирский институт бизнеса и информационных технологий»

Муратова Ольга Владимировна

студент группы ГМН-1620(2)

Понятие дифференциального уравнения 2

Представление непрерывных систем в виде дифференциальных уравнений. 3

Преобразование системы дифференциальных уравнений. 4

Основные свойства линейных дифференциальных уравнений. 7

Решение дифференциальных уравнений первого порядка 8

Общее решение линейной однородной системы 9

Физический смысл частного и вспомогательного решений. 9

Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных. 11

Дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования. 12

Методика составления дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования. 12

Общие замечания. 13

Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов систем. 13

Понятие пространства состояний 16

Понятие управляемости и наблюдаемости. 17

Соотношения вход – состояние – выход 20

Уравнения состояния. 22

Классическим методом описания линейной системы считается записанная при помощи дифференциального или разностного уравнения связь между ее входом и выходом. Дифференциальное уравнение применяется для описания непрерывных систем, а уравнение в конечных разностях — для дискретных систем.

Понятие дифференциального уравнения

Уравнения, которые, кроме неизвестных функций одного или нескольких переменных, содержат также их производные, называются дифференциальными. Дифференциальные уравнения называются обыкновенными, если неизвестные функции являются функциями одного переменного, в противном случае дифференциальные уравнения называются уравнениями в частных производных.

называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Решением дифференциального уравнения называется функция x=x(t), определенная на некотором интервале t, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество на всем интервале . Это уравнение можно рассматривать как функцию, определяющую неявно производную n-го порядка x (n) . При определенных условиях его можно решить относительно x (n) :

Пусть x=x(t) – решение данного дифференциального уравнения. Тогда x(t) является непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией t. На плоскости (t,x) решению x=x(t) будет соответствовать непрерывная кривая, называемая интегральной кривой.

Функция x=x(t,C) называется общим решением дифференциального уравнения, если путем соответствующего выбора постоянной можно любую интегральную кривую.

Представление непрерывных систем в виде дифференциальных уравнений.

Непрерывную систему часто описывают дифференциальным уравнением относительно ее выхода y(t) и входа r(t). В общем виде уравнение представляется так:

(1)

Предполагая, что входной сигнал v (t) известен, правую часть уравнения можно представить как F(t), называемую часто вынуждающей функцией,

(2)

Для линейных систем а_i и b_i не являются функциями v или у но могут зависеть от времени t.

Для линейных систем с постоянными параметрами эти коэффициенты должны быть постоянными.

Дифференциальное уравнение системы может быть задано или должно быть найдено на основе модели системы, в последнем случае модель дает непосредственно систему дифференциальных уравнений.

Оператор р, обозначающий часто операцию дифференцирования, определяется как

(3)

Если c₁ и c₂ — постоянные величины, то

(4),

(5),

(6),

где n и m неотрицательные целые числа. Как правило, с оператором р можно оперировать как с алгебраическим числом. Существенным исключением является то, что он в общем случае некоммутативен с функциями

При помощи оператора р уравнения (1) и (2) приводятся к виду

стоящие в скобках перед у и v элементы сами являются операторами.

Для стационарных систем, коэффициенты которых постоянны, последнее выражение записывается символически как

Для линейных систем с переменными параметрами, коэффициенты которых являются функциями времени, А и В — зависящие от времени

операторы. Это учитывается выражением

A(p, t)y(t) = B(p, t)v(t) = F(t).

Формальное определение операторов А и В следует из сравнения

последних трех выражений.

Преобразование системы дифференциальных уравнений.

Непрерывная модель может быть описана математически системой дифференциальных уравнений. Один класс уравнений служит главным образом для характеристики отдельных составляющих, а другой — для описания связей между этими составляющими. При математическом описании модели указанные два типа уравнений обычно сочетаются с экспериментальной проверкой. Полученная система уравнений может быть затем сведена к одному уравнению, связывающему вход и выход системы, хотя подобное преобразование не всегда элементарно. Решение системы уравнений с постоянными коэффициентами гораздо проще чем системы уравнений с переменными коэффициентами, а потому рассматривается в первую очередь.

Пример: Дли цепи изображенной на рисунке запишем уравнение, связывающее напряжение на выходе е₂ с напряжением источника e₁. Суммируя токи, выходящие соответственно из узлов 3 и 2, получим

Дифференцируя второе уравнение, чтобы избавиться от интеграла, и вводя оператор р — d/dt, приводим уравнения к виду

Предполагается, для простоты, что все сопротивления, емкости и индуктивности равны соответственно 1 ом, 1 фарада, 1 генри. Помножим каждый из членов первого уравнения на оператор р 2 +р, а каждый из членов второго уравнения — на р + 2 и сложим затем эти уравнения. Поскольку

то выражение, содержащее е₃ уничтожится. Тогда

(p+2)(2p 2 +2p+1)e 2 – (p 2 +p)(p+1)e₂ = [(p 2 +p) + p 2 (p+2)]e₁

(p 3 + 4p 2 + 4p + 2)e₂=(p 3 + 3p 2 + p)e₁, что и является искомым результатом.

Процедура, используемая в данном примере, справедлива для любых двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Если L означает оператор, являющийся функцией только р, то уравнения можно символически записать как

Умножим первое уравнение на L₂₁, а второе на L₁₁ и вычтем одно из другого. Так как L₂₁L₁₁y₁=L₁₁L₂₁y₁, то

Каждое из последних двух уравнений содержит лишь одну независимую переменную.

Изложенный материал ограничивался дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Получение дифференциального уравнения, связывающего вход и выход, для систем с переменными коэффициентами гораздо сложнее. Предположим, что система описывается уравнениями

Чтобы исключить у₁, из этих уравнений, можно попытаться умножить первое из них на pt, а второе на tp и затем вычесть одно из другого. Если это выполнено, то

Однако pt 2 (py₁) = (t 2 p 2 + 2tp)y₁, а tp(pty₁) = t(tp 2 + 2p) y₁. Следовательно, исключить у₁ вычитанием нельзя.

Для систем с переменными параметрами уравнения (9) и (10) несправедливы, так как

Основные свойства линейных дифференциальных уравнений.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в форме:

В связи с тем, что все выражения справедливы как для систем с постоянными, так и с переменными параметрами, коэффициенты а_i могут быть в общем случае функциями времени t. Если правая часть последнего уравнение равна тождественно нулю, т. е.

то такое уравнение называют однородным. Уравнение (11) называют соответственно неоднородным дифференциальным уравнением.

Уравнение (12) может иметь не более, чем п линейно независимых решений, n объектов называются линейно зависимыми, если по крайней мере один из них можно выразить в виде линейной комбинации остальных. В противном случае объекты считаются независимыми. Необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений уравнения (11) состоит в отличии от нуля определителя Вронского. Если у₁, у₂. у_n — n решений уравнения, то определитель Вронского имеет вид

(13)

Общее решение уравнения (11) представляется как

где K_i — произвольные постоянные. Индекс Н указывает на то, что решение соответствует однородному уравнению.

