АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в отделе уравнений математической физики Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, Данилин Алексей Руфимович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Курина Галина Алексеевна, кандидат физико-математических наук, Коврижных Ольга Олеговна,

Ведущая организация: Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН

Защита состоится “19” ноября 2012 года в 12 ч. 00 мин. на заседании специализированного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан “. ”. 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Н.Ю. Лукоянов доктор физ.-мат. наук, в.н.с

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основы классической теории оптимального управления были заложены в 1955–1970 годах в работах Л.С. Понтрягина, Н.Н. Красовского, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Р. Беллмана. Были установлены условия оптимальности управления и описана структура оптимального управления.

Дальнейшее развитие теории оптимального управления и вопросы практического применения полученных результатов привели к появлению различных направлений в рамках теории оптимального управления, одним из которых является изучение малых возмущений в задачах оптимального управления.

В данном направлении особое внимание уделяется задачам оптимального управления с сингулярными возмущениями, в которых свойства возмущенных задач качественно отличаются от свойств вырожденных задач, получающихся из исходных при нулевых значениях параметров.

Из условий оптимальности управления для сингулярно возмущенных задач как правило появляются “жесткие” краевые задачи, при численном решении которых возникают серьезные трудности, выражающиеся в недопустимо большом времени счета и неизбежном накоплении вычислительных ошибок. В связи с этим в данном классе задач возрастает роль асимптотических методов, которые дают возможность получить качественную картину решения, что может быть использовано в том числе и при построении и анализе численных алгоритмов решения таких задач.

В различной постановке сингулярно возмущенные задачи оптимального управления рассматриваются в работах многих авторов: Л.Д. Акуленко, А.Б. Васильевой, В.Г. Гайцгори, В.Я. Глизера, А.Л. Дончева, С.В. Белокопытова, М.Г. Дмитриева, А.И. Калинина, П.В. Кокотовича, Г.А. Куриной, D.S. Naidu, R.E. O’Malley и др.

Одним из классов сингулярно возмущенных задач управления являются задачи оптимального управления для систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных (уравнения с быстрыми и медленными переменными).

Общепризнанным методом описания асимптотики решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при производных является метод пограничных функций (А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Л.А. Люстерник, М.И. Вишик). Теория экспоненциально убывающих функций пограничных слоев широко применяется для исследования задач управления с быстрыми и медленными переменными.

В большинстве работ метод пограничных функций используется для построения асимптотических разложений решений систем краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтрягина. В этом направлении можно отметить исследования А.Б. Васильевой, Т.Р. Гичева, А.Л. Дончева, В.Я. Глизера и др. В работах С.В. Белокопытова, М.Г. Дмитриева применение метода пограничных функций к задачам оптимального управления основано на непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения в виде ряда с пограничными функциями и определении серии задач оптимального управления для нахождения членов асимптотики.

Предлагаемые подходы хорошо развиты и позволяют эффективно строить асимптотику решений для задач с открытой областью управления и гладкими управляющими воздействиями, то есть задач классического вариационного типа. Для задач с замкнутой и ограниченной областью управления реализация указанных подходов встречает серьезные трудности, поскольку динамические уравнения краевой задачи принципа максимума не обладают необходимой для применения асимптотических методов гладкостью. В связи с этим задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными и замкнутыми ограничениями на управление исследованы менее полно.

В данном направлении можно отметить работы В.М. Вельова, Т.Р. Гичева, А.Л. Дончева, где изучается поведение множеств достижимости возмущенной системы и строится предельное множество, к которому сходятся множества достижимости в метрике Хаусдорфа. На основании этого для задач с выпуклым терминальным функционалом качества строится предельная задача оптимизации, к оптимальному значению функционала качества в которой сходится оптимальное значение функционала качества в возмущенной задаче.

В работах П.В Кокотовича для систем с быстрыми и медленными переменными и замкнутыми ограничениями на управление в виде многогранника исследуются вопросы вполне управляемости и асимптотического поведения решения задач оптимального быстродействия.

Задачи быстродействия и терминального управления для систем с быстрыми и медленными переменными и ограничениями на управление в виде многогранника рассматриваются также в работах А.И. Калинина. Предлагается метод построения асимптотики точек переключения оптимального управления, а также построения субоптимальных управлений заданного порядка (отличающихся по функционалу качества от оптимальных на соответствующий порядок малости).

Существенным в данных работах является вид ограничений на управление. В случае выпуклого многогранника в качестве ограничивающего множества оптимальные управления как в возмущенной, так и в вырожденной задаче есть релейные функции со значениями в вершинах многогранника. Точки переключения оптимальных управлений полностью определяют структуру оптимальных управлений и используются для описания асимптотического поведения решений задачи.

Вместе с тем для многих прикладных задач характерно наличие гладких геометрических ограничений на управления в виде шара в соответствующем евклидовом пространстве. В первую очередь это относится к задачам управления механическими системами, в которых управляющими воздействиями, как правило, являются ограниченные по величине силы.

В отличие от ограничений на управление в виде многогранника, ограничения в виде шара не являются линейными. При этом изменяется вид оптимального управления, которое, вообще говоря, уже является непрерывной функцией с возможным конечным или счетным числом точек разрыва. Структура оптимального управления не описывается точками переключения, как в случае релейной функции. Эти обстоятельства вносят свою специфику в исследования. В работах А.М. Ильина, А.Р. Данилина было показано, что асимптотика времени быстродействия в таких задачах может иметь сложный характер.

Цель работы. Построение и обоснование полной асимптотики решения задачи оптимального управления на фиксированном временном промежутке для линейной системы с быстрыми и медленными переменными, выпуклым терминальным функционалом качества, зависящим от медленных переменных, и гладкими геометрическими ограничениями на управление.

