Асимптоты графика функции их уравнения

Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие асимптоты

Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика функции облегчается.

Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её. Например, стремиться соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное. Так и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное возможное расстояние, но так и не касается его.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.

Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты

Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны оси Oy .

Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.

Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x) , если выполняется хотя бы одно из условий:

• (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a слева, равен плюс или минус бесконечности)
• (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a справа, равен плюс или минус бесконечности).

• символом обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a;
• символом обозначается стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты графика функции можно искать не только в точках разрыва, но и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.

Пример 1. График функции y=lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy ) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Пример 4. Найти асимптоты график функции .

Горизонтальные асимптоты

Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны оси Ox .

Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x ) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).

Пример 5. График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox ), так как предел функции при стремлении «икса» к минус бесконечности равен нулю:

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении «икса» к плюс бесконечности равен бесконечности:

Наклонные асимптоты

Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число — точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше — угловой коэффициент k, который показывает угол наклона прямой, и свободный член b, который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё — уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.

Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:

(1)

(2)

Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.

В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.

При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b , не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0 .

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Пример 6. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0 , т.е.

Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:

Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.

Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:

Выясним наличие наклонной асимптоты:

Получили конечные пределы k = 2 и b = 0 . Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).

Пример 7. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1 . Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:

,

.

Заключение: x = −1 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция — дробно-рациональная, пределы при и при будут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой — наклонной асимптоты:

Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:

На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты — чёрным.

Пример 8. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:

.

Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при и не имеет асиптоты при .

Пример 9. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Сначала ищем вертикальные асимптоты. Для этого найдём область определения функции. Функция определена, когда выполняется неравенство и при этом . Знак переменной x совпадает со знаком . Поэтому рассмотрим эквивалентное неравенство . Из этого получаем область определения функции: . Вертикальная асимптота может быть только на границе области определения функции. Но x = 0 не может быть вертикальной асимптотой, так как функция определена при x = 0 .

Рассмотрим правосторонний предел при (левосторонний предел не существует):

.

Точка x = 2 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = 2 — вертикальная асимптота графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты:

Итак, y = x + 1 — наклонная асимптота графика данной функции при . Ищем наклонную асимптоту при :

Итак, y = −x − 1 — наклонная асимптота при .

Пример 10. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет область определения . Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения, найдём односторонние пределы функции при :

,

.

Оба предела нашли, используя первый замечательный предел. Заключение: x = 0 — точка устранимого разрыва, поэтому у графика функции нет вертикальных асимптот.

Ищем наклонные асимптоты:

Таким образом, при наклонной асимптотой графика данной функции является прямая y = x . Но при найденные пределы не изменяются. Поэтому при наклонной асимптотой графика данной функции также является y = x .

Пример 11. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Сначала найдём вертикальные асимптоты. Для этого найдём точки разрыва функции и их виды. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому должно соблюдаться условие . Функция имеет две точки разрыва: , . Чтобы установить вид разрыва, найдём односторонние пределы:

Так как все пределы равны бесконечности, обе точки разрыва — второго рода. Поэтому график данной функции имеет две вертикальные асимптоты: x = 2 и x = −2 .

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция является дробно-рациональной, пределы при и при совпадают. Поэтому, определяя коэффициенты прямой, ищем просто пределы:

Подставляем найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты y = 2x . Таким образом, график данной функции имеет три асимптоты: x = 2 , x = −2 и y = 2x .

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 12. Найти асимптоты графика функции .

Пример 13. Найти асимптоты графика функции .

Асимптоты

п.1. Понятие асимптоты

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:

Вертикальная асимптота x=3	Горизонтальная асимптота y=1
Наклонная асимптота y=x

п.2. Вертикальная асимптота

Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).

Например:
Исследуем непрерывность функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\)
ОДЗ: \(x\ne \left\<-3;1\right\>\)
\(\left\\notin D\) — точки не входят в ОДЗ, подозрительные на разрыв.
Исследуем \(x_0=-3\). Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(-3-0-1)(-3-0+3)>=\frac<1><-4\cdot(-0)>=+\infty\\ \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(-3+0-1)(-3+0+3)>=\frac<1><-4\cdot(+0)>=-\infty \end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка \(x_0=-3\) — точка разрыва 2-го рода.
Исследуем \(x_1=1\). Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(1-0-1)(1-0+3)>=\frac<1><-0\cdot 4>=-\infty\\ \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(1+0-1)(1+0+3)>=\frac<1><+0\cdot 4>=+\infty \end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка \(x_1=1\) — точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\) две точки разрыва 2-го рода \(\left\\), соответственно – две вертикальные асимптоты с уравнениями \(x=-3\) и \(x=1\).

п.3. Горизонтальная асимптота

Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\)
Ищем предел функции на минус бесконечности: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(-\infty)(-\infty)>=+0 \end На минус бесконечности функция имеет конечный предел \(b=0\) и стремится к нему сверху (о чем свидетельствует символическая запись +0).
Ищем предел функции на плюс бесконечности: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(+\infty)(+\infty)>=+0 \end На плюс бесконечности функция имеет тот же конечный предел \(b=0\) и также стремится к нему сверху.
Вывод: у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\) одна горизонтальная асимптота \(y=0\). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.

Итоговый график асимптотического поведения функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\):

п.4. Наклонная асимптота

Число наклонных асимптот не может быть больше двух.

Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции \(y=\frac\), очевидно, есть вертикальная асимптота x=1. При этом: \begin \lim_\frac=-\infty,\ \ \lim_\frac=+\infty \end

График асимптотического поведения функции \(y=\frac\):

п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции

На входе: функция \(y=f(x)\)
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.