Из последнего уравнения следует, что если известны n независимых решений, то произвольное решение этого уравнения можно представить в виде линейной комбинация n известных решений. Для систем с постоянными параметрами существует общий метод нахождения независимых решений однородного уравнения. Для систем с переменными параметрами такого метода, к сожалению, не существует.

Общее решение неоднородного уравнения (11) имеет вид У=У_н+У_p(15), где у_н — решение (14) соответствующего однородного уравнения, у_р — произвольное решение (вне зависимости оттого, каким образом оно получено), удовлетворяющее уравнению (11) и обычно называемое частным решением неоднородного уравнения, у_н называют вспомогательным решением. Для нахождения у_р приемлем любой способ, даже «метод проб». Так как у_р не содержит произвольных постоянные то в решении у, как и в у_н, содержится n постоянных.

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Линейной системой дифференциальных уравнений называется такая система уравнений, в которую неизвестные функции и их производные могут входить только в первой степени.

Нормальная линейная система дифференциальных уравнений имеет вид

(16)

Введем в рассмотрение векторные функции

и матрицу (17)

Тогда систему (1) можно переписать в виде

(18)

Теорема существования и единственности справедлива для линейной системы на любом отрезке [а₁ ,b₁](а, b), где (a, b) — интервал, на котором функции a_ik(t) и f_i(t) непрерывны.

Общее решение линейной однородной системы

Система (16) называется однородной, если f_i(t)0 (i=1, 2, …, n). Однородная система в векторной форме запишется в виде

(19)

Совокупность S всех решений образует линейное пространство размерности n, так как решения этой системы являются линейно-независимыми и образуют базис. Любой элемент этого пространства представим в виде

(20)

причем постоянные c₁, c₂, …, c_n определяются однозначно. Отсюда следует, что любое решение данной системы может быть представлено в виде (20). Поэтому выражение (20) называется общим решением системы (19). Любая система из n линейно-независимых решений системы (19), образующая базис пространства S, называется фундаментальной системой решений.

Физический смысл частного и вспомогательного решений.

Решение однородного уравнения (вспомогательное решение) зависит только от свойств системы и не зависит от входного воздействия. Характеристическое уравнение зависит только от параметров системы, а корни характеристического уравнения определяют вид составляющих вспомогательного решения. В случае отсутствия внешних источников (т. е. система возбуждается запасенной в ней начальной энергией) вспомогательное решение совпадает с общим решением. Таким образом, вспомогательное решение характеризует «естественное» поведение системы при отсутствии внешних возмущений. В связи с этим вспомогательное решение называют также свободным или не вынужденными движением. Если вспомогательное решение системы неограниченно возрастает при стремлении t к бесконечности, говорят, что система неустойчивая. Так как вспомогательное решение содержит экспоненциальные члены, то система станет неустойчивой, если ее характеристическое уравнение содержит корень с положительной действительной частью. С другой стороны, корни с отрицательной действительной частью обусловливают стремление к нулю составляющих решения при стремлении t к бесконечности. При рассмотрении корней характеристического уравнения в комплексной плоскости можно сформулировать следующее утверждение. Если система устойчива, то ее корни должны лежать в левой полуплоскости, а на мнимой оси могут находиться только простые корни.

Если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, то вспомогательное решение стремится к нулю при стремлении t к бесконечности и «совпадает» с переходным процессом в системе.

Величины составляющих во вспомогательном решении, т. е. произвольные постоянные решения, зависят от двух факторов, одним из которых является входной сигнал. Другим фактором служит предыстория системы (до момента приложения входного сигнала), которая полностью определяется знанием запасенной в системе энергии к моменту приложения входного воздействия. Вид частного решения обусловливается вынуждающей функцией; его легко усмотреть из метода неопределенных коэффициентов. Время влияет на вид решения лишь в том случае, если составляющая вынужденной функции совпадает с каким-либо членом в у_н. Так как в этом случае система возбуждается на одной из ее собственных частот, то подобное явление называют резонансом.

В связи с тем, что вид частного решения зависит от входного воздействия, его называют также вынужденным движением. Если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, вынужденное решение совпадает с установившимся движением. Величины вынужденных составляющих зависят как от параметров системы, так и от входного сигнала.

Обычно считают, что вынужденная составляющая решения устанавливается мгновенно при подаче входного сигнала. Свободная же составляющая, т. е. вспомогательное решение, как бы настраивает себя путем правильного определения произвольных постоянных, чтобы обеспечить надлежащий переход системы из невозбужденного состояния в состояние, подчиненное входному воздействию.

Некоторые склонны рассматривать вспомогательное решение как первоначальное сопротивление системы желаниям входа. Величины произвольных постоянных зависят от того, насколько характер входного воздействия отличается от «естественного» поведения системы.

Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим линейную неоднородную систему (18)

Соответствующая ей однородная система (19)

Пусть x=(t) и (t) – два решения системы (18). Тогда разность

Представляет собой решение однородной системы (19).

Общее решение системы (18) имеет вид

где c_i – произвольные постоянные; x_i(t) (i=1, 2, …, n) – фундаментальная система решений системы (19).

Частное решение системы (18) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Рассмотрим этот метод. Пусть x₁(t), x₂(t), …, x_n(t)— фундаментальная система решений системы (19). Частное решение неоднородной системы (18) будем искать в виде

полагая, что c_i являются не постоянными, а некоторыми функциями t. Подставим это решение в систему (18):

Так как вектор-функции x_i(t) – являются решениями однородной системы (19), то

Это выражение представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно сi(t) (i=l, 2, . n). Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений. Он отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение с_i’(t)=Ф_i(t) (i=l, 2. n).

Интегрируем полученные равенства:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

Значит, общее решение неоднородной системы будет

Дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования.

Методика составления дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования.

Общие замечания.

Системы автоматического регулирования разнообразны по своему назначению и конструктивному исполнению. Поведение САР может описываться обыкновенными дифференциальными уравнениями в частных производных, разностными уравнениями и т.д.

Любая САР представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений САР является разделение системы на отдельные элементы и составление дифференциальных уравнений этих элементов. Уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе регулирования, т.е. изменение по времени всех координат системы. Зная уравнения элементов и уравнения связей, можно составить структурную схему САР.

Структурная схема САР характеризует геометрию системы, т.е. показывает, из каких элементов состоит САР и как эти элементы связаны между собой. Состояние САР, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных. Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение, и т.д.), так и механические (скорость, угол поворота, перемещение и т.д.). Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе системы или элемента (g(t)) и одну – на выходе (x(t)). В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных величин САР.

Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов систем.

При составлении дифференциальных уравнений САР основной задачей является составление дифференциальных уравнений отдельных элементов системы. Уравнение отдельных элементов составляются на основе тех физических законов, которые характеризуют поведение элемента.

При составлении дифференциальных уравнений элементов САР следует стремиться возможно точнее описать поведение данного элемента. Однако сложность получаемых при этом уравнений затрудняет исследование свойств их решений. Поэтому при составлении дифференциальных уравнений необходимо стремиться к разумному компромиссу между возможно более полным описанием поведения элемента и возможностью обозрения и исследования полученных уравнений.