Методы исследования. В основе работы лежат асимптотические методы анализа, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и классической теории оптимального управления. Используются результаты выпуклого анализа, теории экстремальных задач и функционального анализа.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Приведем основные из них:

1. Предложен подход к исследованию асимптотического поведения решения задачи терминального управления для системы с быстрыми и медленными переменными и гладкими геометрическими ограничениями на управление.

2. Найдены достаточные условия, при которых асимптотика решения задачи имеет степенной и нестепенной характер. Получена полная асимптотика решения с точностью до любого порядка малости в регулярном и сингулярном случае. Предложен алгоритм определения всех коэффициентов разложения.

3. Приведено обоснование того, что построенные асимптотические разложения являются истинными асимптотическими приближениями для решения задачи.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации дополняют теорию асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач оптимального управления. Развитый в работе математический аппарат может быть использован при вычислении асимптотических приближений с точностью до любого порядка малости для решений задач с быстрыми и медленными переменными и гладкими геометрическими ограничениями на управление, а также при изучении асимптотического поведения других сингулярно возмущенных задач оптимального управления с ограничениями на управление.

Апробация работы. Материалы по теме диссертации были представлены на Международной конференции “Алгоритмический анализ неустойчивых задач”, посвященной памяти В.К.Иванова (Екатеринбург, 2008), 41-ой, 42-ой Всероссийской конференции “Современные проблемы математики” (Екатеринбург, 2010, 2011), Международной конференции “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2011), конференции “Асимптотические методы теории дифференциальных уравнений” (Челябинск, 2011), а также на научных семинарах в Институте математики и механики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] – [9], список которых приведен в конце автореферата. Работы [1] – [5] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК. В работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, А.Р. Данилину принадлежит постановка задачи и общая схема исследования. Все результаты этих работ получены диссертантом самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на разделы. Объем диссертации составляет 1страниц, включая библиографический список из 97 ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дается общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы исследования, приводится обзор литературы, относящейся к рассматриваемым в диссертации вопросам, кратко излагается содержание работы.

Первая глава диссертации является подготовительной. В ней дается постановка исследуемой возмущенной задачи оптимального управления и приводятся определяющие соотношения, которые описывают структуру решения задачи через вектор множителей Лагранжа (вектор начальных условий сопряженных переменных принципа максимума).

В классе кусочно-непрерывных управлений рассмотрим задачу оптимального управления с быстрыми и медленными переменными:

(t) = A11x(t) + A12y(t) + B1u(t), (t) = A21x(t) + A22y(t) + B2u(t), (1) t [0, T ], u(t) 1, x(0) = x0, y(0) = y0, (x(T )) min (x(T )) =: (T, x0, y0), u(t) где > 0; x Rn, y Rm; u(·) Rr; Aij, Bi, i, j = 1, 2 постоянные действительнозначные матрицы соответствующей размерности, Re sp (A22) —

k k Если для всех p из некоторого промежутка (p1, p2) выполнено M f(, r) = F(, p, r) + O(M + r ) M при некотором M > 0, то f(, r) = O(M + r ).

Утверждение леммы позволяет при получении асимптотики интегралов по соответствующим промежуткам не следить за конечным числом членов, содержащих степени и логарифмы вспомогательного параметра.

Далее рассматривается асимптотика подынтегральной функции на промежутках [µ, T ] и [0, µ]. Приводятся внешнее и внутреннее разложения, которые имеют структуру двойных рядов по степеням и координатам вектора r с векторными коэффициентами, зависящими, соответственно, от переменных t и . Рассматриваются условия, когда члены внешнего и внутреннего разложений не имеют особенностей в своих областях определения, а также условия, при которых члены внутреннего разложения имеют нарастающие особенности в некоторой точке [0, ). Во втором случае внутренее разложение оказывается справедливым только для вне окрестности радиуса = q, q (0, 1) точки . Для описания поведения функции в малой окрестности точки вво дится дополнительная внутренняя переменная = ( — ) / и рассматривается асимптотика функции в переменных . Таким образом, наряду с параметром µ возникает дополнительный вспомогательный параметр и новый масштаб переменных.

На основе полученного вида асимптотического разложения подынтегральной функции в различных областях отрезка [0, T ] строится асимптотика интеграла I(, r). При этом используется лемма 2.2, и асимптотическое представление интегралов по соотвествующим промежуткам ищется с точностью до конечного числа слагаемых, содержащих степени и логарифмы параметров µ и .

В случае, когда коэффициенты внешнего и внутреннего разложений не имеют особенностей в своих областях определения, асимптотика интегралов имеет вид двойных рядов по степеням и координатам вектора r. Если же коэффициенты внутреннего разложения имеют нарастающие особенности в некоторой точке , то, применяя ре гуляризацию особенностей подынтегральной функции, получаем, что асимптотическое разложение интеграла по промежутку [0, µ] содержит, помимо степеней и координат вектора r, также и ln . В связи с наличием нестепенных асимптотик данный случай называется сингулярным.

Теорема 2.7. Пусть на векторе r0, являющемся решением уравнения (9), выполнены условия U0 (t)r0 = 0, t [0, T ], (11) S0U()r0 = 0, [0, +). (12) Тогда для интеграла I(, r) справедливо следующее асимптотическое представление по параметрам , r:

N I(, r) = I0(r0) + A(r0) (r) + I1(r0) + Ik(, r) + IN(, r), k=где T U0(t)U0 (t)rI0(r0) = dt, (13) U0 (t)rT U0(t)U0 (t)r0, r U0(t)U0 (t)rU0(t)U0 (t)r A(r0) (r) = — dt, (14) U0 (t)r U0 (t)r0 + S0U()S0U()r0 B0B0rI1(r0) = — d+ S0U()r0 B0r(15) T U0(t)U1 (t)r0, r0 U0(t)U0 (t)r(U0(t)U1 (t) + U1(t)U0 (t)) r+ — dt, U0 (t)r U0 (t)r0 все слагаемые Ik(, r) для k 2 представляют собой однородные многочлены степени k по и координатам вектора r, а для остатка IN(, r) справедлива оценка N+IN(, r) = O N+1 + r.

