Арккосинус решение уравнения sin t a

Конспект урока по теме: «Арксинус. Решение уравнений sin t=a» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Арксинус. Решение уравнения sin t =a

Урок математике в 10 классе

Автор: Шудраков Николай Николаевич

Учитель математики МБОУ СШ №12

Цель урока: сформировать у учащихся понятие арксинуса; вывести общую формулу решения уравнения sin t = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;

Оборудование: компьютер, проектор, экран, плакат «Числовая окружность», раздаточный материал, презентация «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. М: Мнемозина, 2013.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник. М: Мнемозина, 2013.

3. Математика. Подготовка к ЕГЭ: секреты оценки заданий повышенного и высокого уровней сложности. Решения и комментарии: учебно-методическое пособие / Е.Н.Васильева, Л.С. Ольховая. – Ростов-на-Дону: Легион, 2014.

Организационный этап (1 минута)

Приветствие. Проверка присутствующих в классе.

Краткое повторение изученного материала, актуализация опорных знаний (5 минут)

Повторение способов решения уравнения вида sin t = a, (де а – действительное число), с помощью числовой окружности.

Решим уравнения: sin t = .

Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости (рисунок 1), получаем пару решений данного уравнения:

Введение проблемной ситуации: Любое ли тригонометрическое уравнение вида sin t = a можно решить с помощью числовой окружности? Как решать уравнение sin t = .

Оглашение темы урока и постановка целей (1 минута)

Сегодня мы с вами узнаем, как решать подобные уравнения, и как записывать решения подобных уравнений.

Тема сегодняшнего урока: «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»

Сегодня на уроке мы введем понятие арксинуса; выведем общую формулу решения уравнения sin t = a; выработаем алгоритм решения данного уравнения.

Изучение нового материала (26 минут)

Давайте попробуем решить уравнение sin t = .

С помощью числовой окружности (рисунок 2) получим:

t = t ₁ + , t = t ₂ + .

Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arcsin а . Читается: арксинус а («arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t ₁ и t ₂ записываются следующим образом:

t ₁ = arcsin , t ₂ = π – arcsin ..

Теперь с помощью этого символа корни уравнения sin t = а можно записать так:

Давайте попробуем ответить на вопрос: «Что же означает arcsin а ?»

Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.

Решим уравнение sin t = – .

С помощью числовой окружности (рисунок 3) и символа arcsin а получим:

Ответим на вопрос: «Что же означает arcsin ( — ) ?»

Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен ( — ) и которое принадлежит четвёртой четверти числовой окружности.

Сформулируем определение арксинуса в общем виде:

Если , то arcsin а – это такое число из отрезка , синус которого равен а.

Заметим два обстоятельства:

Дуги АМ и А L равны по длине и противоположны по направлению, значит (рисунок 4)

=АС-А L =π- arcsin ( — )

Обобщим полученные выше решения и запишем:

Если , то уравнение sin t =a имеет две серии решений:

Существует три частных случая, когда решения записывают более простым соотношением, они записаны на форзаце вашего учебника (рисунок 5).

Рассмотрим примеры на вычисление арксинуса.

Пример 1. Вычислите arcsin .

Пусть

Значит, поскольку и Итак, arcsin =

Пример 2. Вычислите arcsin . .

Пример 3. Вычислите arcsin 0.

Отметим, что для любого а справедлива формула:

Две полученные выше формулы для решения уравнения можно объединить в одну общую формулу для решения уравнения sin t =a :

Обобщение изученного материала

Итак, давайте составим алгоритм решения уравнения вида sin t =a :

составить общую формулу;

вычислить значение arcsin a ;

подставить найденное значение в общую формулу

Пример 4. Решите уравнение sin t = .

Составим общую формулу решения:

Вычислим значение арксинуса:

=

Подставим найденное значение в формулы решений:

Пример 5. Решите уравнение sin t = .

Пример 6. Решите уравнение sin t = .

Пример 7. Решите уравнение sin t = — 1,2.

§16, с. 92 – 98. (изучить теоретический материал).

Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арксинуса; вывели общую формулу решения уравнения sin t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.

Арксинус. Решение простейших уравнений с синусом. Часть 2

Арксинусом числа \(a\) (\(a∈[-1;1]\)) называют число \(x∈[-\frac<π><2>;\frac<π><2>]\) синус которого равен \(a\) т.е.

Проще говоря, арксинус обратен синусу.

На круге это выглядит так:

Как вычислить арксинус?

Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от \(-\frac<π><2>\) до \(\frac<π><2>\) ) равен аргументу арксинуса?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) Синус какого числа равен \(-\frac<1><2>\)? Или в более точной формулировке можно спросить так: если \(\sin ⁡x=-\frac<1><2>\), то чему равен \(x\)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между \(-\frac<π><2>\) и \(\frac<π><2>\). Ответ очевиден:

б) Синус какого числа равен \(\frac<\sqrt<3>><2>\)? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ \(\frac<π><3>\).

в) Синус от чего равен \(-1\)?
Иначе говоря, \(\sin ⁡x=-1\), \(x=\) ?