Если динамика элемента описывается линейным дифференциальным уравнением, то этот элемент называется линейным, если дифференциальное уравнение не линейно, то элемент называется нелинейным.

Для упрощения анализа, когда это возможно, приближенно заменяют нелинейные дифференциальные уравнения такими линейными уравнениями, решение которых с достаточной степенью точности совпадают с решениями нелинейных уравнений. Этот процесс замены нелинейного дифференциального уравнения линейным называется линеаризацией.

Если дифференциальное уравнение элемента нелинейно из-за нелинейности его статической характеристики, то линеаризация уравнения сводится к замене нелинейной характеристики элемента x=φ(g) некоторой линейной функцией x=ag+b. Аналитически эта замена производится с помощью разложения в ряд Тейлора функции x=φ(g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию и отбрасывания всех членов содержащих отклонение ∆g входной величины элемента в степени выше первой. Геометрически это означает замену кривой x=φ(g) касательной, проведенной к кривой в точке (x₀, g₀), соответствующей установившемуся состоянию работы элемента (рис. 29). В других случаях линеаризация производится путем проведения секущей, мало отклоняющейся от функции x=φ(g) в требуемом диапазоне изменения входной величины элемента.

Наряду с линеаризуемыми характеристиками имеются такие характеристики, которые не поддаются такой линеаризации. К ним относятся, например, характеристики, не разлагаемые в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося состояния. Такие характеристики будем называть существенно нелинейными.

Рассмотрим процесс линеаризации нелинейного уравнения элемента с помощью ряда Тейлора. Пусть поведение элемента описывается нелинейным дифференциальным уравнением

F(x n , x ’ , x, g) = 0 (1).

Тогда установившееся состояние элемента характеризуется уравнением F(0, 0, x, g) = 0 (2). пусть g₀ и х₀ – значения установившегося состояния. Тогда координаты g и х можно записать в виде x = x₀ + ∆x, g = g₀ + ∆g, где ∆g и ∆x – отклонение координат g и х от установившегося состояния. Уравнение (1) в отклонениях имеет вид:

Разложим левую часть уравнения (3) в ряд Тейлора относительно точки установившегося состояния (0, 0, x₀, g₀):

(4).

Частные производные в левой части уравнения (4) представляют собой некоторые числа, величины которых зависят от вида функции F(x ’’ , x ’ , x, g) и значений координат x₀ и g₀.

Считая отклонения ∆g, ∆x от установившегося состояния, а также их производные по времени малыми и пологая, что функция F(x ’’ , x ’ , x, g) достаточно гладкая по всем аргументам в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию, отбросим в уравнении (4) все члены, которые содержат отклонения ∆g и ∆x, а также их производные в степени выше первой. Полученное уравнение (5) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами , , , и представляет собой результат линеаризации уравнения (1).

Очевидно, что необходимым условием линеаризации является возможность разложения в ряд Тейлора функции F(x ’’ , x ’ , x, g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию.

Процесс линеаризации уравнения (1) может быть геометрически интерпретирован следующим образом. В пространстве переменных x ’’ , x ’ , x, g уравнение (1) задает некоторую поверхность. Переход от уравнения (1) к линейному уравнению (5) означает замену поверхности некоторой касательной плоскостью, проведенной к поверхности в точке, соответствующей установившемуся состоянию. Естественно, что ошибка при такой замене тем меньше, чем меньше отличаются друг от друга точки поверхности и точки плоскости. Это справедливо лишь в некоторой малой окрестности установившегося состояния.

Понятие пространства состояний

С точки зрения анализа и синтеза систем представляется целесообразным разделить все переменные, характеризующие систему, на три группы:

1) входные переменные или входные воздействия mi, представляющие сигналы, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой, и влияющие на поведение системы;

2) выходные переменные или переменные, характеризующие реакцию системы y_j, позволяющие описать некоторые аспекты поведения системы, представляющие интерес для исследователя;

3) переменные (координаты) состояния или промежуточные переменные x_k, характеризующие динамическое поведение исследуемой системы.

Величины m_i, y_j и x_k предполагаются функциями времени. Для удобства оперирования с многомерными величинами совокупность входных переменных представим в виде вектора входа, совокупность выходных переменных – в виде вектора выхода, и совокупность переменных состояния – в виде вектора состояния:

Множество всех значений, которые может принять вектор входа m в момент t, образует пространство входа системы. Множество всех значений, которые может принять вектор выхода y в момент t, образует пространство выхода системы. Множество всех значений, которые может принять вектор состояния x в момент t, образует пространство состояний системы.

Понятие управляемости и наблюдаемости.

Управляемость: Пусть линейный многомерный процесс описывается векторным дифференциальным уравнением

где x – n-мерный вектор состояния; m – r-мерный вектор, представляющий управляющие воздействия; A – квадратная матрица коэффициентов n-го порядка; D – матрица управления размера nxr.

Матрица A может быть приведена к диагональной матрице (или в общем случае к жордановой форме)

где _ш – собственные значения матрицы A, которые предполагаются все различными.

Применяя подстановку x=Tz, исходное уравнение запишется в канонической форме

Вектор z в полученной формуле будем называть каноническим вектором состояния. Будем считать, что в предыдущих матричных выражениях собственные значения l_i расположены в порядке возрастания их модулей, комплексные l_i – в порядке возрастания их аргументов, векторы-столбцы матрицы T – нормализованы, то есть выбраны так, что евклидова длина их равна единице.

Запишем полученное выражение в развернутой форме, то есть в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

Эти уравнения показывают, что управляющее воздействие m_k не будет оказывать какого-нибудь влияния на движение по координате z_j, если

то есть когда _jk=0 для k=1, 2, …, r. Запись в такой форме означает, что все элементы j-й строки матрицы D все равны нулю. Отсюда следует вывод, что неуправляемыми координатами системы являются все те канонические координаты, которые соответствуют нулевым строкам матрицы D. Равенство нулю всех элементов этих строк матрицы D делает невозможным управление по соответствующим координатам. Это означает также, что изменение координат происходит независимо от управляющих воздействий и, следовательно, целиком определяется начальными условиями и возмущениями. Можно сказать, что эти координаты развязаны от управления.

Приведенное рассмотрение позволяет дать следующее определение управляемости: процесс, описываемый уравнением (1), является полностью управляемым, если матрица D не содержит строк, элементы которых равны нулю; координаты, соответствующие ненулевым строкам D, считаются управляемыми.

Наблюдаемость: Перепишем еще раз выражение для вектора выхода линейного многомерного процесса:

где y – p-мерный вектор, представляющий выходные переменные; B – матрица выхода размером pxn; G – матрица обхода системы размера pxr.