Теорема 2.8. Пусть на векторе r0 выполнены условия U0 (t)r0 = 0, t [0, T ], S0U()r0 = 0, S0U() r0 = 0, S0U()r0 = 0, = . (16) Пусть при этом r = (r1 + 1r) (17) и в точке выполнено следующее условие на векторах r0, r1:

(S1U()r0 + S0U()r1) S0U ()r0. (18) Тогда для интеграла I(, r) справедливо следующее асимптотическое представление по параметрам , 1r:

I(, r) = I0(r0) + A(r0) (r1 + 1r) + I1(r0)+ N-+2 Ik,0(, 1r) + Ik,1(, 1r) ln + IN-2(, 1r), k=где члены нулевого и первого порядка малости определяются соотношениями (13), (14), (15), все слагаемые Ik,0(, 1r), Ik,1(, 1r) для k 0 представляют собой однородные многочлены степени k по и координатам вектора 1r, а для остатка справедлива оценка N-IN-2(, 1r) = O N-1 + 1r.

Отметим, что условие (11) соответствует непрерывности на [0, T ] оптимального управления uopt(t) в вырожденной задаче (4).

Поясним здесь также, что, в случае выполнения условия (16), вид (17) вектора r (то есть, что вектор r имеет первый порядок малости по и главное слагаемое в разложении вектора r есть r1) существенно используется при получении асимптотики подынтегральной функции в окрестности точки , при этом условие (18) обеспечивает отсутствие нарастающих особенностей у членов данного разложения. Явный вид вектора r1 приводится в третьей главе. Отметим, что приведенное в теореме 2.8. разложение интеграла I(, r) используется для получения полной асимптотики вектора r только после того, как доказана оценка порядка малости r = O() (19) для вектора r, и следовательно, без ограничения общности вектор r имеет вид (17).

Для доказательства оценки (19) достаточно использовать следующую оценку первого приближения для интеграла I(, r), справедливую как в случае отсутствия особенностей у членов внешнего и внутреннего разложения, так и в случае наличия особенностей у членов внутреннего разложения Теорема 2.6. Пусть на векторе r0 выполнены условие (11), а также условие (12) или (16). Тогда при r = O(), (0, 1) для интеграла I(, r) справедливо следующее асимптотическое представление:

I(, r) = I0(r0) + A(r0) (r) + I1(, r), (20) где I1(, r) = O( + r ).

Подставляя асимптотическое представление интеграла I(, r) в (7) и учитывая асимптотику внеинтегральных членов, получаем асимптотику правой части основного уравнения (7). При этом в регулярном случае для единообразия перейдем всюду в разложении интеграла I(, r) и внеинтегральных членов к вектору 1r.

В полученном разложении для уравнения (7) слагаемые нулевого порядка малости совпадают с правой частью уравнения (9), соответствующего вырожденной задаче, и поэтому в соответствии с (9) эти слагаемые обращаются в ноль.

Теорема 2.9. Пусть на векторе r0 выполнены условие (11), а также условие (12) или (16). Тогда при r = O(), (0, 1) для уравнения (7) справедливо следующее асимптотическое представление:

B(r0)r + H1(, r) = 0, (21) где B(r0)(r) = A(r0) + D2(r0) (r), (22) H1(, r) = O( + r ).

Теорема 2.10. Пусть на векторе r0 выполнены условия (11) и (12). Тогда для уравнения (7) справедливо следующее асимптотическое представление:

N-B(r0) (r1 + 1r) + H1(r0, T, x0, y0) + 2 Hk(, 1r) + HN-2(, 1r) = 0, k=где 11 H1(r0, T, x0, y0) := I1(r0) — Z1 (T )x0 + Z1 (T )y0, все слагаемые Hk(, 1r) для k 0 представляют собой однородные многочлены степени k по и координатам вектора 1r, а для остатка HN(, 1r) справедлива оценка N-HN-2(, 1r) = O N-1 + 1r.

Теорема 2.11. Пусть выполнены условия (11) и (16) на векторе r0, а также условие (18) на векторах r0, r1. Тогда для уравнения (7) справедливо следующее асимптотическое представление:

B(r0) (r1 + 1r) + H1(r0, T, x0, y0)+ N-(23) + 2 Hk,0(, 1r) + Hk,1(, 1r) ln + HN-2(, 1r) = 0, k=где все слагаемые Hk(, 1r) для k 0 представляют собой однородные многочлены степени k по и координатам вектора 1r, а для остатка HN(, 1r) справедлива оценка N-HN-2(, 1r) = O N-1 + 1r.

В дальнейшем будем использовать для уравнения (7) как в регулярном, так и в сингулярном случае разложение вида (23), имея в виду, что в случае регулярной асимптотики Hk,1(, 1r) 0, k 0.

Третья глава посвящена доказательству разрешимости основного уравнения, получению оценки порядка малости для решения уравнения, а также построению и обоснованию полной асимптотики решения с точностью до любой степени малого параметра в регулярном и сингулярном случае.

Сначала приводятся три вспомогательных утверждения, на которых базируется все последующее обоснование асимптотики.

Лемма 3.1. Пусть выполнено (3). Тогда оператор B(r0)(·), определяемый соотношением (22), обратим.

Лемма 3.2. Пусть для любого > 0 функция F (, r) непрерывна по r в окрестноM сти точки r = 0 и пусть при r = O() F (, r) = O(N) + O(L r ) для некоторых N > , L 0, M 1. Тогда существует такое R > 0, что уравнение r = F (, r) разрешимо в шаре B[0; R · N] при всех достаточно малых , то есть данное уравнение имеет решение вида r = O(N).

Используя для уравнения (7) асимптотическое представление (21) и применяя к обеим частям равенства оператор (B(r0))-1 (·), получим r = F (, r), (24) F (, r) := — (B(r0))-1 (H1(, r)) = O( + r ).

Ввиду предположений о системе (1), интеграл I(, r) при каждом фиксированном есть непрерывная по r функция, а поэтому, и функция, стоящая в правой части уравнения (24), непрерывна по r при каждом фиксированном .

Cледовательно, к уравнению (24) применима лемма 3.2., и данное уравнение разрешимо относительно r в шаре B[0; R·] при всех достаточно малых , то есть уравнение (24) имеет решение вида r = O().

Таким образом, уравнение (7) разрешимо и его решение имеет вид r = r0 + r, r = O().

Как отмечено в первой главе, если решение уравнения (7) существует, то оно единственно, в силу строгой выпуклости функции h(·), точку минимума которой определяет решение данного уравнения. Таким образом, справедлива следующая Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:

1. Условие (2) на спектр матрицы A22;

2. Условие (3) положительной определенности матрицы D2(r0);

3. Условие вполне управляемости систем в (4) и (5);

4. Условие (11) на векторе r0;

5. Условие (12) или (16) на векторе r0.

Тогда уравнение (7) разрешимо единственным образом и его решение имеет вид:

Будем далее искать r в виде (17) и получим оценку порядка малости для вектора 1r. Используя для уравнения (7) асимптотическое представление (23) и сокращая обе части на , получим B(r0) (r1 + 1r) + H1(r0, T, x0, y0)+ N-+ Hk,0(, 1r) + Hk,1(, 1r) ln + HN-2(, 1r) = 0.

k=Определим r1 = r1(r0, T, x0, y0) таким образом, чтобы выполнялось условие B(r0) (r1) + H1(r0, T, x0, y0) = 0, то есть возьмем r1 = — (B(r0))-1 H1(r0, T, x0, y0). (25) Тогда уравнение для 1r принимает вид:

N-B(r0)1r + Hk,0(, 1r) + Hk,1(, 1r) ln + HN-2(, 1r) = 0. (26) k=При N = 2 будем иметь B(r0)1r + H(, 1r) = 0, H(, 1r) = O() + O( 1r ).

Применяя оператор (B(r0))-1 (·) запишем окончательно уравнение для определения 1r в виде 1r = F (, 1r), (27) F (, 1r) := — (B(r0))-1 (H(, 1r)) = O() + O( 1r ).

Применяя к уравнению (27) лемму 3.2., получаем, что при любом > 0 данное уравнение разрешимо относительно 1r в шаре B[0; R·1-] при всех достаточно малых , то есть уравнение (27) имеет решение вида 1r = O().

Получим далее полную асимптотику решения уравнения в регулярном и сингулярном случае.

Будем искать 1r в виде 1r = 1() + 1(), (28) где 1() = O (), (29) 1() = O 2. (30) Подставим (28) в уравнение (26) при N = 2:

B(r0) (1()) + B(r0) (1()) + H0,0(r0, r1) + H0,1(r0, r1) ln + + H2(, 1() + 1()) = 0, H2(, 1() + 1()) = O 2 + 1() + 1().

Определим 1() таким образом, чтобы выполнялось:

B(r0) (1()) + H0,0(r0, r1) + H0,1(r0, r1) ln = 0, то есть возьмем 1() = (1,0 + 1,1 ln ), (31) 1,0 := — (B(r0))-1 H0,0(r0, r1), 1,1 := — (B(r0))-1 H0,1(r0, r1).

Тогда для 1() будет выполняться оценка (29), с учетом которой будем иметь для остатка 1() уравнение B(r0) (1()) + H2(, 1()) = 0, H2(, 1()) = O 2 + O ( 1() ), которое согласно лемме 3.2. имеет решение вида (30).

Таким образом, соотношение (31) определяет первое приближение 1() для вектора 1r. При этом, поскольку в регулярном случае H1,1(, r0) = 0, то и 1,1 = 0.

Аналогичным образом определяются и высшие члены разложения для вектора 1r.

Асимптотическое разложение ищется в виде ряда 1r = r1 + 1() +. + n-1() + n() + n(), члены которого определяются из условия обращения в ноль слагаемых соответствующего порядка малости при подстановке данного ряда в уравнение (26). В регулярном случае члены имеют вид n() = nn,0, в сингулярном случае n() = n (n,0 + n,1 ln +. + n,n lnn ).

Одновременно получается уравнение относительно остатка n():

B(r0) (n()) + Fn(, n()) = 0, n Fn(, n()) = O n+1 + O ( n() ), которое согласно лемме 3.2. имеет решение вида n() = O n+1.

Тем самым проведено построение и обоснование полной асимптотики вектора r с точностью до любого порядка малости. Переходя от вектора 1r к вектору r = r0 + (r1 + 1r), получаем асимптотическое представление для вектора r, а подставляя разложения для вектора r в определяющее соотношение (6), получаем также соответствующую асимптотику оптимального значения функционала качества.

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия:

1. Условие (2) на спектр матрицы A22;

2. Условие (3) положительной определенности матрицы D2(r0);

3. Условие вполне управляемости систем в (4) и (5);

4. Условие (11) и (12) на векторе r0.

Тогда вектор r и величина (T, x0, y0) раскладываются в степенные асимптотические ряды вида r r0 + r1 + krk, k= (T, x0, y0) 0(T, x0) + 1(T, x0, y0) + kk(T, x0, y0), k=где вектор r0 = r0(T, x0) есть решение уравнения (9), соответствующего вырожденной задаче (4), вектор r1 = r1(r0, T, x0, y0) определяется соотношением (25), 0(T, x0) есть оптимальное значение функционала качества в вырожденной задаче (4), коэффициенты k(T, x0, y0) для k 1 выражаются в силу формулы Тейлора через значения дифференциалов функции (·) в точке r0. В частности, 1(T, x0, y0) = D2(r0)r0, r1, 2(T, x0, y0) = D2(r0)r0, r2 + D2(r0)r1, r1.

