Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений

Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Асимптотические методы позволяют отыскивать приближенные решения дифференциальных уравнений (или систем), близких к таким уравнениям (или системам), решения которых известны. В прикладных задачах часто бывает, что на течение рассматриваемого физического процесса влияют как основные факторы, определяющие ход процесса, так и другие факторы, оказывающие меньшее влияние и меняющие количественные характеристики процесса.

При учете только основных факторов можно получить точное решение системы уравнений, а при учете всех известных факторов система становится сложной и не решается. В таких случаях асимптотические методы часто позволяют найти решение с нужной точностью. Разложение решения по степеням малого параметра — один из наиболее употребительных асимптотических методов.

Следствие теоремы 2. Пусть при (t,x) выполнены условия теоремы 2, и при решение задачи (1) проходит в области D; t0 £ [tl9t2]- Тогда решение x(t, р) задачи (1) при t разлагается по формуле Тейлора по степеням параметра ц до цт включительно: Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений Здесь х(Ь9ц) и v^t) — n-мерные вектор-функции, v0(t) = 0) есть решение системы (1) при \i = 0, оно считается известным.

Чтобы найти надо подставить разложение (12) в систему (1) и начальные условия, и разложить правые части по степеням /х до /хт включительно. Далее надо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях /х. Получается для vx. 9vm система дифференциальных уравнений с начальными условиями. Последовательно решая уравнения системы и пользуясь начальными условиями, находим . vm(£). Пример 2. Найти разложение решения задачи по степеням параметра /х до /х2 включительно.

Решение примера. Правая часть уравнения в области х > 0 име- ет производные любого порядка по ж,/х. Условия теоремы 2 выполнены для любого т, пока решение задачи (13) с \l = О проходит в области х > 0. При = 0 задача (13) принимает вид dx/dt = t/x, 1, и имеет решение ж(*) = t, оно проходит в области х > 0 при t > 0. Поэтому v0(*) = t (t > 0).

Разложение х = t + /iv1 +/i2v2 + о(/л2) подставляем в уравнение и начальные условия (13), члены порядка o(/i2) не пишем. Разлагаем дробь в (14) по степеням /х, члены с цк, к > 2, не пишем. Подставляем это в (14) и приравниваем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях параметра /х: при v\ = -^-2t\ М0 = 4; (16> при Ц = + «2(l) = i (17) Здесь начальные условия получены из (15). Все дифференциаль- ные уравнения для v<9. vm всегда линейные. Из (16) получаем Vj = — у.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Подставляя это в (17), находим v2 = + fj. Итак, Так как условия теоремы 2 выполнены для любого m ^ 2, то следующий член разложения имеет вид p3v3(t) и, не находя vy в (18) вместо o(/i2) можно написать 0(fi3). Задачи для упражнений: [ | 3« | Отыскание периодических решений. Нижеследующие лемма 2 и теорема 3 дают условия существования периодических решений соответственно для линейной системы с периодической правой частью и для нелинейной системы, близкой к линейной, и указывают методы отыскания таких решений.

Лемма:

Пусть при 0 вектор-функция x(t) — решение уравнения х’ = f(t, х), где вектор-функция f и все dfjdxj непрерывный f(t+p, х) = f(t, х). Если х(р) = ж(0), то решение x(t) продолжается на интервал (-оо, оо) с периодом р. Доказательство. Так как Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений то продолженная с периодом р функция x(t) 6 С1.

Она всюду удовлетворяет данному уравнению, ибо для любого k € Z имеем Лемма 2. Если для всех собственных значений матрицы А имеем то система х1 = Ах + f(t) для каждой непрерывной функции f(t) с периодом р имеет (и только одно) решение с периодом р. Условие (19) называется условием отсутствия резонанса. Доказательство. Пусть v(£) — частное решение данной системы с v(0) = 0. В силу теоремы 5 § 9 и следствия 1 § 15 общее решение имеет вид х = etAb + v(t), где Ь — произвольный вектор из Rn.

Чтобы это решение имело период р, по лемме 1 надо, чтобы х(р) = ж(0). То есть Это — линейная алгебраическая система относительно неизвестных координат вектора Ь. Для существования единственного решения достаточно, чтобы det (ерА — 1 • Е) Ф 0, то есть чтобы матрица не имела собственных значений, равных 1. Если АР. АП — собственные значения матрицы А> то согласно замечанию в имеет собственные значения Для А = а + /3i имеем = е?» (cos р/3 + tsinp/5). Это число равно 1 только в случае а = 0, рр = 2*кку к = 0,±1,±2.

Поэтому при условии (19) имеем Теорема 3. Пусть функции f(t), g(t9 х, р) непрерывны при имеют период , где т ^ 1. Пусть выполнено условие (19) и решение x°(t) с периодом р уравнения х Ах + f(t) содержится в области D. Тогда при всех достаточно малых |/*| система имеет решение периода р по t, стремящееся Такое решение единственно и принадлежит классу Ст по ц. -7- Доказательство.

Пусть х(Ь\Ъ,ц) — решение системы (20) с начальным условием ж(0; ц) = Ь. По лемме 1 оно будет иметь период р, если Докажем, что при малых \l существует Ь € R», удовлетворяющее уравнению (21). Функция ж(р;Ь, ц) Е Ст по b, \i в силу теоремы 2. При /х = 0 уравнение (20) линейное, как в лемме 2, уравнение (21) принимает вид и имеет единственное решение Ь. Далее, якобиан левой части равенства (21) по координатам Ъ<9. Ьп вектора b при /х = 0 совпадает с детерминантом (22), значит, не равен нулю.

Тогда по теореме о неявных функциях уравнение (21) при достаточно малых имеет решение Ь = Ь(ц), стремящееся к Ь° при такое решение единственно и Ъ(ц) 6 Ст.

Пусть дано уравнение с постоянными коэффициентами а,- и непрерывными функциями /, д периода р по t и д € Ст по у, /1, а корни А характеристического уравнения удовлетворяют условию (19). Тогда для отыскания решения периода р не нужно переходить от уравнения (24) к системе, можно сразу отыскать решение в виде (12), где теперь v^t) — скалярные функции с периодом р. 1 Пример 3. Найти с точностью о(ц2) периодическое решение 1 | уравнения [ Решение примера.

Здесь р = 2т, А2 + 3 = О, Л = ±iV3 Ф 2*ki/p = ki (к Е Z), условие (19) выполнено. Ищем периодическое решение в виде х = v0 + /avx + p2v2 + . Подставляя в уравнение (25) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях /*, получаем систему уравнений . Надо найти решения t;0, Vj, v2 с периодом 2т. Для каждого из этих уравнений надо найти лишь частное решение (методой неопределенных коэффициентов), так как по теореме 3 при выполнении условия (19) решение с периодом р единственно.

Замена х = а?0 + ру дает . Так как F(x°) = 0, то по формуле Тейлора Остаточный член г Е С (ибо другие члены в равенстве принадлежат Cm+1), г = ц2д(у, ц). Получаем систему вида (20) Если собственные значения матрицы А удовлетворяют условию (19) (нет резонанса), то по теореме 3 система (27) при достаточно малых |/*| имеет решение с периодом р. I Пример 4. Рассмотрим уравнение Решение примера. При \i = 0 положения равновесия х< = 1 и х2 = -1.

Периодическое решение

Найдем периодическое решение, близкое к х = 1, Замена х = 1 + /ху Дает Здесь р = 2х, А = -1 ± i Ф 2*ki/p (к € Z), условие (19) выполнено. Поэтому при малых ц уравнение (29) имеет решение периода 2тг и вида у = v0($) + fivx(t) +..где все имеют период 2т. Подставляя это в (29), получаем, как в примере 3, Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений Отсюда находим . Следовательно, Уравнение (28) при малых ц имеет и другое решение с периодом 2х.

Оно близко к неустойчивому положению равновесия х2 = -1 и отыскивается аналогичным способом. Можно доказать, что оно неустойчиво. ч Задачи для упражнений: [12], § 18, № 1079-1083. | 5« | Естественно возникает вопрос, в каких случаях разложения по степеням параметра /х, полученные в следствиях теорем 2 и 3, можно продолжить до бесконечного ряда Тейлора, сходящегося к искомому решению при малых /1.

Пуанкаре об аналитической зависимости решения от параметра, см. [13], гл. 1, §6, теорема 1.3 и [2], гл.6, §2, теорема 6.2.1′ и §3, п. 1. I О методах исследования устойчивости периодических решений, получаемых методом малого параметра, см. [2], гл. 7, § 3 и [33], гл. 3, § 10-15. В частности, при условиях теоремы 3 асимптотическая устойчивость периодического решения при достаточно малых обеспечена, если для матрицы А все собственные значения А.

Имеют Re At. а неустойчивость — если есть хотя бы одно Re At. > 0. Поэтому в примере 4 при малых /1 решение (30) асимптотически устойчиво, а периодическое решение, близкое к х = -1 (для него А = — 1 ± л/3), — неустойчиво. Метод отыскания периодических решений при резонансе, то есть когда условие (19) не выполнено, изложен в [13), гл. 2, §8, пункты 2 и 3; примеры там же; в [2], гл. 5, §3, п. 2 и в [33], гл. 2, §6, 7. Об отыскании периодических решений автономной системы х’ = Ах -f pf(x,p) в случае, когда при р = 0 периодическое решение известно, см. [13], гл.2, §8, пункт 4; [2], гл.5, §3, п. 3 и [33], гл.2, §11-13.

Метод малого параметра применялся к широкому кругу задач, в частности, в [33], главы 4-8. Методы последовательных приближений для уравнений с малым параметром разработаны в [24]. Существенно отличным от предыдущих является случай, когда малый параметр является множителем при производной, например, fix = /(*, у), у =д(х, у). Здесь нет непрерывной зависимости от /1 при р 0, и решения имеют другие свойства, см., например, [13], гл.4, §6 и [15], гл.10, §3,4. Известно много работ, в которых подробно исследуются такие случаи.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Курсовая работа: Асимптотика решений дифференциальных уравнений

по дисциплине “Эффективные алгоритмы исследования моделей естествознания”

на тему: «Асимптотические решения дифференциальных уравнений по малому параметру. Регулярные возмущения»

Применения регулярного возмущения

1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром

1.1 Асимптотическое поведение решений системы

2. Регулярные возмущения

2.1 Асимптотические методы

2.2 Регулярные возмущения решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

2.3 Существование решении возмущенной задачи

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» — математической моделью — и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента).

Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы — от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

Сейчас математическое моделирование вступает в третий принципиально важный этап своего развития, «встраиваясь» в структуры так называемого информационного общества.

Применения регулярного возмущения

Выходные пучки лазеров часто имеют квазирегулярную модуляцию волнового фронта (ВФ). В газовых лазерах с движущейся активной средой такую модуляцию могут вызывать неоднородности, возникающие под действием периодической сопловой решетки [1], под влиянием страт и доменов в газовом разряде [2], в результате наложения ударных волн [3,4], а также под действием ряда других физических факторов. Модуляция ВФ выходных лазерных пучков в литературе чаще всего рассматривается как фактор, влияющий, прежде всего на расходимость излучения.

Гораздо меньше внимания уделяется анализу метаморфоз структуры ВФ, условиям появления и взаимосвязи каустических и фазовых дислокационных образований в лазерных пучках. Такого рода образования регистрируются в излучении лазеров с самыми разными оптическими резонаторами [5,6]. В настоящей работе рассматриваются качественные изменения амплитудно-фазовой структуры лазерных пучков, первоначально обладающих плавной регулярной модуляцией ВФ.

Общее представление о характере рассматриваемых процессов можно получить на примере известной задачи [7] о распространении безграничной волны, фаза которой в начальной плоскости меняется по гармоническому закону. Амплитуда такой волны имеет следующий вид:

где m — параметр, характеризующий глубину фазовой модуляции; х — поперечная координата; а — период модуляции. На расстоянии z от начальной плоскости поле можно представить в виде суперпозиции плоских волн [7]:

где — функция Бесселя порядка — волновое число. Это поле является частным случаем самовоспроизводящихся полей, свойства которых нашли применение в лазерной технике [8,9]

Используя для расчета характеристик поля его разложение по плоским волнам (2), а также лучевой метод из работы [10], можно установить основные особенности трансформации первоначального распределения амплитуды и фазы. Расчеты показывают, что даже при малой глубине модуляции фазы и равномерном распределении интенсивности в начальной плоскости дифракционные эффекты приводят к значительному пространственному перераспределению интенсивности.

Перераспределение наиболее заметно вблизи плоскостей Эти плоскости располагаются между плоскостями, в которых, согласно эффекту Тальбо, воспроизводится первоначальное равномерное распределение интенсивности. Так, при m = 0.1 контраст картины распределения интенсивности , а при m = 0.5 контраст К = 2.82. С превышением определенной критической глубины модуляции в структуре волны происходят качественные изменения..

На рис.1 приведены распределения амплитуды А и фазы Ф на расстояниях при разных первоначальных глубинах модуляции фазы. Видно, что при превышении критической глубины модуляции появляются линии с нулевыми амплитудами. В распределении фазы им соответствуют КД, обусловленные скачкообразным изменением фазы на π. КД располагаются симметрично относительно осей клювообразных каустик. Клювы каустик, находящиеся сначала вблизи плоскостей , с дальнейшим увеличением глубины фазовой модуляции приближаются к плоскостям воспроизведения первоначальной структуры. При этом растет и число КД.

Их расположение по отношению к образующим каустик соответствует рассчитанной на основе интеграла Перси фазовой структуре поля, приведенной в работе [11].

Рис. 1. Распределение амплитуды А (1,2) и фазы Ф (3,4) по поперечной координате х для безграничной волны на расстоянии стрелками указано положение клювов каустик.

Продольная структура распределения интенсивности излучения показана на рис. 2 для т = 1.2. Из него видно, что фазовая модуляция вызывает формирование каналов, вытянутых вдоль направления распространения, в которых интенсивность излучения существенно превышает среднюю. Оси этих областей совпадают с осями симметрии клювообразных каустик.

Если фазовая модуляция в начальной плоскости осуществляется не по одной а по двум поперечным координатам, то появляется возможность формирования винтовых дислокаций (ВД) волнового фронта. ВД отличаются от КД принципиально иной топологической структурой (при обходе вокруг ВД фаза меняется на 2п). На рис. 3,а приведена структура эквифазных линий ВФ в начальной плоскости когда распределение поля задается формулой

Здесь функция ) совпадает с функцией при замене поперечной координаты х поперечной координатой у С —константа.

Структура эквифазных линий в начальной плоскости на рис.3,а построена с помощью формулы (3) для С = 0.2 и m = 2. Ход линий свидетельствует о наличии плавных регулярных возмущений волнового фронта. На рис.3,6 изображена структура эквифазных линий на расстояниях

ВД располагаются в точках пересечения эквифазных линий. Они образуют своеобразные квадруполи каждый из которых состоит из четырех ВД. Две из них имеют положительный знак (являются «правыми»), две — отрицательный знак (являются «левыми»). Квадруполи окружают оси каустик.

В отличие от КД каждая из которых строго говоря формируется в определенной плоскости z = const, ВД характеризуются определенной продольной длиной. Как и КД дислокации винтового типа возникают лишь при превышении глубиной первоначальной модуляции волнового фронта некоторого критического значения. Если обозначить через разность между максимальной и минимальной фазами в начальной плоскости (при модуляции по одной координате совпадает с ni) то ВД будут возникать когда >

Все вышеперечисленные эффекты были проанализированы применительно к пространственно-ограниченному пучку с гауссовым профилем распределения интенсивности. В основу расчета была положена формула (2), в которой суперпозиция плоских волн была заменена системой распространяющихся под углом друг к другу raусовых мод свободного пространства [12]. Горловины мод располагались в начальной плоскости

Расчеты показали, что переход к более точной модели гауссова пучка с периодической модуляцией ВФ не вносит существенных качественных изменений в данные о преобразовании амплитудно-фазового распределения, по крайней мере на расстояниях сопоставимых с характерной длиной . Как и в случае безграничной волны дислокации ВФ начинают формироваться в ближней зоне, когда глубина модуляции фазы превышает . Сказанное иллюстрирует рис. 4, который является аналогом рис. 1 для гауссова пучка. Отношение радиуса пучка в горловине к периоду модуляции, а равно пяти.

Из сравнения рис. 1 и 4 видно, что имеющиеся в них различия проявляются в дифракционном «замывании» части дислокаций. Различия усиливаются с ростом координаты z по мере того, как ухудшается периодическая воспроизводимость первоначальной структуры поля. Это видно, в частности, из рис. 5, на котором изображено продольное распределение интенсивности для параметров

Распределения, приведенные на рис.2 и 5, близки лишь в ближней зоне, для которой характерны узкие зоны, где концентрируется энергия светового потока. В дальней зоне дифракции перекрытие гауссовых угловых компонент излучения ослабевает, и структура излучения кардинальным образом отличается от структуры безграничной волны: излучение представляет собой «веер» пучков, интенсивность которых убывает с увеличением угла наклона.

Фазовая модуляция гауссова пучка по двум поперечным координатам, если ее глубина превышает указанную выше критическую глубину, приводит к появлению на волновом фронте БД. Как и в безграничной волне, эти БД обладают определенной продольной длиной, увеличивающейся с ростом глубины модуляции. Это свойство БД значительно облегчает их экспериментальное обнаружение. В дальней зоне дифракции вследствие изменения фазы в начальной плоскости по двум координатам будут формироваться два веера пучков, располагающихся во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Заметим в заключение, что результаты выполненного анализа могут быть частично перенесены и на случай нерегулярной плавной модуляции ВФ, если длина рассматриваемой пространственной области сопоставима с величиной аЦк, где ап — характерный размер нерегулярных возмущений ВФ. В частности, это относится к образованию в световом поле каналов с повышенной интенсивностью и к появлению дислокаций волнового фронта при превышении фазовыми возмущениями определенного значения.

Таким образом, плавные возмущения ВФ играют важную роль в трансформации амплитудно-фазового профиля излучения и в формировании каустических и дислокационных образований. Появление каустик и дислокаций волнового фронта носит пороговый характер и непосредственно связано с глубиной первоначальной модуляции фазы. Для практики важным является то, что появление указанных образований в лазерном пучке сопряжено с формированием узких каналов, в которых интенсивность излучения значительно превышает среднюю.

Работа выполнена при финансовой поддержке государственной научно-технической программы «Физика квантовых и волновых процессов» (проект 1.61) и физического учебно-научного центра «Фундаментальная оптика и спектроскопия».

1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром

Многие колебательные системы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных:

или, в векторной форме

где — малый положительный параметр, — неизвестные функции времени t, характеризующие данную систему.

В работах ( х ) — ( 5 ) находится асимптотика решений системы (1.1) в случае, когда при каждом z любое решение системы «быстрых движений» **

при приближается либо к устойчивому положению равновесия, либо к устойчивому предельному циклу.

Но возможны случаи, когда система «быстрых движений» (1.2) может не иметь асимптотически устойчивых положений равновесия и изолированных предельных циклов. Такова, например, гамильтонова система. Целью настоящей работы и является изучение этих случаев. Так, в § 2 с точностью до величин порядка О (г) находится решение системы (1.1), для которой соответствующая система «быстрых движений» гамильтонова и к = 2, т. е. находится решение системы

Асимптотические формулы для решения этой системы находятся для области, где траектории соответствующей гамильтоновой системы «быстрых движений» при каждом векторе z замкнуты (в случае невырожденного центра в рассматриваемую область включается и сам центр). Метод исследования системы (1.3) таков: сначала рассматривается система «быстрых движений» (1.4), а затем система (1.3) после соответствующей замены переменных усредняется вдоль решений (1.4). Оказывается, что уравнение с малым параметром и. при старшей производной и с пропущенной в основном члене Q (п — 1)-й производной, исследованное В.М. Волосовым (при п — 2 — в работе ( 12Г ), при F

О — в ‘работах ( 8 ) — ( п )) методом конечных разностей, является частным случаем системы (1.3). Поэтому результаты работ ( 8 ) — ( 12 ) (эти результаты сформулированы в § 3 настоящей работы) следуют из результатов § 2.

Метод построения решения уравнения (1.5) при п = 2 с любой наперед заданной точностью в случае, когда известно общее решение (в форме разложения в тригонометрический ряд Фурье) соответствующего невозмущенного уравнения был дан в работе Ю.А. Митрополъским.