Пусть матрица B имеет вид

а матрица обхода G задана в виде

Тогда, развертывая формулу (1), получаем p выражений

(2)

Координату состояния принято называть наблюдаемой, если она может быть определена или для нее может быть получена оценка по измеримым выходным переменным. Анализ уравнений (2) показывает, что координата x_k может быть определена или для нее может быть получена оценка по измеримым выходным переменным y₁, y₂, …, y_i, …, y_p_, если коэффициенты b_ik для i=1, 2, …, p не все равны нулю. Другими словами, x_k является наблюдаемой координатой, если элементы k-го столбца матрицы выхода не все равны нулю. Если это условие не соблюдается, то координату x_k называют ненаблюдаемой. Таким образом, линейный процесс является наблюдаемым, если матрица выхода B не содержит столбцов, элементы которых равны нулю.

Соотношения вход – состояние – выход

Пусть R – система, описываемая соотношением вход-выход вида

где L(p) = a_np n +…+ a₀, a_n≠0 и a_i, — постоянные, не обязательно вещественные. Тогда выражение для общего решения (1) будет

, t ≥ t₀ (2)

где импульсной реакции ,

передаточной функции , (3)

Функции времени φ₁,…, φ_n линейно независимые и удовлетворяют условию (дифференциальному уравнению)

L(p) φ_λ(t) = 0, ,

при начальных условиях

для μ ≠ λ; μ, .

Это значит, что они представляют собой множество (одностороннее) базисных функций .

Отождествим постоянные, появившиеся в (1), с составляющими вектора x(t₀) — состоянием в момент времени t₀-. Наиболее естественным способом будет отождествление базисных функций с функциями φ₁,…, φ_n в (3). В этом случае составляющие x(t₀-), которые представляют собой коэффициенты базисных функций, будут

или в более компактной форме

. (4)

Другой естественный способ состоит в том, чтобы положить базисные функции, или, точнее, их преобразования по Лапласу, равными

В этом случае составляющими x(t₀) будут

(6)

Рассмотрим случай, когда первая составляющая начального вектора состояния приравнена к выходу в моменты времени t₀-, вторая составляющая – первой производной выхода и т.д. Это значит, что вектор состояния в момент времени t представляется в виде

Ради удобства вектор x(t), определенным с помощью (7), назовем нормальным вектором состояния , а соответствующие уравнения состояния – нормальными уравнениями для . Пространство состояний, которому принадлежат х будет , т.е. пространства упорядоченных наборов по n комплексных чисел.

Уравнения состояния.

Чтобы получить уравнение системы найдем выражение , для чего продифференцируем обе части равенства (7). В результате получим

. (8)

С другой стороны из дифференциального уравнения (1) следует

Это соотношение показывает, что составляющие представляют собой линейные комбинации составляющих x(t) и u(t). Для представления этого соотношения в матричной форме обозначим через и , , i-ые составляющие соответственно. Тогда из (8) следует

или в матричной форме

Последнее соотношение есть уравнение состояния в канонической форме , где А и b представляют собой соответственно, n×n матрицу с постоянными коэффициентами и n-мерный вектор.

Таким образом, если x(t) задан с помощью (7), будучи определенным в , то x(t) удовлетворяет уравнению состояния (9). Этот результат совместно с соотношением

y(t) = x₁(t), или в матричной форме

Пусть — обратно-дифференциально-операторная система, описываемая соотношением вход-выход-состояние

Тогда вектор будет вектором состояния системы в момент времени t. При таком выборе x(t) уравнение для будет

(10)

, .

Соотношение вход-выход-состояние для будет

(11) , t ≥ t₀

Допустим, что система описывается уравнением

Тогда L(S) = S 2 + 3S + 2 = (S+1)(S+2)

где 1(t) обозначает единичную функцию.

Соответствующие вектора состояния в момент времени t будут

Соответственно соотношение вход-выход-состояние можно записать в виде

, t ≥ t₀,

а матрицы и векторы будут

, , .

Веретенников, В. Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения : учебное пособие : [16+] / В. Н. Веретенников. – Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. – Ч. 1. – 96 с.

Будак, Б. А. Математика: сборник задач по углублённому курсу : [12+] / Б. А. Будак, Н. Д. Золотарева, Ю. А. Попов ; под ред. М. В. Федотова. – 5-е изд., электрон. – Москва : Лаборатория знаний, 2020. – 329 с.

Абрамян, М. Э. Лекции по дифференциальному исчислению функций одной переменной : учебник : [16+] / М. Э. Абрамян ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Южный федеральный университет, 2020. – 228 с.

Осипенко, С. А. Элементы высшей математики : учебное пособие : [16+] / С. А. Осипенко. – Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. – 202 с.

Вагин, Д. В. Численное моделирование динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями : учебное пособие : [16+] / Д. В. Вагин ; Новосибирский государственный технический университет. – Новосибирск : Новосибирский государственный технический университет, 2019. – 63 с.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Декабря 2012 в 21:39, реферат

Краткое описание

Содержание

Введение……………………………………………………………….……3
Основные понятия и определения………………………………….……..4
Существование решения дифференциального уравнения первого порядка…………………………….……. …..6
Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными……………………….……. …. 12
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………………..…16
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………….…. ….18
Заключение…………………………………………………………….…..20
Литература………..………………………………………………………..21

Вложенные файлы: 1 файл

Диф ур — копия.docx

на тему: «Дифференциальные уравнения первого порядка»

Введение………………………………………………………… …….……3
Основные понятия и определения………………………………….……..4
Существование решения дифференциального уравнения первого порядка…………………………………………………………. ……. …..6
Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными………………………………………………… .……. …. 12
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………… ……..…16
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………… .…. ….18
Заключение…………………………………………………… ……….…..20
Литература………..……………………………………… ………………..21

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными.

Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления «флюксий» и «флюент» ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачу нахождения неопределённого интеграла F(x) функции f(x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ математического естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчёт течения этих процессов сводится к решению дифференциального уравнения.

Основное открытие Ньютона, то, которое он счел нужным засекретить и опубликовал лишь в виде анаграммы, состоит в следующем: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa». В переводе на современный математический язык это означает: «Полезно решать дифференциальные уравнения». В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой трудно обозримый конгломерат большого количества разнообразных идей и методов, в высшей степени полезный для всевозможных приложений и постоянно стимулирующий теоретические исследования во всех отделах математики.

Основные понятия и определения.

Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В) является дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Например, пусть дано дифференциальной уравнение .

Тогда любая функция вида y=c₁sinx+c₂cosx, где c₁, c₂ – произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c₁si nx+c₂cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем .

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.

В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка

отвечает семейство решений, содержащих n параметров.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c₁, c₂, …, c_n), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c₁, c₂, …, c_n, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c₁, c₂, …, c_n)=0.

Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c₁, c₂ , …, c_n. Обычно значения этих произвольных постоянных c₁, c₂ , …, c_n определяются заданием начальных условий: y(x₀)=y₀, . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

решая которые относительно c₁, c₂ , …, c_n находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x₀)=y₀ выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x₀,y₀).

Существование решения дифференциального уравнения первого порядка.