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия:

1. Условие (2) на спектр матрицы A22;

2. Условие (3) положительной определенности матрицы D2(r0);

3. Условие вполне управляемости систем в (4) и (5);

4. Условие (11) и (16) на векторе r0;

5. Условие (18) на векторах r0, r1.

Тогда вектор r и величина (T, x0, y0) раскладываются в асимптотические ряды вида k-r r0 + r1 + k rk,n lnn , k=2 n= k-(T, x0, y0) 0(T, x0) + 1(T, x0, y0) + k k,n(T, x0, y0) lnn , k=2 n=где вектор r0 = r0(T, x0) есть решение уравнения (9), соответствующего вырожденной задаче (4), вектор r1 = r1(r0, T, x0, y0) определяется соотношением (25), 0(T, x0) есть оптимальное значение функционала качества в вырожденной задаче (4), коэффициенты k,n(T, x0, y0) для k 1 и 0 n k — 1 выражаются в силу формулы Тейлора через значения дифференциалов функции (·) в точке r0. В частности, 1(T, x0, y0) = D2(r0)r0, r1, 2,0(T, x0, y0) = D2(r0)r0, r2,0 + D2(r0)r1, r1, 2,1(T, x0, y0) = D2(r0)r0, r2,1.

В завершении работы рассматриваются простые достаточные условия выполнения (12), а также пример построения асимптотики вектора r с получением первых нескольких членов разложения для системы с конкретными числовыми коэффициентами в сингулярном случае.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н.

Алексею Руфимовичу Данилину, за постановку задач и помощь в работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах:

1. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления в регулярном случае // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2007. T. 13, № 2. С. 55–65.

2. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Докл. РАН. 2009.

Т. 427, № 2. C. 151–154.

3. Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального управления в задаче минимизации терминального функционала на траекториях системы с быстрыми и медленными переменными // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 2. С. 186–198.

4. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Об асимптотике оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Дифференц. уравнения.

2011. Т. 47, № 4. С. 563–573.

5. Парышева Ю.В. Асимптотика решения линейной задачи оптимального управления в сингулярном случае // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011.

Т. 17, № 3. С. 266–270.

6. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Степенная асимптотика оптимального значения функционала качества в сингулярно возмущенной линейной задаче оптимального управления // Тезисы докладов Международной конференции “Асимптотический анализ неустойчивых задач”, посвящененой 100-летию со дня рождения В.К.Иванова.

Екатеринбург, 2008. C. 196.

7. Парышева Ю.В. Об асимптотике решения задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными и терминальным функционалом качества // Тезисы 41-ой Всероссийской молодежной школы-конференции “Современные проблемы математики” Екатеринбург: УрО РАН, 2010. C. 367–371.

8. Парышева Ю.В. Асимптотика решения задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными в сингулярном случае // Тезисы 42-ой Всероссийской молодежной школы-конференции “Современные проблемы математики” Екатеринбург: УрО РАН, 2011. C. 49–50.

9. Данилин А.Р., Парышева Ю.В. О виде асимптотического разложения выпуклого терминального функционала качества в линейной сингулярной задаче оптимального управления. // Тезисы докладов Международной конференции “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвященной памяти И.Г.Петровского. Москва, 2011. С. 187-188.

| • Главная | • Контакты |

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений с двумя малыми параметрами Коврижных Ольга Олеговна

480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ‘, MOUSEOFF, FGCOLOR, ‘#FFFFCC’,BGCOLOR, ‘#393939’);» onMouseOut=»return nd();»> Диссертация — 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат — бесплатно , доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Коврижных Ольга Олеговна. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений с двумя малыми параметрами : диссертация . кандидата физико-математических наук : 01.01.02 / Коврижных Ольга Олеговна; [Место защиты: Ин-т математики и механики УрО РАН].- Екатеринбург, 2008.- 103 с.: ил. РГБ ОД, 61 09-1/294

Содержание к диссертации

Глава 1. Асимптотика решения начальной задачи для линейной системы с двумя малыми параметрами при производных 12

1.1. Постановка задачи 12

1.2. Построение формальных рядов для решения задачи 13

1.3. Оценки членов внутреннего разложения 15

1.4. Обоснование асимптотики 28

Глава 2. Вычисление членов асимптотики 43

2.1. Формулы для членов внутреннего разложения в случае различных собственных значений 43

2.2. Формулы для членов внутреннего разложения в случае кратного собственного значения 47

Глава 3. Асимптотика решения начальной задачи для нелинейной системы с двумя малыми параметрами при производных 63

3.1. Постановка задачи 63

3.2. Построение формального решения 65

3.3. Внутреннее разложение и оценки его членов 68

3.4. Обоснование асимптотики 83

Введение к работе

Дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных возникают при моделировании и исследовании ряда физических, биологических, химических явлений и процессов. Подобного рода уравнения встречаются также в теориях автоматического регулирования, нелинейных колебаний, в газовой динамике, при описании гироскопических систем. Эти уравнения называют сингулярно возмущенными. Их особенностью является то, что порядок вырожденного уравнения, получающегося из исходного при нулевых значениях параметров, ниже порядка исходного уравнения. Вследствие этого решение вырожденного уравнения не может удовлетворить всем условиям, заданным для первоначального уравнения. Для достаточно широкого класса сингулярно возмущенных задач характерно свойство быстрого изменения решения в некоторых областях — пограничных и переходных слоях.

Основополагающими в теории сингулярных возмущений являются работы А.Н. Тихонова 52, в которых дается общая постановка задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных и обосновывается предельный переход от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении к нулю параметров.

