Асимптотические методы в уравнениях математической физики

Асимптотические методы в уравнениях математической физики

МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Библиотека > Книги по математике > Асимптотические методы и разложения

Асимптотические методы и разложения

• Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987 (djvu)
• Андрианов И.В., Данишевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин. Днiпропетровськ: ПДАБА, 2010 (pdf)
• Андрианов И.В., Лесничая В.А., Лобода В.В., Маневич Л.И. Расчет прочности ребристых оболочек инженерных конструкций. Киев, Донецк: Вища школа, 1986 (pdf)
• Андрианов И.В., Лесничая В.А., Маневич Л.И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука, 1985 (djvu)
• Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптология: идеи, методы, результаты. М.: Аслан, 1994 (pdf)
• Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптотические методы и физические теории. М.: Знание, 1989 (djvu)
• Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972 (djvu)
• Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний (2-е изд.). М.: Наука, 1974 (djvu)
• Большаков В.И., Андрианов И.В., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. Днепропетровск: Пороги, 2008 (djvu)
• Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968 (djvu)
• Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967 (djvu)
• Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. Оценки, асимптотические формулы, ортогональные ряды. М.: ГИФМЛ, 1958 (djvu)
• Горбунов А.А., Полежаев В.И. Метод возмущений и численное моделирование конвекции для задачи Релея в жидкостях c произвольным уравнением состояния. М.: Институт проблем механики РАН (препринт N 897), 2008 (pdf)
• Де Брёйн Н.Г Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961 (djvu)
• Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978 (djvu)
• Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972 (djvu)
• Копсон Э.Т. Асимптотические разложения. М.: Мир, 1966 (djvu)
• Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972 (djvu)
• Крускал М. Адиабатические инварианты. Асимптотическая теория уравнений Гамильтона и других систем дифференциальных уравнений, все решения которых приблизительно периодичны. М.: ИЛ, 1962 (djvu)
• Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988 (djvu)
• Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969 (djvu)
• Нейланд В.Я., Боголепов В.В., Дудин Г.Н., Липатов И.И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. М.: Физматлит, 2003 (djvu)
• Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1991 (djvu)
• Риекстыныш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Том 1. Рига: Зинатне, 1974 (djvu)
• Риекстыныш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Том 2. Рига: Зинатне, 1977 (djvu)
• Риекстыныш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Том 3. Рига: Зинатне, 1981 (djvu)
• Сычёв В.В., Рубан А.И., Сычёв Вик.В., Королев Г.Л. Асимптотическая теория отрывных течений. М.: Наука, 1987 (djvu)
• Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977 (djvu)
• Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев: Наук. думка, 1966 (djvu)
• Чезаре Л. Асимптотическое поведение и устойчивость обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964 (djvu)
• Шапиро Д.А. Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 1 (Уравнения в частных производных. Специальные функции. Асимптотики). Новосибирск: НГУ, 2004 (djvu)
• Штейнман О. Метод возмущений в аксиоматической теории поля. М.: Мир, 1974 (djvu)

Веб-сайт EqWorld содержит обширную информацию о решениях различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными (уравнений математической физики), интегральных уравнений, функциональных уравнений и других математических уравнений.

Асимптотические методы в некоторых задачах математической физики, связанных с уравнениями типа sin-Гордона и геометрией псевдосферических поверхностей Маевский Евгений Валерьевич

480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ‘, MOUSEOFF, FGCOLOR, ‘#FFFFCC’,BGCOLOR, ‘#393939’);» onMouseOut=»return nd();»> Диссертация — 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат — бесплатно , доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Маевский Евгений Валерьевич. Асимптотические методы в некоторых задачах математической физики, связанных с уравнениями типа sin-Гордона и геометрией псевдосферических поверхностей : Дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.03 : Москва, 2004 129 c. РГБ ОД, 61:04-1/1324

