Арнольд дополнительные главы дифференциальных уравнений

Арнольд дополнительные главы дифференциальных уравнений

Книги. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно. Бесплатная электронная библиотека
Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения

Вы можете найти на этой странице (программа отметит желтым цветом)
Вы можете посмотреть список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
Вы можете посмотреть список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.

Уважаемые дамы и господа !! Для того, чтобы без «глюков» скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши, выберите команду «Save target as . « («Сохранить объект как . «) и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.

ГЛАВА I. Основные понятия
§ 1. Фазовые пространства
§ 2. Векторные поля на прямой
§ 3. Линейные уравнения
§ 4. Фазовые потоки
§ 5. Действие диффеоморфизмов на векторные поля и на поля направлений
§ 6. Симметрии

ГЛАВА II. Основные теоремы
§ 7. Теоремы о выпрямлении
§ 8. Применения к уравнениям выше первого порядка
§ 9. Фазовые кривые автономной системы
§ 10. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы
§ 11. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка с частными производными
§ 12. Консервативная система с одной степенью свободы

ГЛАВА III. Линейные системы
§ 13. Линейные задачи
§ 14. Показательная функция
§ 15. Свойства экспоненты
§ 16. Определитель экспоненты
§ 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты — случай вещественных и различных собственных чисел
§ 18. Комплексификация и овеществление
§ 19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством
§ 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения
§ 21. Классификация особых точек линейных систем
§ 22. Топологическая классификация особых точек
§ 23. Устойчивость положений равновесия
§ 24. Случай чисто мнимых собственных чисел
§ 25. Случай кратных собственных чисел
§ 26. О квазимногочленах
§ 27. Линейные неавтономные уравнения
§ 28. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами
§ 29. Вариация постоянных

ГЛАВА IV. Доказательства основных теорем
§ 30. Сжатые отображения
§ 31. Доказательство теорем существования и непрерывной зависимости от начальных условий
§ 32. Теорема о дифференцируемости

ГЛАВА V. Дифференциальные уравнения на многообразиях
§ 33. Дифференцируемые многообразия
§ 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии
§ 35. Фазовый поток, заданный векторным полем
§ 36. Индексы особых точек векторного поля

Краткая аннотация книги

Отличается от имеющихся учебных руководств по обыкновенным дифференциальным уравнениям большей, чем это обычно принято, связью с приложениями, в особенности с механикой, и более геометрическим, бескоординатным изложением. В соответствии с этим в книге мало выкладок, но много понятий, необычных для курса дифференциальных уравнений (фазовые потоки, однопараметрические группы, диффеоморфизмы, касательные пространства и расслоения) и примеров из механики (например, исследование фазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы, теория малых колебаний, параметрический резонанс).

Для студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов и вузов с расширенной программой по математике, но будет интересна и специалистам в области математики и ее приложений.

Предисловие

Первые две главы книги сильно переработаны и значительно расширены. Добавлены разделы об элементарных методах интегрирования (о линейных однородных и неоднородных уравнениях первого порядка, об однородных и квазиоднородных уравнениях), о линейных и квазилинейных уравнениях с частными производными первого порядка, об уравнениях, неразрешенных относительно производных, и о теоремах Штурма о нулях линейных уравнений второго порядка. Таким образом, в новое издание книги включены все вопросы действующей программы по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Излагая специальные приемы интегрирования, автор старался всюду выявлять геометрическую сущность разбираемых методов и показывать, как эти методы работают в приложениях, особенно в механике. Так, для решения линейного неоднородного уравнения вводится (5-функция и вычисляется запаздывающая функция Грина, квазиоднородные уравнения приводят к теории подобия и закону всемирного тяготения, а теорема о дифференцируемости решения по начальным условиям — к исследованию относительного движения космических тел на близких орбитах.

Автор позволил себе включить в это предисловие несколько исторических отступлений. Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (1642-1727). Ньютон считал это свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно вольно передать так: «законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».

Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всевозможных функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что для решения любого уравнения нужно подставить в уравнение ряд и приравнять члены одинаковой степени). Особенное значение имела здесь открытая им формула бинома Ньютона (разумеется, не только с целыми показателями, для которых формулу знал, например, Виета (1540-1603), но и, что особенно важно, с дробными и отрицательными показателями). Ньютон разложил в «ряды Тейлора» все основные элементарные функции (рациональные, радикалы, тригонометрические, экспоненту и логарифм). Это, вместе с составленной им таблицей первообразных (которая перешла в почти неизменном виде в современные учебники анализа), позволяло ему, по его словам, сравнивать площади любых фигур «за половину четверти часа».

Ньютон указывал, что коэффициенты его рядов пропорциональны последовательным производным функции, но не останавливался на этом подробно, так как он справедливо считал, что все вычисления в анализе удобнее производить не при помощи кратных дифференцирований, а путем вычисления первых членов ряда. Для Ньютона связь между коэффициентами ряда и производными была скорее средством вычисления производных, чем средством составления ряда. Одним из важнейших достижений Ньютона является его теория солнечной системы, изложенная в «Математических началах натуральной философии» («Principia») без помощи математического анализа. Обычно полагают, что Ньютон открыл при помощи своего анализа закон всемирного тяготения. В действительности Ньютону (1680) принадлежит лишь доказательство эллиптичности орбит в поле притяжения по закону обратных квадратов: сам этот закон был указан Ньютону Гу-ком (1635-1703) (см. § 8) и, по-видимому, угадывался еще несколькими учеными.

С «Principia» Ньютона начинается современная физика. Завершение формирования анализа как самостоятельной научной дисциплины связано с именем Лейбница (1646-1716). Огромной заслугой Лейбница является также широкая пропаганда анализа (первая публикация — статья 1684 г.) и доведение его алгоритмов до полного автоматизма: он изобрел таким образом способ научить пользоваться анализом (и преподавать его) людей, вовсе его не понимающих, — тенденция, с которой приходится бороться еще и сегодня. Между прочим, Лейбницу принадлежат понятия матрицы, обозначение ее элементов через буквы-индексы, а также начала теории определителей и теории систем линейных уравнений, одна из первых вычислительных машин.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707-1783) и Лагранжа (1736-1813). В этих работах была прежде всего развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в 77-мерном случае). Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, так как именно из такого уравнения определяются секулярные (вековые, т. е. медленные по сравнению с годовым движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777-1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Лиувилль (1809-1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в том числе таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратурах. Позже С. Ли (1842-1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришел к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) — так из теории дифференциальных уравнений возникла одна из наиболее плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли еще раньше рассматривали Пуассон (1781-1840) и, особенно, Якоби (1804-1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Пуанкаре (1854-1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных привела к основанию современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем, является сейчас наиболее активно развивающейся и имеющей наиболее важные приложения в естествознании областью теории дифференциальных уравнений. Начиная с классических работ А. М. Ляпунова (1857-1918) по теории устойчивости движения в развитии этой области большое участие принимают русские математики (упомяну работы А. А. Андронова (1901-1952) по теории бифуркаций, А.А.Андронова и Л. С. Понтрягина по структурной устойчивости, Н. М. Крылова (1879-1955) и Н. Н. Боголюбова по теории усреднения, А. Н. Колмогорова по теории возмущений условнопериодических движений. Разбор современных достижений, конечно, выходит за рамки настоящей книги (с некоторыми из них можно познакомиться, например, по книгам автора «Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений», М., 1978; «Математические методы классической механики», М., 1974; «Теория катастроф», М., 1981).

Автор благодарен всем читателям предыдущих изданий, сообщившим свои замечания, которые автор постарался учесть при переработке книги, а также Д.В.Аносову, многочисленные замечания которого способствовали улучшению настоящего издания.

