Арифметический корень натуральной степени решение уравнений

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.

Перечень тем, рассматриваемых на уроке:

• преобразование и вычисление арифметических корней,
• свойства арифметического корня натуральной степени,
• корень нечетной степени из отрицательного числа,
• какими свойствами обладает арифметический корень натуральной степени.

1. Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
2. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
3. Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
4. Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
5. Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

1. Сканави М. И., Зайцев В. В., Рыжков В. В. «Элементарная математика». – Книга по требованию, 2012.
2. Семенова А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 3000 задач с ответами, математика под редакцией Москва, 2017.
3. Ященко И. В. ЕГЭ 3300 задач с ответами, математика профильный уровень под редакцией Москва, 2017.

Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»

Площадь квадрата S=16 м².

Обозначим сторону квадрата а, м.

Решим данное уравнение:

Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Обозначение: .

Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.

Обозначение: .

.

.

.

На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени.

Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.

Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Обозначение: – корень n-й степени, где

n–степень арифметического корня;

а– подкоренное выражение.

Давайте рассмотрим такой пример: .

Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно, .

Еще один пример: .

Мы знаем, что (–3) 5 = –243, следовательно, .

На основании этих примеров, можно сделать вывод:

, при условии, что n –нечетное число.

Свойства арифметического корня натуральной степени:

Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:

1. .

.

.

1. .

.

.

1. .

.

1. .

.

1. Для любогоа справедливо равенство:

Найдите значение выражения , при 3 3;

=|x – 6|=6 – x, т.к. х Назад Вперёд

Арифметический корень n-й степени

Арифметический корень натуральной степени

Арифметическим корнем натуральной степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a \ge 0$ называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Поиск корня n-й степени называют извлечением корня n-й степени.

Эта операция является обратной возведению в n-ю степень.

$ \sqrt[3] <27>= 3, т.к. 3^3 = 27 $

$ \sqrt[4] <625>= 5, т.к. 5^4 = 625 $

Корень нечётной степени из отрицательного числа

Если степень n нечётная, то корнем нечётной степени n из отрицательного числа $a \lt 0$ называют такое отрицательное число, n-я степень которого равна a.

Решение уравнений $x^n = a$

$$ x^2 = 16 \iff x^2-16 = 0 \iff (x+4)(x-4) = 0 \iff \left[ \begin x_1 = -4 \\ x_2 = 4 \end \right. $$

$$ x^2 = -9 \lt 0 \iff x \in \varnothing, решений \quad нет$$

$$ x^4 = 81 \iff x^4-81 = 0 \iff (x^2+9)(x^2-9) = 0 \iff $$

$$ \iff (x^2+9)(x+3)(x-3) = 0 \iff \left[ \begin x_1 = -3 \\ x_2 = 3 \end \right. $$

$$ x^3 = 27 \iff x^3-27 = 0 \iff (x-3)(x^2+3x+9) = 0 \iff x = 3 $$

$$ x^3 = -27 \iff x^3+27 = 0 \iff (x+3)(x^2-3x+9) = 0 \iff x = -3 $$

Если n – чётно и $a \ge 0$, уравнение $x^n = a$ имеет два решения: $x = \pm \sqrt[n]$

Если n – чётно и $a \lt 0$, уравнение $x^n = a$ решений не имеет.

Если n — нечётно, уравнение $x^n = a$ имеет одно решение $x = \sqrt[n]$ при любом $a \in \Bbb R$.

Свойства арифметических корней натуральной степени

$$ \sqrt[n] = \sqrt[np]>, \quad a \ge 0, n \in \Bbb N, m \in \Bbb N, p \in \Bbb N $$

Примеры

Пример 1. Упростите выражение:

Пример 2. Вычислите:

Пример 3. Сравните числа:

$ 14 \lt 17 \Rightarrow \sqrt[3] <14>\lt \sqrt[3] <17>$

$ -14 \gt -17 \Rightarrow \sqrt[3] <-14>\gt \sqrt[3] <-17>$

$ \sqrt[3] <-14>\lt 0 \lt \sqrt <5>\Rightarrow \sqrt[3] <-14>\lt \sqrt <5>$

$ \sqrt[3] <29>\gt \sqrt[3] <27>= 3, \sqrt[4] <78>\lt \sqrt[4] <81>= 3 $

$ \sqrt[4] <78>\lt 3 \lt \sqrt[3] <29>\Rightarrow \sqrt[3] <29>\gt \sqrt[4] <78>$

Пример 4. Найдите область определения функции:

Выражение под чётным корнем должно быть неотрицательным:

$ \frac \ge 0 \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin x+3 \ge 0 \\ x-1 \gt 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin x+3 \le 0 \\ x -1 \lt 0 \end \right.> \end \right. \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin x ≥ -3 \\ x \gt 1 \end \right.> \\ <\left\< \begin x \le -3 \\ x \lt 1 \end \right.> \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x \gt 1 \\ x \le -3 \end \right. \Rightarrow x \le -3 \cup x \gt 1 $

Область определения: $x \in (-\infty;-3] \cup (1;+\infty)$

Выражение под нечётным корнем может иметь любой знак.