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения \(\sin x=a\)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: \(\sin ⁡x=\frac<1><2>\).

Это не вызывает затруднений:

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: \(\sin ⁡x=\frac<1><3>\).

Что тут будет ответом? Не \(\frac<π><6>\), не \(\frac<π><4>\), даже не \(\frac<π><7>\) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно \(\arcsin⁡\frac<1><3>\), потому что известно, что синус равен \(\frac<1><3>\). Длина дуги от \(0\) до правой точки тогда тоже будет равна \(\arcsin⁡\frac<1><3>\). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному \(\arcsin⁡\frac<1><3>\) от \(π\), то её значение составляет \(π- \arcsin⁡\frac<1><3>\).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: \( \left[ \beginx=\arcsin \frac<1><3>+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac<1><3>+2πl, l∈Z\end\right.\) Без арксинусов решить уравнение \(\sin ⁡x=\frac<1><3>\) не получилось бы. Как и уравнение \(\sin ⁡x=0,125\), \(\sin ⁡x=-\frac<1><9>\), \(\sin⁡ x=\frac<1><\sqrt<3>>\) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только \(9\) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac<1><\sqrt<3>>\).
Решение:

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac<1><\sqrt<2>>\).

Решение:
Кто поторопился написать ответ \( \left[ \beginx=\arcsin \frac<1><\sqrt<2>>+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac<1><\sqrt<2>>+2πl, l∈Z\end\right.\), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров \(\arcsin⁡ \frac<1><\sqrt<2>>\) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух \(\frac<1><\sqrt<2>> = \frac<1 \cdot \sqrt<2>> <\sqrt<2>\cdot \sqrt<2>>= \frac<\sqrt<2>><2>\). Таким образом, получаем:

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать \(\frac<π><4>\).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac<7><6>\).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать \( \left[ \beginx= \arcsin \frac<7><6>+2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin\frac<7><6>+2πl, l∈Z\end\right.\) на ЕГЭ потеряет \(2\) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать \(\arcsin⁡\frac<7><6>\)? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен \(1\) и больше или равен \(-1\). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Если \(\sin ⁡x\) равен не табличному значению между \(1\) и \(-1\), то решения будут выглядеть как: \( \left[ \beginx= \arcsin a +2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin a +2πl, l∈Z\end\right.\)

Арксинус отрицательного числа

Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:

Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:

Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись \(\arcsin⁡(-\frac<\sqrt<7>><2>)\) в принципе неверна, ведь \(-\frac<\sqrt<7>> <2>Синус
Тригонометрические уравнения

Урок рефлексии. Арккосинус и арксинус. Решение уравнений cos t = a, sin t = a

Разделы: Математика

Класс: 10, уровень профильный

Количество уроков: 1 час

Тип урока: урок рефлексии

Планируемые образовательные результаты:

• умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию;
• креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач;

• умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;
• умение понимать и использовать математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
• умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;
• умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера;

• умение работать с математическим текстом;
• овладение практически значимыми математическими умениями и навыками, их применение к решению математических задач,
• предполагающее умение: вычислять арксинус и арккосинус числа, решать простейшие тригонометрические уравнения.
• выполнять устные и письменные вычисления.

Основные виды учебной деятельности (на уровне учебных действий): учащийся научится

• решать простейшие тригонометрические уравнения, отбирать корни данного уравнения на заданном промежутке.

1. Этап мотивации

Постановка цели урока.

Личностные: самоопределение, смыслообразование, учебно-познавательная мотивация.
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества
Предметные: анализ, обобщение, классификация и структурирование знаний

2. Актуализация и фиксация затруднений в индивидуальной деятельности

I. Теоретическая база (повторяется при организации фронтальной работы с классом и фиксируется на доске):
1) Определение арккосинуса, арксинуса. Арккосинус и арксинус от отрицательного аргумента
2) Формулы корней уравнений cos t = a, sin t = a.

II. Задания для самостоятельной работы № 1
(репродуктивный уровень, первичная проверка знаний:

Формируемые УУД
1. Личностные:
самоопределение, смыслообразование, учебно-познавательная мотивация.
2. Регулятивные:
целеполагание, планирование, постановка учебной задачи в сотрудничестве.
3. Познавательные:
самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели,
поиск и выделение необходимой информации, обобщение, классификация.
4. Коммуникативные:
планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Физкультминутка

Для профилактики близорукости (исходное положение сидя, каждое повторяется 2-3 раза):

1. Откинувшись назад, сделать глубокий вдох, затем, наклонившись вперед, выдох.
2. Откинувшись на спинку стула, прикрыть веки, крепко зажмурить глаза, открыть веки.
3. Руки на пояс, повернуть голову вправо, посмотреть на локоть правой руки; повернуть голову влево, посмотреть на локоть левой руки, вернуться в исходное положение.
4. Поднять глаза кверху, сделать ими круговые движения по часовой стрелке, затем против часовой стрелки.

3. Локализация индивидуальных затруднений

Взаимопроверка по эталону.