Книги, книги скачать, скачать книгу, книги онлайн, читать онлайн, скачать книги бесплатно, читать книги, читать книги онлайн, читать, библиотека онлайн, книги читать, читать онлайн бесплатно, читать книги бесплатно, электронная книга, читать онлайн книги, лучшие книги математика и физика, интересные книги математика и физика, электронные книги, книги бесплатно, книги бесплатно скачать, скачать бесплатно книги математика и физика, скачать книги бесплатно полностью, онлайн библиотека, книги скачать бесплатно, читать книги онлайн бесплатно без регистрации математика и физика, читать книги онлайн бесплатно математика и физика, электронная библиотека математика и физика, книги читать онлайн математика и физика, мир книг математика и физика, читать бесплатно математика и физика, библиотека онлайн математика и физика, чтение книг математика и физика, книги онлайн бесплатно математика и физика, популярные книги математика и физика, библиотека бесплатных книг математика и физика, скачать электронную книгу математика и физика, бесплатная библиотека онлайн математика и физика, электронные книги скачать, учебники онлайн математика и физика, библиотека электронных книг математика и физика, электронные книги скачать бесплатно без регистрации математика и физика, хорошие книги математика и физика, скачать книги полностью математика и физика, электронная библиотека читать бесплатно математика и физика, электронная библиотека скачать бесплатно математика и физика, сайты для скачивания книг математика и физика, умные книги математика и физика, поиск книг математика и физика, скачать электронные книги бесплатно математика и физика, электронная книга скачать математика и физика, самые лучшие книги математика и физика, электронная библиотека бесплатно математика и физика, читать онлайн бесплатно книги математика и физика, сайт книг математика и физика, библиотека электронная, онлайн книги читать, книга электронная математика и физика, сайт для скачивания книг бесплатно и без регистрации, бесплатная онлайн библиотека математика и физика, где бесплатно скачать книги математика и физика, читать книги бесплатно и без регистрации математика и физика, учебники скачать математика и физика, скачать бесплатно электронные книги математика и физика, скачать бесплатно книги полностью, библиотека онлайн бесплатно, лучшие электронные книги математика и физика, онлайн библиотека книг математика и физика, скачать электронные книги бесплатно без регистрации, библиотека онлайн скачать бесплатно, где скачать бесплатно книги, электронные библиотеки бесплатные, электронные книги бесплатно, бесплатные электронные библиотеки, онлайн библиотека бесплатно, бесплатно читать книги, книги онлайн бесплатно читать, читать бесплатно онлайн, интересные книги читать онлайн математика и физика, чтение книг онлайн математика и физика, электронная библиотека онлайн математика и физика, бесплатная библиотека электронных книг математика и физика, библиотека онлайн читать, читать бесплатно и без регистрации математика и физика, найти книгу математика и физика, каталог книг математика и физика, скачать книги онлайн бесплатно математика и физика, интернет библиотека математика и физика, скачать бесплатно книги без регистрации математика и физика, где можно скачать книги бесплатно математика и физика, где можно скачать книги, сайты для бесплатного скачивания книг, онлайн читать, библиотека читать, книги читать онлайн бесплатно без регистрации, книги библиотека, бесплатная библиотека онлайн, онлайн библиотека читать бесплатно, книги читать бесплатно и без регистрации, электронная библиотека скачать книги бесплатно, онлайн читать бесплатно.

http://mat.net.ua/wap, http://mat.net.ua/mobi, http://mat.net.ua/m
С 2017 года возобновляем мобильную версию веб-сайта для мобильных телефонов (сокращенный текстовый дизайн, технология WAP) — верхняя кнопка Мобильная версия в левом верхнем углу веб-страницы. Если у Вас нет доступа в Интернет через персональный компьютер или интернет-терминал, Вы можете воспользоваться Вашим мобильным телефоном для посещения нашего веб-сайта (сокращенный дизайн) и при необходимости сохранить данные с веб-сайта в память Вашего мобильного телефона. Сохраняйте книги и статьи на Ваш мобильный телефон (мобильный интернет) и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов, бесплатно (по цене услуг Интернет) и без паролей. Материал приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг и статей на веб-сайте и их продажи третьими лицами запрещены.

Наши ссылки на веб-страницы, можно скопировать html-код ссылки

Примечание. Удобная текстовая ссылка для форумов, блогов, цитирования материалов веб-сайта, код html можно скопировать и просто вставить в Ваши веб-страницы при цитировании материалов нашего веб-сайта. Материал приведен для ознакомления. Сохраняйте также книги на Ваш мобильный телефон через сеть Интернет (есть мобильная версия сайта — ссылка вверху слева страницы) и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.

Вы можете использовать скачанные с веб-сайта книги и другие материалы только для личного ознакомления. Авторское право авторов книг и любых электронных приложений к ним (в том числе фото, видео, рукописи, архивы и прочее) не подлежит патентованию и подобным «искусственным» дополнительным мерам защиты авторского права — не патентуют рукописи, фотографии, видеоматериалы, формулы, графики, сводные таблицы, тексты монографий, черновики и оригинальные издания вне зависимости от того, находятся ли они в частных или государственных архивах любой страны. Вне зависимости от того, есть ли у книги или рукописи и автора какие-либо коды или нет, подписаны они или нет, известен автор или нет, является он(а) гражданином Украины или иностранцем — запрещено явным образом присваивать чужое авторское право и ставить чужие ФИО в чужих работах и трудах (в случае неуказанного, неустановленного или сомнительного авторства наиболее предпочтительно использовать анонимность — это корректно, этично и непротивозаконно, так как в этом случае истинные владельцы будут поданы в розыск и объективно установленны в своих правах независимой комиссией).

Сегодня электронный вариант публикации приравнен к печатной бумажной форме распространения информации (требования аналогичны). Наиболее предпочтительными являются международные форматы публикаций PDF и DJVU (они лучше всего защищены от сторонних модификаций — изменения в них могут внести только профессионалы), допускаются и другие общепринятые и широко распространенные форматы электронного представления авторской или смежной информации. Помните, что один человек сам по себе ничего не делает и не решает — у любого автора любого издания есть коллеги, единомышленники, соратники, кураторы, преподаватели, наставники, идейные, политические и научные руководители и вдохновители, предшественники и приемники, завистники и плагиаторы, желающие незаконно «упасть на хвост и поехать», «присоседиться к работе» и «присоединиться». Чем серьезнее ученый и чем более масштабные объективные и фундаментальные работы он(а) реально ведет, тем большее количество мошенников и аферистов желает незаконно «находиться» и «быть рядом» с таким человеком, его деньгами, премиями, подарками и другими объективными поощрениями. Поэтому все подобные аферисты и мошенники, как и их голословные заявления, подлежат строгой проверке на практике как гласными, так и негласными методами государственного, общественного и политического независимого контроля (в том числе судебного и силового).

Вам разрешается использовать электронные публикации и иные материалы только для личного ознакомления. Никаких дополнительных прав и свобод (в том числе авторских и коммерческих прав, в том числе права на коммерческое распространение) получение и обладание электронной и иной публикации и материалов Вам не предоставляет. Вам не дает никаких прав, в т.ч. авторских и смежных прав, личное знакомство с автором и правообладателем, совместное проживание, учеба или работа, семейный и иной статус, совместное хобби и увлечения, посещение одних и тех же мероприятий, встречи, конфликты и даже отсутствие таковых. Вы не имеете право продавать электронные публикации и иные авторские материалы, отчуждать их от владельца и извлекать материальную выгоду от владения электронной и иной формой представления авторской информации. Отчуждение авторского научного и творческого права запрещено вне зависимости от срока давности издания, способа и места его хранения, разрекламированности, известности или неизвестности и даже анонимности автора и соавтора, гражданства, здоровья, болезни и любого другого объективного статуса реального правообладателя. Запрещены фото- и видеомонтажи, врезки и изъятия, компиляция из сторонних источников и другие формы заведомого мошенничества. Запрещено иностранцам без признанной в Украине и документально подтвержденной профессии, без легитимных виз и специальных персонифицированных межгосударственных соглашений занимать рабочие места граждан Украины на территории Украины и во всех предприятиях, которые являются собственностью Украины и ее граждан вне зависимости от места регистарции и дислокации этих предприятий. Запрещено работать без рабочих виз на территории Украины гражданам и подданым стран, с которыми у Украины установлен визовый режим.

Авторское право (особенно научное и творческое) никогда не патентуется, не отчуждается ни при каких обстоятельствах, не продается и не покупается и является неотъемлимым от его создателя при любых обстоятельствах — патентуются только уникальные инженерные и программные разработки, авторские алгоритмы, изобретения и подобные материалы, содержащие более 60% объективно признанных независимой государственной экспертной комиссией авторских инноваций. Незаконным является присвоение себе чужих архивов, черновиков, заметок, аудио, фото и видеоматериалов (даже если вы не знаете их автора или же непосредственно знакомы с создателем и правообладателем, это ничего не решает). Научное и творческое авторское право не отчуждается от автора и создателя и никогда не делегируется третьим лицам (особенно без профессии и неконтрафактных документов) — оно является наиболее строгим авторским правом, неотделимым от своего создателя, и не подлежит передаче, купле и продаже ни при каких обстоятельствах. Оно только может быть передано в возмездное или безвозмездное пользование БЕЗ ПРАВА НА ОТЧУЖДЕНИЕ. Главной особенностью научного и творческого авторского права является его обязательная частичная передача в безвозмездное пользование широким слоям заинтересованного населения — на этом сайте все научные книги бесплаты и свободны для скачивания без паролей, кодов и ограничений (я как владелец этого сайта и интернет-хостинг-провайдеры не несем ответственность за деятельность третьих лиц, возможные сбои и технические нарушения интернет-связи при пользовании сайтами по вине третьих лиц). Никаких искусственных препятствий, ограничений скорости, других «негативов» и препятствий мы не устанавливаем.

Государство Украина имеет достаточную базу для обеспечения научных работ и научных исследований по всем законным направлениям научной деятельности. C 2010 г. в Украине любая наука и научные исследования являются объектами строгой государственной монополии и требуют наличия не только документально признанной в Украине профессии, но и высшего государственного образования, официально признанного в Украине.

Альтернативная
наука

В.И. Арнольд, Ю.С. Ильяшенко / Обыкновенные дифференциальные уравнения

Название: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Автор: В.И. Арнольд, Ю.С. Ильяшенко

Аннотация: Этот обзор посвящен, в основном, локальной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В него не включена теория бифуркаций; ей будет посвящена отдельная статья. Метод усреднения излагается в обзоре В. И. Арнольда, В. В. Козлова, А. И. Нейштадта «Математические аспекты классической и небесной механики» (т. 3 настоящего издания).

Скачать в pdf ( 15,4 МБ ): В.И. Арнольд, Ю.С. Ильяшенко / Обыкновенные дифференциальные уравнения

В.И. Арнольд / Обыкновенные дифференциальные уравнения Название: Обыкновенные дифференциальные уравнения Автор: В.И. Арнольд Аннотация: Отличается от имеющихся учебных руководств по обыкновенным дифференциальным уравнениям большей, чем

В.И. Арнольд / Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений Название: Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений Автор: В.И. Арнольд Аннотация: Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

М.Л.Краснов. / Задачи и решения. Обыкновенные Дифференциальные Уравнения Название: Задачи и решения. Обыкновенные Дифференциальные Уравнения Автор: М.Л.Краснов.. Аннотация: В предлагаемом сборнике задач особое внимание уделено тем вопросам,

В.И.Арнольд / Лекции об уравнениях с частными производными Название: Лекции об уравнениях с частными производными Автор: В.И.Арнольд Аннотация: Теория уравнений с частными производными считалась в середине этого

В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь / Симплектическая геометрия Название: Симплектическая геометрия Автор: В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь Аннотация: Этот раздел дифференциальной геометрии служит геометрическим фундаментом вариационного

В.И. Арнольд, А.Б. Гивенталь / Симплектическая геометрия Название: Симплектическая геометрия Автор: В.И. Арнольд, А.Б. Гивенталь Аннотация: Симплектическая геометрия — это математический аппарат таких областей физики, как

Обновление раздела Математика – 03.11.2015 |—01. Бермант А.Ф. — Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. Формулы Грина — 1958.pdf | |—02. Янпольский А.Р. — Гиперболические функции —

Дополнительные главы дифференциальных уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра математического моделирования

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Учебно-методический комплекс. Рабочая программа

для студентов направления 03.03.02 «Физика»,

профиль подготовки «Фундаментальная физика»,

очная форма обучения

Тюменский государственный университет

Казанцева главы дифференциальных уравнений. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 03.03.02 «Физика», профиль подготовки «Фундаментальная физика», очная форма обучения. Тюмень, 2016 г., 15 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрООП ВО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Дополнительные главы дифференциальных уравнений [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. umk3plus. utmn. ru, свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук ТюмГУ.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: , доктор физико-математических
наук, доцент, заведующий кафедрой
математического моделирования

© Тюменский государственный университет, 2016.

1. Пояснительная записка

1.1. Цели и задачи дисциплины

1) овладение методами решения основных типов дифференциальных уравнений и их систем;

2) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.

1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы

Дисциплина «Дополнительные главы дифференциальных уравнений» — это дисциплина по выбору, которая входит в базовую часть профессионального цикла.

Для её успешного изучения необходимы знания и умения, приобретённые в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, алгебра.

Освоение дисциплины «Дополнительные главы дифференциальных уравнений» необходимо при последующем изучении дисциплин «Линейные и нелинейные уравнения физики», «Интегральные уравнения и вариационное исчисление», «Уравнения математической физики». На основе приобретенных знаний формируются умения применять методы при решении профессиональных задач повышенной сложности.

Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми

Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин

Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин

Линейные и нелинейные уравнения физики

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Уравнения математической физики

1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.

В результате освоения ОП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями:

способностью использовать в профессиональной деятельности базовые знания фундаментальных разделов математики, создавать математические модели типовых профессиональных задач и интерпретировать полученные результаты с учетом границ применимости моделей (ОПК-2).

1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные понятия теории дифференциальных уравнений, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений.

Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области дифференциальных уравнений; интерпретировать полученные результаты.

Владеть: математическим аппаратом дифференциальных уравнений, методами анализа и решения задач, в том числе основными методами, использующимися в качественной теории дифференциальных уравнений.

2. Структура и трудоёмкость дисциплины.

Дисциплина «Дополнительные главы дифференциальных уравнений» читается в третьем семестре. Форма промежуточной аттестации – зачёт. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 3 зачётные единицы (108 часов).

Вид учебной работы

Аудиторные занятия (всего)

Практические занятия (ПЗ)

Лабораторные работы (ЛР)

Иные виды работ:

Самостоятельная работа (всего)

Вид промежуточной аттестации (зачёт, экзамен)

Общая трудоёмкость час

3. Тематический план.

Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.

Итого часов по теме

Итого количество баллов

Семинарские (практические) занятия*

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа

Качественное исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Итого (часов, баллов):

Из них часов в интерактивной форме

4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля

ответ на практическом занятии

решение задач на практическом занятии

Выполнение домашнего задания

Итого количество баллов

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа

Качественное исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений

5. Содержание дисциплины

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям: радиоактивный распад, движение системы материальных частиц, физический маятник. Составление дифференциального уравнения при решении физических задач. Геометрическое истолкование уравнения первого порядка и его решений. Поле направлений. Изоклины. Построение дифференциального уравнения заданного семейства кривых.

Методы интегрирования уравнений первого порядка. Существование и единственность решения уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Единственность решения уравнения с начальными условиями. Зависимость решения от параметра.

Особое решение. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение, по дифференциальному уравнению.

Приведение уравнения, не разрешенного относительно производной, к уравнению, разрешенному относительно производной. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро. Задача о траекториях. Общий метод введения параметра.