Содержание к диссертации

1- Уравнение sin-Гордона и псевдосферические поверхности -, 6

1.1 Уравнение sin-Гордона 6

1.1.1 Задача Гурса для уравнения sin-Гордона 6

1.1.2 Задача Коши для уравнения sin-Гордона 7

1.1.3 Метод разделения перемешгых 11

1.1.4 Метод малого параметра 12

1.1.5 Автомодельные решения 13

1.1.6 Преобразование Бэклунда 15

1.1.7 Копечнозониые решения 17

1.2 Псевдосферические поверхности 18

1.2.1 Основные уравнения теории поверхностей 19

1.2-2 Асимптотические координаты 21

1.2.3 Линии кривизны. Поверхности Иоахимсталя 28

1.2.4 Геометрическое преобразование Бэклунда 34

1.2.5 Классические псевдосферические поверхности 37

2. Асимптотика решений уравнений второго порядка 41

2-1 Асимптотика осциллирующих решений 41

2.1.1 Постановка задачи 41

2.1.2 Построение приближенного решения 43

2.1.3 Метод вариации постоянных 45

2.1.4 Метод последовательных приближений 46

2.1.5 Асимптотические разложения 49

2.1.6 Асимптотическая устойчивость в общем случае 50

2.1.7 Отучай автономной правой части 54

2.1.8 Асимптотика решения и его производной 58

2.1-9 Осциллируемость решений 60

2.2 Асимптотика решений в окрестности особой точки. 62

2.2.1 Постановка задачи 62

2.2.2 Построение приближенного решения 62

2.2.3 Метод вариации постоянных 63

2.2.4 Метод последовательных приближений 63

2.3 Приложение к автомодельному уравнению sin-Гордона. 66

2.3.1 Асимптотическое разложение на бесконечности . 66

2.3.2 Асимптотическое разложение в нуле 68

3, Поверхность Амслера т 70

3.1 Поверхность Амслера. Введение 70

3-11 Постановка задачи 70

3.1.2 Псевдосферическая поверхность, содержащая две прямолинейные образующие 71

3.1.3 Обзор используемых асимптотических методов» . 73

3.2 Асимптотические линии поверхности Амслера 74

3.2.1 Система уравнений Френе 74

3,2,2 Основной триедр Б нуле 75

3.23 Основной триедр на бесконечности 78

3.2.4 Построение регулярной поверхности в окрестности прямолинейной образующей 80

3.3 Ребра поверхности Амслера 82

3.3.1 Система уравнений Френе 82

3.3.2 Основной триедр на бесконечности 84

3.3.3 Степенной ряд для основного триедра 86

3-3,4 Сводка асимптотических разложений для ребра. 88

3.4 Радиус-вектор поверхности Амслера 91

3.4.1 Уравнение для радиус-вектора 92

3.4.2 Формулы Римана 94

3.4.3 Метод разделения переменных 97

3.4.4 Асимптотическое разложение решения 98

3.4.5 Построение поверхности в окрестности ребра. , 101

4. Двухсолитонные решения и их интерпретация 103

4.1 Двухсолитонные решения. Введение 103

4.1.1 Двухсолитонные решения 103

4.1.2 Двухсолитонные поверхности 104

4.1.3 Двухсолитонные поверхности Иоахимсталя 106

4.2 Классификация двухсолитонных поверхностей 108

4.2.1 Радиус-вектор ребра. Геодезическая кривизна и кручение 108

4.2.2 Анализ знаков кривизны и кручения 111

4.2.3 Иллюстрации 114

Введение к работе

Работа посвящена исследованию некоторых классических решении уравнения sin-Гордона и связанных с ними поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Развитие данной тематики связано с фундаментальными исследованиями в геометрической школе Н.В. Ефимова и Э.Г. Позняка. Было получено большое количество содержательных результатов по проблеме изометрических погружений метрик отрицательной кривизны в Е 3 : [14,15, 29, 47, 48], по вопросам, связанным с интерпретацией решений уравнения sin-Гордона как сетевого угла асимптотической сети на поверхности постоянной отрицательной кривизны: [28, 30, 31], а также по более общей проблеме построения метрик постоянной отрицательной кривизны, связанных с различными нелинейными уравнениями математической физики: [17, 32].

