Арккосинус числа уравнение cos x a

Арккосинус. Решение уравнения cos x=a

п.1. Понятие арккосинуса

В записи \(y=cosx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(cosx=1\), то \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb\); \(cosx=0\), то \(x=\frac\pi2+\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(0\leq x\leq \pi\) (верхняя половина числовой окружности).

\(arccos\frac12=\frac\pi3,\ \ arccos\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=\frac<5\pi><6>\)
\(arccos2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arccosx

1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(0\leq arccosx\leq \pi\) . Область значений \(y\in[0;\pi]\)
3. Максимальное значение \(y_=\pi\) достигается в точке x =-1
Минимальное значение \(y_=0\) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.

п.3. Уравнение cos⁡x=a

Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус?

Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.

1) Решим уравнение \(cosx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\pm\frac\pi3\) — это базовые корни.
Если взять верхний корень \(\frac\pi3\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi3+2\pi=\frac<7\pi><3>\), косинус полученного угла \(cos\frac<7\pi><3>=\frac12\), т.е. \(\frac<7\pi><3>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi3+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(-\frac\pi3+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k\)

Заметим, что полученный ответ является записью вида
\(x=\pm arccos\frac12+2\pi k\)
А т.к. арккосинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi3\), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение \(cosx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению верхняя точка – это угол, равный arccos⁡0,8. Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x=\pm arccos0,8+2\pi k\)

п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента

Докажем полезную на практике формулу для \(arccos(-a)\).

По построению: $$ \begin \angle DA’O=\angle BAO=\angle CAO=90^<\circ>\\ OD=OB=OC=1\\ OA’=OA=a \end \Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) \begin \Delta DA’O=\Delta BAO=\Delta CAO\Rightarrow\\ \Rightarrow \angle DOC=\angle A’OA-\alpha+\alpha=\angle A’OA=180^<\circ>=\pi\\ -arccosa+\pi=arccos(-a) \end

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arccosx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(0\leq y\leq \pi\).
Обратная функция \(y=cosx\) должна иметь ограниченную область определения \(0\leq x\leq \pi\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) \(cos x=-1\) \(x=\pi+2\pi k\)	б) \(cos x=\frac<\sqrt<2>><2>\) \(x=\pm\frac\pi4+2\pi k\)
в) \(cos x=0\) \(x=\pm\frac\pi2+2\pi k=\frac\pi2+\pi k\)	г) \(cos x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет
д) \(cos x=0,7\) \(x=\pm arccos(0,7)+2\pi k\)	e) \(cos x=-0,2\) \(x=\pm arccos(-0,2)+2\pi k\)

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8;\ \ arccos(-0,5);\ \ arccos\frac\pi7 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: \(\angle A_1OA\lt\angle A_2OA\angle A_3OA\)
$$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arccosx\)

Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$Способ 3. Аналитический
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; \(\frac\pi7\); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: \(arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5)\)

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arccos(x^2-3x+3)=0\) \begin x^2-3x+3=cos0=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end Ответ:

\(б)\ arccos^2x-arccosx-6=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0\Rightarrow (t-3)(t+2)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=3\\ t_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin arccosx=3\\ x=cos3 \end Ответ: cos3

\(в)\ arccos^2x-\pi arccosx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: \begin t^2-\pi t+\frac<2\pi^2><9>=0\\ D=(\pi^2)-4\cdot \frac<2\pi^2><9>=\frac<\pi^2><9>,\ \ \sqrt=\frac\pi3\\ \left[ \begin t_1=\frac<\pi-\frac\pi3><2>=\frac\pi3\\ t_2=\frac<\pi+\frac\pi3><2>=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin arccosx_1=\frac\pi3\\ arccosx_2=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12\\ x_2=cos\left(\frac<2\pi><3>\right)=-\frac12 \end \right. \end Ответ: \(\left\<\pm\frac12\right\>\)

План урока по алгебре на тему»Уравнение cos х = а.»(10класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: «Уравнение cos х = а. Арккосинус числа а »

Тип урока: Урок открытия новых знаний

а) ввести понятие арккосинуса числа а;

б) выработать навык вычисления арксинуса числа а;

в) вывести формулу корней простейших тригонометрических уравнений формулу cos x = a ;

г) научить применять формулу при решении простейших тригонометрических уравнений;

д) изучить частные случай решения тригонометрических уравнений при а равном 0, -1, 1.

а) развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;

б) развивать способность аргументировать свои утверждения;

в) развивать умения классифицировать, сравнивать, анализировать и делать выводы.

а) обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе,

б) воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, развивать коммуникативные навыки;

в) воспитывать трудолюбие и целеустремленность.

1. Организационный момент.

Учитель: Здравствуйте ребята.

Сегодня на уроке мы будем учиться а) кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;

б) аргументировать утверждения;

в) сравнивать, анализировать и делать выводы;

г) оценивать результаты своей учебной деятельности.

Мы помним, что каждый ученик, как всегда, имеет право:

Ø Высказывать свое мнение и быть услышанным;

Ø Самостоятельно планировать домашнюю самоподготовку;

Ø Знать больше учителя и отстаивать свои гипотезы (запись на доске) .

2. Мотивация учебной деятельности учащихся и сообщение темы, целей и задач урока.

