Арифметический квадратный корень 8 класс квадратное уравнение

Арифметический квадратный корень (8 класс)

Арифметический квадратный корень из числа \(a\) – это такое число \(b\), возведение которого в квадрат даст \(a\).

Как извлечь квадратный корень из числа?

Чтобы извлечь квадратный корень из числа, надо задать себе вопрос: какое число в квадрате даст выражение под корнем?

а) Какое число в квадрате даст \(2500\)?

б) Какое число в квадрате даст \(\frac<4><9>\) ?

в) Какое число в квадрате, даст \(0,0001\)?

г) Какое число в квадрате даст \(\sqrt<1\frac<13><36>>\)? Чтобы дать ответ на вопрос, нужно перевести смешанную дробь в неправильную.

Замечание: Хотя \(-50\), \(-\frac<2><3>\) , \(-0,01\), \(- \frac<7><6>\) , тоже отвечают на поставленные вопросы, но их не учитывают, так как квадратный корень – всегда положителен.

Главное свойство корня

Как известно, в математике у любого действия есть обратное. У сложения – вычитание, у умножения – деление. Обратное действие возведению в квадрат — извлечение квадратного корня. Поэтому эти действия компенсируют друг друга:

Это и есть главное свойства корня, которое чаще всего используется (в том числе и в ОГЭ)

Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(\frac<(2\sqrt<6>)^2><36>\)

Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \((\sqrt<85>-1)^2\)

Что такое квадратный корень

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x 2 = a
x ≥ 0
a ≥ 0

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из √-16

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x 2 = 16, x = 4 и x = -4.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

  • x 2 = 16 не равно x = √16.

Это два нетождественных друг другу выражения.

  • x 2 = 16 — это квадратное уравнение.
  • x = √ 16 — арифметический квадратный корень.

Из выражения x 2 = 16 следует, что:

  • |x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

  1. Пример решен неверно
  2. Это квадратное уравнение.

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения:

Первое выражение — квадратное уравнение.

Второе выражение — арифметический квадратный корень.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение: x 2 = 2.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Решение следующее:
Строим график функции y = x 2 .
Отмечаем решения на графике: -√2; √2.

Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .

В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.
x 2 = 2.
x = √2
x = -√2.

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

  • 1. Извлеките квадратный корень: √289

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

  • 2. Извлеките квадратный корень: √3025

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.

  • 3. Извлеките квадратный корень: √7396

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

  • 4. Извлеките корень: √9025

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

  • 5. Извлеките корень √1600

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

  • Корень произведения равен произведению корней
  • Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя
  • Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

  1. Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49

  • Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

    Возведение арифметических корней в степень

    Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

    Примеры:

    Эти две формулы нужно запомнить:

    • (√a) 2 = a
    • √a 2 = |a|

    Повторите свойства степеней или запишитесь на курсы по математике, чтобы без труда решать такие примеры.

    Внесение множителя под знак корня

    Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

    А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

    Дано выражение: 7√9

    Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.

    Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

    В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.

    Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

    Вы помните, что (√a) 2 = a

    Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.

    7√9 = √7 2 * 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

    Формула внесения множителя под знак корня:

    Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

    Вынесение множителя из-под знака корня

    С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

    Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

    Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

    Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

    В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

    Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

    Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

    Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

    Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.


  • Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,

    Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.
  • Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24

    Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.

  • Упростите выражение:

    Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.

    Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.

    Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5.
    Выносим общий множитель за скобки:

    Далее вычисляем все, что в скобках:
  • Сравнение квадратных корней

    Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

    Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

    Если:

    Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

      Сравните два выражения: √50 и 9√5

    Ответ: преобразовываем выражение 9√5.

    9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405

    Это значит, что 6√5 > √18.

    Сравните два выражения: 7√12 и √20

    Ответ: преобразовываем выражение 7√12.

    7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588

    Это значит, что 7√12 > √20.

    Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.

    Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

    Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

    Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.

    Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

    Извлечение квадратного корня из большого числа

    Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

    Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

    Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

    1. Определить «сотни», между которыми оно стоит.
    2. Определить «десятки», между которыми оно стоит.
    3. Определить последнюю цифру в этом числе.

    Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

    Извлечем корень из √2116.

    Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

    Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

    Это значит, что число 2116 находится между 40 2 и 50 2 .

    41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

    Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

    Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

    Как пользоваться таблицей

    4 2 = 16 ⇒ 6

    5 2 = 25 ⇒ 5

    6 2 = 36 ⇒ 6

    7 2 = 49 ⇒ 9

    8 2 = 64 ⇒ 4

    9 2 = 81 ⇒ 1

    Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

    Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

    Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

    Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

    Таким образом, у нас остаются два варианта: 44 2 и 46 2 .

    Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

    Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.

    Еще пример. Извлечем корень из числа √11664

    Разложим число 11664 на множители:

    Запишем выражение в следующем виде:

    Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

    Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.

    • 1. Вычислите значение квадратного корня: √36
    • 2. Вычислите значение квадратного корня: √64*36
    • 3. Вычислите значение квадратного корня:
    • 4. Вычислите значение квадратного корня:
    • 5. Вычислите значение квадратного корня:
    • 6. Вычислите значение выражения: 4√16 — 12
    • 7. Вычислите значение выражения: 5√9 — 8
    • 8. Вычислите значение выражения: 7√25 — 10
    • 9. Вычислите значение квадратного корня:
    • 10. Вычислите значение квадратного уравнения:
    • 11. Вычислите значение квадратного уравнения:
    • 12. Извлеките квадратный корень из числа √7056 удобным вам способом
      Как решаем:

    • 13. Вычислите значение квадратного корня √0,81
      Ответ: √0,81 = 0,9
    • 14. Вычислите значение квадратного корня:
      Как решаем: = 0,09
    • 15. Вычислите значение выражения: 8√81 — 20
      Как решаем: 8√81 — 20 = 8 * 9 — 20 = 72 — 20 = 52
      Ответ: 8√81 — 20 = 52.
    • 16. Вычислите значение выражения: 13√100 — 15
      Как решаем: 13√100 — 15 = 13 * 10 — 15 = 130 — 15 = 115
      Ответ: 13√100 — 15 = 115.
    • 17. Вычислите значение выражения: √16 + 5√4
      Как решаем: √16 + 5√4 = 4 + 5 * 4 = 4 + 20 = 24 Ответ: √16 + 5√4 = 24.
    • 18. Вычислите значение выражения: √36 + 2√9
      Как решаем: √36 + 2√9 = 6 + 2 * 3 = 6 + 6 = 12
      Ответ: √36 + 2√9 = 12.
    • 19. Вычислите значение выражения: 2√16 — 3√25
      Как решаем: 2√16 — 3√25 = 2 * 4 — 3 * 5 = 8 — 15 = -7
      Ответ: 2√16 — 3√25 = -7.
    • 20. Вычислите значение выражения: 3√81 — 5√9
      Как решаем: 3√81 — 5√9 = 3*9 — 5 * 3 = 27 — 15 = 12
      Ответ: 3√81 — 5√9 = 12.
    • 21. Вынесите множитель из-под знака корень: √60
      Как решаем: √60 = √15 * √4 = 2√15
      Ответ: √60 = 2√15.
    • 22. Вынесите множитель из-под знака корень: √160
      Как решаем: √160 = √16 * √10 = 4√10
      Ответ: √160 = 4√10.
    • 23. Внесите множитель под знак корня: 6√7
      Как решаем: √6 2 * 7 = √36 * √7 = √252
      Ответ: 6√7 = √252.
    • 24. Внесите множитель под знак корня: 8√2
      Как решаем: 8√2 = √8 2 * 2 = √64 * √2 = √128 Ответ: 8√2 = √128.
    • 25. Внесите множитель под знак корня: 9√5

      Как решаем: 9√5 = √9 2 * 5 = √81 * √5 = √405
      Ответ: 9√5 = √405.

    • 26. Упростите выражение: (5 — √2) 2
      Как решаем: (5 — √2) 2 = 5 2 — 2 * 5 * √2 + (√2) 2 = 25 — 10√2 + 2 = 27 — 10√2.
      Ответ: (5 — √2) 2 = 27 — 10√2.
    • 27. Вычислите значение выражения: 3√49 — 3√25
      Как решаем: 3√49 — 3√25 = 3 * 7 — 3 * 5 = 21 — 15 = 6
      Ответ: 3√49 — 3√25 = 6.
    • 28. Вычислите значение квадратного корня: √484 * √576
      Как решаем: √484 * √576 = 22 * 24 = 528
      Ответ: √484 * √576 = 528.
    • 29. Вычислите значение квадратного корня: √625 * √81
      Как решаем: √625 * √81 = 25 * 9 = 225
      Ответ: √625 * √81 = 225.
    • 30. Найдите значение выражения: 3√100 — √144
      Как решаем: 3100 — 144 = 3 * 10 — 12 = 18
      Ответ: 3√100 — √144 = 18.

      0 0 0 0 0 0

    109004, Москва, ул. Александра Солженицына, 23а, строение 1, подъезд 10

    Конспект урока по алгебре 8 класс»Квадратные корни. Арифметический квадратный корень»

    Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

    Алгебра 8 класс

    Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

    Цели: ввести понятия квадратного корня и арифметического квадратного корня; формировать умение извлечения квадратного корня.

    Тип урока: урок изучения нового материала.

    Оборудование: учебник, таблица квадратов.

    I. Организационный момент.

    II. Актуализация знаний . (10 мин)

    На прошлом уроке мы изучили темы «Рациональные и иррациональные числа».

    1.Ответьте на вопросы:

    1)Какие из чисел 351; -1253; -23,7; -1; ; 12; 0; 32 являются:

    а) дробными б) натуральными в) целыми г) рациональными

    2) Какие числа называются иррациональными?

    3) Назовите самое известное иррациональное число? (число π)

    а) 7 2 ; б) ; в) 11 2 ; г) ;

    д) ; е) 0,2 2 ; ж) ; з) 0,6 2 .

    Теперь мы можем двигаться вперед.

    III. Изучение нового материала. (15 мин)

    Он есть у дерева, цветка,
    Он есть у уравнений,
    И знак особый – радикал –
    С ним связан, вне сомнений.
    Заданий многих он итог,
    И с этим мы не спорим,
    Надеемся, что каждый смог
    Ответить: это … (Корень)

    Сегодня мы рассмотрим понятие «корень» с точки зрения математики.

    1. Квадратный корень.

    1.Рассмотрим задачу о нахождении стороны квадрата по его площади.

    Вписать в пустые клеточки числа, чтобы равенства были верными:

    2 = 16

    2 =

    2 = 100

    2.Пусть дано уравнение х 2 =25. Найдем корни этого уравнения, т.е. числа, квадраты которых равны числу 25. Этими числами являются 5 и – 5.

    Числа 5 и – 5 – квадратные корни числа 25, т.к. 5 2 =25 и (-5) 2 =25 .

    После этого дать определение квадратного корня из числа.

    Определение: Квадратным корнем из числа а называют такое число, квадрат которого равен а.

    Действие, в результате которого находят квадратный корень из числа, называют извлечением квадратного корня.

    Квадрат никакого числа не может быть отрицательным. Поэтому, чтобы можно было извлечь квадратный корень из данного числа, необходимо, чтобы он был неотрицательным, т. е. это число должно быть или положительным или равным 0.

    2. Арифметический квадратный корень.

    Площадь квадрата равна 81 см 2 . Чему равна длина стороны этого квадрата?

    Оба ли корня нам подходят по условию задачи? Почему?