В диссертации исследовано автомодельное решение, зависящее от произведения переменных, и показано как можно приближенно построить соответствующую псевдосферическую поверхность Амсле-ра в окрестности отрезка ее ребра возврата, С этой цели получено и исследовано линейное уравнение гиперболического типа для радиус-вектора поверхности. Исследован и другие способы построения поверхности Амслера — по асимптотическим линиям в окрестности прямолинейной образующей. Исследованы и классифицированы поверхности, соответствующие двухсолитонным решениям уравнения sin-Гордона. Найдено точное выражение для их радиус-вектора. Доказана теорема о локальной однозначной определенности фрагмента псевдосферической поверхности по фрагменту ее ребра. Основные результаты диссертации отражены в опубликованных работах [20,21,22,23].

Б геометрии уравнение sin-Гордона связано с существованием на поверхностях в Е 3 специальных сетей, называемых чебышевскими. Эти сети характеризуются тем условием, что в каждом сетевом четырехугольнике противоположные стороны равны. Чебышевскую сеть образуют, например, нити куска ткани, натянутой на поверхность [45]. Пусть линии чебышевской сети взяты за координатные так, что координаты и и v являются их естественными параметрами (такие координаты будем называть чебышевскими) — в этом случае первая

квадратичная форма поверхности принимает вид

где z(u_t v) — угол, под которым пересекаются линии чебышевской сети в точке (и, v). Пусть гауссова кривизна поверхности в этих координатах равна К(и, v). ПЛ. Чебышев показал, что угол z удовлетворяет уравнению Чебышева

На псевдосферической поверхности <К ^ — 1) чебышевскую сеть образуют асимптотические линии. Чтобы подчеркнуть выбор в качестве координат (и, v) естественных параметров этих линий, а также то, что в качестве чебышевской сети взята именно сеть асимптотических, будем называть координаты (и, и) асимптотическими чебыгаев-скими координатами. Обратим внимание на то, что при этом фиксируется определенный вид обеих квадратичных форм поверхности. Сетевой угол z(u, v) в этом случае должен удовлетворять уравнению sin-Гордона

Псевдосферическая поверхность имеет метрику кривизны К = —1, поэтому эту поверхность можно рассматривать как изометрическое погружение фрагмента плоскости Лобачевского Л 2 в Е 3 . При этом подразумевается, что отображение г, переводящее каждую точку (u₇ v) некоторой области 14 С R 2 в точку поверхности, трижды непрерывно дифференцируемо <регулярность погружения) и обладает тем свойством, что векторы г_{и/ г„ линейно независимы, т.е.}

всюду в области U,

Б следующей фундаментальной теореме [5] фактически утверждается невозможность регулярного изометрического погружения всей плоскости Лобачевского Л 2 в Е 3 .

Теорема 1 (Теорема Д- Гильберта).

В трехмерном евклидовом пространстве Е 3 не существует полной регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны.

Доказательство теоремы [5,34] опирается на следующее утверждение об уравнении sin-Гордона, также принадлежащее Гильберту.

Лемма 1. Любое гладкое решение уравнения sin-Гордона достигает значений, кратных тг.

Псевдосферическая поверхность с заданным сетевым углом асимптотической чебышевской сети может быть «склеена» из своих асимптотических линий, ЭТ. Позняк доказал в [28] следующую теорему.

Теорема 2 (Теорема ЭТ- Позняка).