Ограничения области определения связаны только с делением на 0:

Область определения: $x \in (-\infty;-3) \cup (-3;8) \cup (8;+\infty)$

Пример 5. Решите уравнение:

$ x = \pm \sqrt[6] <64>= \pm \sqrt[6] <2^6>= \pm 2 $

$ x \in \varnothing$ — решений нет

Пример 6*. Найдите значение выражения $\sqrt[3]<9+\sqrt<80>> +\sqrt[3]<9-\sqrt<80>>$

Мы получили уравнение: $A^3 = 3(A+6)$ или $ \frac <3>= A+6$. Решим его графически:

Арифметические корни натуральной степени

Арифметический корень второй степени

Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если его возвести во вторую степень (в квадрат).

8 2 = 8 × 8 = 64 — число 8 — это корень второй степени из 64

0 , 6 2 = 0 , 6 × 0 , 6 = 0 , 36 — число 0,6 — это корень второй степени из 0,36

1 2 = 1 × 1 = 1 — число 1 — это корень второй степени из числа 1

Не забудем упомянуть, что есть числа, для которых невозможно найти равный этому числу квадрат, который являлся бы действительным числом. Проще говоря, не для всех чисел можно найти действительное число, квадрат которого был бы равен данному числу.

Для любого числа a , a = b 2 при отрицательном показателе a не является верным, поскольку a = b 2 не может иметь отрицательное значение при любом показателе b .
Отсюда следует вывод: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа.

Поскольку 0 2 = 0 × 0 = 0 , то нуль и есть квадратный корень числа «нуль».

Арифметический корень второй степени числа a ( a ≥ 0 ) — неотрицательное число, которое становится равным a , если возвести его в квадрат.

Арифметический корень второй степени из числа a имеет следующее обозначение: a . Однако встречается и такое обозначение: a 2 , но двойку (показатель корня) не нужно прописывать.

Знак арифметического корня « » также имеет название «радикал». Следует запомнить, что «корень» и «радикал» являются полными синонимами (имеют абсолютно одинаковое значение и употребляются и в том, и в том варианте).

Число, стоящее под знаком корня, — это подкоренное число. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его принято называть подкоренным выражением, соответственно.

Глядя на определение понятия «арифметический корень», можно вывести следующую формулу:

Для любого a ≥ 0 :

Слово «арифметический» при чтении записи 9 можно опустить.

Далее мы рассмотрим исключительно арифметические корни из неотрицательных чисел и выражений.

Кубический корень

Арифметический корень третьей степени (кубический корень) — неотрицательное число, которое при условии возведении его в куб, станет равным a . Обозначается как a 3 .

Число 3 в данной записи — показатель корня. Число или выражение, стоящее под знаком корня — подкоренное.

Опять же, слово «арифметический» чаще всего не используют, а просто говорят: «корень третьей степени из числа a ».

3 , 5 3 — арифметический корень 3-й степени из 3 , 5 или кубический корень из 3 , 5 ;

x + 5 3 — арифметический корень 3-й степени из x + 5 или кубический корень из x + 5 .

Арифметический корень n-ной степени

Арифметический корень n-ной степени из числа a ≥ 0 — неотрицательное число, которое, при условии возведения в степень, становится равным числу a и обозначается: a n , где a — подкоренное число или выражение, а n — показатель корня.

Арифметический корень можно записать при помощи следующих символов:

1 , 2 9 — арифметический корень седьмой степени из числа 1 , 2 , где 1 , 2 — подкоренное число, а 9 — показатель корня.

y 2 + 6 6 — арифметический корень из y 2 + 6 где y 2 + 6 — подкоренное выражение, а 6 — показатель корня.

Исходя из определения арифметического корня n -ной степени, подкоренным выражением должно являться неотрицательное число или выражение. Если в равенстве ( a n ) n = a обе части умножить на — 1 , то получатся две равносильные части равенства: — ( a n ) n = — a

Из этого следует, что для нечетных показателей арифметического корня записывают следующее равенство: