Конспект урока по теме: «Арксинус. Решение уравнений sin t=a» (10 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Арксинус. Решение уравнения sin t =a
Урок математике в 10 классе
Автор: Шудраков Николай Николаевич
Учитель математики МБОУ СШ №12
Цель урока: сформировать у учащихся понятие арксинуса; вывести общую формулу решения уравнения sin t = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;
Оборудование: компьютер, проектор, экран, плакат «Числовая окружность», раздаточный материал, презентация «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. М: Мнемозина, 2013.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник. М: Мнемозина, 2013.
3. Математика. Подготовка к ЕГЭ: секреты оценки заданий повышенного и высокого уровней сложности. Решения и комментарии: учебно-методическое пособие / Е.Н.Васильева, Л.С. Ольховая. – Ростов-на-Дону: Легион, 2014.
Организационный этап (1 минута)
Приветствие. Проверка присутствующих в классе.
Краткое повторение изученного материала, актуализация опорных знаний (5 минут)
Повторение способов решения уравнения вида sin t = a, (де а – действительное число), с помощью числовой окружности.
Решим уравнения: sin t = .
Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости (рисунок 1), получаем пару решений данного уравнения:
Введение проблемной ситуации: Любое ли тригонометрическое уравнение вида sin t = a можно решить с помощью числовой окружности? Как решать уравнение sin t = .
Оглашение темы урока и постановка целей (1 минута)
Сегодня мы с вами узнаем, как решать подобные уравнения, и как записывать решения подобных уравнений.
Тема сегодняшнего урока: «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»
Сегодня на уроке мы введем понятие арксинуса; выведем общую формулу решения уравнения sin t = a; выработаем алгоритм решения данного уравнения.
Изучение нового материала (26 минут)
Давайте попробуем решить уравнение sin t = .
С помощью числовой окружности (рисунок 2) получим:
t = t 1 + , t = t 2 + .
Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arcsin а . Читается: арксинус а («arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t 1 и t 2 записываются следующим образом:
t 1 = arcsin , t 2 = π – arcsin ..
Теперь с помощью этого символа корни уравнения sin t = а можно записать так:
Давайте попробуем ответить на вопрос: «Что же означает arcsin а ?»
Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.
Решим уравнение sin t = – .
С помощью числовой окружности (рисунок 3) и символа arcsin а получим:
Ответим на вопрос: «Что же означает arcsin ( — ) ?»
Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен ( — ) и которое принадлежит четвёртой четверти числовой окружности.
Сформулируем определение арксинуса в общем виде:
Если , то arcsin а – это такое число из отрезка , синус которого равен а.
Заметим два обстоятельства:
Дуги АМ и А L равны по длине и противоположны по направлению, значит (рисунок 4)
=АС-А L =π- arcsin ( — )
Обобщим полученные выше решения и запишем:
Если , то уравнение sin t =a имеет две серии решений:
Существует три частных случая, когда решения записывают более простым соотношением, они записаны на форзаце вашего учебника (рисунок 5).
Рассмотрим примеры на вычисление арксинуса.
Пример 1. Вычислите arcsin .
Пусть
Значит, поскольку и Итак, arcsin =
Пример 2. Вычислите arcsin . .
Пример 3. Вычислите arcsin 0.
Отметим, что для любого а справедлива формула:
Две полученные выше формулы для решения уравнения можно объединить в одну общую формулу для решения уравнения sin t =a :
Обобщение изученного материала
Итак, давайте составим алгоритм решения уравнения вида sin t =a :
составить общую формулу;
вычислить значение arcsin a ;
подставить найденное значение в общую формулу
Пример 4. Решите уравнение sin t = .
Составим общую формулу решения:
Вычислим значение арксинуса:
=
Подставим найденное значение в формулы решений:
Пример 5. Решите уравнение sin t = .
Пример 6. Решите уравнение sin t = .
Пример 7. Решите уравнение sin t = — 1,2.
§16, с. 92 – 98. (изучить теоретический материал).
Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арксинуса; вывели общую формулу решения уравнения sin t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.
Арксинус и решение уравнения sin t =a
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы продолжим изучение арксинуса и решение уравнений вида sin t = a. В начале урока решим уравнение с нетабличным значением и рассмотрим решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения sin t = a, рассмотрим различные формы записи ответа и рассмотрим некоторые важные частные случаи решения. В конце урока решим несколько более сложных уравнений.
План-конспект урока в 10-м классе по теме «Арксинус. Решение уравнения sin x = a»
Разделы: Математика
Цели урока:
- вывести общую формулу решений уравнения ;
- сформировать навык решения уравнения
- дать определение арксинуса.
Задачи урока:
- формирование умения решать данные уравнения;
- создание условий, способствующих воспитанию у учащихся внимательности и аккуратности в решении уравнения.
Тип урока: модульный урок.
Формы контроля: самопроверка самостоятельно решённых задач, проверка самостоятельной работы учителем на оценку.
Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, экран.
План урока:
- мотивационная беседа, завершающаяся постановкой интегрирующей цели урока;
- входной контроль (повторение изученного ранее материала);
- работа с новым материалом;
- закрепление изученного материала;
- завершающий контроль (проверка усвоенного на уроке материала);
- рефлексия.