Если учащийся не допустил ошибок, то он продолжает работать по индивидуальному маршруту: выполняет задания из 3 этапа урока конструктивного и творческого уровней.

Формируемые УУД
1. Личностные:
самоопределение, смыслообразование, учебно-познавательная мотивация.
2. Регулятивные:
контроль-сличение способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона
3. Познавательные:
рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов действий, сравнение.
4. Коммуникативные:
-планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

4. Построение проекта коррекции выявленных затруднений

Заполнение учащимися колонки № 3 таблицы: учащиеся на допущенные в самостоятельной работе №1 ошибки записывают номер понятия, алгоритма из теоретической базы 2 этапа урока и проговаривают их вслух вместе с классом:

1) Определение арккосинуса, арксинуса. Арккосинус и арксинус от отрицательного аргумента

2) Формулы корней уравнений cos t = a, sin t = a.

Формируемые УУД
1. Личностные: самоопределение.
2. Регулятивные:
познавательная инициатива, планирование — определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата
3. Познавательные:
структурирование знания, выбор наиболее оптимального пути решения проблемы, обобщение, аналогия
4. Коммуникативные:
постановка вопросов — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации, формулирование своего мнения.

5. Реализация построенного проекта

Задания для самостоятельной работы № 2

(репродуктивный уровень, отработка ошибок, допущенных в самостоятельной работе №1: Взаимопроверка по эталону.

Формируемые УУД
1. Личностные: учебно-познавательный интерес
2.Регулятивные: прогнозирование — предвосхищение результата и уровня усвоения, его временных характеристик
3. Познавательные:
осознанное и произвольное построение речевого высказывания в письменной форме, построение логической цепи рассуждений
4. Коммуникативные:
умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

6. Обобщение затруднений во внешней речи

Учащиеся проверяют результаты выполнения самостоятельной работы № 2 по эталону и проговаривают вместе с учителем вслух те понятия, алгоритмы из теоретической базы 2 этапа урока, на которые они снова допустили ошибки:

1) Определение квадратного уравнения; коэффициенты квадратного уравнения, приведенное и неприведенное квадратное уравнение, корень квадратного уравнения, что значит решить квадратное уравнение.
2) Дискриминант квадратного уравнения.
3) Число корней квадратного уравнения.
4) Алгоритм решения приведенного квадратного уравнения.
5) Вычислительные ошибки.

Формируемые УУД
1. Личностные: учебно-познавательный интерес
2. Регулятивные:
оценка-выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения
3. Познавательные:
рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов действия, установление причинно-следственных связей
4. Коммуникативные:
разрешение конфликтов — выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Задания для самостоятельной работы № 3

(репродуктивный уровень, проверка результатов отработки допущенных ошибок в самостоятельной работе № 1: учащиеся заполняют колонку № 5 таблицы для тех заданий, где были допущены ошибки в самостоятельной работе № 1).

Самопроверка по эталону.

Формируемые УУД

1. Регулятивные:
самостоятельный учет выделенных ориентиров действия в новом материале, познавательная инициатива и оценка деятельности, коррекция.
2. Познавательные:
Прогнозирование — предвосхищение результата и уровня усвоения, его временных характеристик,
контроль-сличение способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона

8. Включение в систему знаний и повторения

Задания конструктивного уровня:

Формируемые УУД
1. Личностные: нравственно-этическое оценивание усваиваемого содержания
2. Регулятивные:
самостоятельный учёт выделенных ориентиров действия в новом материале, познавательная инициатива, самоконтроль и оценка деятельности
3. Познавательные:
анализ, синтез, оценка, сравнение, поиск и выделение необходимой информации, выбор наиболее эффективных способов решения задачи, использование общих приёмов решения задачи, доказательство (обоснование)
4. Коммуникативные:
адекватное использование речевых средств, формулирование и аргументация своего мнения

9. Рефлексия

Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске: сегодня я узнал…; было интересно…; было трудно…; я выполнял задания…; я понял, что…; теперь я могу…; я почувствовал, что…; я приобрел…; я научился…; у меня получилось …; я смог…; я попробую…; меня удивило…; урок дал мне для жизни…; мне захотелось…

1. Личностные:
внутренняя позиция, самооценка на основе критериев успешности, адекватное понимание причин успеха (неуспеха) в учебной деятельности
2. Регулятивные:
целеполагание, контроль и оценка процесса и результатов деятельности
3. Познавательные:
рефлексия способов и условий действия,
4. Коммуникативные:
формулирование и аргументация своего мнения, планирование учебного сотрудничества.

10. Домашнее задание

1. Репродуктивный уровень: задачник «Алгебра и начала анализа 10» авт. А.Г. Мордкович: № 22.6(г), 22.14(г), 22.16 (г)
2. Конструктивный уровень: задачник «Алгебра и начала анализа 10» авт. А.Г. Мордкович: № 22.11 (б;в), 22.31
3. Творческий уровень: задачник «Алгебра и начала анализа 10» авт. А.Г. Мордкович: № 22.32 (б), 22.33 (б;в).