Арктангенс решение уравнения tgx a

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №43. Уравнение tg x = a.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• арктангенс числа, простейшие тождества с арктангенсом
• решение уравнения для табличных значений
• решение уравнения для произвольных значений
• решение простейших тригонометрических уравнений;
• решение уравнения вида ;
• решение уравнения вида , ;
• решение уравнения вида , ;
• вычисление значений арктангенса и арккотангенса числа.

Глоссарий по теме

Арктангенсом числа m называется такое число α, что: и .

Арктангенс числа m обозначают:.

Арккотангенсом числа n называется такое число α, что:

Арккотангенс числа n обозначают:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, с. 319-322.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Арктангенс и решение уравнения tg x=a (продолжение)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение арктангенса и решение уравнений вида tg x = a для любого а. В начале урока решим уравнение с табличным значением и проиллюстрируем решение на графике, а потом и на круге. Далее решим уравнение tgx = aв общем виде и выведем общую формулу ответа. Проиллюстрируем вычисления на графике и на круге и рассмотрим различные формы ответа. В конце урока решим несколько задач с иллюстрацией решений на графике и на круге.

Урок «Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a»

Краткое описание документа:

Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.

В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = – 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x₁ + πk. Значение x₁ – это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от –π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.

По аналогии решается уравнение tg x = – 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = – 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x₂ + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (– 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (– 3) = – arctg 3.

Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от –π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от –π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от –π/2 до π/2.

Пример 2 – вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (– a) = – arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от –π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, -– tg x = – π/3. Ответом уравнения будет – π/3.

Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.

Пример 4: вычислить tg x = – 4,1. В данном случае x = arctg (– 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (– 4,1) + πk.