Задано дифференциальное уравнение вида

Пусть y=y(x) – решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀. Тогда из следует, что f(x,y(x)) – производная функции y(x) и, следовательно, y(x) – первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) – некоторая другая первообразная для f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x)+c₀. Из y(x₀)=y₀, y(x₀)=F(x₀)+c₀ получаем c₀=y₀-F(x₀), т.е. y(x)=F(x)-F(x₀)+y₀.

Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интегралом . Тогда разность F(x)-F(x₀) равна значению определенного интеграла ,

И, следовательно, получаем

т.е. y(x) является решением интегрального уравнения

Задача поиска решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀, получила в литературе название задачи Коши.

Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального уравнения было получено в 1820-1830 г.г. и связано с именем Коши (1789-1857).

Теорема. Пусть задано уравнение и начальные значения x₀,y₀.

А) функция f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области ;

Б) функция f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е. , где L – постоянная;

То существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀ и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале , где .

Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, строится по правилу:

Далее можно показать, что функция дает единственное решение дифференциального уравнения в промежутке .

Выше был рассмотрен случай дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной y / .

Более общим видом является случай уравнения вида , не разрешимого относительно производной y / .

Допустим, что данное уравнение может быть разрешено относительно y / , и в общем случае это дает несколько вещественных уравнений (k=1,2,…,m).

Если при этом каждая из функций (k=1,2,…,m) удовлетворяет теореме существования и единственности решения, то через точку (x₀,y₀) будет проходить m интегральных кривых уравнения . Пусть при этом каждая точка кривой имеет свой наклон касательной, отличный от других кривых. В этом случае также говорят, что задача Коши имеет единственное решение. Общим решением уравнения называют совокупность всех общих решений каждого из уравнений (k=1,2,…,m), т.е. решения y=Y_k(x,c) (k=1,2,…,m).

Пример. Рассматривается дифференциальное уравнение вида . Разрешая его относительно y / получаем два уравнения y / =1 и y / =-1, т.е. через каждую точку плоскости xOy проходят две интегральные кривые, касательные к которым имеют два разных угла наклона к оси Ox в 45 0 и 135 0 . Общим решением уравнения будет семейство интегральных кривых y=x+c и y=-x+c.

Особым решением дифференциального уравнения

называется решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает свойством единственности. Через каждую точку такого решения проходит не менее двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательной.

Отметим, что из сказанного выше следует, что дифференциальное уравнение может иметь решения не являющиеся ни частными, ни особыми, а именно, если эти решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений.

Особые решения дифференциального уравнения.

Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y / )=0.

Тогда существование его особого решения прежде всего может быть связано с условием , не обеспечивающим представление y / как неявной функции переменных x и y, задаваемой уравнением F(x,y,y / )=0.

Таким образом, формируя систему уравнений

и исключая из нее переменную y / , получаем функцию y=y(x), которая может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y / )=0.

Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы уравнений

называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y / )=0.

Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y / )=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной кривой нарушается свойство единственности решения дифференциального уравнения.

Пример 1. Дано уравнение .

Как было указано выше его особое решение дается уравнениями y=x+c и y=-x+c. Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений

Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое дифференциальное уравнение особых решений не имеет.

Пример 2. Дано уравнение .

Для него , т.е. дискретной кривой нет. Из и условия , получаем точки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши.

Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет.

Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие семейства его интегральных кривых.

Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если в каждой точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с ней в этой точке общую касательную.

Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход.

Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).

Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а именно c=c(t).

Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка, из тождества вытекает .

Покажем, что . Действительно, k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x₀=x(t₀), y₀=y(t₀) при t=t₀ равен

Реферат: Дифференциальные уравнения I и II порядка

Дифференциальные уравнения I и II порядка

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела.

При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса.

Пусть N – общее число потенциальных покупателей нового товара,x(t) – число покупателей, знающих к моменту времени t о поступлении в продажу нового товара, [N-x(t)] – число покупателей еще не имеющих информации о товаре.

Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна (N-x)/N. Тогда скорость изменения величины x(t) в момент t равняется px(N-x)/N систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение

или .

Данное уравнение содержит величину x и ее производную, т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем вид зависимости величины x от t:

, где параметр A подбирается, исходя из условия x=x0 в некоторый момент t=t0. Например, если при t=0 величина x(0)=gN (g — доля покупателей, обладающих информацией о товаре к началу рассматриваемого процесса), то. На рис. 1 показан график искомой функции x=x(t). В экономической литературе график известен как логистическая кривая.

Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов.

В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством.

Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C – параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождество .

Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем

Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему

и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение

описывающее свойство присущее всем кривым семейства.

Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c.

Дифференцируя данное уравнение по x, получаем .

Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных гипербол.

1. Основные понятия и определения .

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

или .

А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б)является дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В) является дифференциальным уравнением n-го порядка.

Например, пусть дано дифференциальной уравнение .

Тогда любая функция вида y=c₁ sinx+c₂ cosx, где c₁ , c₂ – произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c₁ sinx+c₂ cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем .

Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько.

В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнениюn-го порядка

отвечает семейство решений, содержащих n параметров.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c₁ , c₂ , …, c_n ), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c₁ , c₂ , …, c_n , которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c₁ , c₂ , …, c_n . Обычно значения этих произвольных постоянных c₁ , c₂ , …, c_n определяются заданием начальных условий: y(x₀ )=y₀ , . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

решая которые относительно c₁ , c₂ , …, c_n находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x₀ )=y₀ выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x₀ ,y₀ ).

1. Геометрическая интерпретация.

Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка вида .

В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке M(x,y) плоскости поставим в соответствие вектор , отложенный от точки M.

Таким образом дифференциальное уравнение порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле существует только в области определения функции f(x,y)). Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается вектора поля направляющей.

Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направление, где a — угол наклона касательной к оси x. Из (условие касания кривой с вектором ) и равенства абсцисс векторов и вытекает тождество , выполняющееся в точках кривой y=h(x). Последнее означает, что y=h(x) является решением уравнения .

И обратно, если y=h(x) решение дифференциального уравнения , то . Последнее соотношение означает, в каждой точке кривой y=h(x) направление ее касательной совпадает с вектором поля направлений, т.е. в каждой точке кривая y=h(x) касается вектора поля направлений.

В качестве иллюстрации возьмем уравнение .

Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина это линия в каждой точке которой вектор поля направлений одинаков. Таким образом, изоклины даются уравнением f(x,y)=l, и каждой точке изоклины соответствует вектор .

Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением или y=-lx.

Как видно, изоклинами являются прямые, проходящие через точку начала координат. На рис. 2изображены изоклины отвечающие значениям , черточками изображены направления векторов в таких изоклин. Из рис. 2 видно, что интегральные кривые уравнения напоминают гиперболы. Действительно, как будет показано ниже, общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx=c, т.е. задает семейство гипербол. Параметрам c>0 отвечают гиперболы I и III координатных узлов, значениям c / .

Более общим видом является случай уравнения вида , не разрешимого относительно производной y / .

Если при этом каждая из функций (k=1,2,…,m) удовлетворяет теореме существования и единственности решения, то через точку (x₀ ,y₀ ) будет проходить m интегральных кривых уравнения . Пусть при этом каждая точка кривой имеет свой наклон касательной, отличный от других кривых. В этом случае также говорят, что задача Коши имеет единственное решение. Общим решением уравнения называют совокупность всех общих решений каждого из уравнений (k=1,2,…,m), т.е. решения y=Y_k (x,c) (k=1,2,…,m).

Особым решением дифференциального уравнения

или

2. Особые решения дифференциального уравнения.

Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y / )=0.

Таким образом, формируя систему уравнений

Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы уравнений

называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y / )=0.

Пример 1. Дано уравнение .

Пример 2. Рассмотрим решение уравнения

Его общее решение имеет вид . Выписывая систему уравнений

или , (где p=y / )

и исключая из нее переменную p, получаем уравнение дискретной кривой y=0 (ось Ox). Очевидно, она является решением дифференциального уравнения, так как из y=0=const следует y / =0. Кроме того через любую точку M(x₀ ;0) этой кривой проходит частное решение дифференциального уравнения, получаемое из общего при c=-x₀ . Не трудно убедиться, что касательные в точке M(x₀ ;0) дискретной кривой и частного решения совпадают. Таким образом, дискретная кривая y=0 является особым решением исходного дифференциального уравнения.

Ниже на рис. 3 изображено семейство интегральных кривых этого уравнения, являющееся семейством парабол.

Из рисунка видно, что дискретная кривая y=0, являющаяся осью Ox, касается в каждой точке некоторой кривой семейства.

Выше была рассмотрена ситуация, когда уравнение F(x,y,y / )=0 не определяло y / как неявную функцию переменных x и y, так как выполнялось условие .

Предположим теперь, что в области D, где ищется решение дифференциального уравнения, выполняется условие . В этом случае уравнение F(x,y,y / )=0 определяет y / как неявную функцию от x и y, т.е. можно считать y / =f(x,y) или даже явно выразить y / через x и y в виде y / =f(x,y). Тогда особое решение будет связано с нарушением условий приведенной выше в параграфе 3, теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Таким невыполнимым условием, обычно, берется условие Липшица, и геометрическое место точек, в которых оно нарушается, задается условием или, считая , условием .

Пример 3. Рассматривается дифференциальное уравнение (сравните с примером 2). Здесь . Так как , то дискретная кривая отсутствует. Из и условия , находим, что в точках кривой y=0, являющейся осью Ox, нарушается условие теоремы Коши. Следовательно, эта кривая y=0 может быть особым решением. Остается проверить, что она удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и что в ее точках нарушается условие единственности прохождения интегральной кривой. Общее решение данного уравнения имеет вид , т.е. такой же, как и в примере 2. Разбирая пример 2, выполнимость обоих условий была проверена. Следовательно, решение y=0 действительно является особым.

Пример 4. Дано уравнение .

Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход.

Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).

Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка, из тождества вытекает .

Уравнение Ф(x,y,c₀ )=0, где c₀ =c(t₀ ), задает интегральную кривую семейства, проходящую через точку M₀ (x₀ , y₀ ). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в точке M₀ (x₀ , y₀ ) равен , гдеуравнение данной кривой. Рассматривая уравнение Ф(x,y,c₀ )=0, как неявное задание уравнения интегральной кривой, значение найдем из соотношения , предполагая .

Из получаем и

или

Таким образом, для произвольного значения t₀ параметра t выполняется .

Следовательно, из с учетом доказанного соотношения получаем

Но так как , ибо , то из последнего вытекает, что в точках огибающей должно выполняться условие .

Таким образом, для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений

Исключая из нее параметр c, найдем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей (исключая точки, где одновременно и ). Окончательно убеждаясь в том, что поперечная кривая является огибающей, проверяя условие касания в каждой ее точке интегральной кривой семейства.

Пример 5. Снова рассмотрим уравнение из примера 2 . Его общее решение имеет вид , т.е. .

Для нахождения огибающей рассмотрим систему

Из нее получаем уравнение огибающей y=0. Далее убеждаемся, что y=0 действительно является огибающей, так как через каждую ее точку M(x₀ ;0) проходит интегральная кривая со значением параметра c=-x₀ .

Пример 6. Рассмотрим дифференциальное уравнение . Его общее решение имеет вид (x-c) 2 +y 2 =1 получаем . Подставляя и (x-c) 2 +y 2 =1 в левую часть уравнения, получим тождество .

Нетрудно видеть, что семейством интегральных кривых являются окружности единичного радиуса с центром в точках (c,0), лежащих на оси Ox.

На рис. 4 изображено семейство этих окружностей.

Из рисунка видно, что семейство интегральных кривых имеет две огибающие y=1 и y=-1, удовлетворяющих диффренциальному уравнению и, следовательно, дающих его два особых решения.

Найдем уравнения огибающих аналитически. Из Ф(x,y,c)=(x-c) 2 +y 2 -1, получаем следующую систему уравнений

Исключая из уравнения параметр c, получаем y 2 =1. Данное уравнение дает две огибающих y=1 и y=-1.

Пример 7. Дано уравнение .

Его общее решение будет , представляющем семейство гипербол, изображенных на рис. 5.

Из для нахождения предполагаемых огибающих получаем систему уравнений

Исключая из уравнений параметр c получаем уравнение кривой y=0, являющейся осью Ox.

Кривая y=0 удовлетворяет дифференциальному уравнениюи, следовательно, является его решением. Однако, она не является огибающей, так как не имеет общих точек с интегральными кривыми семейства. Таким образом, являясь решением уравнения, она не является его особым решением.

Далее будут рассмотрены методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

3. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде или .

Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого уравнения, оно может быть записано в виде

(отсюда происходит название данного типа уравнения).

Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения.

Пусть величина Z является с одной стороны функцией величины y, т.е. z=M(y). С другой стороны величина Z является функцией величины x, т.е. z=g(x). Например, если Z-объем выпуска продукции, то с одной стороны z зависит от величины y – объема основных фондов, с другой стороны z может рассматриваться зависимой от величины x – объема затрачиваемых трудовых ресурсов. Таким образом, через соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией другойвеличины x или, соответственно,y. Исходное дифференциальное уравнение отображает эту функциональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x), уравнивая их, т.е. dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать, что .

Таким образом, чтобы найти эту функциональную связь в виде y=y(x),x=x(y) или f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения, получая

, и затем приравнять их H(y)+c₁ =G(x)+c₂ (имея в виду z=H(y)+c₁ , z=G(x)+c₂ , и затем z исключается). Вместо двух постоянных c₁ и c₂ обычно берется одна c=c₂ -c₁ , и тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в виде

Если это возможно, из него одна из величин может быть представлена явно функцией другой y=y(x) или x=x(y).

Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение получаемое при моделировании процесса распространения информации о новом товаре

Данное уравнение, очевидно, относится к уравнению с разделяющимися переменными. Разнеся переменные x и t и их дифференциалы по разные стороны, уравнение запишем в виде

или .

Проинтегрируем каждую из сторон этого уравнения:

, .

Приравнивая найденные интегралы получаем

или ,

где c=N(c₁ -c₂ ). Отсюда далее , где . Так как по смыслу задачи , то , итогда . Окончательно общее решение дифференциального уравнения получает вид

, где .

Нетрудно проверить, что дискретной и огибающей кривых дифференциальное уравнение не имеет. Однако беря крайние значения для равные , получаем кривые x=N и x=0, являющиеся решениями уравнения, но не особыми.

Пример 2. Возьмем дифференциальное уранение

или ,

геометрическая иллюстрация решений которого рассматривается в параграфе 2.

Данное уравнение является с разделяющимися переменными> Разнося переменные в разные стороны, записываем уравнение в виде

Интегрирование левой и правой частей уравнения, дает общее решение вида , где постоянная взята в виде lnc,c>0. Далее несложно преобразовать данное уравнение к виду

или , где постоянная уже не имеет ограничений на знак.

Как видно получилось семейство гипербол.

Пусть из данного семейства интегральных кривых (гипербол) необходимо выделить кривую (решение) проходящую через точку M(1,1), т.е. выделить решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1. Для этого в общее решение уравнения подставим значения x=1, y=1, и найдем, отвечающее искомой кривой, значение постоянной . Очевидно, это значение равно . Следовательно, искомое частное решение определяется уравнением

Yx=1 или .

Пример 3. Рассмотрим уравнение , приведенное в параграфе 3. Разрешая его относительно y / , получаем два уравнения y / =1 и y / =-1 или и .

Оба являются с разделяющимися переменными и приводятся к виду dy=dx и dx=-dx. Интегрирование левых и правых частей уравнений дает следующие их общие решения y=x+c и y=-x+c.

Пример 4. Следующим уравнением возьмем уарвнение из примера в параграфе 4.

Разрешая его относительно y / получаем

или .

Разделяя переменные имеем

Найдем интегралы от левой и правой частей уравнения:

Приравнивая интегралы и заменяя две постоянных на одну получаем следующий вид общего решения уравнения

Возводя в квадрат обе части данного уравнения, получаем окончательный вид общего решения

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение ,

Найти его частное решение при условии .

Разрешая уравнение относительно y / , видим, что оно является уравнением с разделяющимися переменными

Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем

Интегрируя каждую из частей этого уравнения, получаем следующее общее решение исходного дифференциального уравнения

или .

Используя начальное условие , определяем значение константы c для искомого частного решения . Искомое частное решение дается уравнением .

4. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка .

Функция f(x,y) называется однородной степени m, если .

Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если .

Например, функция является однородной второй степени. Действительно,. Функция однородная нулевой степени, так как .

Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве , имеем , где может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е. .

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y / )=0, называется однородным, если оно может быть представлено в виде y / =f(x,y) или ., где f(x,y) – однородная функция нулевой степени.

Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.

Подставляя в исходное уравнение и , получаем уравнение вида или , являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением исходного уравнения.

Пример 1. Рассматривается уравнение

(x 2 -y 2 )dx+2xydy=0.

Перепишем его в виде . Справа стоит функция однородная нулевой степени. Действительно,. Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем

или , т.е. .

Разделяя переменные приходим к уравнению

Интегрируем левую и правую части этого уравнения:

Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u

или , где c>0.

Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид , где c – произвольная постоянная.

Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения или y 2 +x 2 =cx,

Последнее выражение приводится к виду

Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является семейство окружностей с центрами в точках , лежащих на оси x, и радиусами . Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат. На рис. 6 изображено семейство этих окружностей.

Пример 2. Требуется найти частное решение уравнения ,

Удовлетворяющих начальному условию y(1)=0.

Нетрудно видеть (убедиться), что справа стоит однородная функция нулевой степени. Итак, исходное дифференциальное уравнение является однородным.Выполняя замену y=ux, приводим его к виду

или .

Разделяем переменные, получаем

Интегрируя обе части этого уравнения, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения

или .

Подставим в него и получим . Логарифмируя обе части этого уравнения получаем и далее .

Последнее соотношение дает общее решение исходного дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальными условиями x=1,y=0. Подставим их в общее решение , отсюда и .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка .

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y / +g(x)y=h(x).

Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и y / его можно рассматривать как линейное.

Если , то уравнение принимает простой вид y / =h(x), и сводится к нахождению неопределенного интеграла . Его общее решение тогда имеет вид .

Если , то уравнение называется однородным линейным. Оно приобретает вид , и, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными и далее .

Его общее решение имеет вид , где — некоторая первообразная для функции g(x).

Предположим теперь, что , функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) – искомое общее решение линейного дифференциального уравнения.

Представим исходное уравнение в виде

иподставим в выражение, стоящее в квадратных скобках,, т.е. как бы полагая в общем решении . Тогда вышеприведенное уравнение примет вид

являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения с исходным).

Общее решение этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть представлено в виде

где A – произвольная постоянная. Очевидно, является его частным решением, и, следовательно, может быть получено при некотором значении , т.е.

Если теперь освободиться от условия фиксирования постоянной , то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид

В нем второй множитель функция является, как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного уравнения . Первый множитель функция представляет общее решение дифференциального уравнения u / v(x)=h(x).

Действительно, подставляя в это уравнение u / _x (x,c), получаем тождество

Таким образом, показано, что общее решение линейного дифференциального уравнения

Представляется в виде y=u(x,c)v(x), где v(x) – частное решение однородного уравнения , решаемое при c=1,u(x,c) – общее решение уравнения u / v(x)=h(x).

Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с разделяющимися переменными.

Заметим, что хотя при решении однородного уравнения бралось частное решение V(x) однородного уравнения v / +g(x)v=0,

Являющегося уравнением с разделяющимися переменными.

На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения u / v(x)=h(x),

Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их решений общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде

Пример 1. Решить уравнение

Сначала решаем однородное уравнение v / +2v=0.

Из него получаем

или .

Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл (решение) вида

Полагая в нем c=0 и потенциируя его, получаем следующее его нетривиальное частное решение .

Далее решаем уравнение вида

или .

Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем общее решение этого уравнения

Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла, находим его вид

Следовательно,.

Тогда общее решение исходного уравнения будет

Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее через точку M(0,0), т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем соответствующее значение постоянной c:

, отсюда.

Искомым частным решением является

Пример 2. Решить уравнение

являющееся линейным дифференциальным уравнением.

На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения

, или .

Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем

Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное решение

На втором этапе решаем уравнение вида

Делая замену , сокращая обе части уравнения на и разделяя переменные, имеем du=x 2 dx.

Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

6. Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах .

Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в виде

Где M(x,y) и N(x,y) – функции двух переменных x и y. Тогда, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.

то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде

а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0.

Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение системы подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии, массы, стоимости и т.д.).

Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах.