(Л. Прандтль [64], A.M. Ильин [23,27-30]), методы типа ВКБ (В.П. Маслов [40]) и другие, каждый из которых позволяет решать определенный круг задач. Различные подходы к изучению сингулярно возмущенных задач изложены также в монографиях В. Вазова [8], Дж. Коула [34], J. Kevorkian [61], А.Х. Найфэ [44,45], М.В. Федорюка [53] и работах многих других авторов (см., например, [1,2,4,5,16,17,19,21,22,24-26,37,43,54-56,58,62,63,65]). Начальная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одним малым параметром при производных давно и достаточно хорошо изучена. Между тем, реальные задачи очень часто зависят сингулярным образом от нескольких малых параметров. Исследование таких задач намного сложнее, и они изучались лишь в сравнительно небольшом числе работ. Пионерскими в этом направлении являются работы А.Н. Тихонова [51,52] и И.С. Градштейна [17,18], в которых, в частности, изучался предельный переход при стремлении к нулю параметров. Вопросы построения и обоснования асимптотики решения систем уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости, рассматривались в работах А.Б. Васильевой 9. Алгоритм асимптотического расщепления систем линейных дифференциальных уравнений, зависящих от двух малых параметров, на подсистемы меньшей размерности изложен в работах Н.А. Сотниченко, С.Ф. Фещенко [48,49]. Вопрос о построении общего решения подобных систем при некоторых условиях на матрицу при производных и матрицу системы изучался в работах В.П. Яковца, М.А. Стрельникова [59,60]. Исследованию предельного перехода в некоторых сингулярно возмущенных задачах с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования, посвящены работы Н.А. Коси-ченко [32,33]. В монографии Р.П. Кузьминой [36] исследуется задача Коши для почти регулярной системы, системы с целыми степенями малого параметра при производных, а также системы с двойной сингулярностью. Эти задачи соответствуют различным способам вхождения малого параметра в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этих типов

задач приводится построение рядов, которые являются асимптотическими разложениями решений или сходятся к решению на соответствующих промежутках времени. В работах R.E. O’Malley, jr. [62, 63] строились асимптотические разложения решений начальных и краевых задач. При этом предполагалась зависимость между малыми параметрами. Асимптотика решения линейного уравнения второго порядка, сингулярно зависящего от двух малых параметров, не связанных между собой, рассматривалась для краевой задачи Г.И. Шишкиным [57].

В диссертации рассматривается следующая сингулярно возмущенная задача. Исследуется задача Коши для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя малыми параметрами при производных. Изучается поведение решения задачи на конечном промежутке времени. Новизна проблематики настоящего исследования заключается в том, что малые параметры, стоящие в уравнениях системы каждый при своей производной, стремятся к нулю независимо друг от друга. Таким образом, речь идет о построении асимптотики решения, равномерно пригодной при любых соотношениях между малыми параметрами.

Диссертация содержит введение, три главы и список литературы.

Первая глава посвящена построению и обоснованию асимптотики решения сингулярно возмущенной начальной задачи для системы двух линейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми малыми параметрами на конечном отрезке времени.

В первом разделе дается постановка задачи. Рассматривается задача Коши для системы двух линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит при производной свой независимый малый параметр. Под асимптотическим разложением понимается ряд функций, аргументами которых являются время и два малых параметра, частичная сумма которого является асимптотическим приближением к решению рассматриваемой задачи с точностью до суммы параметров в одной и той же произвольной степени равномерно по отрез-

ку времени. При этом члены асимптотики должны определяться из более простых задач по сравнению с исходной задачей.

Во втором разделе строятся формальные ряды для решения задачи на конечном отрезке времени. Решение представляет собой сумму внешнего разложения и внутреннего разложения. Внешнее разложение приближает решение задачи равномерно вне малой окрестности начальной точки. Внутреннее разложение является функцией типа погранслоя в окрестности начальной точки, зависит от малых параметров и новой независимой переменной, представляющей собой отношение переменной времени к произведению параметров и имеющей характер растянутого времени. Сами разложения имеют структуру двойных рядов по степеням малых параметров. При этом частичная сумма построенного ряда удовлетворяет начальным условиям задачи. Члены асимптотического разложения имеют простой вид. Так, коэффициенты внешнего разложения последовательно определяются из систем линейных алгебраических уравнений, а для нахождения членов внутреннего разложения достаточно решать начальную задачу для системы линейных дифференциальных уравнений, зависящих от параметров, с постоянными коэффициентами.

В третьем разделе приводится оценка нормы фундаментальной матрицы системы для нахождения членов внутреннего разложения — матричной экспоненты, зависящей от малых параметров. При рассматриваемых условиях на коэффициенты исходной системы собственные значения матрицы системы имеют отрицательные действительные части. На основе оценки нормы матричной экспоненты получены оценки членов внутреннего разложения, которые являются ключевыми для обоснования построенной асимптотики. Доказано, что построенные ряды являются формальным асимптотическим решением задачи.

с точностью до суммы параметров в одной и той же произвольной степени равномерно по отрезку времени.

Основное содержание главы опубликовано в работах [66-69,71].

Вторая глава посвящена вопросу применимости полученных в первой главе асимптотических формул для приближенного вычисления решений сингулярно возмущенных начальных задач при малых значениях параметров.

В первом и втором разделах главы 2 получены рекуррентные формулы для коэффициентов внутреннего разложения, позволяющие находить их составляющие, зависящие только от малых параметров и коэффициентов систем. Это делает принципиально возможным процесс вычислений при нахождении асимптотических решений начальных задач, поскольку дает возможность эффективно вычислять члены внутреннего разложения без решения систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметров, на бесконечном промежутке.

В третьем разделе главы 2 приведены иллюстрирующие примеры численной реализации алгоритма построения асимптотики с нужной точностью по параметрам с использованием пакета аналитических вычислений.

Основное содержание второй главы опубликовано в работах 74.

В третьей главе исследуется сингулярно возмущенная начальная задача для системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных.