п.6. Примеры

Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) \( y=\frac<4x> \)
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: \(x=\pm 1\)
Односторонние пределы в точке \(x=-1\) \begin \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(-1-0)><(-1-0+1)(-1-0-1)>=\frac<-4><-0\cdot(-2)>=-\infty\\ \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(-1+0)><(-1+0+1)(-1+0-1)>=\frac<-4><+0\cdot(-2)>=+\infty \end Точка \(x=-1\) — точка разрыва 2-го рода
Односторонние пределы в точке \(x=1\) \begin \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(1-0)><(1-0+1)(1-0-1)>=\frac<4><2\cdot(-0)>=-\infty\\ \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(1+0)><(1+0+1)(1+0-1)>=\frac<4><2\cdot(+0)>=+\infty \end Точка \(x=1\) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет две вертикальные асимптоты \(x=\pm 1\)

График асимптотического поведения функции \(y=\frac<4x>\)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin b_1=\lim_e^<\frac<1>>=e^0=1\\ b_2=\lim_e^<\frac<1>>=e^0=1\\ b=b_1=b_2=1 \end Функция имеет одну горизонтальную асимптоту \(y=1\). Функция стремится к этой асимптоте на минус и плюс бесконечности.

График асимптотического поведения функции \(y=e^<\frac<1>>\)

в) \( y=\frac \)
Заметим, что \( \frac=\frac<(x+1)(x-1)>=\frac<(x^2)(x+1)><(x+1)(x-1)>=\frac \) $$ y=\frac\Leftrightarrow \begin y=\frac\\ x\ne -1 \end $$ График исходной функции совпадает с графиком функции \(y=\frac\), из которого необходимо выколоть точку c абсциссой \(x=-1\).

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: \begin k_1=\lim_\frac=\left[\frac<\infty><\infty>\right]=\lim_\frac\right)>=\frac<1+0><1-0>=1\\ k_2=\lim_\frac=\left[\frac<\infty><\infty>\right]=\lim_\frac\right)>=\frac<1+0><1-0>=1\\ k=k_1=k_2=1 \end У функции есть одна наклонная асимптота с \(k=1\).
Ищем свободный член: \begin b=\lim_(y-kx)= \lim_\left(\frac-2\right)= \lim_\frac= \lim_\frac=\left[\frac<\infty><\infty>\right]=\\ =\lim_\frac=\frac<1+0><1-0>=1 \end Функция имеет одну наклонную асимптоту \(y=x+1\).
График асимптотического поведения функции \(y=\frac\)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin b_1=\lim_xe^<\frac<1><2-x>>=-\infty\cdot e^0=-\infty\\ b_2=\lim_xe^<\frac<1><2-x>>=+\infty\cdot e^0=+\infty \end Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

График асимптотического поведения функции \(y=xe^<\frac<1><2-x>>\)

Асимптоты графика функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

Достаточно часто на практике приходится иметь дело с функциями, которые определены не на всей числовой прямой, либо принимают не любые значения из множества действительных чисел.

В таких случаях при построении графиков функций получаем, что график функции не является непрерывной линией, а имеет некоторые разрывы. В результате чего становится целесообразным ввести понятие «асимптота».

Асимптота — это такая прямая, к которой график заданной функции приближается сколько угодно близко, но не пересекает ее.

Среди асимптот выделяют следующие виды:

• вертикальная асимптота (параллельна оси ОY);
• горизонтальная асимптота (параллельна оси ОХ);
• наклонная асимптота (расположена под углом к осям координат).

Отметим, что асимптоты на графике функции изображаются пунктирной линией.

Вертикальная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $x=a$, для которой выполняются условия $\mathop<\lim >\limits_ f(x)=\infty $ или $\mathop<\lim >\limits_ f(x)=\infty $.

Вертикальная асимптота может быть только в точках разрыва функции $y=f(x)$, т.е. в тех точках, где данная функция неопределенна.

Найти вертикальную асимптоту графика данной функции: $y=\frac<5> $.

Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой (см. рис.).

Горизонтальная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $y=b$, для которой выполняются условия $\mathop<\lim >\limits_ f(x)=b$.

Готовые работы на аналогичную тему

Найти горизонтальную асимптоту графика данной функции: $y=5^ $.

Следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой (см. рис.).

График функции может иметь только правую либо только левую горизонтальную асимптоту.

Наклонная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $y=kx+b$, для которой выполняется условие $\mathop<\lim >\limits_ [f(x)-kx+b]=0$.

Условия существования наклонной асимптоты определяются следующей теоремой.

Если функция $y=f(x)$ имеет конечные пределы $\mathop<\lim >\limits_ \frac =k;\mathop<\lim >\limits_ [f(x)-kx]=b$, то данная функция имеет наклонную асимптоту, заданную уравнением $y=kx+b$ при $x\to \infty $.

Частным случаем наклонной асимптоты при $k=0$ является горизонтальная асимптота.

Наклонная асимптота может быть левой (график приближается справа), правой (график приближается слева) или двусторонней (график приближается с обоих сторон).

Найти наклонную асимптоту графика данной функции: $y=\frac > $.

Следовательно, прямая $y=x+2$ является наклонной асимптотой (см. рис.). В данном случае имеем двустороннюю наклонную асимптоту.

Найти наклонную асимптоту графика данной функции: $y=\frac > $.

Следовательно, график данной функции не имеет наклонной асимптоты.

График функции может иметь одновременно несколько асимптот, например, вертикальную и наклонную.

Найти асимптоты графика данной функции: $y=\frac <3x^<2>> $.

Область определения функции: $D_ =\ < x\in R|x\ne 1\>$.

Следовательно, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой (см. рис.).

Следовательно, прямая $y=3x+3$ является наклонной асимптотой (см. рис.). В данном случае имеем двустороннюю наклонную асимптоту.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 17 02 2021