Арифметический корень натуральной степени уравнения

Арифметический корень n-й степени

Арифметический корень натуральной степени

Арифметическим корнем натуральной степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a \ge 0$ называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Поиск корня n-й степени называют извлечением корня n-й степени.

Эта операция является обратной возведению в n-ю степень.

$ \sqrt[3] <27>= 3, т.к. 3^3 = 27 $

$ \sqrt[4] <625>= 5, т.к. 5^4 = 625 $

Корень нечётной степени из отрицательного числа

Если степень n нечётная, то корнем нечётной степени n из отрицательного числа $a \lt 0$ называют такое отрицательное число, n-я степень которого равна a.

Решение уравнений $x^n = a$

$$ x^2 = 16 \iff x^2-16 = 0 \iff (x+4)(x-4) = 0 \iff \left[ \begin x_1 = -4 \\ x_2 = 4 \end \right. $$

$$ x^2 = -9 \lt 0 \iff x \in \varnothing, решений \quad нет$$

$$ x^4 = 81 \iff x^4-81 = 0 \iff (x^2+9)(x^2-9) = 0 \iff $$

$$ \iff (x^2+9)(x+3)(x-3) = 0 \iff \left[ \begin x_1 = -3 \\ x_2 = 3 \end \right. $$

$$ x^3 = 27 \iff x^3-27 = 0 \iff (x-3)(x^2+3x+9) = 0 \iff x = 3 $$

$$ x^3 = -27 \iff x^3+27 = 0 \iff (x+3)(x^2-3x+9) = 0 \iff x = -3 $$

Если n – чётно и $a \ge 0$, уравнение $x^n = a$ имеет два решения: $x = \pm \sqrt[n]$

Если n – чётно и $a \lt 0$, уравнение $x^n = a$ решений не имеет.

Если n — нечётно, уравнение $x^n = a$ имеет одно решение $x = \sqrt[n]$ при любом $a \in \Bbb R$.

Свойства арифметических корней натуральной степени

$$ \sqrt[n] = \sqrt[np]>, \quad a \ge 0, n \in \Bbb N, m \in \Bbb N, p \in \Bbb N $$

Примеры

Пример 1. Упростите выражение:

Пример 2. Вычислите:

Пример 3. Сравните числа:

$ 14 \lt 17 \Rightarrow \sqrt[3] <14>\lt \sqrt[3] <17>$

$ -14 \gt -17 \Rightarrow \sqrt[3] <-14>\gt \sqrt[3] <-17>$

$ \sqrt[3] <-14>\lt 0 \lt \sqrt <5>\Rightarrow \sqrt[3] <-14>\lt \sqrt <5>$

$ \sqrt[3] <29>\gt \sqrt[3] <27>= 3, \sqrt[4] <78>\lt \sqrt[4] <81>= 3 $

$ \sqrt[4] <78>\lt 3 \lt \sqrt[3] <29>\Rightarrow \sqrt[3] <29>\gt \sqrt[4] <78>$

Пример 4. Найдите область определения функции:

Выражение под чётным корнем должно быть неотрицательным:

$ \frac \ge 0 \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin x+3 \ge 0 \\ x-1 \gt 0 \end \right.> \\ <\left\< \begin x+3 \le 0 \\ x -1 \lt 0 \end \right.> \end \right. \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin x ≥ -3 \\ x \gt 1 \end \right.> \\ <\left\< \begin x \le -3 \\ x \lt 1 \end \right.> \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x \gt 1 \\ x \le -3 \end \right. \Rightarrow x \le -3 \cup x \gt 1 $

Область определения: $x \in (-\infty;-3] \cup (1;+\infty)$

Выражение под нечётным корнем может иметь любой знак.

Ограничения области определения связаны только с делением на 0:

Область определения: $x \in (-\infty;-3) \cup (-3;8) \cup (8;+\infty)$

Пример 5. Решите уравнение:

$ x = \pm \sqrt[6] <64>= \pm \sqrt[6] <2^6>= \pm 2 $

$ x \in \varnothing$ — решений нет

Пример 6*. Найдите значение выражения $\sqrt[3]<9+\sqrt<80>> +\sqrt[3]<9-\sqrt<80>>$

Мы получили уравнение: $A^3 = 3(A+6)$ или $ \frac <3>= A+6$. Решим его графически:

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.