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для U(x,y) частными производными первого порядка, соответственно, по переменным x и y, т.е.

Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные частные производные, соответственно, по y и x, т.е. выполнение соотношений

получаем, что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие

Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Было уравнением в полных дифференциалах.

Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в два этапа.

На первом этапе функция U(x,y) рассматривается как функция только аргумента x, переменная y получает как бы фиксированное значение. Тогда соотношению

ставится в соответствие дифференциальное уравнение

Пусть его общее решение представляется в виде

Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c является функцией y, т.е. c=h(y). Следовательно, общее решение предыдущего дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления его значения, имеет вид

На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к соотношению

в котором уже закрепляется как бы значение переменной x.

Используя данное соотношение и вид функции U(x,y), получаем дифференциальное уравнение, связывающее переменные h и y:

или .

Интегрируя это уравнение, находим его общее решение

Из , получаем окончательный вид функции U(x,y), а именно

или

В последнем двойном интеграле вместо можно взять функцию (т.к. ). Тогда функция U(x,y) получает вид

Так как общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде U(x,y)=c=const, то, заменяя две постоянных на одну, получаем следующий вид общего решения уравнения

или

Пример 1. Дано дифференциальное уравнение

(6x 2 y 2 +6xy-1)dx+(4x 3 y+3x 2 y+2y)dy=0.

В нем M(x,y)=6x 2 y 2 +6xy-1, N(x,y)=4x 3 y+3x 2 y+2y. Из и тождества ,

Следует, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Проведем его решение в два этапа.

На первом решаем уравнение

или dU=(6x 2 y 2 +6xy-1)dx,

в котором переменная y считается закрепленной. Интегрируя это уравнение, получаем

U(x,y)=2x 3 y 2 +3x 2 y-x+h(y).

На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого соотношение

и дифференциальное уравнение для h и y

4x 3 y+3x 2 +h / (y)=4x 3 y+3x 2 +2y или .

Интегрируя последнее, получаем h=y 2 +c. Общий интеграл исходного уравнения тогда можно записать в виде

2x 3 y 2 +3x 2 y-x+y 2 =c.

Пример 2. Найти решение уравнения

2xsinydx+(3y 2 +x 2 cosy)dy=0.

Проверяем, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? Для этого из M(x,y)=2xsiny, N(x,y)=3y 2 +x 2 cosy

Так как, очевидно, выполняется условие

то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Сначала решаем уравнение

или dU=2xsinydx,

считая y постоянной. Интегрирование уравнения дает

Затем находим функцию h(y), используя соотношения

, с одной стороны, и , с другой стороны. Соотношения приводят к дифференциальному уравнению

или .

Интегрируя последнее уравнение, получаем h=y 3 +c.

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается в виде

Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя. Ранее отмечалось, что уравнение в полных дифференциалах возникает, когда поведение системы сохраняет некоторую величину U, т.е. удовлетворяет соотношению

Дифференциальным аналогом его является уравнение dU(x,y)=0 или

Где .

Предположим теперь, что частные производные функции U(x,y) представимы в виде

Тогда соотношению U(x,y)=e будет соответствовать уравнение в полных дифференциалах вида

Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых g(x,y), то получим уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего, из которого оно получено, однако оно может уже не являться уравнением в полных дифференциалах, также для него возможно будет

В то же время после умножения его на множитель g(x,y), оно становится уравнением в полных дифференциалах.

Определение. Функция g(x,y) называется интегрирующим множителем дифференциального уравнения

Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в полных дифференциалах.

Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом интегрирующего множителя.

Найдем условие, которому должен подчиняться интегрирующий множитель g(x,y). Из предложения, что уравнение

Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия

Разверернув левую и правую части этого тождества

заключаем, что функция g(x,y) должна являться решением уравнения

В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения. Отметим два случая, когда его решение становится проще.

Случай первый. Пусть

Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей только от x.

Действительно, пусть g=g(x). Тогда в виду ; получаем, что искомая функция g(x) является решением дифференциального уравнения

или ,

интегрируя которое, находим

, т.е. .

Второй слуяай относится к аналогичной ситуации, когда

Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции только от y, т.е. g=g(y).

Аналогично предыдущему, не трудно видеть, что функция g(y) является решением уравнения

и представляется в виде

Пример 3. Дано уравнение

(y 2 -3xy-2x 2 )dx+(xy-x 2 )dy=0.

Из M(x,y)=y 2 -3xy-2x 2 , N(x,y)=xy-x 2 , , следует , т.е. уравнение не является в полных дифференциалах.

Однако из соотношения

вытекает, что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после умножения на который исходное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.

Указанный множитель находим из уравнения

интегрируя которое получаем , или g=xc. Так как в качестве множителя достаточно взять одну из функций, то положим c=1 и, тогда,g=x.

Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем

(xy 2 -3x 2 y-2x 3 )dx+(x 2 y-x 3 )dy=0,

являющееся уже уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим

затем из U / _y =x 2 y-x 3 +h / (x) и U / _y =N(x,y)=x 2 y-x 3

получаем x 2 y-x 3 +h / =x 2 y-x 3 , т.е. и,

следовательно,h=c=const. Таким образом, общее решение имеет вид

Пример 4. Требуется решить уравнение

(2xy 2 -y)dx+(y 2 +x+y)dy=0.

Из M(x,y)=2xy 2 -y, N(x,y)=y 2 +x+y, следует

Однако из соотношения

вытекает, что для исходного дифференциального уравнения существует интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель находится из уравнения

Интегрируя его, получаем .

Умножая исходное уравнение на множитель , приходим к уравнению

Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах. Решаем его

затем из и ,

или .

Интегрируя последнее уравнение, имеем .

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид

7. Дифференциальные уравнения второго порядка .

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид

F(x,y,y / ,y // )=0 или .

Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где p и q – числа,h(x) – некоторая функция от x.

Если в этом уравнении , то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим решение однородного уравнения

Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида,

Называемое характеристическим. Его корни, как известно, определяются формулами

Возможны следующие три случая для вида корней этого уравнения: 1) корни уравнения – действительные и различные; 2) корни – действительные и равные; 3) корни уравнения – комплексно-сопряженные. Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.

Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p 2 -4q>0. Тогда оба корня действительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

где c₁ , c₂ – произвольные постоянные.

Действительно, если , то , . Подставляя выражения для y,y / и y // в уравнение получим

Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т.е p 2 -4q=0.

Тогда оба корня действительные и равные, т.е. .

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен, т.е. p 2 -4q // +py / +g(y)\h(x),

где h(x) – некоторая функция от x.

Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y / =z, y // =z / , приходим к решению линейного дифференциального уравнения первого порядка z / +pz=h(x).

источники:

http://www.myunivercity.ru/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0/73313_1461642_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B01.html

http://www.bestreferat.ru/referat-95532.html

Название: Дифференциальные уравнения I и II порядка
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 00:55:09 24 марта 2008 Похожие работы
Просмотров: 7487 Комментариев: 22 Оценило: 14 человек Средний балл: 3.9 Оценка: 4 Скачать