Арксинус арккосинус арктангенс числа простейшие тригонометрические уравнения

Алгебра

План урока:

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1 1 либо а n ,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1) n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите корни ур-ния

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

Наконец, решениями ур-ния

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

Далее рассмотрим ур-ние вида

Задание. Решите ур-ние

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом

Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

д л я α ∈ — 1 , 1 sin ( a r c c i s α ) = α , cos ( a r c cos α ) = α , д л я α ∈ ( — ∞ , ∞ ) t g ( a r c t g α ) = α , c t g ( a r c c t g α ) = α

Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

д л я — π 2 ≤ α ≤ π 2 a r c sin ( sin α ) = α , д л я 0 ≤ α ≤ π arccos ( cos α ) = α , д л я — π 2 α π 2 arctg ( tg α ) = α , д л я 0 α π arcctg ( ctg α ) = α

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

д л я α ∈ — 1 , 1 a r c c i s ( — α ) = — a r c sin α , a r c cos ( — α ) = π — a r c cos α , д л я α ∈ ( — ∞ , ∞ ) a r c t g ( — α ) = — a r c t g α , a r c c t g ( — α ) = π — arcctg α

Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят следующим образом:

д л я α ∈ — 1 , 1 a r c c i s α + a r c cos α = π 2 , д л я α ∈ ( — ∞ , ∞ ) a r c t g α + a r c c t g α = π 2

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

Вычислите косинус арктангенса из 5 .

Решение

У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos ( a r c t g α ) = 1 1 + α 2

Подставляем нужное значение: cos ( a r c t g 5 ) = 1 1 + ( 5 ) 2 = 2 6

Вычислить синус арккосинуса 1 2 .

Решение

Для этого нам понадобится формула: sin ( a r c cos α ) = 1 — a 2

Подставляем в нее значения и получаем: sin ( a r c cos 1 2 ) = 1 — ( 1 2 ) 2 = 3 2

Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin ( a r c cos 1 2 ) = sin π 3 = 3 2

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций — косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Вспомним, что t g α · c t g α = 1 . Из этого можно получить:

sin α = 1 — cos 2 α , 0 ≤ α ≤ π sin α = t g α 1 + t g 2 α , — π 2 α π 2 sin α = 1 1 + c t g 2 α , 0 α π

У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог — формула синуса арккосинуса.

Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

1. sin α = 1 — cos 2 α , 0 ≤ α ≤ π

Следовательно, sin ( a r c cos α ) = 1 — cos 2 ( a r c cos α ) = 1 — a 2

1. sin α = t g α 1 + t g α , — π 2 α π 2 ,

Следовательно, sin ( a r c t g α ) = t g ( a r c t g α ) 1 + t g 2 ( a r c t g α ) = α 1 + α 2

1. sin α = 1 1 + c t g 2 α , 0 α π

Следовательно, sin ( a r c t g α ) = 1 1 + t g 2 ( a r c t g α ) = 1 1 + α 2

Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

1. Из cos α = 1 — sin 2 α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 следует, что

cos ( a r c sin α ) = 1 — sin 2 ( a r c sin α ) = 1 — a 2

1. Из cos α = 1 1 + t g 2 α , — π 2 α π 2 следует, что
2. Из cos α = c t g α 1 + c t g 2 α , 0 α π cos ( a r c t g α ) = 1 1 + t g 2 ( a r c t g α ) = 1 1 + α 2

следует, что cos ( a r c t g α ) = c t g ( a r c c t g α ) 1 + c t g 2 ( a r c c t g α ) = α 1 + α 2

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

1. Исходим из t g α = sin α 1 — sin 2 α , — π 2 α π 2 . Получаем t g ( a r c sin α ) = sin ( a r c sin α ) 1 — sin 2 ( a r c sin α ) = α 1 — α 2 при условии, что — 1 α 1 .
2. Исходим из t g α = 1 — cos 2 α cos α , α ∈ [ 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ] , получаем

t g ( a r c cos α ) = 1 — cos 2 ( a r c cos α ) cos ( a r c c os α ) = 1 — α 2 α при условии α ∈ ( — 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) .