Перечень тем, рассматриваемых на уроке:

• преобразование и вычисление арифметических корней,
• свойства арифметического корня натуральной степени,
• корень нечетной степени из отрицательного числа,
• какими свойствами обладает арифметический корень натуральной степени.

1. Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
2. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
3. Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
4. Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
5. Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

1. Сканави М. И., Зайцев В. В., Рыжков В. В. «Элементарная математика». – Книга по требованию, 2012.
2. Семенова А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 3000 задач с ответами, математика под редакцией Москва, 2017.
3. Ященко И. В. ЕГЭ 3300 задач с ответами, математика профильный уровень под редакцией Москва, 2017.

Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»

Площадь квадрата S=16 м².

Обозначим сторону квадрата а, м.

Решим данное уравнение:

Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Обозначение: .

Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.

Обозначение: .

.

.

.

На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени.

Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.

Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Обозначение: – корень n-й степени, где

n–степень арифметического корня;

а– подкоренное выражение.

Давайте рассмотрим такой пример: .

Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно, .

Еще один пример: .

Мы знаем, что (–3) 5 = –243, следовательно, .

На основании этих примеров, можно сделать вывод:

, при условии, что n –нечетное число.

Свойства арифметического корня натуральной степени:

Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:

1. .

.

.

1. .

.

.

1. .

.

1. .

.

1. Для любогоа справедливо равенство:

Найдите значение выражения , при 3 3;

=|x – 6|=6 – x, т.к. х Назад Вперёд

Корни натуральной степени из числа, их свойства.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Корни натуральной степени из числа, их свойства. Презентация по математике 1 курс ССУЗ Преподаватель ГАПОУ СПО «ЛНТ» Шаммасова А.А.

Цель урока: Обеспечение усвоения понятия корня натуральной степени из числа. Формирование представлений о свойствах корней и действиях с корнями. Формирование умений преобразования корней.

Корнем n – й степени из действительного числа a (n – натуральное число) называют такое действительное число x, при возведении которого в степень n получается число a. Это число обозначают: x= a n — подкоренное выражение -показатель корня Неотрицательное значение корня n –й степени из неотрицательного числа называется арифметическим корнем. Если a  0, n = 2,3,4,5,…, то

Операция извлечения корня является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. 5² = 25 10³ = 1000 0,3⁴ = 0,0081 25 = 5 3 4 Иногда выражение  a называют радикалом от латинского слова radix – «корень». n Символ — это стилизованная буква r. Возведение в степень Извлечение корня

Пример 1: Вычислить: а)  49; б)  0,125; в)  0 ; г)  17 3 7 4 Решение: а)  49 = 7, так как 7 > 0 и 7² = 49; 3 б)  0,125 = 0,5, так как 0,5 > 0 и 0,5³ = 0,125; в)  0 ; г)  17 ≈ 2,03 4 Корнем нечётной степени n из отрицательного числа a (n=3,5,…) называют такое отрицательное число, которое при возведении в степень n даёт в результате число a.

Итак, Вывод: Корень чётной степени имеет смысл (т.е. определён) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечётной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения. Пример 2: Решите уравнения: Если a

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 952 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 564 899 материалов в базе

Другие материалы

• 30.11.2015
• 513
• 0

• 30.11.2015
• 662
• 8

• 30.11.2015
• 1030
• 0

• 30.11.2015
• 545
• 0

• 30.11.2015
• 451
• 0

• 30.11.2015
• 780
• 2

• 30.11.2015
• 2550
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 30.11.2015 40356
• PPTX 285.1 кбайт
• 228 скачиваний
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Шаммасова Альфия Асхатовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 3 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 93381
• Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Египте нашли древние школьные «тетрадки»

Время чтения: 1 минута

В Рособрнадзоре рассказали, как будет меняться ЕГЭ

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.