Ассоциативный способ решения уравнений это

Комплексные числа и их приложение к решению уравнений третьей и четвертой степени (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ

ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ

И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

Учебное пособие для студентов

кандидат физико-математических наук, доцент

Комплексные числа и их приложение к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета / сост.: – Воронежский госпедуниверситет, 2010. – 92 с.

Учебное пособие представляет собой курс лекций и практических занятий по теме «Комплексные числа». Пособие делится на четыре части: комплексные числа в алгебраической форме, геометрическая интерпретация комплексных чисел, комплексные числа в тригонометрической форме, приложение теории комплексных чисел к решению кубических уравнений и уравнений 4-й степени. В заключение приводится краткий исторический обзор формирования понятия комплексного числа и действий над комплексными числами.

Предназначено для студентов физико-математического факультета Воронежского госпедуниверситета.

Теория комплексных чисел является составной частью курса «Высшая алгебра» в педагогических вузах и предполагает глубокое знание ее основ, а также методов и приемов, применяемых при решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания. Будущие учителя должны грамотно и непринужденно оперировать с основными понятиями, действиями и интерпретациями комплексных чисел, поскольку азы теории комплексных чисел являются частью учебной программы по математике для профильных классов. Это объясняется тем, что, будучи непосредственным обобщением понятия действительного числа, комплексное число является завершающим элементом в стройной и строгой логической
конструкции понятия числа.

Алгебраическая природа комплексного числа состоит в том, что комплексное число есть элемент алгебраического расширения С поля действительных чисел R , получаемого присоединением к полю R корня i многочлена f(x) = x2 + 1 . Получающееся таким путем поле С называется полем комплексных чисел.

Наиболее важное свойство комплексных чисел состоит в том, что оно алгебраически замкнуто, т. е. любой многочлен с коэффициентами из С разлагается на линейные множители. Иначе это свойство алгебраической замкнутости выражается в том, что любой многочлен степени n ≥ 1 с коэффициентами из С имеет в поле комплексных чисел по крайней мере один корень (теорема Даламбера – Гаусса).

Изучение теории комплексных чисел выполняет следующие образовательные функции.

1) Расширение математического кругозора и повышение математической культуры учащихся.

Наличие у комплексных чисел более тесной, нежели у других числовых множеств, связи с геометрией (в частности, с векторным исчислением) представляет широкие возможности, с одной стороны, применения алгебраических методов к решению геометрических
задач (задачи на построение ГМТ), а с другой стороны, наглядных геометрических интерпретаций различных алгебраических операций (действий с комплексными числами в тригонометрической форме).

2) Логическое завершения развития понятия числа.

3) Выделение из множества всех алгебраических уравнении лишь тех, которые решаются в радикалах, т. е. для которых существуют формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты.

Сюда относится решение уравнений 3-й степени (и сводящихся к ним уравнений 4-й степени), поскольку по теореме Абеля: «Ни для какого натурального числа нельзя указать формулу, которая выражала бы корни любого уравнения п-й степени через его коэффициенты при помощи радикалов».

В первой главе пособия сначала вводится понятие комплексного числа в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, а также операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме; излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Во второй главе изучается геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.

В третьей главе рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Четвертая глава посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.

Завершает пособие краткая историческая справка о возникновении понятия комплексного числа.

Особенностью изложения материала является форма в виде лекционных и практических занятий. Эта форма выбрана для удобства использования представленного материала как преподавателями, так и студентами. В конце каждой из первых трех глав приведены примерные варианты контрольных работ.

Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Занятие 1. Введение понятия комплексного числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Степени мнимой единицы

Понятие числа прошло длинный исторический путь. В процессе развития математики числовая система расширялась не один раз. Уже на ранних этапах развития человечества в результате счета возникают натуральные числа. Постепенно складывается представление о бесконечности множества натуральных чисел и появляется понятие натурального ряда бесконечной последовательности чисел 1, 2, 3, 4, 5, . . Затем возникают дроби, нуль, отрицательные числа, необходимые для
решения линейных уравнений вида

Поскольку рациональных чисел было достаточно для того, чтобы с любой степенью точности выразить результат любого измерения, то долгое время считали, что результат измерения всегда выражается или натуральным числом, или отношением двух таких чисел, т. е. дробью.