1. Исходим из t g α = 1 c t g α , α ∈ ( 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ) , получаем t g ( a r c c t g α ) = 1 c t g ( a r c c t g α ) = 1 α при условии, что α ≠ 0 .

Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

c t g α = 1 t g α

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

a r c sin α = a r c cos 1 — α 2 , 0 ≤ α ≤ 1 — a r c cos 1 — a 2 , — 1 ≤ α 0 a r c sin α = a r c t g α 1 — α 2 , — 1 α 1 a r c sin α = a r c c t g 1 — α 2 α , 0 α ≤ 1 a r c c t g 1 — α 2 α — π , — 1 ≤ α ≤ 0

А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

a r c cos α = a r c sin 1 — α 2 , 0 ≤ α ≤ 1 π — arcsin 1 — α 2 , — 1 ≤ α 0 a r c cos α = a r c t g 1 — α 2 α , 0 α ≤ 1 π + arctg 1 — α 2 α , — 1 α 0 arccosα = arcctg α 1 — α 2 , — 1 α 1

Формула выражения арктангенса:

a r c t g α = a r c sin α 1 + α 2 , — ∞ α + ∞ a r c t g α = a r c cos 1 1 + α 2 , α ≥ 0 — a r c cos 1 1 + α 2 , α 0 a r c t g α = a r c c t g 1 α , α ≠ 0

Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

a r c c t g α = a r c sin 1 1 + α 2 , α ≥ 0 π — a r c sin 1 1 + α 2 , α 0 a r c c t g α = a r c cos α 1 + α 2 , — ∞ α + ∞ a r c c t g α = a r c t g 1 α , α ≠ 0

Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

Возьмём a r c sin α = a r c t g α 1 — α 2 , — 1 α 1 и постараемся вывести доказательство.

Мы знаем, что a r c t g α 1 — α 2 — это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

sin ( a r c t g α 1 — α 2 ) = α 1 — α 2 1 + ( α 1 — α 2 ) 2 = α 1 — α 2 1 + α 2 1 — α 2 = α 1 — α 2 1 + α 2 1 — α 2 = α 1 — α 2 1 1 — α 2 = α

Получается, что a r c t g α 1 — α 2 при условии 1 a 1 – это и есть арксинус числа a .

Вывод: a r c sin a = a r c t g a 1 — a 2 , — 1 a 1

Прочие формулы доказываются по аналогии.

В завершение разберем один пример применения формул на практике.

Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3 .

Решение

Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: a r c c t g α = a r c sin 1 1 + a 2 , α ≥ 0 π — arcsin 1 1 + a 2 , α 0
Подставим в нее α = — 3 и получим ответ – 1 2 . Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin ( a r c c t g ( — 3 ) ) = sin 5 π 6 = 1 2 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sin α = 1 1 + c t g 2 α , 0 α π

В итоге у нас бы вышло: sin ( a r c c t g ( — 3 ) ) = 1 1 + c t g 2 ( a r c c t g ( — 3 ) ) = 1 1 + ( — 3 ) 2 = 1 2

Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin ( a r c c t g α ) = 1 1 + α 2 sin ( a r c c t g ( — 3 ) ) = 1 1 + ( — 3 ) 2 = 1 2

Прочие формулы с обратными функциями

Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

sin 2 α 2 = 1 — cos α 2

Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

sin α 2 = 1 — cos α 2

Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

sin a r c cos α 2 = 1 — cos ( a r c cos α ) 2 ⇔ sin a r c cos α 2 = 1 — α 2

Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

a r c cos α 2 = a r c sin 1 — α 2

Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Обратные тригонометрические функции и их графики

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это

А вторая серия решений нашего уравнения — это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок Область значений — отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: — это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

Строим график функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное — , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

5. Что общего у графиков функций и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Вот график арккосинуса:

1. Область определения

2. Область значений

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

Как строить график — уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

— Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений — интервал

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке — график функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция — общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке