Арктангенс решение уравнения tgt a

Арктангенс и арккотангенс. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти арксинус и арккосинус от числа. Результат можно видеть как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Арктангенс и арккотангенс − теория, примеры и решения

Функция арктангенс и ее график

Функция тангенс определена в интервале [−∞;+∞] кроме точек , . и не является монотонной функцией (т.е. не является возрастающей или убывающей во всей области определения функции (Рис.1) (подробнее о функции тангенс смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию тангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

, , , и т.д.

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция tg x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию обозначают x=arctg y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (1) − это функция, обратная к функции

.

График функции арктангенс можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).

Свойства функции арктангенс.

1. Область определения функции: .
2. Область значений функции: .
3. Функция является нечетной: .
4. Функция возрастает.
5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

В интервале для уравнения (2) существует одно t, для которого tg t=a. Это решение

Следовательно в интервале уравнение (2) имеет один корень. Так как тангенс периодичная функция с основным периодом π, то все корни уравнения (2) отличаются на πn (n∈Z), т.е.

.

(3)

Решение уравнения (2) представлен на Рис.3:

Так как tg t − это ординат точки пересечения прямой OM_t1 c прямым x=1, то для любого a на линии тангенса есть только одна точка T(1; a). Прямая OT_t пересекается с окружностью с радиусом 1 в двух точках: . Но только точка соответствует интервалу , которое соответствует решению .

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

.

Решение. Воспользуемся формулой (3):

,

.

Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:

.

Решение. Воспользуемся формулой (3):

.

Используя онлайн калькулятор получим:

.

Функция арккотангенс и ее график

Как известно, функция котангенс определена в интервале [−∞;+∞] кроме точек -2π, —π 0, π, 2π. и не является монотонной функцией (Рис.4) (подробнее о функции котангенс смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию кокотангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных интервалов функция ctg x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию оброзначают x=arcctg y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (4) − это функция, обратная к функции

.

График функции арккотангенс можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).

Свойства функции арккотангенс.

1. Область определения функции: .
2. Область значений функции: .
3. Функция не является ни четной ни нечетной (так как функция не симметрична ни относительно начала координит, ни относительно оси Y).
4. Функция убывает.
5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

В интервале (0; π) для уравнения (5) существует одно t, для которого сtg t=a. Это t=arcctg a. Следовательно в интервале (0; π) уравнение (5) имеет один корень. Так как котангенс периодичная функция с основным периодом π, то общее решение уравнения (5) имеет следующий вид:

(6)

Решения уравнения (5) можно представить на единичной окружности (Рис.6):

ctg t − это абсцис точки пересечения прямой с прямым y=1. Любому числу a на линии котангенс соответствует только одна точка . Прямая пересекется с единичной окружностью в двух точках . Но только точка соответствует интервалу (0; π), которое соответствует решению .

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

.

Решение. Воcпользуемся формулой (6):

.

Так как в интервале (0; π), то

.

Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

.

Решение. Используя формулу (6), имеем

.

С помощью онлайн калькулятора вычисляем . Тогда

Конспект урока алгебры в 10 классе на тему Решение уравнений tg t=a

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: «Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg t = a »

повторение таблицы значений тригонометрических функций;

основных свойств обратных тригонометрических функций;

вычисление значений обратных тригонометрических функций;

понятий арксинуса и арккосинуса;

развитие познавательного интереса учащихся к предмету;

развитие логического мышления, умение делать выводы и обобщения;

воспитание логически мыслящей личности.

Послушай – и ты узнаешь,

посмотри – и ты поймешь,

сделай – и ты научишься.

Проверка домашнего задания.

№ 317 (б) – один ученик записывает на доске, с остальными устно проверяются №315 и №318 (б, в)

№ 315: а ) sin x = 1/4 ; x = (-1) arcsin 1/4 + π k , k є z

б ) sin x = -√2/2 ; x = (-1) arcsin (-√2/2) + π k , k є z

x = (-1) π /4 + π k , k є z

sin x = 1,02 ; не имеет решения

в ) sin x = -1/7 ; x = (-1) arcsin (-1/7) + π k , k є z

x = (-1) arcsin 1/7 + π k , k є z

г ) sin x = π /3 ; x = (-1) arcsin π /3 + π k , k є z

x = (-1) √3/2 + π k , k є z

№ 317: б) cos x = -1/2 , x є [ — π ; π ]

x = ± arc с os (-1/2) + 2 π k , k є z

x = ± 2 π /3 + 2 π k , k є z

1) если k = 0, то x = ± 2 π /3 є [- π ; π ]

2 π /3 + 2 π [- π ; π ]

2) если k = 1, то x =

— 2 π /3 + 2 π [- π ; π ]

2 π /3 + (-2 π ) = -4 π /3 [- π ; π ]

3) если k = -1, то x =

— 2 π /3 -2 π = -8 π /3 [- π ; π ]

№ 318: б ) cos (1/2 arcsin 1 + arcsin ( -√2/2 )) = cos (1/2 * π /2 — π /4) =

в ) tg (arcsin √3/2 + 2 arccos √2/2) = tg( π /3 + 2 π /4 ) = tg5 π /6 =

Имеет ли смысл выражение (слайд 2)

arcsin √2; arcsin a² / a² +1; arccos(- π /3)

Вычислите (слайд 3)

sin π /6 = 1/2 ; tg π /4 = 1

cos π /3 = 1/2; tg π /2 – не сущ.

arcsin (-1) = — π /2; ctg 3 π /2 = 0

arccos π = – не сущ. ctg 2 π = не сущ.

Сообщение темы и цели урока.

Объяснение новой темы учителем.

На предыдущих уроках мы с вами познакомились с решением уравнений вида cos t =1/2, sin t = √3/2 и т.д., а также с частными случаями (особой формой записи) уравнений cos t =1; -1; 0 и sin t = 1; -1; 0.

Решая уравнения вида cos t = 2/5 и sin t = -0,3 мы ввели понятия функций, обратных тригонометрическим, т.е. arccos и arcsin .

А сегодня мы рассмотрим и научимся решать уравнения tg t = a и ctg = a .

Начнем с решения уравнения tg x = 2 (слайд 5).

Графики функций y = tg x и y = 2 имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид x = x 1 + π k , где x 1 – абсцисса точки пересечения прямой y = 2 c главной ветвью тангенсоиды.

Для числа x 1 математики придумали обозначение arctg 2. Тогда корни уравнения можно описать формулой x = arctg 2 + π k , k є z .

Что же такое arctg 2? ( Это число, тангенс которого равен 2 и которое принадлежит интервалу (- π /2; π /2).

Аналогично для tg x = -2, где x = x 2 + π k , k є z .

Определение. arctg a = x  tg x = a,

для любого a справедливо

arctg (-a) = — arctg a

arctg a = x  ctg x = a,

x = arcctg a + π k , k є z.

( слайд 6) arcctg (-a) = π – arcctg a.

Закрепление нового материала.

№ 328 (устно): а) arctg √3/3 = π /6 в) arctg √3 = π /3

б) arctg 1 = π /4 г) arctg 0 = 0

№ 332 – 334 (в, г) – решают у доски слабые учащиеся.

(в это время сильные выполняют индивидуальные задания).

№ 332: в) arc с tg (- √3/3) — arctg √3/3 = 2 π /3 — π /6 = 4 π /6 — π /6 = π /2

г) arc с os (-1/2) — arc с tg (- √3) = 2 π /3 — 5 π /6 = — π /6

№ 333: в) tg x = -1 г) tg x = √3/3

x = arctg (-1) + π k , k є z x = arctg √3/3+ π k , k є z

x = — π /4 + π k , k є z x = π /6 + π k , k є z

№ 334: в) tg x = -3 г) tg x = 1/2

x = arctg (-3) + π k , k є z x = arctg 1/2 + π k , k є z

x = arctg 3 + π k , k є z

№ 337 (а) 2 arcsin (- √3/2) + arctg (-1) + arccos √2/2 = 2 ( — π /3) — π /4 + π /4 = -2 π /3

б) 3 arcsin 1/2 + 4 arccos (-√2/2) — arctg (- √3/3) = 3· π /6 + 4· (3 π /4) + π /6 =

= π / 2 + 3 π + π /6 = 11 π /3

в) arctg (- √3) + arccos (-√3/2) + arcsin 1 = — π /3 + 5 π /6 + π /2 = π

г) arcsin (-1) – 3/2 arccos 1/2 + 3 arc с tg (- √3/3) = — π /2 — 3/2· π /3 + 3·2 π /3 =

= — π /2 — π /2 + 2 π = π

№ 340 (а) – для индивидуальной работы.

( tg x — √3) ( tg x + √3) = 0

tg x — √3 = 0, tg x = √3, x = π /3 + π k , k є z

tg x + √3 = 0; tg x = — √3; x = — π /3 + π k , k є z .

Ответ: ± π /3 + π k , k є z .

б) Ответы: π k ; — arctg 3/2 + π k , k є z .

Самостоятельная работа по вариантам.

на оценки «3», «4» и «5» (слайд 7)

проверка самостоятельной работы и выставление оценок (слайд 8)

Итог урока, выставление и мотивирование оценок.

Домашнее задание: §19, №332 – 334 (а,б), №341 (а).

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 572 330 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

§ 17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg х — а

Другие материалы

• 10.11.2017
• 1438
• 20

• 10.11.2017
• 296
• 0

• 10.11.2017
• 935
• 1

• 10.11.2017
• 1046
• 2

• 10.11.2017
• 1197
• 4

• 10.11.2017
• 917
• 7

• 10.11.2017
• 229
• 0

• 10.11.2017
• 624
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 10.11.2017 1768
• DOCX 58 кбайт
• 66 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Креймер Светлана Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 3 месяца
• Подписчики: 2
• Всего просмотров: 9193
• Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Арктангенс и решение уравнения tg x=a

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы познакомимся с понятием арктангенса. В начале рассмотрим график функции у = tg t на наименьшем положительном периоде, вспомним ее свойства и сформулируем прямую и обратную задачу для нашей функции. Дадим определение арктангенса как решения обратной задачи. Далее рассмотрим нахождение арктангенса на числовой окружности с помощью линии тангенсов. Докажем важное свойство арктангенса: арктангенс от минус а равен минус арктангенсу а. В конце урока решим несколько задач вычислительного и сравнительного типа, иллюстрируя решение на графике и на круге.