Однако еще в школе Пифагора был обнаружен тот факт, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и поэтому не может быть точно выражена рациональным числом. Это открытие привело в конце концов к тому, что в математику вошли иррациональные числа.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел, которое является расширением множества рациональных чисел, поскольку на нем также определены четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на нуль).

Важное место в алгебре занимает решение алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

,

где а0, а1, . . . , аn — действительные числа. Однако оказалось, что для решения таких уравнений действительных чисел явно не достаточно. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

Обозначим этот корень через i. Таким образом, по определению

Символ i называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел а и b составляется выражение вида

Полученные выражения назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части (от французских слов rее1 – действительный и imaginaire – мнимый, воображаемый). Название комплексное переводится как составное — по виду выражения z = a+bi.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

где а и b – действительные числа, а i – некоторый символ,
удовлетворяющий условию i= . Число а называется
действительной частью комплексного числа z=a+bi, а
число b его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

Комплексные числа вида z=a+0∙i=а являются
действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел. Если потребовать, как мы сделаем это ниже, чтобы операции сложения и умножения комплексных чисел не выводили за пределы множества комплексных чисел и обладали всеми свойствами одноименных операций на множестве действительных чисел, то множество комплексных чисел будет расширением множества действительных чисел.

Комплексные числа вида z=0+bi называются чисто
мнимыми.

Два комплексных числа z1=a1+b1i и z2=a2+b2i
называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т. е. если выполняются равенства

Определим операции сложения и умножения комплексных чисел.

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число вида

.

Произведение двух комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i можно найти, почленно умножая числа z1 и z2:

.

Таким образом, произведением двух комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется комплексное число z1 ∙ z2 вида

.

Пример. Найдите сумму комплексных чисел z1= 2 + 3i и z2= –3 – i.

Пример. Найдите произведение комплексных чисел z1= 2 + 3i и z2= –1 – i .

Свойства операций сложения и умножения комплексных чисел

Каковы бы ни были комплексные числа , справедливы следующие равенства.

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

.

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

.

3. Коммутативный закон умножения:

.

4. Ассоциативный закон умножения:

.

5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

.

Проведем доказательство свойства 3 (остальные свойства доказываются аналогично).

Доказательство. Пусть , . Тогда поскольку а1 , b1 , a2 и b2 – действительные числа, для которых умножение коммутативно, получаем:

Кроме того, в множестве комплексных чисел есть «особые» элементы

0 = 0 + 0i и 1= l + 0i ,

которые обладают такими же свойствами, что и на множестве действительных чисел, а именно, для любого комплексного числа z = а + bi имеют место равенства:

8. Произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Доказательство. Пусть , и . Тогда по определению равенства и произведения двух комплексных чисел получаем систему уравнений :

Умножив уравнение (1) на а2 , а уравнение (2) на b2 и сложив полученные уравнения, приходим к системе :

Возможны два случая.

Тогда из уравнения (1)* следует, что b1b2 = 0.
a) Если b1 = 0 , а b2 ≠ 0, то z1 = a1 + b1i = 0.
б) Если b2 = 0 , а b1 ≠ 0 то из уравнения (2) следует, что a2b1 = 0 , значит, а2 = 0 , т. е. z2 = a2 + b2i = 0.

в) Если b1 = b2 = 0 , то z1 = 0 .

Тогда из уравнения (2)* следует, что, a22 + b22 = 0 , т. е. а2 = b2 = 0 , значит, z2 = 0.

10. Любому комплексному числу z=а+bi соответствует противоположное комплексное число (–z) такое, что z + (–z) = 0 .

11. Всякому комплексному числу z=а+bi, отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число z–1 такое, что z ∙ z–1 = 1 .

Доказательство. Условие z ≠ 0 равносильно условию а2 + b2 > 0 . Вычислим z–1.

.

Пользуясь понятиями противоположного и обратного комплексного числа, определим операции вычитания и деления комплексных чисел.

Для того чтобы найти разность двух комплексных чисел и , достаточно сложить число z1 с числом, противоположным числу z2 , т. е.

.

Пример. Вычислите z1 – z2 , если z1 = 5 – 2i ,

Для того чтобы разделить комплексное число на комплексное число , не равное нулю, достаточно умножить число z1 на число, обратное числу z2 , т. е.

Пример. Вычислите .

.