Тема 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Теорема существования. Типы уравнений n-го порядка, разрешаемые в квадратурах. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных. Уравнение, не содержащее независимой переменной. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных. Уравнение, левая часть которого есть точная производная.

Однородное линейное уравнение n-го порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов.

Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и колебательные явления. Свободные и вынужденные колебания. Задача о колебаниях маятника. Задача о колебаниях в электрическом контуре.

Тема 3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Основные понятия и определения. Механическое истолкование нормальной системы. Связь между уравнениями высшего порядка и системами дифференциальных уравнений первого порядка. Фундаментальная система решений и определитель Вронского. Интегрирование однородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

Неоднородные системы линейных уравнений. Метод вариации. Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.

Тема 4. Решение систем дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Прямое и обратное преобразование Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа. Изображения элементарных функций. Теорема о свертке. Умножение изображений. Дифференцирование и интегрирование оригинала. Дифференцирование и интегрирование изображения. Решение систем дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Тема 5. Качественное исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Основы теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Орбитальная устойчивость, устойчивость по Лагранжу. Критерий устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами. Устойчивость нелинейных систем. Функция Ляпунова.

Фазовое пространство и фазовый портрет системы дифференциальных уравнений. Классификация неподвижных точек линейных систем. Теорема о линеаризации. Сепаратрисы. Инвариантные многообразия.

Предельный цикл. Отображение Пуанкаре. Мультипликаторы.

Грубые и негрубые системы на плоскости. Бифуркации положений равновесия. Центральное многообразие.

6. Планы практических занятий.

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

1) Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям: радиоактивный распад, движение системы материальных частиц, физический маятник. Составление дифференциального уравнения при решении физических задач. Геометрическое истолкование уравнения первого порядка и его решений. Поле направлений. Изоклины. Построение дифференциального уравнения заданного семейства кривых.

2) Методы интегрирования уравнений первого порядка. Существование и единственность решения уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Единственность решения уравнения с начальными условиями. Зависимость решения от параметра.

3) Особое решение. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение, по дифференциальному уравнению. Приведение уравнения, не разрешенного относительно производной, к уравнению, разрешенному относительно производной. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро. Задача о траекториях. Общий метод введения параметра.

Тема 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

1) Теорема существования. Типы уравнений n-го порядка, разрешаемые в квадратурах. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных. Уравнение, не содержащее независимой переменной. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных. Уравнение, левая часть которого есть точная производная.

2) Однородное линейное уравнение n-го порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов.

3) Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и колебательные явления. Свободные и вынужденные колебания. Задача о колебаниях маятника. Задача о колебаниях в электрическом контуре.

Тема 3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

1) Основные понятия и определения. Механическое истолкование нормальной системы. Связь между уравнениями высшего порядка и системами дифференциальных уравнений первого порядка. Фундаментальная система решений и определитель Вронского. Интегрирование однородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

2) Неоднородные системы линейных уравнений. Метод вариации.

3) Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.

Тема 4. Решение систем дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

1) Прямое и обратное преобразование Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа.

2) Изображения элементарных функций. Теорема о свертке. Умножение изображений. Дифференцирование и интегрирование оригинала. Дифференцирование и интегрирование изображения.

3) Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

4) Решение систем дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Тема 5. Качественное исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

1) Основы теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Орбитальная устойчивость, устойчивость по Лагранжу.

2) Критерий устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами.

Устойчивость нелинейных систем. Функция Ляпунова.

3) Фазовое пространство и фазовый портрет системы дифференциальных уравнений. Классификация неподвижных точек линейных систем. Теорема о линеаризации. Сепаратрисы. Инвариантные многообразия.

4) Предельный цикл. Отображение Пуанкаре. Мультипликаторы.

5) Грубые и негрубые системы на плоскости. Бифуркации положений равновесия. Центральное многообразие.

Лабораторные работы не предусмотрены учебным планом.

8. Примерная тематика курсовых работ.

Курсовые работы не предусмотрены учебным планом.

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.