Пусть функция z(u,v) Є C*(R 2 ) — решение уравнения sin-Гордона: Тогда существует такая, заданная на всей плоскости (и, v), вектор-функция т(и, v) , что график этой функции & любой области, где г(и, v) ф тт, представляет собой поверхность постоянной отрицательной кривизны К = —1, При этом координатная сеть (u_t v) на указанной поверхности является сетью асимптотических линий, a z[u, v) — сетевой угол. Значениям z^-кп соответствуют особенности (ребра, острия) поверхности.

Имеется большое количество работ по геометрии псевдосферических поверхностей. Из «классики» начала ХХ-го века, отметим обзор Е.Кодцингтона (1905) [65], посвященный изложению результатов, полученных в геометрии псевдосферических поверхностей с 1827 по 1887 год. Также необходимо упомянуть известный четырехтомный трактат Г.Дарбу «Лекции по общей теории поверхностей» [66] и учебник ЛБьянки «Лекции по дифференциальной геометрии» [58]. Б последние десятилетия ощущается новый всплеск интереса к классической геометрии поверхностей, вызванный глубокими взаимосвязями, обнаруженными между солитонными уравнениями математической физики и некоторыми типами поверхностей (поверхностями постоянной кривизны, поверхностями Вейнгартена и другими). Среди новых работ отметим работы А.И,Бобенко [59, 60], Ю.А.Аминова [53,54], АЛІКаллини и Т,А.Ивея [62, 63], ЯЛКислинского [64],

Перечислим некоторые физические явления, описываемые уравнением sin-Гордона: эффект самоиндуцированной прозрачности в двухуровневой среде [8], динамика блоховских стенок в ферромагнитных кристаллах [8,44], процессы в джозефсоновском контакте [8], возмущенные состояния элементарных частиц [75]-

Поскольку в физической интерпретации в переменных и или v обычно участвует время, то для физических явлений, описываемых уравнением sin-Гордона, псевдосферическая поверхность является аналогом фазовой плоскости [35], на которой реальный физический процесс изображается как кривая.

Задача Коши для уравнения sin-Гордона

Из «классики» начала ХХ-го века, отметим обзор Е.Кодцингтона (1905) [65], посвященный изложению результатов, полученных в геометрии псевдосферических поверхностей с 1827 по 1887 год. Также необходимо упомянуть известный четырехтомный трактат Г.Дарбу «Лекции по общей теории поверхностей» [66] и учебник ЛБьянки «Лекции по дифференциальной геометрии» [58]. Б последние десятилетия ощущается новый всплеск интереса к классической геометрии поверхностей, вызванный глубокими взаимосвязями, обнаруженными между солитонными уравнениями математической физики и некоторыми типами поверхностей (поверхностями постоянной кривизны, поверхностями Вейнгартена и другими). Среди новых работ отметим работы А.И,Бобенко [59, 60], Ю.А.Аминова [53,54], АЛІКаллини и Т,А.Ивея [62, 63], ЯЛКислинского [64], Перечислим некоторые физические явления, описываемые уравнением sin-Гордона: эффект самоиндуцированной прозрачности в двухуровневой среде [8], динамика блоховских стенок в ферромагнитных кристаллах [8,44], процессы в джозефсоновском контакте [8], возмущенные состояния элементарных частиц [75] Поскольку в физической интерпретации в переменных и или v обычно участвует время, то для физических явлений, описываемых уравнением sin-Гордона, псевдосферическая поверхность является аналогом фазовой плоскости [35], на которой реальный физический процесс изображается как кривая. І.І Уряіїшние $іп-Гардо№. Б этом параграфе описана постановка задач Гурса и Коши. Изложен метод разделения переменных, позволяющий получить некоторые частные решения уравнения sin-Гордона. Изложен метод малого параметра для уравнения sin-Гордона. Далее описаны автомодельные решения типа бегущих волн. Затем приведены формулы преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона/ формула суперпозиции Бьянки и ее обобщение; определены солитонные решения и проведена их классификация. Приведено тождество для тета-фупкций Римана, из которого получаются все конечнозонные решения уравнения sin-Гордона. Сформулируем для уравнения sin-Гордона (2) задачу Гурса: с условием Ф(УО) — Ф<Щ) , где ф(у), if) є C»[0,ui], n 2, mo существует единственное региєние z(u>v) Є С7:([0,я і] х [0 i]) задачи Гурса (3). Это решение может быть найдено как предел равномерно сходящейся

