Арифметический квадратный корень уравнение х2 а

Алгебра. 8 класс

Тема: Уравнение Х 2 = a

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом, уравнение x 2 = a, при a
X 2 = a, при a = 0
В данном случае уравнение имеет один корень. Этим корнем является число 0. Так как уравнение можно переписать в виде х • х = 0, то еще иногда говорят, что данное уравнение имеет два корня, которые равны между собой и равны 0.
X 2 = a, при a>0
В этом случае уравнение x 2 = a. Решается оно следующим образом. Сначала переносим а в левую часть.
X 2 – a = 0;
Из определения квадратного корня следует, что a можно записать в следующем виде: a = (√a) 2 . Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
X 2 – (√a) 2 = 0.
В левой части видим формулу разности квадратов, разложим её.
(x + √a) • (x — √a) = 0;
Произведение двух скобок равно нулю, если хотя бы одна из них равна нулю. Следовательно,
x + √a = 0;
x — √a = 0;
Отсюда, x₁ = √a x₂ = -√a.
Данное решение можно проверить и построив график.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

Разработка урока алгебры в 8 классе по темам : «Арифметический квадратный корень. Уравнение х2 =а.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Приложение 1.docx

Запишите десятичную дробь Представьте в виде десятичной

в виде обыкновенной: дроби число:

_2,75 ________ ___________

0,(7) ___________ ___________ 1,25 ____________ __________

Найдите значение выражения:

Используйте полученные ответы, заполните пропуски в тексте.

Эдвард (Эдуард) Френкель (2 мая 1968, Коломна, СССР)
Математик, работающий в области теории представлений, алгебраической геометрии и математической физики. В настоящее время он работает профессором математики в Калифорнийском университете в Беркли. Эдуард Френкель родился в Коломне, в семье инженера. После того как его не приняли на мехмат МГУ из-за его еврейского происхождения, Френкель поступил в университет нефти и газа.

Этапы его жизненного пути:

1984 — Френкель поступает на факультет прикладной математики Московского института нефти и газа. Помимо своих занятий, он читал книги по математике и посещал лекции в МГУ.
На основании его ранних публикаций, которые получили широкую известность в научных кругах, 21-летнего Френкеля пригласили в Гарвардский университет в качестве приглашенного профессора и назначили профессором Калифорнийского университета в Беркли, когда ему было 28.
1989 — получает диплом об окончании.
1990 — поступает в аспирантуру в Гарварде.
1991 — докторская степень Гарвардского Университета.
1991-1994 — стипендиат Гарварда.
1994-1997 — адъюнкт-профессор Гарварда.
1997 — по настоящее время — профессор математики Университета Калифорнии, Беркли.
2002 — первый лауреат премии имени Германа Вейля.
2013 — действительный член Американского математического общества.
2014 — избран в Американскую академию искусств и наук.

Книга получила премию Эйлера Математической Ассоциации Америки за 2015 год.

«Математика — это строгость плюс интеллектуальная честность, помноженные на опору на факты. В мире, главной движущей силой которого сегодня становится математика, у нас всех должен быть свободный доступ к математическому знанию, необходимому нам для того, чтобы защититься от произвольных решений, принимаемых небольшой кучкой властей предержащих. Где нет математики, нет и свободы». Эдуард Френкель

В этой книге известный математик Эдуард Френкель открывает доселе скрытые стороны математики, позволяя нам увидеть в ней красоту и элегантность, свойственные только величайшим шедеврам. «Математика, — говорит он, — это портал в неизведанный мир, ключ к пониманию глубинных тайн Вселенной и нас самих». Великий математик приглашает всех нас в этот таинственный мир.

«Моя цель не в том, чтобы вас чему-то научить. Я хочу дать вам возможность почувствовать, что существует целый мир, который от нас старательно скрывается, — мир математики. Это портал в неизведанную реальность, ключ к пониманию глубинных тайн Вселенной и нас самих. Математика не единственный портал, есть и другие. Но в некотором смысле он самый очевидный. И именно поэтому он так закамуфлирован, как будто бы на нем прибита доска с надписью: «Вам сюда не надо». А на самом деле надо. И когда мы входим в него, мы вспоминаем, кто мы: не маленькие винтики большой машины, не одинокие души, прозябающие на отшибе Вселенной. Мы — Творцы этого мира, способные дарить друг другу красоту и любовь». — Эдуард Френкель.

Уравнение вида x² = a.
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Урок изучения нового материала с использованием ИКТ.

Изложение темы сопровождается презентацией.