В первом разделе дается постановка задачи. Предполагается, что функции, стоящие в правых частях системы являются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз по совокупности переменных. Также предполагается, что вырожденная система (получающаяся из исходной при нулевых значениях параметров) обладает изолированным решением на рассматриваемом отрезке времени. Это решение является точкой покоя некоторой вспомогательной системы уравнений, соответствующей исходной. При этом новая независимая переменная вспомогательной системы

имеет характер быстрого времени. Для элементов матрицы системы первого приближения выполняются условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость рассматриваемого решения.

В третьем разделе главы 3 для членов внутреннего разложения получены экспоненциальные оценки, при этом показатели экспонент не зависят от параметров. Показано, что построенные ряды дают формальное асимптотическое решение исследуемой задачи.

В четвертом разделе для одного класса нелинейных систем показано, что формальное асимптотическое решение является истинным асимптотическим разложением решения задачи.

В пятом разделе приводится пример численной реализации алгоритма построения асимптотики.

Основное содержание третьей главы опубликовано в работах [70,72].

9 Основные результаты диссертации.

Исследована сингулярно возмущенная начальная задача для системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит при производной свой независимый малый параметр. Построено равномерное на отрезке времени асимптотическое разложение решения задачи.

Получены рекуррентные формулы для членов внутреннего разложения, позволяющие находить их только через алгебраические операции.

Разработан алгоритм построения формального асимптотического решения начальной задачи для сингулярно возмущенной системы двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми малыми параметрами. Найден класс нелинейных систем, для которых этот алгоритм дает асимптотическое разложение решения рассматриваемой начальной задачи.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации дополняют теорию асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач. Развитый в работе математический аппарат и полученные результаты позволяют исследовать асимптотику решений задач, сингулярным образом зависящих от двух малых параметров.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [66]- [75]. Все результаты этих работ получены автором самостоятельно. Из совместных публикаций в диссертацию вошли только результаты автора.

Материалы по теме диссертации были представлены на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2004), Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006), IV Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо,

2008), 35-ой, 37-ой Региональных и 39-ой Всероссийской молодежных конференциях «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2004, 2006, 2008), а также на научных семинарах в Институте математики и механики УрО РАН и Уральском государственном университете им. A.M. Горького.

Список используемых обозначений

R — множество всех вещественных чисел;

М 2 — пространство 2-мерных векторов и = (щ, щ);

К 2х2 — множество всех квадратных матриц размера 2×2;

||Л|| — норма матрицы А = (а^) Є R 2×2 , \\А\\ = J2 І а у|;

Л т — матрица, транспонированная к матрице А]

C[ti,t₂ > — пространство непрерывных на отрезке [ti,^] функций;

T — означает окончание доказательства утверждения, леммы или тео-

Построение формальных рядов для решения задачи

Дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных возникают при моделировании и исследовании ряда физических, биологических, химических явлений и процессов. Подобного рода уравнения встречаются также в теориях автоматического регулирования, нелинейных колебаний, в газовой динамике, при описании гироскопических систем. Эти уравнения называют сингулярно возмущенными. Их особенностью является то, что порядок вырожденного уравнения, получающегося из исходного при нулевых значениях параметров, ниже порядка исходного уравнения. Вследствие этого решение вырожденного уравнения не может удовлетворить всем условиям, заданным для первоначального уравнения. Для достаточно широкого класса сингулярно возмущенных задач характерно свойство быстрого изменения решения в некоторых областях — пограничных и переходных слоях.

Основополагающими в теории сингулярных возмущений являются работы А.Н. Тихонова 51, в которых дается общая постановка задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных и обосновывается предельный переход от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении к нулю параметров.

Построение приближенных решений сингулярно возмущенных задач проводится различными как численными, так и асимптотическими методами. Общепризнанными среди асимптотических методов являются метод пограничных функций (А.Б. Васильева [6,9-14], В.Ф. Бутузов [6,7,12,13], Л.А. Люстерник [15], М.И. Вишик [15], М.И. Иманалиев [31]), метод усреднения (Н.М. Крылов [35], Н.Н. Боголюбов [3], Ю.А. Митропольский [3,41]), метод регуляризации сингулярных возмущений (С.А. Ломов [39]), методы теории релаксационных колебаний (Л.С. Понтрягин [46,47], Е.Ф. Мищенко [42], Н.Х. Розов [42]), метод сращивания асимптотических разложений (Л. Прандтль [64], A.M. Ильин [23,27-30]), методы типа ВКБ (В.П. Маслов [40]) и другие, каждый из которых позволяет решать определенный круг задач. Различные подходы к изучению сингулярно возмущенных задач изложены также в монографиях В. Вазова [8], Дж. Коула [34], J. Kevorkian [61], А.Х. Найфэ [44,45], М.В. Федорюка [53] и работах многих других авторов (см., например, [1,2,4,5,16,17,19,21,22,24-26,37,43,54-56,58,62,63,65]). Начальная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одним малым параметром при производных давно и достаточно хорошо изучена. Между тем, реальные задачи очень часто зависят сингулярным образом от нескольких малых параметров. Исследование таких задач намного сложнее, и они изучались лишь в сравнительно небольшом числе работ. Пионерскими в этом направлении являются работы А.Н. Тихонова [51,52] и И.С. Градштейна [17,18], в которых, в частности, изучался предельный переход при стремлении к нулю параметров. Вопросы построения и обоснования асимптотики решения систем уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости, рассматривались в работах А.Б. Васильевой 11. Алгоритм асимптотического расщепления систем линейных дифференциальных уравнений, зависящих от двух малых параметров, на подсистемы меньшей размерности изложен в работах Н.А. Сотниченко, С.Ф. Фещенко [48,49]. Вопрос о построении общего решения подобных систем при некоторых условиях на матрицу при производных и матрицу системы изучался в работах В.П. Яковца, М.А. Стрельникова [59,60]. Исследованию предельного перехода в некоторых сингулярно возмущенных задачах с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования, посвящены работы Н.А. Коси-ченко [32,33]. В монографии Р.П. Кузьминой [36] исследуется задача Коши для почти регулярной системы, системы с целыми степенями малого параметра при производных, а также системы с двойной сингулярностью. Эти задачи соответствуют различным способам вхождения малого параметра в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этих типов задач приводится построение рядов, которые являются асимптотическими разложениями решений или сходятся к решению на соответствующих промежутках времени. В работах R.E. O Malley, jr. [62, 63] строились асимптотические разложения решений начальных и краевых задач. При этом предполагалась зависимость между малыми параметрами. Асимптотика решения линейного уравнения второго порядка, сингулярно зависящего от двух малых параметров, не связанных между собой, рассматривалась для краевой задачи Г.И. Шишкиным [57].