Задача исследования системы (1.3) с точки зрения работ ( 3 ) — ( 4 ) и вывода из нее известных результатов В.М. Волосова [работы ( 8 ) — ( 12 )] относительно уравнения (1.5) была поставлена Л.С. Понтрягиным в его докладе на семинаре В.И. Смирнова в Ленинграде в середине апреля 1957 г.

Выражаю глубокую благодарность Л.С. Понтрягину за ценные указания, советы и постоянное внимание к настоящей работе.

1.1 Асимптотическое поведение решений системы

Система (1.3) в векторной форме имеет вид:

глк, в быстром времени

При е = 0 система (2.1′) переходит в гамильтонову систему

являющуюся системой «быстрых движений» для системы (2.1). 1. Изучение системы (2.2). Пусть функции

определены и непрерывны вместе со всеми своими первыми частными производными в некоторой области G эвклидова пространства E ₂ + i переменных х, у, zi . zi . Как известно, система (2.2) имеет первый интеграл

и (2.3) представляет собой семейство всех фазовых траекторий системы(2.2) на кажтгой плоскости z = constобласти G .

Возьмем некоторую точку (х, у, z ) из G, не являющуюся положением равновесия системы (2.2). По известной теореме существования и единственности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, через эту точку пройдет только одна фазовая траектория системы

(2.2). Уравнение этой траектории запишется в виде:

Докажем следующее утверждение.

Пусть траектория (2.4) замкнута и целиком лежит внутри области G . Тогда в пространстве E ₂ + i существует некоторая окрестность G этой траектории (2.4) такая, что

1)фазовые траектории системы (2.2), проходящие через точки G , замкнуты и целиком лежат в G;

2)уравнение (2.3) при каждой паре (/г, z ) определяет одну и только одну фазовую траекторию системы (2.2), расположенную в G;

3)на каждой фазовой траектории (2.3) системы (2.2), лежащей в G, можно выбрать по одной точке , гладко зависящей от

В самом деле, в силу известных свойств гамильтоновой системы, в пространстве E ₂ + i существует некоторая окрестность G траектории (2.4) ( Gd G), в которой выполняется условие 1). Выделим из G ту окрестность траектории (2.4), в которой выполняются и условия 2), 3). Для этого возьмем поверхность, пересекающую каждую плоскость z = const области G

о о по нормали в точке (х, у, z ) к фазовой траектории системы (2.2), проходящей через эту точку. Уравнение этой поверхности имеет вид:

Следовательно, точка (х, у, z , h ) эвклидова пространства £»₂ +z переменных х, у, z , h удовлетворяет системе

Левые части системы (2.5) определены и непрерывны вместе со всеми своими частными производными в области Г: (#, у, z ) £ G, —ос 0 такое, что при любых eg (0, е₀ ], t 6 [*<>> L ] решение <ф ( t , е), h ( t , е), z ( t , г)> системы (2.15) с начальными условиями

и решение <ф ( t , e), h ( t ), z ( t )> усредненной системы (2.17) с теми же начальными условиями

связаны следующим образом: точка <h ( t , e), z ( t , г)> остается в некоторой и выполняются соотношения:

окрестность решения)). А так как, по (2.13),

и так как точка <h (£, е), z ( t , е)> остается в G_hp CZG_h , то на отрезке [ t_Q , L ] при любом 8 g (0, е₀ ] решение <х (t , е),?/ (£, е), z (£, г)> системы (2.1) остается в G, причем, по свойству 3,

и потому соотношения (2.39), (2.40) доказывают первую часть теоремы 1. Докажем вторую часть теоремы 1. По формуле конечных приращений, из (2.41) получаем:

Возникает вопрос, как ведут себя решения системы (2.1) во всей указанной окрестности Go (включая и положения равновесия g (z), z> системы (2.3)). На этот вопрос отвечают теорема 1 и нижеследующие теоремы 2 и 3.

ТЕОРЕМА 2. Пусть в окрестности Go выполнены условия теоремы 1, касающиеся гладкости правых частей системы (2.1). Тогда найдется число 8° у> О, такое, что при любом г £ (0, е°] (е° и Н

сохраняет вид системы (2.1), но дает условия (2.54). Следовательно, в силу.

Это решение на конечном промежутке времени [ t ₀ , L ] составляет некоторое замкнутое ограниченное множество F_Q CZG ₀ и поэтому найдется ро > 0 такое, что G₀₀ С G ₀ ( G_{Q 0} — р₀ -окрестность F ₀ ).

Следовательно, по формуле Тейлора, примененной к функциям

(формула Тейлора применима в G₀₀ относительно х, у, так как прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки (я, у, z ) и (0, 0, z ) из Goo, содержится в Goo, поскольку каждое сечение области G₀₀ плоскостью z = const представляет собой круг с центром в точке (0, 0, z ), по определению Goo).

Функция О 2 (х, у, е), в силу указанной в условиях теоремы гладкости правых частей системы (2.1), является однородной квадратичной относительно х, у, е с ограниченными в Gooкоэффициентами, и поэтому

С другой стороны, по формуле Тейлора, в силу (2.54) имеем в G₀₀

то соотношение (2.61), в силу (2.57), дает на [£₀ , t (е) ]:

Но, по (2.56) — (2.58) и (2.63),

откуда следует, что на отрезке

Но так как, в силу

т. е. окончательно, по (2.64), (2.67),

2. Регулярные возмущения.

2.1 Асимптотические методы

Пусть задано банахово пространство и отображение .

Определение . Будем ряд называть асимптотическим рядом для функции , если для любого найдутся числа и такие, что

при (2.1)

Пример 1 . Если функция имеет производные всех порядков в точке , то справедливо формула Тейлора

(2.2)

Ряд Тейлора может расходиться на любом отрезке , но он будет асимптотическим рядом для функции . Действительно,

(2.3)

Пример 2 . Рассмотрим функцию

Интегрируя по частям, получаем

Ряд расходится при любом , но является асимптотическим для функции , так как

Замечание . Асимптотический ряд может быть полезен при вычислении значений функции при малых или больших значениях параметра .

Рассмотрим функцию примера 2. Вычисляя интеграл численно, получаем при

Вычисляя частичные суммы асимптотического ряда и оценивая разности , получаем первые 20 чисел

0.0015633, -0.0004366, 0.0001633, -0.0000766, 0.0000433, -0.0000287, 0.0000217,

-0.000186, 0.0000177, -0.0000186, 0.00002133, -0.0000266, 0.0000357, -0.0000515,

0.0000793, -0.0001299, 0.0002257, -0.0004145, 0.0008020

Наилучшее приближение дает девятая частичная сумма.

На рис. 1 изображен графически характер приближения частичных сумм к значению. На горизонтали оси откладывается номер , по вертикали частичная сумма .

Пусть банаховы пространства и при задано семейство операторов . Рассмотрим при уравнение . Допустим, что это уравнение при каждом имеет единственное решение . Уравнение будем называть вырожденным . Допустим, что вырожденное уравнение имеет единственное решение . Будем говорить, что вырождение регулярное, если

при (2.4)

Если (18.4) не выполняется, то говорят, что вырождение сингулярное.

Распространена еще и такая терминология: Уравнение называют уравнением возмущений для уравнения . Если условие (2.4) выполнено, то говорят о регулярных возмущениях. В противном случае речь идет о сингулярных возмущениях. Сам термин «теория возмущений» возник в рамках небесной механики. В следующем параграфе будет исследована задача о регулярных возмущениях для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.2 Регулярные возмущения решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши

(2.2.1)

Функция непрерывна по переменной и бесконечно дифференцируемая по переменным и при , , .

Предполагается, что вырожденная задача

(2.2.2)

имеет единственное решение при , причем .

(2.2.3)

и воспользовавшись тем, что функция удовлетворяет уравнению (2.2.2) запишем систему уравнений для функции в виде

(2.2.4)

(2.2.5)

(2.2.6)

Будем искать решение задачи Коши (2.1.4) в виде формального ряда по степеням малого параметра

(2.2.7)

Для определения неизвестных функций получаем рекуррентную систему задач Коши для линейных уравнений (уравнений в вариациях)

(2.2.8)

Уравнение (2.2.8) называют уравнением в вариациях.

Вычислим две первых функции

(2.2.9)

Подставляя разложения (2.2.7) и (2.2.8) в уравнения (2.2.4),получаем рекуррентную систему уравнений

(2.2.10)

Все уравнения (2.2.4) имеют одинаковую структуру

, (2.1.11)

Столбцы фундаментальной матрицы образуют фундаментальную систему решений. При помощи формулы Коши получим решение в виде

(2.2.12)

Линейный оператор

(2.2.13)

Покажем, что ряд (2.2.3) асимптотический для решения . Положим

(2.2.14)

Применяя формулу Тейлора, получаем

(2.2.15)

где функции те же, что и в формуле (19.8), а

(2.2.16)

Подставляя представление (2.2.14) в уравнение (2.2.4), воспользовавшись представлением (2.2.15) и формулами (2.2.8), получаем уравнение для функции .

(2.2.17)

(2.2.18)

Из формулы (2.2.6) получаем

и формула (2.2.18) может быть записана в виде

(2.2.19)

Так как вторые производные функции ограничены, то функция удовлетворяет условию Липшица и

(2.2.20)

Вспоминая определение оператора , получаем функциональное уравнение

(2.2.21)

Используя принцип сжатых отображений, покажем, что уравнение (2.1.21) при имеет единственное решение, и справедливо неравенство . Тем самым будет доказано, что ряд является асимптотическим рядом для функции , являющейся решением задачи Коши (2.2.1).

Пусть . Так как частные производные равномерно непрерывны, то из (2.2.17)- (2.2.20) получаем оценки

при . Таким образом, шар радиуса отображается в себя при.

Используя (2.2.20), получаем

Используя равномерную непрерывность частных производных, получаем

Уменьшая, если нужно, получаем, что при оператор является оператором сжатия. Следовательно,

и ряд асимптотический для решения задачи Коши (2.1.1).

2.3 Существование решении возмущенной задачи

Результаты, полученные обладают той особенностью, что справедливость асимптотического представления гарантируется на некотором сегменте [0,T], определяемом свойствами правой части (2.3.1), одновременно с существованием и единственностью как невозмущенного, так и возмущенного уравнений.

Можно ставить вопрос иначе. Допустим, что решение невозмущенной задачи (2.3.2) существует, единственно и принадлежит некоторой области G пространства переменных y(t,μ) при, 0≤t≤T.Величину T в данном случае можно, например, установить непосредственно из явного вида y(t). Будет ли при достаточно малых μ решение задачи (2.3.1) также существовать на всем [0,T] и подчиниться формуле (1.3)? Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 1 .2. Пусть в области

непрерывны и равномерно ограничены:

Пусть решение y ( t ) задачи (2.3.2) существует, единственно на [0, T ] и принадлежит . Тогда при каждом достаточно малом μ решение y ( t , μ) задачи (2.3.1) также существует, единственно на [0, T ] принадлежит G , и имеет место равномерный относительно предельный переход

(2.3.8)

Доказательство. Перейдем в (2.3.1) к новой неизвестной функции . Имеем

Перейдем к эквивалентному интегральному уравнению

(2.3.9)

где причем . Здесь и в

дальнейшем бесконечно малые при μ →0 величины будем обозначать

ω(μ), ω₁ (μ) и т. д. Применим к уравнению (2.3.9) метод последовательных приближений и докажем, что ▲(t,μ) существует на сегменте [0,Т] и .Это очевидно, равносильно утверждению теоремы 1.2.

Построим последовательные приближения обычным образом

Предварительно заметим, что так как y=y(t) принадлежит G для кривая , где при достаточно малом μ. также принадлежит G для

Положим Тогда

(2.3.10)

В равномерной сходимости последовательности ( k ) ▲ к решению ▲(t,μ) уравнения (2.3.9) можно убедиться совершенно, может в пределе при k→∞ появиться равенство. Поэтому , что равносильно (2.3.8).

Замечание. Теорема доказана для скалярного случая, но аналогичное утверждение справедливо и для случая, когда y — вектор.

2.3.2 Теорема 2.3.2 остается справедливой, если имеет место возмущение не только в уравнении, во и в начальных условиях, т. е. имеет вид

1. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Известия Ак. паук СССР, серия метем, 21(1957), 605—626.

2. Мищенко Е.Ф., Понтрягии Л.С. Периодические решения систем дифференциальных уравнении, близкие к разрывным, Доклады Ак. наук СССР, 102, № 5 (1955), 889-891.

3. Мищенко Е.Ф., Асимптотическое вычисление периодических решении систем дифференциальных уравнении, содержащих малые параметры при производные. Известия Ак. наук СССР, серия матем., 21 (1957), 627—654.

4. Мищенко Е., Понтрягии Л.С. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром пр» производных, Известия Ак. наук СССР, серия матем., 23(1959), 643—660.

5. Тихонов А. И-, Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных, Матем. еборн., 31(73): 3 (1952), 574—586.

6. Боголюбов Н.И., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Москва, 1955.

7. Митропольскнй Ю.А., Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах, Изд. АН УССР, 1955.

Привет студент

Асимптотическое поведение решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Асимптотическое поведение решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

Аннотация

Вопрос об асимптотическом поведении решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и тесно примыкающая к этому вопросу задача об устойчивости движения начиная с конца XIX столетия служат предметом многочисленных исследований. В основу всей работы нами положен метод исследования асимптотического поведения решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Идея этого метода заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений к специальному виду, названному L – диагональным. Такого рода преобразование в ряде случаев может быть выполнено путём элементарных линейных подстановок. Построение асимптотических разложений для решений линейных дифференциальных уравнений после преобразования их к L – диагональному виду выполняются чрезвычайно просто. Также в работе приведены общие сведения об асимптотических разложениях, решена задача о нахождении оптимального алгоритма поиска асимптотик для систем дифференциальных уравнений второго порядка.

Общее число страниц – 65, рисунков – 2, использованных источников – 20.

Abstract

The question of asymptotic behavior of solutions of the ordinary linear differential equations and task closely adjoining this question of stability of movement since the end of the XIX century serve as a subject of numerous researches. In a basis of all work we put a method of research of asymptotic behavior of solutions of the ordinary linear differential equations. The idea of this method consists in transformation of the set system of the differential equations to the special look called L – diagonal. Such transformation in some cases can be executed by a way of elementary linear substitutions. Creation of asymptotic decomposition for solutions of the linear differential equations after their transformation to L – to a diagonal look are carried out extremely simply. Also general information is given in work about asymptotic decomposition, the task about finding of optimum algorithm of search асимптотик for systems of the differential equations of the second order is solved.

Total number of pages – 65, drawings – 2, used sources – 20.

Содержание

Введение

Большинство физических задач, с которыми сталкиваются сегодня инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживает ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, пере­менные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или, в некоторых случаях, неизвестных границах. Если даже точное решение некоторой задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двоякопериодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к аппроксима­циям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов. Среди приближенных методов прежде всего следует назвать асимптотические методы возмущений, которые и являются предметом этой работы. Согласно этим методикам, решение представляется несколькими первыми членами асимптотического разложения, число которых обычно не превышает двух. Разложения могут проводиться по большому или малому параметру, который естественно возникает в уравнениях или вводится искусственно для удобства. Такие разложения называются возмущениями по параметру. С другой стороны, разложения могут быть проведены по координатам для больших или малых значений; в этом слу­чае они называются возмущениями по координатам.

Глава 1 содержит обозначения, определения и действия над асимптотическими разложениями. Примеры разложений по параметру и координате и их существенные характеристики даны в п.1.1 и 1.2. Для формализации понятий пределов, оценок погрешности в п.1.3 введены определения символов порядка и другие обозначения. П.1.4 содержит определения асимптотического разложения, асимптотической последо­вательности и степенного ряда; в п.1.5 дается сравнение сходя­щегося и асимптотического рядов. Затем, в п.1.6 определены равномерные и неравномерные асимптотические разложения. Краткая сводка операций над асимптотическими разложениями дана в п.1.7.

Во 2-ой главе изложен метод исследования асимптотического поведения решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Идея этого метода заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений к специальному виду, названному L – диагональным. Такого рода преобразование в ряде случаев может быть выполнено путём элементарных линейных подстановок. Построение асимптотических разложений для решений линейных дифференциальных уравнений после преобразования их к L – диагональному виду выполняются чрезвычайно просто.

Глава 3 содержит более частные случаи преобразования систем дифференциальных уравнений к L – диагональному виду. Здесь рассмотрены достаточно конкретные дифференциальные уравнения, указаны подстановки, осуществляя которые можно привести эти уравнения к указанному виду. В п.3.3 рассмотрен простейший пример, который иллюстрирует работу предложенного метода.

Полезно сделать некоторые общие замечания относительно свойств рассматриваемых функций. Все числовые функции и параметры, о вещественности которых не сделано специальных оговорок, следует считать в общем случае комплексными. Так, например, в начале главы 2 коэффициенты дифференциальных уравнений (2.1.1) и искомые функции предполагаются в общем случае комплекснозначными, t – вещественно (для t определён полубесконечный интервал ). Оговаривая суммируемость производной какой-либо функции в некотором интервале, мы тем самым обусловливаем абсолютную непрерывность этой функции в соответствующем замкнутом интервале. Везде, где рассматриваются системы дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами, под их решениями подразумеваются совокупности абсолютно непрерывных функций, удовлетворяющие уравнениям почти всюду в заданном интервале.

1 Общие сведения об асимптотических разложениях

1.1 Возмущения по параметру

Математическая формулировка многих физических задач, в которых встречается функция вида , может быть дана с помощью дифференциального уравнения с граничным условием , где х—скалярная или векторная независимая переменная, а ε — параметр. Такая задача, вообще говоря, не может быть решена точно. Однако если существует (выбором отсчета е можно добиться ), для которого выше упомянутая задача решается точно или сравнительно легко, то для малых ε можно искать решение, скажем, в виде разложения по степеням ε, т. е. в виде

где и_п не зависит от ε, а и₀(х) — решение задачи при . Это разложение можно подставить затем в равенства L(u,x,ε)=0 и В(и,ε)=0, разложить их для малых ε и сгруппировать коэффициенты при каждой степени ε. Поскольку эти уравнения должны удовлетворяться для всех значений ε и последовательность степеней ε линейно независима, коэффициент при каждой степени ε обращается в нуль независимо. При этом обычно получаются простые уравнения относительно и_п, которые последовательно решаются. Следующие два примера иллюстрируют сказанное.

1.1.1 Алгебраическое уравнение

Рассмотрим сначала решение алгебраического уравнения

при малом ε. Для ε = 0 имеем и=1. Пусть ε мало и отлично от нуля. Положим

Тогда (1.1.2) принимает вид

Проведя в (1.1.4) разложение при малом ε, получим

Сгруппировав коэффициенты при одинаковых степенях ε, будем иметь

Поскольку это уравнение выполняется тождественно по ε, коэффициент при каждой степени ε обращается в нуль независимо.

Решением уравнения (1.1.7) является

Тогда решением (1.1.8) будет

Следовательно, (1.1.3) принимает вид

где многоточием заменены все члены, содержащие при . Таким образом, (1.1.13) является аппроксимацией решения урав­нения (1.1.2), которое равно 1 при .

1.1.2 Осциллятор Ван-дер-Поля

В качестве второго примера рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля

для малого ε. При ε = 0 оно сводится к уравнению

общее решение которого имеет вид

где а и φ — постоянные. Для определения лучшего приближения к решению уравнения (1.1.14) будем искать возмущенное разложение вида

где многоточие заменяет слагаемые, пропорциональные степеням ε, большим двух. Подставляя это разложение в (1.1.14), будем иметь

Проведя разложение для малых ε, получим

Поскольку u_n не зависит от ε и (1.1.19) справедливо для всех достаточно малых значений ε, коэффициенты при одинаковых степенях ε в обеих частях этого уравнения должны быть равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε в обеих частях (1.1.19), получим: для коэффициентов при ε °

для коэффициентов при ε

для коэффициентов при ε 2

Заметим, что уравнение (1.1.20) совпадает с (1.1.15) и его общее решение имеет вид (1.1.16), т. е.

Подставляя в (1.1.21) выражение для и₀, получаем

Используя тригонометрическое тождество

перепишем это уравнение в виде

Частным решением его является функция

Коль скоро известны u₀ и u₁, известна и правая часть уравнения (1.1.22), и его аналогичным образом можно разрешить относительно и₂.

1.2 Возмущения по координате

Пусть некоторая физическая задача математически описывается дифференциальным уравнением L(u, х)=0 с граничным условием В(и)=0, где х — скаляр, и пусть известен вид и₀ решения и при (х₀ можно сделать равным 0 или ). Тогда можно попытаться найти отклонение функции и от и₀ для x, близких к , раскладывая это отклонение по степеням х при х₀=0 или по степеням х -1 при . Эта техника демонстрируется на следующих двух примерах.

1.2.1 Уравнение Беcселя нулевого порядка

Мы будем рассматривать решение уравнения

Это уравнение имеет регулярную особую точку х=0, что наво­дит на мысль искать решение у в виде степенного ряда, используя метод Фробениуса. Пола­гаем, таким образом,

где число μ и коэффициенты а_т должны быть определены так, чтобы (1.2.2) было решением уравнения (1.2.1). Подстановка (1.2.2) в (1.2.1) дает

что можно записать в виде

Заменив в первой сумме индекс т на m + 2, можем переписать это уравнение в виде

Поскольку (1.2.4) является тождеством по х, коэффициент при каждой степени х должен обратиться в нуль независимо, т. е.

Если положить , то из первого уравнения следует μ= 0; тогда (1.2.6) дает а₁=0, а из (1.2.7) следует

При а₀ = 1 полученное решение представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка и часто обозначается через J₀(x). Таким образом,

Поскольку отношение n-го члена к (п-1)-му равно —x 2 /(2n) 2 и стремится к нулю при для всех значений х, ряд (1.2.10) для функции J₀(x) сходится равномерно и абсолютно при всех значениях х.

1.2.2 Простой пример

В качестве второго примера мы рассмотрим решение уравнения

при больших х. Будем искать это решение при больших х в виде

Подстановка этого разложения в (1.2.11) дает

Заменив во второй сумме индекс т на т+1, можем переписать это уравнение в виде

Полученное уравнение является тождеством по х, поэтому коэффициент при каждом х — m должен обратиться в нуль независимо, т. е.

и (1.2.12) принимает вид

Поскольку отношение n-го к (п-1)-му члену равно (п-1)х -1 и стремится к бесконечности при независимо от значения х, то ряд (1.2.16) расходится при всех значениях х. В п.1.4 показано, что, несмотря на расходимость, этот ряд оказывается полезным для численных расчетов; он носит название асимптотического ряда.

1.3 Символы порядка и калибровочные функции

Предположим, что мы интересуемся функцией единственного вещественного параметра ε, которую будем обозначать f(ε). При выводе аппроксимаций нас будет интересовать предел f(ε) при ε, стремящемся к нулю, что будем обозначать как . Этот предел может зависеть от того, стремится ли ε к нулю снизу, что обозначаем как , или сверху, . Если предел функции f(ε) существует (т. е. у нее нет существенных особенностей при ε=0, таких, как у функции sin ε -1 ), то имеет место одна из трех возможностей:

В первом и последнем случаях скорости сходимости оцениваются сравнением f(ε) с известными функциями, которые называются калибровочными функциями. Простейшими и наиболее употребительными из них являются следующие:

В некоторых случаях к ним должны быть добавлены функции

Другими примерами калибровочных функций являются функции и т.д.

При сравнении поведения функции f(ε) с калибровочной фун­кцией g(ε) при используется один из двух символов Ландау: О или о.

если существуют положительное число А, не зависящее от ε, и значение ε ₀ > 0, такие, что

Это условие может быть заменено следующим:

Например, при имеем

Если, кроме ε, функция f зависит и от другой переменной х, a g(x,ε) —калибровочная функция, то по-прежнему пишем

если существуют положительное число А, не зависящее от ε, и ε ₀ > 0, такие, что

Если А и ε ₀ не зависят от х, то говорят, что соотношение (1.3.5) выполняется равномерно. Например,

если для каждого положительного числа δ, не зависящего от ε, существует
ε ₀ > 0, такое, что

Это условие может быть заменено следующим:

Таким образом, имеем при

для всех положительных n

1.4 Асимптотические разложения и последовательности

1.4.1 Асимптотические ряды

Мы установили в п. 1.2.2, что частным решением уравнения

который расходится для всех значений х. Чтобы выяснить, насколько этот ряд может оказаться полезным при вычислении частного решения нашего уравнения, определим остаток при усечении ряда на п-м члене. Для этого заметим, что частное решение дифференциального уравнения задается интегралом

сходящимся при отрицательных х. Интегрируя (1.4.3) по частям, получим

Следовательно, если мы усечем ряд на п-м члене, то остаток как функция п и х будет иметь вид

Для сходимости ряда предел должен равняться нулю.

В нашем примере это не выполнено. Действительно, при имеем , так что ряд расходится для всех х, в согласии с тем, что мы установили в п. 1.2.2, используя другой признак сходимости. Поэтому ряд (1.4.2) может оказаться полезным только при фиксированном п. Для отрицательных х имеем

Таким образом, ошибка, связанная с усечением ряда на п-м члене, численно не превосходит первого отброшенного члена, а именно (n+1)-го. Более того, при фиксированном n и имеем . Поэтому, хотя ряд (1.4.2) и расходится, для фиксированного п первые п членов ряда могут представлять у с ошибкой, которая может быть сделана произвольно малой при выборе достаточно большого значения . Подобный ряд называется асимптотическим рядом типа Пуанкаре и обозначается

Вообще, для заданного ряда , где a_m не зависит от х, мы говорим, что он является асимптотическим рядом, и пишем

тогда и только тогда, когда

Условие (1.4.9) можно переписать в виде

В качестве другого примера рассмотрим, как это было сделано Эйлером, вопрос об оценке интеграла

для больших положительных ω. Поскольку

Поскольку отношение m-го члена к (т-1)-му, равное , стремится к бесконечности при , ряд (1.4.14) расходится для всех значений ω.

Чтобы выяснить, является ли ряд (1.4.14) асимптотическим, вычислим остаток, получающийся при усечении ряда на n-м члене. Заметим для этого, что

Итак, ошибка, обусловленная усечением ряда на n-м члене, численно не превосходит первого отброшенного члена, и мы имеем

Поэтому ряд (1.4.14) является асимптотическим:

1.4.2 Асимптотические разложения

Для представления функции вовсе не обязательно использовать степенной ряд. Вместо него можно использовать последовательность функций общего вида , если только

Такая последовательность называется асимптотической последовательностью. Примерами таких асимптотических последовательностей являются

В терминах асимптотических последовательностей мы можем определить асимптотические разложения. Итак, про заданную сумму , где а_т не зависит от ε, а δ_т(ε) есть асимптотическая последовательность, мы говорим, что она является асимптотическим разложением, и пишем

тогда и только тогда, когда

Очевидно, что асимптотический ряд есть частный случай асимп­тотического разложения.

В качестве примера асимптотического разложения, не являющегося асимптотическим степенным рядом, мы снова рассмотрим интеграл (1.4.11). Следуя Ван-дер-Корпуту, мы представим f(ω) в терминах факториальной асимптотической последовательности при . Для этого заметим, что

Это равенство доказывается по индукции следующим образом. Если (1.4.25) верно для п, то мы покажем, что это равенство верно и для n + 1. Для этого заметим, что

Объединяя два последних слагаемых и распространяя суммирование до , мы можем переписать это выражение в виде

Таким образом, если равенство (1.4.25) верно для n, то (1.4.26) устанавливает его справедливость для n + 1. Поскольку, согласно (1.4.24), равенство (1.4.25) верно для n = 0, 1 и 2, оно верно и для n = 3, 4, 5, … . Поэтому оно верно для всех n.

Умножая (1.4.25) на ехр (-х) и интегрируя от х = 0 до , получим

Поскольку ω — большое положительное число,

Таким образом, ошибка, связанная с тем, что мы сохраняем только n первых членов, численно не превосходит n-го члена, и, следовательно,

Поскольку — асимптотическая последовательность при , имеем

1.4.3 Единственность асимптотических разложений

В предыдущих двух пунктах мы показали, что имеют место соотношения

Таким образом, асимптотическое представление функции f(ω) при не единственно. В самом деле, функция f(ω) может быть представлена бесконечным числом асимптотических разло­жений, поскольку существует бесконечное число асимптотических последовательностей, которые могут быть использованы для та­кого представления. Однако для заданной асимптотической последовательности δ_т(ω) представление функции f(ω) с ее по­мощью единственно. В этом случае имеем

где а_т единственным образом определяются соотношениями:

1.5 Сравнение сходящегося и асимптотического рядов

Мы установили в п. 1.2.1, что одно из решений уравнения Бесселя

равномерно и абсолютно сходящимся для всех значений х.

Другое представление для J₀ можно получить, заметив, что замена переменных

преобразует уравнение (1.5.1) в

При это уравнение стремится к виду

Это наводит на мысль о преобразовании вида

которое приводит к уравнению

Это уравнение формально удовлетворяется рядом

Заменив в этом ряду i на — i и комбинируя полученный ряд с исходным, получим следующие два независимых решения:

Используя интегральное представление

мы получаем связь между J₀ (x) и этими двумя независимыми решениями:

Проверка сходимости рядов с помощью отношения двух соседних членов показывает, что у₂, и и v, а следовательно, и правая часть (1.5.13), расходятся для всех значений х. Однако для больших х слагаемые в и и v убывают быстро с ростом номера, так что (1.5.13) задает асимптотическое разложение для больших х. Для малых х первые несколько членов в (1.5.2) дают вполне хорошую точность. В самом деле, первые 9 членов дают значение J₀ (2) с точностью до 11 значащих цифр. Однако с ростом х число членов, необходимых для обеспечения такой точности, быстро растет. При х = 4 восемь членов дают точность до третьей значащей цифры, в то время как такую точность обеспечивает первый член асимптотического разложения (1.5.13). При дальнейшем росте х с гораздо меньшей затратой труда можно получать хорошую точность, используя асимптотический расходящийся ряд (1.5.13).