Ход урока
В тригонометрии важное место уделено решению тригонометрических уравнений. Методов решения тригонометрических уравнений несколько, но невозможно будет их решить, не умея решать простейшие. Уравнения с косинусом учащиеся уже умеют решать, на данном уроке познакомить их с уравнениями, содержащими синус. Для решения простейших тригонометрических уравнений используется трёхшаговый алгоритм:
- составить общую формулу;
- вычислить значение арксинуса (арккосинуса);
- подставить найденное значение в общую формулу.
Вспомнить формулу для решения уравнения с косинусом и предложить учащимся выполнить самостоятельную работу (7-8 минут).
На экран, с помощью ноутбука, выводится задание:
I вариант | II вариант |
Решите уравнения: | |
1. 2. 3. 4. 5. | 1. 2. 3. 4. 5. |
После выполнения данной работы на экран вывести решение, учащиеся сверяют своё решение с решением на экране. При необходимости провести необходимую коррекцию, учителю ответить на вопросы, которые возможно возникнут у учащихся по решению уравнений. Учащиеся выставляют себе оценку (по количеству верно решённых уравнений).
Рассмотрим простейшее тригонометрическое уравнение: где -1
Определение: Если то arcsin a (арксинус а) – это такое число из отрезка синус которого равен а. Итак:
если то
arcsin a = х
Теперь сделаем общий вывод о решении уравнения
Если то уравнение имеет две серии решений: х1=
В трёх случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:
=1 , x =
= 0 , x =
= -1, x = —
Объяснить учащимся, что означает в формуле запись (+ 2, почему в одном случае 2.
Есть формула в сокращённом виде, она выглядит так х = (-1) k arcsin a + Но об этом мы поговорим позже, когда научимся пользоваться основной формулой, т.к. сейчас в задании С1 в тестах ЕГЭ предпочтительнее пользоваться не этой сокращённой формулой, а формулой записанной в виде двух.
Рассмотрим решение простейших уравнений:
(оформление решений на доске, 1, 6, 8 – объяснение учителя, остальные – учащиеся)
- Sin x =
- Sin x =
- Sin x = 1
- Sin x =
- Sin x =
- Sin 2x =
- Sin
- 2Sin (3x —
- 2Sin (
Для решения уравнений учащиеся (особенно слабоуспевающие учащиеся) пользуются таблицей тригонометрических значений (таблица на демонстрационном стенде и на столах учащихся).
Но лучше при нахождении корней уравнения пользоваться единичной окружностью:
(научить учащихся находить значения по числовой окружности).
Проконтролировать умения учащихся решать простейшие тригонометрические уравнения можно с помощью предложенной ниже самостоятельной работы:
(Задание выводится на экран, заранее текст набрать на ноутбуке и вывести на экран):
I вариант | II вариант | ||
1 | Вычислите: arcsin | 1 | Вычислите: arcsin |
2 | Решите уравнения: sin x = 0 | 2 | Решите уравнения: sin x = -1 |
3 | Sin x = | 3 | Sin x = 0,5 |
4 | Sin x = — | 4 | Sin x = |
5 | 2sin x = | 5 | 2 sin x = — |
6 | Sin (2x — | 6 | Sin ( |
Учащиеся сдают тетради с выполненной самостоятельной работой учителю на проверку. Учитель объявляет, что за любые пять заданий выставляется отметка «5», за четыре – «4», за три «3», отметка «2» выставляться не будет, нужна будет дополнительная работа с учащимися, не справившимся с работой (если такие будут). И далее повторное выполнение работы, идентичной данной.
После этого учитель показывает на экране решение самостоятельной работы.
Провести рефлексию. Дать учащимся возможность проанализировать свои ошибки (а такие учащиеся найдутся, т.к. в общеобразовательной школе на базовом уровне математику изучают все учащиеся и слабоуспевающие в том числе).
Подвести итоги урока.
Учащимся записать домашнее задание: выучить формулу, изученную на уроке; прочитать теоретический материал по учебнику и выполнить упражнения из учебника по данной теме (с указанием №№).
Провести анализ урока:
Урок проведён в 10 «б» классе.
Количество учащихся – 26. Данный материал оказался доступным и интересным для учащихся. В самостоятельной работе учащиеся показали уровень сформированности навыков решения простейших тригонометрических уравнений (приведён в таблице). Тема урока актуальна тем, что в ЕГЭ (часть В, задание С1) включены в основном простейшие уравнения и у учащихся по данной теме должны быть сформированы устойчивые знания и умения.
Результаты самостоятельных работ:
Из таблицы видно, что в основном все учащиеся справились с уравнениями, хотя есть над, чем поработать ещё на следующем уроке. В уравнениях с косинусом нужна коррекция знаний учащихся, с синусом – выполнять тренировочные упражнения для ликвидации пробелов. В основном учащиеся допускают ошибки при нахождении корней уравнения по единичной окружности или таблице. Минус работы с таблицей – слабые учащиеся не смогут её выучить, а значит на ЕГЭ, возможно, не смогут правильно записать ответ. На первых этапах изучения темы ею можно пользоваться, но на последующих уроках нужно развивать навык работы с единичной окружностью до автоматизма. Тема эта была изучена до решения уравнений, с применением методов.
http://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arksinus-i-reshenie-uravneniya-sin-t-a
http://urok.1sept.ru/articles/605002