Для закрепления знаний и умений учащихся используется электронный тест.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема сегодняшнего урока – уравнение вида x² = a. На уроке мы познакомимся с алгоритмом решения данных уравнений, рассмотрим количество его решений в зависимости от значения а.

Уравнения с давних времен волновали умы человечества. По этому поводу у английского поэта средних веков Джеффри Чосера есть прекрасные строки, предлагаю сделать их эпиграфом нашего урока:

Посредством уравнений, теорем
Я уйму всяких разрешил проблем.

Уравнения, которые мы будем изучать тоже не исключение. Они очень важны и для математики, и для других наук.

1. Актуализация знаний – 5 мин.

Раз уж мы говорим об уравнениях, давайте вспомним – что это такое?

— Равенство, содержащее неизвестное .

Что такое корень уравнения?

1. Корнем уравнения называется значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное числовое равенство.

Что значит решить уравнение?

1. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Дайте определение арифметического квадратного корня из числа a.

1. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

При каких значениях а имеет смысл выражение ?

1. Выражение имеет смысл при неотрицательных а (при а больших или равных нулю).

Вычислите арифметический квадратный корень из числа:

225, 361, 196, 100, 0,25, 0,0036, 1,44, 4,84

1. Выполним письменно задание:

Разложите на множители выражение: 2 суворовца у доски, остальные в тетради.

Какую формулу нужно применить для выполнения этого задания? Сформулируйте.

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

1. Объяснение нового материала – 10 мин.

Придумайте задачу, в которой нам потребовалось бы решить уравнение такого вида.

Рассмотрим геометрическую задачу:

Площадь квадрата равна 8 см². Найдите сторону квадрата.

Что нужно сделать для решения данной задачи?

1. Составить уравнение x² = 8 и решить его.

Какие способы для его решения вы можете предложить?

1. подбор;
2. перенести число 8 в левую часть уравнения так, чтобы справа получился ноль.

Воспользуемся вторым предложением: Суворовец у доски, остальные в тетради.

Чем воспользуемся в данной ситуации?

1. формулой разности квадратов.

Каким наиболее рациональным способом мы можем его решить?

1. Приравнивая каждый множитель к нулю. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

То есть мы приравняем каждый множитель к нулю.

x — = 0 или x + = 0

Рассмотрим уравнение в общем виде: (записывают в левую колонку таблицы)

Решение уравнения x² = a, а > 0

x — = 0 или x + = 0

Будет ли иметь корни уравнение x² = — 4. Если «да», то сколько и какие?

1. Нет, так как квадрат числа всегда неотрицателен.

1. x² + 4 = 0, не можем разложить на множители, так как такой формулы не существует.

А уравнение x² = 0 ?

Обобщим: суворовцы заполняют пустую схему на листе, «сильный» суворовец – на доске.

один корень 3) а > 0 корней нет

Проговорить ещё раз случаи для а

Решим уравнение: 3x² = 243

К какому случаю можно отнести данное уравнение?

(записывают решение в правой колонке, 1 суворовец на доске)

Решение уравнения x² = a, а > 0

x — = 0 или x + = 0

x — 9= 0 или x + 9 = 0

1. Зарядка для глаз. – 2 мин.

Тренажер «Веселые глазки для активизации зрительной координации.

Следим глазами на интерактивной доске за движением стрелки-указателя.

Суворовцы стоя выполняют упражнения для глаз.

1. Решение упражнений – 10 мин.

Попробуем решить несколько уравнений самостоятельно.

Вам предложено по три уравнения разных уровней сложности. Выберите тот уровень, с которым вы, по вашему мнению, справитесь. Приступайте к решению. Кто справится, поднять руку для проверки.

Трое суворовцев вызвать к доске – решить по одному уравнению из 0 уровня.

Затем по одному суворовцу решить 1 уравнение на выбор (из 1 и 2 уровней).

3 уровень – по желанию.

При наличии времени те, кто справится с выбранным уровнем, работают над решением уравнений следующего уровня.

Те, кто решают на месте, могут проверить своё решение. Ответы к уравнениям, не решённым на доске, высветить на интерактивной доске.

х(x – 5) + 5х =36 (6; — 6)

x² + 3х = 25 + 3х (5; — 5)

Карточки (для «сильных» учащихся):

8) (2х – 5)(2х + 5) = 75

8) (3х – 2)(3х + 2) = 5

1. Закрепление материала – 5 мин.

Высветить схему ещё раз.

Уравнения какого вида мы научились решать?

Сколько корней имеет данное уравнение при а > 0?

1. при а > 0 уравнение имеет два корня.

Сколько корней имеет данное уравнение при а  0?