Асимптотическая устойчивость в общем случае

Асимптотика осцыллирукги их решений. где постоянная и определяется как Перечислим условия, налагаемые на 7/ Л и г: 0 7 Здесь первое и третье неравенство обеспечивают выполнение первого условия теоремы Ляпунова об устойчивости а остальные — выполнение второго условия. Итак, функция Ляпунова определена выражением (75). Поэтому из первой теоремы Ляпунова следует устойчивость тривиального решения уравнения (54), т.е. по заданному h h можно указать такое є hf что если [Z(TQ)H є то я(т)Ц h при всех т TQ (если, конечно, то f). Теперь найдем зависимость є от h . Для этого оцепим сверху значения функции Ляпунова при т = TQ : где постоянная v$ определяется выражением (78). Далее заметим, что если \\х\\ с, то W(x,x) W(c,c). Затем найдем \\х(т)\\ h при г Є [то, ті), но я(ті) = Л. Тогда приводит к противоречию следующая цепочка неравенств: если определить є как и взять ж(г0) є, то будет х(т0> є для некоторого є и по доказанному x(r) h для всех г т0 f, где h k определяется через є по формуле (79). Таким образом доказано, что если начальные данные удовлетворяют неравенству max(p,g) є, то решение задачи Коши (74) удовлетворяет условию я(т) h при некотором h h. Установим более сильный результат. Покажем, что решение х <т)г будучи, по доказанному, ограниченным ж(т>h при всех т 5 г0/ на самом деле стремится к нулю \>х(т) [ — 0 при т — +оо. Возьмем достаточно большое т\ TQ и заметим, что при всех т т\ где Wi(x,x) — положительно определенная функция, если выполнено неравенство Выполнения этого неравенства добьемся выбором достаточно большого ті — Рассмотрим произвольное решение я(т), удовлетворяющее неравенству j#(r) h при всех т т$. Рассмотрим монотонно убывающую положительную функцию Очевидно, условие у(т) — 0 равносильно условию х(т) — 0. Докажем от противного, что v(r) -+ (К Пусть V(T) — а 0, тогда должно быть д:(т) Ь 0 при всех г 7. Обозначим 2,1 Асимптотика осциллирующих решений. тогда

Асимптотическое разложение на бесконечности

Содержание этого параграфа составляет приложение полученных в параграфах 2.1, 2.2 результатов к автомодельному уравнению sin-Гордона рассматриваемому, если не оговорено иное, на полупрямой (0, —оо). 2-3,1 Асимптотическое разложение на бесконечности. Б случае уравнения sin-Гордона асимптотические разложения (72), (73) принимают вид: Щ Применим теорию, изложенную Б пункте 2,1 П к уравнению которое получается из (104) заменой z — тг + г. Имеем z siaz 0 при \z\ тг, поэтому h = тг. Функция V(2,i) имеет вид: Максимальное по модулю значение я на линии уровня будет при і — 0, т.е. определяется равенством 2(1 — cosz) — у. Поскольку г должен не превосходить тг, то и 4. Поэтому F = 4. Теорема об асимптотическом поведении решений задачи (104) формулируется следующим образом. Теорема 14 (об асимптотике на бесконечности). Пусть 7 0, z(r) — решение задачи Коши (104) и а \р — (2т + 1)тг тг при подходящем целом т. Тогда z(r) — (2т + 1)?г равт 0(г_1 2+сг) ш +оо и, следовательно, разность z(r) — 2mir обладает асимптотическим поведением (105), (106), — Если z(r) — решение начальной задачи для уравнения (107) и V(z