1.6 Неравномерные разложения

В задачах с возмущениями по параметру функции, подлежащие разложению, могут зависеть от одной или большего числа переменных, не считая параметра возмущения. Если построить асимптотическое разложение функции f (х;ε), где х—скалярная или векторная переменная, не зависящая от ε, по асимптотической последовательности δ_m(ε), то получим

Здесь коэффициенты а_т являются функциями только переменной х. Говорят, что разложение (1.6.1) равномерно пригодно, если

равномерно для всех рассматриваемых х. (1.6.2 б)

В противном случае говорят, что разложение является неравномерно пригодным (такое разложение часто называют сингулярным разложением возмущения). Для того чтобы условия равномерности (1.6.2) выполнялись, необходимо, чтобы для каждого т слагаемое а_т (х)δ_т(ε) было мало по сравнению с предыдущим а_т-1(х)δ_т-1(ε). Поскольку при имеем , для равномерности разложения мы должны требовать, чтобы для всех рассматриваемых х а_т(х) было не более сингулярным, чем а_m-1(х). Другими словами, каждый член должен быть малой поправкой к предыдущему члену независимо от значения х. Равномерно пригодным разложением является следующее:

Заметим, что коэффициенты при всех степенях ε ограничены для всех значений х, поэтому а_т(х) не более сингулярно, чем а_т-1(x), и как следствие этого разложение является равномерно пригодным.

Для получения неравномерно пригодного разложения разложим для малых ε функцию Получим

Каждый член этого разложения, исключая первый, имеет особенность при х=0 и является более сингулярным, чем предыдущий. Следовательно, разложение не является равномерно пригодным. Справедливость его нарушается в окрестности х=0. Размеры области неравномерности могут быть оценены в некоторых случаях с помощью предположения о том, что два последовательных члена имеют один и тот же порядок. Для (1.6.4) это дает

Это можно было усмотреть, вспомнив, что ряд Тейлора функции

[1+ (ε/х)] 1/2 сходится только при |ε/х|, меньшем единицы.

В качестве второго примера неравномерно пригодного разложения рассмотрим разложение ехр(-εt) для малых ε. Эта функция имеет следующий равномерно сходящийся для всех t ряд Тейлора:

Ясно, что функция ехр(-εt) может быть приближенно представлена конечным числом членов только в том случае, когда произведение εt мало. Поскольку ε—малая величина, сказанное означает, что t=0(1). Если t имеет порядок О(ε -1 ), то величина εt не мала, и усеченный ряд перестает быть справедливым. Например, для t= 2ε -1 первые два члена дают для ехр (-2) значение, равное -1. Нетрудно установить, что если в приведенном выше ряде сохранить конечное число членов, то усеченный ряд может давать удовлетворительное приближение только до некоторого значения t, после которого функция ехр(-εt) и усеченный ряд отличаются друг от друга на величину, пре­восходящую заданный предел точности. Добавление дополнительных членов к усеченному ряду увеличит значение t, вплоть до которого усеченный ряд дает удовлетворительное приближение, до нового значения t‘. Однако при t > t‘ разность между ехр(-εt) и новым усеченным рядом вновь превзойдет заданную точность. Таким образом, для получения разложения, удовлетворительного для всех t, необходимы все члены ряда.

То обстоятельство, что асимптотические разложения по па­раметру не являются равномерно пригодными и перестают быть справедливыми в некоторых областях, является скорее правилом, чем исключением. Эти области, которые упоминаются иногда как пограничные слои, носят название областей неравномерности. Фридрихе обсуждал появление этих неравномерностей в различных областях математической физики в обзорной статье. Большинство методов теории возмущений было развито с целью превратить неравномерные разложения в равномерно пригодные.

1.7 Простейшие действия над асимптотическими разложениями

Для определения приближенных решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений мы предполагаем, что разложения можно подставлять в уравнения и выполнять над ними простейшие действия, такие, как сложение, вычитание, воз­ведение в степень, интегрирование, дифференцирование и умножение. Правила действий будут выведены без обоснования, хотя некоторые из разложений расходящиеся. Условия, при которых указанные действия могут быть обоснованы, изучались Ван-дер-Корпутом, Эрдейи и де Брейном.

Правила сложения и вычитания могут быть обоснованы в об­щем случае. Если, например,

где φ_n(ε)—асимптотическая последовательность, то имеем (Эрдейи)

Если, кроме того, и а_п(х) — интегрируемые функции ε, то

Правило умножения для общего случая не определяется, поскольку в формальном произведении рядов встречаются все произведения вида , которые в общем случае невозможно расположить так, чтобы получить асимптотическую последовательность. Иными словами, умножение определено в тех случаях, когда в результате полу­чается асимптотическое разложение. Это имеет место для всех асимптотических последовательностей φ_n для которых произве­дения φ_nφ_m либо образуют асимптотическую последовательность, либо имеют асимптотическое разложение. Важным классом таких последовательностей является набор степеней ε. Так, если при имеем

то при справедливо соотношение

Возведение в степень не может быть обосновано для общего случая. Формальное проведение этой операции в том случае, когда она не обоснована, приводит к неравномерностям. Например, равенство

не обосновано при ε/х=О(1), потому что его правая часть является неравномерным разложением в области х= 0(ε). Аналогично, равенство

не обосновано при εх=О(1), потому что правая часть его неравномерна для больших х.

В общем случае не обосновано также дифференцирование асимптотических разложений по такой переменной, как х, или по параметру возмущения ε. Так же как при возведении в степень, дифференцирование, не будучи обоснованным, ведет к неравномерностям.

2 Асимптотическое поведение решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

2.1 L – диагональные системы дифференциальных уравнений

Исследование асимптотического поведения решений линейных дифференциальных уравнений мы начнём с рассмотрения системы дифференциальных уравнений

в которой все коэффициенты, за исключением коэффициентов, лежащих на главной диагонали, суммируемы в интервале . Так как матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений (2.1.1) представляет собой сумму диагональной матрицы и матрицы, составленной из суммируемых функций, мы будем называть в дальнейшем системы дифференциальных уравнений вида (2.1.1) L – диагональными.

1) При исследовании асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений (2.1.1) мы будем предполагать, что функции удовлетворяют следующим условиям:

б) существует такое достаточно большое T_{0 ,}что при ни одна из разностей не меняет знака.

Полагая в уравнениях (2.1.1)

Получим для функций систему дифференциальных уравнений

Введём в рассмотрение функции

При , в соответствии с условиями (а) и (б), функции в любом конечном интервале будут непрерывными либо неубывающими, либо невозрастающими.

Рассмотрим теперь систему сингулярных интегральных уравнений

Будем решать уравнения (2.1.4) методом последовательных приближений, определяя каждое последующее приближение как результат подстановки предыдущего приближения в правые части уравнений (2.1.4). Полагая , найдём:

Рассмотрим отдельно два случая:

1) Если функция при неубывающая, то при

Если функция при невозрастающая, то

И, будучи неотрицательным, сходится, так как Обозначим через наибольший из всех сходящихся интегралов

Тогда, если и функция невозрастающая, то при

Если при то согласно (2.1.7) при

2) В этом случае при

(в рассматриваемом случае функция при невозрастающая).

Из (2.1.7) при найдём

Итак, если при то при .

Рассмотренный нами процесс последовательных приближений будет сходящимся при

Но так как функция

В то же время и при . Таким образом, всегда можно указать такое достаточно большое значение T,при котором условие сходимости (2.1.8) будет выполняться. При таком значении T система уравнений (2.1.4) имеет решение, которое может быть представлено абсолютно и равномерно сходящимися в интервале рядами

где — функции, последовательно определяемые формулами (2.1.7). Как видно из формул (2.1.7), каждая из функций непрерывна при , следовательно и функции определяемые рядами (2.1.9), непрерывны при . Построенная нами система функций образует в интервале решение системы дифференциальных уравнений (2.1.3), в чём можно убедиться, выполняя дифференцирование по t в интегральных уравнениях (2.1.4).

Исследуем теперь асимптотическое поведение найденного нами решения системы дифференциальных уравнений (2.1.3). Как мы показали выше, построенные нами функции при остаются ограниченными. При из интегральных уравнений (2.1.4) очевидно, что и при , когда . При , из интегральных уравнений (2.1.4) найдём

При любом сколь угодно малом можно всегда выбрать такое достаточно большое значение , при котором

каково бы ни было . Далее, при выбранном значении можно всегда выбрать такое достаточно большое , что при

, и, следовательно, Таким образом, при , когда .

Итак, мы показали, что исходная L – диагональная система дифференциальных уравнений (2.1.1) имеет решение вида (2.1.2)

где при и , когда . Придавая индексу j все значения от 1 до n, придём к следующей теореме.

Теорема 1 Если при любом конечном t₁ и ни одна из разностей не меняет знака, начиная с какого-либо достаточно большого значения переменной t L – диагональная система дифференциальных уравнений

имеет n частных решений вида

где — функции, непрерывные в замкнутом интервале при . Для функций имеют место асимптотические разложения (2.1.9), где функции определяются формулами (2.1.7). Ряды (2.1.9) абсолютно и равномерно сходятся в бесконечном интервале, если T удовлетворяет равенству (2.1.8).

2.2 Приведение систем линейных дифференциальных уравнений к L – диагональному виду

Ниже мы указываем некоторые линейные подстановки, приводящие к L – диагональному виду систему линейных дифференциальных уравнений

при тех или иных предположениях относительно свойств матрицы коэффициентов дифференциальных уравнений (как правило, мы будем записывать системы линейных дифференциальных уравнений в векторно-матричной форме).

1) Рассмотрим сначала тот простейший случай, в котором элементы матрицы A(t) имеют производные, суммируемые в интервале при достаточно большом τ, и предельная матрица не имеет кратных собственных чисел. Осуществляя в (2.2.1) линейную подстановку

получим систему дифференциальных уравнений

или, после умножения слева на обратную матрицу

Определим теперь матрицу B(t), исходя из того требования, чтобы матрица , фигурирующая в (2.2.3), была диагональной. Для нахождения матрицы B(t) надо решить матричное уравнение

где W(t) – диагональная матрица. Сравнивая элементы j – го столбца у матриц, стоящих в левой и правой частях уравнения (2.2.4), получим систему уравнений

определяющую элементы j – го столбца искомой матрицы B(t). Для того, чтобы при данном значении переменной t однородная система линейных уравнений (2.2.5) имела нетривиальное решение, должно быть собственным числом матрицы A(t).

Неизвестные будут в этом случае составляющими собственного вектора матрицы A(t), соответствующего собственному числу (одну из составляющих собственного вектора можно приравнять произвольной функции, у которой производная суммируема в интервале , например, единице).

