Аппроксимация функции одной переменной
Калькулятор использует методы регрессии для аппроксимации функции одной переменной.
Данный калькулятор по введенным данным строит несколько моделей регрессии: линейную, квадратичную, кубическую, степенную, логарифмическую, гиперболическую, показательную, экспоненциальную. Результаты можно сравнить между собой по корреляции, средней ошибке аппроксимации и наглядно на графике. Теория и формулы регрессий под калькулятором.
Если не ввести значения x, калькулятор примет, что значение x меняется от 0 с шагом 1.
Аппроксимация функции одной переменной
Линейная регрессия
Коэффициент линейной парной корреляции:
Средняя ошибка аппроксимации:
Квадратичная регрессия
Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b и c:
Коэффициент корреляции:
,
где
Средняя ошибка аппроксимации:
Кубическая регрессия
Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b, c и d:
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Степенная регрессия
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Показательная регрессия
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Гиперболическая регрессия
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Логарифмическая регрессия
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Экспоненциальная регрессия
Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.
Вывод формул
Сначала сформулируем задачу:
Пусть у нас есть неизвестная функция y=f(x), заданная табличными значениями (например, полученными в результате опытных измерений).
Нам необходимо найти функцию заданного вида (линейную, квадратичную и т. п.) y=F(x), которая в соответствующих точках принимает значения, как можно более близкие к табличным.
На практике вид функции чаще всего определяют путем сравнения расположения точек с графиками известных функций.
Полученная формула y=F(x), которую называют эмпирической формулой, или уравнением регрессии y на x, или приближающей (аппроксимирующей) функцией, позволяет находить значения f(x) для нетабличных значений x, сглаживая результаты измерений величины y.
Для того, чтобы получить параметры функции F, используется метод наименьших квадратов. В этом методе в качестве критерия близости приближающей функции к совокупности точек используется суммы квадратов разностей значений табличных значений y и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии.
Таким образом, нам требуется найти функцию F, такую, чтобы сумма квадратов S была наименьшей:
Рассмотрим решение этой задачи на примере получения линейной регрессии F=ax+b.
S является функцией двух переменных, a и b. Чтобы найти ее минимум, используем условие экстремума, а именно, равенства нулю частных производных.
Используя формулу производной сложной функции, получим следующую систему уравнений:
Для функции вида частные производные равны:
,
Подставив производные, получим:
Откуда, выразив a и b, можно получить формулы для коэффициентов линейной регрессии, приведенные выше.
Аналогичным образом выводятся формулы для остальных видов регрессий.
МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики
Данный онлайн-сервис позволяет найти с помощью метода наименьших квадратов уравнения линейной, квадратичной, гиперболической, степенной, логарифмической, показательной, экспоненциальной регрессии и др., коэффициенты и индексы корреляции и детерминации. Показываются диаграмма рассеяние и график уравнения регрессии. Также калькулятор делает оценку значимости параметров уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера, t-критерия Стьюдента и критерия Дарбина-Уотсона.
Можно задать уровень значимости и указать, до какого знака после запятой округлять расчётные величины.
Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую.
Степенная регрессия
Квадратичная регрессия
Кубическая регрессия
Показательная регрессия
Логарифмическая регрессия
Экспоненциальная регрессия
Округлять до
-го
знака после запятой.
Аппроксимация функции одной переменной методом наименьших квадратов с дополнительными условиями
Калькулятор использует метод наименьших квадратов для аппроксимации функции одной переменной. В случае ввода дополнительных условий используется метод множителей Лагранжа.
Эта страница существует благодаря следующим персонам
Timur
- Статья : Аппроксимация функции одной переменной методом наименьших квадратов с дополнительными условиями — Автор
- Калькулятор : Аппроксимация функции одной переменной методом наименьших квадратов с дополнительными условиями — Автор
Данный калькулятор использует метод наименьших квадратов (МНК) для аппроксимации функции одной переменной, аналогично калькулятору Аппроксимация функции одной переменной. Но, в отличии от указанного калькулятора, данный калькулятор поддерживает аппроксимацию функции с использованием ограничений на ее значения. То есть, можно задать условия равенства аппроксимирующей функции определенным значениям в определенных точках. Формулы аппроксимации будут выведены с учетом этих условий.
Используемый метод (метод множителей Лагранжа) накладывает ограничения на набор аппроксимирующих функций, так что этот калькулятор не поддерживает экспоненциальную аппроксимацию, аппроксимацию степенной функцией и показательную аппроксимацию. Одним словом поддерживается только линейная регрессия. Зато в него были добавлены аппроксимация полиномами 4-ой и 5-ой степени. Формулы и немного теории можно найти под калькулятором.
Если не ввести значения x, калькулятор будет считать, что значение x меняется начиная с 0 с шагом 1.
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-mnk-i-regressionniy-analiz
http://skokaskoka.ru/8735/?thanks=1