    Определение : Положительный квадратный корень из неотрицательного числа называется его арифметическим квадратным корнем

    Равенство = b означает одновременное выполнение двух условий: b 2 = а и b ≥ 0.

    Определить , является ли число п арифметическим квадратным корнем из числа т , если:

    3. И с т о р и ч е с к а я с п р а в к а (сообщение учащегося по теме).

    Уравнения вида х 2 = а исторически были первыми сложными уравнениями, и их решения были названы корнями по метафоре, что из стороны квадрата, как из корня, вырастает сам квадрат. В дальнейшем термин «корень» стал употребляться и для произвольных уравнений.

    Название «радикал» тоже связано с термином «корень»: по-латыни корень – radix (он же редис – корнеплод). Также слово «радикальный» в русском языке является синонимом слова «коренной». Происхождение же символа связывают с написанием латинской буквы r.

    4. Основное свойство арифметического квадратного корня.

    .

    V. Формирование умений и навыков.( 20мин)

    При вычислении обратить внимание на следующее:

    Н а п р и м е р: = 7, поскольку 7 2 = 49.

    3. № 305, № 306 (а, б). Знакомство с таблицей квадратов.

    Подведем итог работы на уроке. Что нового узнали сегодня на уроке?

    В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

    – Что называется квадратным корнем из числа а ?

    – Сколько квадратных корней может быть из числа а ?

    – Что такое арифметический квадратный корень из числа а ?

    – Имеет ли смысл запись ? Почему?

    – Всегда ли верно равенство = а ?

    Надеюсь, что этот материал вы не забудете, он обязательно пригодится вам при дальнейшем изучении математики. Помните слова французского инженера-физика М.Лауэ: «Образование есть то, что остается, когда всё выученное уже забыто».

    Домашнее задание: п12 изучить ,

    Курс повышения квалификации

    Дистанционное обучение как современный формат преподавания

    • Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

    Курс профессиональной переподготовки

    Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

    • Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

    Курс повышения квалификации

    Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

    • Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

    Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

    Дистанционные курсы для педагогов

    Самые массовые международные дистанционные

    Школьные Инфоконкурсы 2022

    33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

    Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

    5 573 396 материалов в базе

    Другие материалы

    • 16.12.2017
    • 1703
    • 1
    • 16.12.2017
    • 504
    • 1

    • 16.12.2017
    • 348
    • 1
    • 16.12.2017
    • 434
    • 0

    • 16.12.2017
    • 452
    • 0

    • 16.12.2017
    • 471
    • 0
    • 16.12.2017
    • 3899
    • 114

    • 16.12.2017
    • 446
    • 2

    Вам будут интересны эти курсы:

    Оставьте свой комментарий

    Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

    Добавить в избранное

    • 17.12.2017 10509
    • DOCX 35.1 кбайт
    • 755 скачиваний
    • Рейтинг: 3 из 5
    • Оцените материал:

    Настоящий материал опубликован пользователем Асанова Зарема Аблякимовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Автор материала

    • На сайте: 4 года и 3 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 21679
    • Всего материалов: 8

    Московский институт профессиональной
    переподготовки и повышения
    квалификации педагогов

    Дистанционные курсы
    для педагогов

    663 курса от 690 рублей

    Выбрать курс со скидкой

    Выдаём документы
    установленного образца!

    Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

    Время чтения: 11 минут

    Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

    Время чтения: 1 минута

    В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

    Время чтения: 1 минута

    В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

    Время чтения: 1 минута

    Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

    Время чтения: 1 минута

    В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

    Время чтения: 1 минута

    Инфоурок стал резидентом Сколково

    Время чтения: 2 минуты

    Подарочные сертификаты

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.


    источники:

    http://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-kvadratnyj-koren

    http://infourok.ru/konspekt-uroka-po-algebre-klasskvadratnie-korni-arifmeticheskiy-kvadratniy-koren-2387000.html