Итак, если матрицу B(t) составить из собственных векторов матрицы A(t), располагая составляющие j – го собственного вектора в j – том столбце матрицы B(t), система дифференциальных уравнений (2.2.3) будет иметь вид

где W(t) – диагональная матрица, элементами которой при каждом значении переменной t служат собственные числа матрицы A(t).

По предположению, элементы матрицы A(t) непрерывны в замкнутом интервале и матрица не имеет кратных собственных чисел. Таким образом, можно указать такое достаточно большое , при котором коэффициенты характеристического уравнения матрицы A(t) при любом будут настолько мало отличаться от коэффициентов характеристического уравнения матрицы , что ни при каком матрица A(t) не будет иметь кратных собственных чисел (корни алгебраического уравнения являются непрерывными функциями его коэффициентов). В этом случае, в соответствии с известной теоремой алгебры, детерминант матрицы B(t), определяемый соотношением (2.2.4), будет отличен от нуля в интервале . По предположению, элементы матрицы A(t), а следовательно, и коэффициенты её характеристического уравнения, обладают производными, суммируемыми в интервале . Выполняя дифференцирование по t в характеристическом уравнении матрицы A(t), убедимся в том, что корни этого уравнения обладают производными, суммируемыми в интервале (если — простое собственное число матрицы А, то у определителя матрицы А — по крайней мере один минор n-1 – го порядка отличен от нуля). Таким образом, в дифференциальных уравнениях (2.2.6) элементы матрицы суммируемы в интервале , т.е. система дифференциальных уравнений (2.2.6) в интервале L – диагональна.

Теорема 2 Если элементы матрицы A(t) имеют производные, суммируемые в интервале при достаточно большом τ, и предельная матрица не имеет кратных собственных чисел, система дифференциальных уравнений

приводится линейной подстановкой к L – диагональному виду

где B(t) – матрица, составленная из собственных векторов, а

W(t) – диагональная матрица, составленная из собственных чисел матрицы A(t) , C(t) – матрица, элементы которой суммируемы в интервале при достаточно большом 1 .

2) Укажем, далее, ещё один важный случай приведения системы дифференциальных уравнений к L – диагональному виду посредством линейной подстановки. Положим в уравнениях (2.2.1)

где B(t), как и в теореме (II), матрица, в столбцах которой расположены составляющие собственных векторов матрицы A(t), т.е. матрица, определяемая уравнением

а W(t) – диагональная матрица, составленная при каждом значении переменной t из собственных чисел матрицы A(t). Заметим предварительно, что матричное уравнение (2.2.8) определяет матрицу B(t) неоднозначно. Каждому собственному вектору матрицы A(t) можно приписать свой произвольный, отличный от нуля, скалярный множитель, т.е. матрице B(t) можно приписать в качестве множителя справа произвольную неособенную диагональную матрицу . Ниже мы будем предполагать, что при построении матрицы B(t) система собственных векторов матрицы A(t) выбирается с таким расчётом, чтобы у матрицы все элементы, лежащие на главной диагонали, были тождественно равны нулю. Покажем, как удовлетворить этому условию. Пусть — матрица, составленная из произвольной системы собственных векторов матрицы A(t). Положим

Обозначим через элементы матрицы , лежащие на главной диагонали, через — элементы диагональной матрицы . Тогда, приравнивая к нулю все элементы матрицы , лежащие на главной диагонали, получим уравнения

определяющие функции с точностью до произвольных постоянных множителей. Итак, при указанном выше дополнительном условии матрица B(t) определяется уравнением (2.2.8) с точностью до произвольного числа диагонально-матричного множителя справа.

Осуществляя в дифференциальных уравнениях (2.2.1) линейную подстановку (2.2.7) и принимая во внимание соотношение (2.2.8), получим систему дифференциальных уравнений:

или после умножения слева на

Определим теперь матрицу S(t), которая до сих пор оставалась произвольной, матричным уравнением

На главных диагоналях матриц, образующих левую и правую части уравнения (2.2.11), расположены элементы, тождественно равные нулю. Сравнивая остальные элементы этих двух матриц, найдём

где — элементы матриц S(t) и G(t). На главной диагонали матрицы S(t) можно расположить произвольные функции. Для определённости положим

Если матрица S(t) удовлетворяет уравнению (2.2.11), системе дифференциальных уравнений (2.2.9) можно придать вид

или после умножения слева на обратную матрицу

Если элементы матриц G(t)S(t) и суммируемы в интервале при достаточно большом значении τ и , система дифференциальных уравнений (2.2.14) L – диагональна в интервале при достаточно большом значении . Действительно, в этом случае существует замкнутый интервал , в котором , элементы матрицы непрерывны и, следовательно, элементы матрицы суммируемы.

Итак, мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 3. Пусть B(t) – матрица, составленная из собственных векторов, а W(t) – диагональная матрица, составленная из собственных чисел матрицы A(t) , причём система собственных векторов матрицы A(t) подобрана так, что у матрицы все элементы, лежащие на главной диагонали тождественно равны нулю. Пусть далее S(t) – матрица, удовлетворяющая уравнению . Тогда, если элементы матриц G(t)S(t) и суммируемы в интервале при достаточно большом значении τ и , система дифференциальных уравнений

приводится линейной подстановкой к L – диагональному виду

где C(t) – матрица, элементы которой суммируемы в интервале при достаточно большом . (Заметим, что при отдельных значениях t, в частности при , матрица A(t) может иметь при этом кратные собственные числа).

3) Укажем, далее, некоторые простейшие обобщения теорем (2) и (3), которые понадобятся нам в ходе дальнейшего изложения.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

где A(t)— матрица, обладающая теми же свойствами, что и в теореме (2), а A₀(t)— матрица, элементы которой суммируемы в интервале . Осуществляя в дифференциальных уравнениях (2.2.15) указанную в теореме (2) линейную подстановку , получим систему дифференциальных уравнений

или после умножения слева на

Как мы показали уже при доказательстве теоремы (2) , элементы матриц и имеют производные, суммируемы в интервале при достаточно большом . Таким образом, в дифференциальных уравнениях (2.2.16) элементы матрицы суммируемы в интервале , т.е. система дифференциальных уравнений (2.2.16) в интервале L – диагональная. Мы пришли к следующему обобщению теоремы (2).

Теорема 4 Если элементы матриц A₀(t) и суммируемы в интервале при достаточно большом τ и матрица не имеет кратных собственных чисел, система дифференциальных уравнений

приводится линейной подстановкой к L – диагональному виду

где B(t) – матрица, составленная из собственных векторов, а W(t) – диагональная матрица, составленная из собственных чисел матрицы A(t) , C(t) – матрица, элементы которой суммируемы в интервале при достаточно большом 1 .

4) Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

Пусть B(t) – матрица, составленная из собственных векторов, а W(t) – диагональная матрица, составленная из собственных чисел матрицы ,

Причём система собственных векторов, образующая матрицу B(t), подобрана так, что у матрицы все элементы, лежащие на главной диагонали, тождественно равны нулю.

Осуществляя в дифференциальных уравнениях (2.2.17) линейную подстановку

получим систему дифференциальных уравнений

или после умножения слева на

Выполняя в (2.2.18) дифференцирование по t, найдём

или после умножения слева на

так как согласно (1.2.2) .

Диагональные элементы матрицы, образующей левую часть равенства (2.2.21), тождественно равны нулю. Таким образом,

если звёздочкой у матрицы обозначить операцию замены элементов, лежащих на главной диагонали, нулями.

Положим теперь , где G₁(t) и G₂(t) – матрицы, у которых элементы, лежащие на главной диагонали, тождественно равны нулю, а остальные элементы определяются уравнениями

и в качестве матрицы S(t), фигурирующей в (2.2.19), выберем матрицу, у которой элементы, лежащие на главной её диагонали, тождественно равны нулю, а остальные элементы определяются уравнением

Согласно(2.2.24) и системе дифференциальных уравнений (2.2.20) можно придать вид

или после умножения слева на обратную матрицу

Если элементы матриц суммируемы в интервале при достаточно большом и , система дифференциальных уравнений (2.2.25) L – диагональна в интервале при достаточно большом значении . Действительно, в этом случае существует замкнутый интервал , в котором , элементы матрицы непрерывны и, следовательно, элементы матрицы C(t) суммируемы. Мы пришли к следующему обобщению теоремы (3):

Теорема 5 Пусть B(t) – матрица, составленная из собственных векторов, а W(t) – диагональная матрица, составленная из собственных чисел матрицы()(), причём система собственных векторов, образующая матрицу B(t), подобрана так, что у матрицы все элементы, лежащие на главной диагонали, тождественно равны нулю. Пусть, далее, — матрицы, у которых элементы, лежащие на главной диагонали, тождественно равны нулю, а остальные элементы определяются уравнениями

Тогда, если элементы матриц суммируемы в интервале при достаточно большом и , система дифференциальных уравнений

приводится линейной подстановкой к L – диагональному виду

где C(t) – матрица, элементы которой суммируемы в интервале при достаточно большом .

3 Частные случаи преобразования систем дифференциальных уравнений к L – диагональному виду

3.1 Приведение к L – диагональному виду линейной подстановкой

Рассмотрим уравнение второго порядка

(функцию p(t),будем предполагать вещественной). Полагая

заменим дифференциальное уравнение (3.1.1) эквивалентной системой уравнений

Составим характеристическое уравнение:

Так как, по предположению, , существует такой замкнутый интервал , в котором и, следовательно, характеристическое уравнение не имеет кратных корней. Рассмотрим отдельно два случая.

1) при . В этом случае матрица A(t) в интервале имеет вещественные собственные числа и . Составляющие первого собственного вектора можно принять равными <1, >, составляющие второго собственного вектора – соответственно <1, >. В соответствии с теоремой (2) приведение системы дифференциальных уравнений (3.1.2) к L – диагональному виду достигается линейной подстановкой

Действительно, осуществляя в уравнениях (3.1.2) подстановку (3.1.3), получим систему дифференциальных уравнений

в которой коэффициенты, не лежащие на главной диагонали, суммируемые в интервале , т.е. L – диагональную систему уравнений.