Формулы для членов внутреннего разложения в случае кратного собственного значения

Диссертация содержит введение, три главы и список литературы. Первая глава посвящена построению и обоснованию асимптотики решения сингулярно возмущенной начальной задачи для системы двух линейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми малыми параметрами на конечном отрезке времени. В первом разделе дается постановка задачи. Рассматривается задача Коши для системы двух линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит при производной свой независимый малый параметр. Под асимптотическим разложением понимается ряд функций, аргументами которых являются время и два малых параметра, частичная сумма которого является асимптотическим приближением к решению рассматриваемой задачи с точностью до суммы параметров в одной и той же произвольной степени равномерно по отрезку времени. При этом члены асимптотики должны определяться из более простых задач по сравнению с исходной задачей.

В четвертом разделе приведено обоснование построенной асимптотики решения задачи. Центральным моментом здесь является доказательство того, что частичная сумма построенного ряда приближает решение задачи с точностью до суммы параметров в одной и той же произвольной степени равномерно по отрезку времени. Основное содержание главы опубликовано в работах [66-69,71]. Вторая глава посвящена вопросу применимости полученных в первой главе асимптотических формул для приближенного вычисления решений сингулярно возмущенных начальных задач при малых значениях параметров. В первом и втором разделах главы 2 получены рекуррентные формулы для коэффициентов внутреннего разложения, позволяющие находить их составляющие, зависящие только от малых параметров и коэффициентов систем. Это делает принципиально возможным процесс вычислений при нахождении асимптотических решений начальных задач, поскольку дает возможность эффективно вычислять члены внутреннего разложения без решения систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметров, на бесконечном промежутке. В третьем разделе главы 2 приведены иллюстрирующие примеры численной реализации алгоритма построения асимптотики с нужной точностью по параметрам с использованием пакета аналитических вычислений.

Построение формального решения

Основное содержание второй главы опубликовано в работах 74. В третьей главе исследуется сингулярно возмущенная начальная задача для системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных. В первом разделе дается постановка задачи. Предполагается, что функции, стоящие в правых частях системы являются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз по совокупности переменных. Также предполагается, что вырожденная система (получающаяся из исходной при нулевых значениях параметров) обладает изолированным решением на рассматриваемом отрезке времени. Это решение является точкой покоя некоторой вспомогательной системы уравнений, соответствующей исходной. При этом новая независимая переменная вспомогательной системы имеет характер быстрого времени. Для элементов матрицы системы первого приближения выполняются условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость рассматриваемого решения.

Во втором разделе главы 3 дается построение формального асимптотического решения задачи. Как и в случае линейной системы решение строится в виде суммы внешнего и внутреннего разложений. В свою очередь, сами разложения представляют собой двойные ряды по степеням малых параметров, коэффициенты внешнего разложения зависят только от времени, а члены внутреннего разложения — от новой растянутой переменной и параметров. Частичная сумма построенного ряда для решения задачи удовлетворяет начальным условиям. Главный член внешнего разложения представляет собой решение вырожденной системы, а остальные коэффициенты последовательно находятся из систем линейных алгебраических уравнений. Главный член внутреннего разложения удовлетворяет нелинейной, но уже автономной системе, зависящей от комбинации параметров. Остальные члены внутреннего разложения последовательно определяются из систем линейных дифференциальных уравнений. В третьем разделе главы 3 для членов внутреннего разложения получены экспоненциальные оценки, при этом показатели экспонент не зависят от параметров. Показано, что построенные ряды дают формальное асимптотическое решение исследуемой задачи. В четвертом разделе для одного класса нелинейных систем показано, что формальное асимптотическое решение является истинным асимптотическим разложением решения задачи. В пятом разделе приводится пример численной реализации алгоритма построения асимптотики. Основное содержание третьей главы опубликовано в работах [70,72]. Основные результаты диссертации. 1. Исследована сингулярно возмущенная начальная задача для системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит при производной свой независимый малый параметр. Построено равномерное на отрезке времени асимптотическое разложение решения задачи. 2. Получены рекуррентные формулы для членов внутреннего разложения, позволяющие находить их только через алгебраические операции. 3. Разработан алгоритм построения формального асимптотического решения начальной задачи для сингулярно возмущенной системы двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми малыми параметрами. Найден класс нелинейных систем, для которых этот алгоритм дает асимптотическое разложение решения рассматриваемой начальной задачи.

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Conference: International Conference
Volume: 1

Abstract

Discover the world’s research

20+ million members
135+ million publications
700k+ research projects

Join for free

источники:

http://www.dslib.net/dif-uravnenia/asimptoticheskie-razlozhenija-reshenij-singuljarno-vozmuwennyh-uravnenij-s-dvumja.html

http://www.researchgate.net/publication/270220224_ASIMPTOTICESKOE_RAZLOZENIE_RESENIJ_SINGULARNO_VOZMUSENNYH_INTEGRO-DIFFERENCIALNYH_URAVNENIJ