Арккосинус. Решение уравнения cos x=a
п.1. Понятие арккосинуса
В записи \(y=cosx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(cosx=1\), то \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(0\leq x\leq \pi\) (верхняя половина числовой окружности).
\(arccos\frac12=\frac\pi3,\ \ arccos\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=\frac<5\pi><6>\)
\(arccos2\) – не существует, т.к. 2> 1
п.2. График и свойства функции y=arccosx
1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(0\leq arccosx\leq \pi\) . Область значений \(y\in[0;\pi]\)
3. Максимальное значение \(y_
Минимальное значение \(y_
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
п.3. Уравнение cosx=a
Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус? |
Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.
1) Решим уравнение \(cosx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\pm\frac\pi3\) — это базовые корни.
Если взять верхний корень \(\frac\pi3\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi3+2\pi=\frac<7\pi><3>\), косинус полученного угла \(cos\frac<7\pi><3>=\frac12\), т.е. \(\frac<7\pi><3>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi3+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(-\frac\pi3+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k\)
Заметим, что полученный ответ является записью вида
\(x=\pm arccos\frac12+2\pi k\)
А т.к. арккосинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi3\), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.
2) Решим уравнение \(cosx=0,8\)
Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению верхняя точка – это угол, равный arccos0,8. Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x=\pm arccos0,8+2\pi k\) |
п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента
Докажем полезную на практике формулу для \(arccos(-a)\).
По построению: $$ \begin |
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.
Для \(y=arccosx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(0\leq y\leq \pi\).
Обратная функция \(y=cosx\) должна иметь ограниченную область определения \(0\leq x\leq \pi\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.
Пример 2. Решите уравнения:
a) \(cos x=-1\) \(x=\pi+2\pi k\) | б) \(cos x=\frac<\sqrt<2>><2>\) \(x=\pm\frac\pi4+2\pi k\) |
в) \(cos x=0\) \(x=\pm\frac\pi2+2\pi k=\frac\pi2+\pi k\) | г) \(cos x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет |
д) \(cos x=0,7\) \(x=\pm arccos(0,7)+2\pi k\) | e) \(cos x=-0,2\) \(x=\pm arccos(-0,2)+2\pi k\) |
Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8;\ \ arccos(-0,5);\ \ arccos\frac\pi7 $$
Способ 1. Решение с помощью числовой окружности |
Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: \(\angle A_1OA\lt\angle A_2OA\angle A_3OA\)
$$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$
Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; \(\frac\pi7\); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: \(arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5)\)
Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arccos(x^2-3x+3)=0\) \begin
\(б)\ arccos^2x-arccosx-6=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0\Rightarrow (t-3)(t+2)=0\Rightarrow \left[ \begin
\(в)\ arccos^2x-\pi arccosx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: \begin
Урок-презентация «Арккосинус.Решение уравнения cost=a»
Разделы: Математика
Тип урока: изучение нового материала.
- дидактические: сформировать у учащихся понятие арккосинуса; вывести общую формулу решения уравнения cos t = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;
- развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
- воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арккосинус. Решение уравнения cos t =a» (Приложение 1) .
I. Организационный момент
Объявить тему и цели урока, познакомить учащихся с ходом проведения урока (слайд 1).
II. Актуализация опорных знаний
Повторить способ решения уравнения вида cos t = a, где а – действительное число, с помощью числовой окружности.
Решить уравнения: 1) cos t = ; 2) cos t = 1 (слайд 2).
Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости.
1) cos t = (слайд 3);
.
.
III. Изучение нового материала
Ввести проблемную ситуацию: любое ли тригонометрическое уравнение вида
cos t = a можно решить с помощью числовой окружности?
1) Предложить учащимся решить уравнение cos t = (слайд 5).
С помощью числовой окружности получим (слайд 6):
где t2 = – t1.
Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arccos а (слайд 7).
Читается: арккосинус а; «arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t1 и t2 записываются следующим образом: t1 = arccos , t2 = – arccos .
Теперь с помощью этого символа корни уравнения cos t = можно записать так: (слайд 8).
Предложить учащимся обобщить полученные знания, ответив на вопрос: «Что же означает arccos ?» (слайд 9).
Вывод: это число (длина дуги), косинус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.
2) Решить уравнение cos t = – (слайд 10).
С помощью числовой окружности и символа arccos а получим (слайд 11):
.
Предложить учащимся обобщить полученные знания, ответив на вопрос: «Что же означает arccos () ?» (слайд 12).
Вывод: это число (длина дуги), косинус которого равен и которое принадлежит второй четверти числовой окружности.
3) Сформулировать определение арккосинуса в общем виде (слайд 13):
Если │а│≤ 1, то
4) Рассмотреть примеры на вычисление арккосинуса.
Пример 1. Вычислите arccos (слайд 14).
Пусть
Значит, поскольку и Итак, arccos=
Пример 2. Вычислите arccos (слайд 15).
Пример 3. Вычислите arccos 0 (слайд 16).
Пример 4. Вычислите arccos 1 (слайд 17).
5) Сделать общий вывод о решении уравнения cos t = a (слайд 18).
Если │a│≤ 1, то уравнение cost = a имеет решения: .
6) Рассмотреть частные случи.
Выделим формулы для решения следующих уравнений: cos t = 0, cos t =1 , cos t = –1 (слайд 19).
7) Доказать теорему и рассмотреть её применение на практике.
Для любого а [-1;1] выполняется равенство arccos a + arccos (-a) = (слайд 20).
Применение теоремы (слайд 21).
На практике используется: arccos (-a) = — arccos a , где 0 ≤ а ≤ 1.
arccos= — arccos = —
IV. Обобщение изученного материала
Составим алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения вида cos t = a:
- составить общую формулу;
- вычислить значение arccos a;
- подставить найденное значение в общую формулу.
Пример 1. Решить уравнение cos t = (слайд 22 – 24).
Пример 2. Решить уравнение cos t = (слайд 25 – 27).
Пример 3. Решить уравнение cos t = (слайд 28).
Пример 4. Решить уравнение cos t = — 1,2 (слайд 29).
V. Подведение итогов урока (слайд 30)
Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арккосинуса; вывели общую формулу решения уравнения cos t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.
VI. Домашнее задание
Изучить теоретический материал.
Практическая часть (даётся задание в соответствии с используемым учебным пособием).
1. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник.
2. А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник.
3. А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. Математика-10 (для гуманитарных классов).
4. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа-10.Часть 1. Учебник (профильный уровень).
Арккосинус и решение уравнения cos t =a
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы продолжим изучение арккосинуса и решение типовых уравнений и задач. В начале урока решим нетабличное уравнение и проиллюстрируем решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения cos t = a и рассмотрим некоторые частные случаи решения. Далее мы продолжим решение тригонометрических уравнений, иллюстрируя решения на графике и на круге.
http://urok.1sept.ru/articles/533129
http://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arkkosinus-i-reshenie-uravneniya-cos-t-a