1. при а  0 уравнение не имеет корней.

Сколько корней имеет данное уравнение при а = 0?

1. при а = 0 уравнение имеет один корень, x=0.

1. Компьютерный тест (в формате Excel)

1.Сколько корней имеет уравнение x² = 45 ?

А) один корень Б) ни одного корня

1. Сколько корней имеет уравнение x² = 78 ?

А) один корень Б) ни одного корня

2.Сколько корней имеет уравнение x² = 0?

А) один корень Б) ни одного корня

2. Сколько корней имеет уравнение x² = 0?

А) один корень Б) ни одного корня

3.Сколько корней имеет уравнение x² = — 67 ?

А) один корень Б) ни одного корня

3. Сколько корней имеет уравнение x² = — 98 ?

А) один корень Б) ни одного корня

4.Найдите корни уравнения x² = 100

А) 10 Б) 10; — 10 В) — 10 Г) нет корней

4. Найдите корни уравнения x² = 225

А) 15 Б) 15; — 15 В) — 15 Г) нет корней

5.Найдите корни уравнения x² = 65

5. Найдите корни уравнения x² = 32

6.Найдите корни уравнения x² + 121 = 0

А) Б) 11; — 11 В) — 11 Г) нет корней

6. Найдите корни уравнения x² + 100 = 0

А) Б) 10; — 10 В) — 10 Г) нет корней

Ключ к тесту: 1 вариант: ВАББАГ, 2 вариант: БВААГБ

6 баллов – «5», 5 баллов – «4», 4 балла – «3».

Запишите в рабочий лист свой результат и отметку.

Вернемся к началу урока, к задаче. Оба ли полученных числа являются решением данной задачи?

1. нет, число — не подходит по условию задачи.

Значит в ответ запишем только см.

— Что нового вы узнали на этом уроке?

— Что было сложно?

Оцените степень усвоения материала: поставьте плюсик в соответствующей строчке таблицы.

но затрудняюсь в применении

1. Задание на самоподготовку – 1 мин.

№ 320(а, в, д), 322(а, в, д), 323(а, в, д).

Подвести итоги, выставить отметки.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Мой университет — www . moi — mummi . ru

Что такое уравнение? Что такое корень уравнения? Что значит решить уравнение? Дайте определение арифметического квадратного корня из числа a . При каких значениях а имеет смысл выражение ?

Вычислите арифметический квадратный корень из числа: = 15 = 19 = 14 = 10 = 0,5 = 0,06 = 1,2 = 2,2

Разложите двучлен на множители: x² — 225 = ( x — 15 )( x + 15 ) x² — 361 = (x — 19)(x + 19) x² — y² = (x — y)(x + y) x² — c² = (x — c)(x + c) x² + 144 = разложить нельзя! x² — 223 = ( x — )( x — ) x² — 35 = ( x — )( x — ) x² +17 = разложить нельзя! x ² — b = ( x — )( x — ) x ² — a = ( x — )( x — )

Задача: Площадь квадрата равна 8 см². Найдите сторону квадрата. x ² = 8 x ² — 8 = 0 ( x — )( x + ) = 0 x — = 0 или x + = 0 x = или x = — (не удовлетворяет условиям задачи) Ответ: сторона квадрата см.

два корня x = , x = — x ² = a 1) а = 0 2) а 0 корней нет х = 0

0 уровень (3) 1 уровень (4) 2 уровень (5) 3 уровень (5+) x² = 16 (4; — 4) 0,02 + x ² = 0,38 ( 0,6 ; -0,6 ) ( x + 4)² — 8х = 4 (нет корней) x ³ — 121 x = 0 (0; 11 ; -11 ) x ² = 7 ( ; — ) 13 x ² = 52 (2; — 2) х ( x – 5) + 5х =36 (6; — 6) ( x + 3)² = 49 (4; — 10) x ² = — 25 (нет корней) x ² + 3х = 25 + 3х (5; — 5) ( x – 3)( х + 3) – 4 = 6 ( ; — ) ( x — 13)² = 3 (13 + ; 13 — ) Ответы к уравнениям:

два корня x = , x = — x ² = a 1) а = 0 2) а 0 корней нет х = 0

ТЕСТ Проверь себя! 6 баллов – «5» 5 баллов – «4» 4 балла – «3»

Оцените себя! Усвоил полностью, могу применять Усвоил, но затрудняюсь в применении Усвоил частично Не усвоил

Задание на самоподготовку: № 320(а, в, д ), 322(а, в, д ), 323(а, в, д ).

Спасибо за урок! Мой университет — www . moi — mummi . ru