Постановка темы, целей и задач урока, проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

1. Вычислить значения: cos ; cos ; cos .

2.Точки единичной окружности , , принадлежат какой четверти?

Точки единичной окружности , , принадлежат 1четверти

Косинус какого угла есть величина положительная?

Вывод: Косинус острого угла есть величина положительная.

Если угол принадлежит 1 четверти

2. Вычислить значения: cos ; cos

Точки единичной окружности , , принадлежат какой четверти?

Точки единичной окружности , , принадлежат 2 четверти.

Косинус какого угла есть величина отрицательная?

Вывод: Косинус тупого угла величина отрицательная

Если угол принадлежит 2 четверти

4.Проблемное объяснение нового знания

Учитель должен подвести разговор к решению уравнений вида cosx = a , которые ребята уже умеют

решать при а=0;1;-1. Для этого им предложены следующие уравнения:

и вопросы, на которые ребята дают ответы «да» или «нет»:

1. Здесь есть уравнения, которые вы умеете решать?
2. Здесь есть уравнения, которые не имеют решения?
3. Здесь есть уравнения, которые имеют решения?
4. Здесь есть уравнения, которым требуются тождественные преобразования?
5. Здесь есть уравнения, корни которых можно найти с помощью макета «Числовая окружность»?
6. Здесь есть уравнение, решение которого вызывает у вас вопросы?

Ученики обсуждают проблему (нужна формула для решения уравнения cosx = a , где -1≤а≤1) и определяют цель и задачи урока, определяют, на какие вопросы необходимо получить ответы, в чём имеется затруднение.

«Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик П.С.Александров).

Учитель организует подводящий диалог по проблемному объяснению нового знания. Учащиеся решают уравнения в тетради и у доски. К доске выходят по желанию, каждый должен выбрать по 2 уравнения. Объясняют решение, при необходимости, отвечают на вопросы. При решении уравнения

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0,1 зафиксировать причину затруднения и ввести новое понятие арккосинус числа

( Общепринятым этот символ стал лишь в конце XVIII столетия. Приставка «арк» происходит от латинского arcus (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия) и подвести к получению общей формулы решения уравнения cosx = a. Соотнести новые знания с правилом в учебнике и организовать фиксацию преодоления затруднения.

Рассмотрим уравнение , мы не смогли его решить с помощью числовой окружности:

, , где t ₁ — длина дуги АМ, а t ₂ =- t ₁ .
Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ arccos и с помощью этого символа таинственные корни записали так и (Показать на единичной окружности).

Теперь все корни уравнения можно описать двумя формулами: и , или обобщая одной формулой

Что же такое . Это – число (длина дуги АМ), косинус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности – отрезку
Символ введенный математиками, содержит новый математический знак (агс), напоминание об исходной функции соs t (агссоs) и, наконец, напоминание о правой части уравнения, в приведенном нами случае о числе . Вот так в итоге и появился символ а (состоящий как бы из трех частей). Аналогично рассматриваем решение уравнение
Сформулируем определение арккосинуса в общем виде (работа с текстом учебника) и сделаем общий вывод о решении уравнения соs t =а при -1≤а≤1 имеет вид

Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями.

5. Первичное закрепление .

Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи в группах. А.Эйнштейн говорил так: « Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

2)1 группа 2 группа

cosx = cosx =

cosx +1 =0 2 cosx + =0

2 cos ( 2 cos (3x — ) = —

6.Подведение итогов урока

Домашнем задании и инструктаж по его выполнению.

1. Выставление и комментирование оценок на уроке

2. Домашнее задание: Учить п 33. Решить №568(4,6),569(2,4),571(1,3)

Преподаватель задает учащимся вопросы:

Какая тема была изучена на уроке?

Достигнута ли цель урока?

Учащиеся призваны воспроизвести в памяти то, что усвоили, и проанализировать выводы, которые были сделаны в течение всего занятия.

Что вам сегодня больше всего запомнилось на урок е, что понравилось?

Какие новые понятия вы изучили на уроке?

Мы узнали новое понятие арккосинус а.

Какой новый способ решения простейших тригонометрических уравнений мы рассмотрели на уроке?

Уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение cos х = а.

Существует возможность отобразить всякий корень уравнения cos х=а, как абсциссу некой точки пересечения косинусоиды у = cos х и прямой у = а, и, соответственно верно обратное, абсцисса всякой такой точки пересечения будет одним из корней данного уравнения.

Как видим, множество всех корней уравнения соответствует множеству абсцисс всех точек пересечения косинусоиды у = cos х и прямой у = а.

Когда |а| > 1, то косинусоида у = cos х не пересекается с прямой у = а.

В данном случае у уравнения нет корней.

Когда а = -1, то корни уравнения cos х = -1 вычисляются из соотношения:

Когда а = 1, то корни уравнения cos х = 1 вычисляют из соотношения:

Следует не забывать, что все вышеперечисленные формулы верны лишь в том случае, когда искомый угол х указан в радианах. Когда он указан в градусах, то эти соотношения нужно естественным образом преобразовать.

Так, формулу х = ± arccos a + 2mπ заменяется формулой х = ±arccosa+ 360° n, формулу х = π /₂ + nπ формулой х = 90° + 180° n и т. д.