В данном случае разность не меняет знака при функции и непрерывны при и, следовательно, условия теоремы (1) выполняются. Таким образом, дифференциальные уравнения (3.1.3), в соответствии с теоремой (1), имеют одно решение вида

и второе решение вида

Подставляя (3.1.4) и (3.1.5) в (3.1.3), найдём, что дифференциальное уравнение (3.1.1) при имеет одно решение, у которого

и второе решение, у которого

Итак, при дифференциальное уравнение (3.1.1) имеет два решения, для одного из которых имеют место асимптотические формулы

для второго — асимптотические формулы

Пользуясь формулами (2.1.7) и (2.1.9), можно построить асимптотические разложения для функций , а затем, в соответствии с формулами (3.1.6) и (3.1.7), асимптотические разложения для решений дифференциального уравнения (3.1.1). В данном случае

Формулы (2.1.7) в данном случае принимают вид:

Заменяя в формулах (3.1.6) и (3.1.7) функции их асимптотическими разложениями (2.1.9), получим для первого из рассматриваемых нами решений дифференциального уравнения (3.1.1) асимптотические ряды

а для второго из решений – ряды

где — функции, последовательно определяемые формулами (3.1.10).

В рассматриваемом случае

при и расходится при

т.е. Таким образом, условие сходимости (2.1.8) в данном случае принимает вид

2) В этом случае , Приведение системы дифференциальных уравнений (3.1.2) к L – диагональному виду достигается линейной подстановкой

Осуществляя в уравнениях (3.1.2) подстановку (3.1.14), получим L – диагональную систему дифференциальных уравнений

Разность и в этом случае не меняет знака при будучи тождественно равной нулю, и в соответствии с теоремой (1) дифференциальные уравнения (3.1.15) имеют одно решение вида

и второе решение вида

Подставляя (3.1.16) и (3.1.17) в (3.1.14), найдём, что дифференциальное уравнение (3.1.1) при имеет одно решение, у которого

и второе решение, у которого

В рассматриваемом случае все функции

тождественно равны нулю, и формулы (2.1.7) принимают вид (3.1.20):

Заменяя в формулах (3.1.18) и (3.1.19) функции их асимптотическими разложениями (2.1.9), получим для первого из рассматриваемых нами решений дифференциального уравнения (3.1.1) асимптотические ряды

а для второго из решений – ряды

где — функции, последовательно определяемые формулами (3.1.20).

В данном случае

а так как все интегралы равны нулю. Таким образом, ряды (3.1.21) и (3.1.22) сходятся абсолютно и равномерно в бесконечном интервале , если T удовлетворяет неравенству

Как видно из формул (3.1.20),

Действительно, если соотношения (3.1.24) справедливы при каком-либо значении индекса l, то согласно (3.1.20) они справедливы и при следующем значении этого индекса, в то же время при l=0 соотношения (3.1.24) выполняются. Таким образом, построенные нами решения (3.1.21)и (3.1.22) дифференциального уравнения (3.1.1) являются комплексно-сопряжёнными. Вместо комплексно-сопряжённых решений (3.1.21) и (3.1.22) можно ввести в рассмотрение два вещественных решения дифференциального уравнения (3.1.1), определяемые рядами

Для этих двух вещественных решений дифференциального уравнения (3.1.1) справедливы, в частности, асимптотические формулы

так как, согласно (3.1.20), все функции стремятся к нулю при неограниченном возрастании переменной t.

3.2 Приведение к L – диагональному виду линейной подстановкой

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

в любом конечном интервале

Заметим предварительно, что из условий суммируемости, указанных в (3.2.1), следует расходимость интеграла

Действительно, если предположить, что , то

Так как в этом случае и . Но если функция имеет производную, суммируемую в интервале , то функция стремится к отличному от нуля пределу и, следовательно, не может быть суммируемой в интервале . Мы приходим к противоречию, чем и доказывается расходимость интеграла По условиям суммируемости, указанным в (3.2.1), функция имеет производную, суммируемую в интервале , и

Действительно, если бы функция при стремилась к отличному от нуля пределу, то интеграл

расходился бы согласно (3.2.2). Далее,

Функция непрерывна при , следовательно, если хотя бы в одной точке функция p(t) отлична от нуля, то функция непрерывна в любом конечном интервале . Таким образом, отбросив тот случай, в котором функция p(t) тождественно равна нулю при [в этом случае теряют смысл условия, указанные в (3.2.1)], мы придём к тому выводу, что функция p(t) должна быть положительной и непрерывной вместе со своей первой производной в любом конечном интервале .

Полагая заменим дифференциальное уравнение (3.2.1) эквивалентной системой дифференциальных уравнений

В данном случае

Чтобы построить матрицу B(t), из произвольной системы собственных векторов матрицы A(t) сперва составим матрицу , а затем будем искать B(t) в виде произведения , где — диагональная матрица. Полагая

Как мы показали выше, для определения элементов матрицы следует приравнять их логарифмические производные диагональным элементам матрицы , взятым с обратным знаком. В данном случае получим уравнения

суммируемы в интервале в соответствии с условиями суммируемости, указанными в (3.2.1). В то же время

Согласно (3.2.3) и существует такой интервал , в котором . В соответствии с теоремой (3) система дифференциальных уравнений (3.2.4) в интервале приводится к L – диагональному виду линейной подстановкой .

Согласно (3.2.5) и (3.2.7) эта линейная подстановка имеет вид

Действительно, осуществляя в уравнениях (3.2.4) подстановку (3.2.8), получим систему дифференциальных уравнений (3.2.9)

в которой все коэффициенты, не лежащие на главной диагонали, суммируемы в интервале . Разность в данном случае не меняет знака при , будучи тождественно равной нулю; функция p(t) непрерывна в любом конечном интервале , и в соответствии с теоремой (1) дифференциальные уравнения (3.2.9) имеют одно решение вида

и второе решение вида

Подставляя (3.2.10) и (3.2.11) в (3.2.8), найдём, что дифференциальное уравнение (3.2.1) имеет одно решение, у которого

и второе решение, у которого

Пользуясь методом, изложенным в п.1 второй главы, можно построить асимптотические разложения для функций , фигурирующих в формулах (3.2.12) и (3.2.13). Отделяя вещественную и мнимую части в каком-либо из двух комплексных решений (3.2.12) и (3.2.13) дифференциального уравнения (3.2.1), получим два вещественных решения этого дифференциального уравнения, для которых справедливы, в частности, асимптотические формулы

так как, согласно (3.2.3), произведение стремятся к нулю при неограниченном возрастании переменной t.

Укажем некоторые примеры функций p(t), удовлетворяющих условиям, указанным в (3.2.1).

1) Условиям, указанным в (3.2.1), удовлетворяет функция

если в бесконечном интервале

Действительно, в этом случае

2) Функция p(t) удовлетворяет условиям, указанным в (3.2.1), если при не меняют знака, начиная с какого-либо достаточно большого значения переменной t, и В этом случае можно указать такое достаточно большое τ, что при , а производные не меняют знака. При этом значении τ , так как

В то же время и , так как

3.3 Простой пример

В качестве примера рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:

Условия, налагаемые на уравнение, примут вид:

Легко видеть, что данное условие выполняется при Полагая заменим исходное дифференциальное уравнение эквивалентной системой уравнений

Приведение нашей системы дифференциальных уравнений к L – диагональному виду достигается линейной подстановкой

Действительно, осуществляя в уравнениях указанную подстановку, получим систему дифференциальных уравнений

которая является L – диагональной.

Далее, выполняя указанные преобразования, получим асимптотику решений при :

Таким образом, не имея точного решения данного дифференциального уравнения, мы оценили поведение решений при .

Для первого решения имеем следующий график:

Для второго решения имеем следующий график:

Мы видим, что наше приближенное решение действительно приближается к найденным асимптотам.

Данные рисунки выполнены с помощью математического пакета Mathcad 13.

Заключение

В работе рассмотрен один из методов исследования асимптотического поведения решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Идея этого метода заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений к специальному виду, названному L – диагональным. Такого рода преобразование в ряде случаев может быть выполнено путём элементарных линейных подстановок. Построение асимптотических разложений для решений линейных дифференциальных уравнений после преобразования их к L – диагональному виду выполняются чрезвычайно просто. Также в работе приведены общие сведения об асимптотических разложениях, решена задача о нахождении оптимального алгоритма поиска асимптотик для систем дифференциальных уравнений второго порядка.

Как мы видим, предложенный метод успешно реализуется на конкретных задачах. Основное достоинство этого метода в том, что он сочетает в себе эффективность и распространённость применения.

Список использованной литературы

• Вазов, В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Вазов – М.: Мир, 1968.
• Зайцев, В. Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин — М.: Физматлит, 2001. —576 с
• Калинин, В. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения (пособие для практических занятий) / В.Ф. Калинин – ФГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2005. – 68 с.
• Камкэ, А. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А. Камкэ – М.: Наука, 1976.
• Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Коддингтон Э.А., Н. Левинсон – М.: ИЛ, 1958.
• Краснов, М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями / М.Л Краснов., А.И Киселев., Г.И. Макаренко — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 256 с.
• Кузьмина, Р. П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений / Р.П. Кузьмина — М.: Едиториал УРСС, 2003.
• Матвеев, Н. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. / Н. Матвеев — М: Высшая Школа, 1967.- 557c
• Найфэ, А. Методы возмущений / А. Найфэ – М.: Мир, 1976.
• Пантелеев, А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов — М.: Изд-во МАИ, 2000.- 380с.
• Понтрягин, Л.С. Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Известия Ак. наук СССР, серия метем, 21(1957).
• Пушкарь, Е. А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. – М.: МГИУ, 2007. – 254 с.
• Рапопорт, И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений / И.М. Рапопорт – Киев.: Академии наук Украинской ССР, 1954.
• Рапопорт, И.М. Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений, ДАН СССР, Киев, 1951 г.
• Самойленко, А.М., Дифференциальные уравнения: примеры и задачи / А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк – М.: Высшая школа, 1989. – 383 с.
• Тамаркин, Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды / Я.Д. Тамаркин — Санкт-Петербург, 1971 г.
• Федорюк, М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М.В. Федорюк– М.: Наука, 1983.
• Фещенко, С.Ф. Асимптотические методы в тоерии линейных дифференциальных уравнений / C. Ф. Фещенко, Н.И. Шкиль,Л.Д. Николенко – Киев: Наукова думка, 1966.
• Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970.
• Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц — М.: Наука, 1969. – 424 с.

Скачать: У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ
У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ
У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