Степени мнимой единицы

Вычислим степени мнимой единицы i. Прежде всего, как и для действительных чисел, положим i0 = 1 . Тогда

i2 = –1 (по определению мнимой единицы);

Вообще, если натуральный показатель степени mпри делении на 4 дает в остатке r , т. е. если m = 4n+r , где n – натуральное число, то

;

Пример. Вычислите а) i233 ; b) i102; с) i67 ; d) i516.

Решение. а) i233 = i232 + 1 = i ;

Занятие 2. Операция сопряжения и ее свойства.

Модуль комплексного числа.

Извлечение корня квадратного из комплексного числа

Комплексное число называется сопряженным комплексному числу, если

.

Пример. .

Свойства операции сопряжения

2. Для любого действительного числа а справедливо равенство .

3. Для любого действительного числа b справедливо равенство .

Справедливость свойств 1-3 следует непосредственно из определения операции сопряжения.

4. .

Доказательство. Пусть , . Тогда , . Поэтому

.

Доказательство. Пусть , . Тогда

С другой стороны,

.

Полученные одинаковые результаты доказывают справедливость свойства 5 .

Следствие из свойства 5. Для любого натурального числа n справедливо равенство

.

6. .

Справедливость данного равенства следует из равенства и свойства 5: .

7. Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.

.

Модулем комплексного числа z = а + bi называется действительное число вида

.

Непосредственно из свойства 7 следует, что

.

8. Теорема о сопряженном корне.

Если число является корнем уравнения

(1)

с действительными коэффициентами а0, a1 , . . . , аn , то число также является корнем уравнения (1) .

Доказательство. По определению корня имеем :

;

(2)

Применим к обеим частям равенства (2) операцию сопряжения. Из свойств операции сопряжения следует, что

так как все коэффициенты ai — действительные числа (по условию). Кроме того,

; .

.

Последнее равенство означает, что число z = а – bi является корнем уравнения (1) .

Пример. Зная, что корнем уравнения

является число z1 = 2 + i , найти все корни данного уравнения.

Решение. Поскольку все коэффициенты уравнения (3) – действительные числа, то на основании теоремы 8 делаем вывод, что число z2 = 2 – i также является корнем уравнения (3).

Пусть z3 – неизвестный корень уравнения (3), тогда

Разделив обе части последнего равенства на х2 – 4х + 5 , получим

Следовательно, z3 = 3 .

Найдем значение корня квадратного из числа z=а+bi . Пусть

,

где х и у — неизвестные действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем:

.

Последнее уравнение равносильно системе уравнений

Возведем каждое уравнение системы в квадрат и сложим полученные равенства. Решим систему:

Из второго уравнения последней системы находим

,

где в правой части равенства следует иметь в виду арифметический корень, так как сумма х2+у2 неотрицательна. Учитывая, кроме того, что х2 –­­ у2 = а , получаем:

.

Так как , то оба полученные числа положительны. Извлекая из них квадратные корни, получим действительные значения для х и у :

.

Основные методы решения систем повышенной сложности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение всех трех основных методов решения систем уравнений и их комбинаций на примере решения систем повышенной сложности. А также рассмотрим некоторые специфические приемы для упрощения различных типов систем.

Методы решения уравнений — обзор

В этой статье дан краткий обзор всех основных методов решения уравнений. Здесь также приведены ссылки на материалы с подробной информацией по каждому методу. Это дает возможность познакомиться со всеми методами решения уравнений, а в случае необходимости — изучить методы решения уравнений углубленно.

Метод введения новой переменной (замены переменной)

Метод введения новой переменной, он же метод замены переменной, позволяет решать уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) , где f , f₁ и f₂ – некоторые функции, а x – неизвестная переменная, а также уравнения, которые могут быть приведены к указанному виду. Состоит метод во введении новой переменной t=g(x) . Введение переменной позволяет от исходного уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) перейти к уравнению с новой переменной f(t)=0 или f₁(t)=f₂(t) соответственно. Дальше находятся корни полученного уравнения с новой переменной: t₁, t₂, …, t_n . После этого осуществляется возврат к старой переменной, для чего составляется совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n . Решение этой совокупности дает интересующее нас решение исходного уравнения.

Например, метод введения новой переменной позволяет решить уравнение . Здесь стоит принять . Это позволяет перейти от исходного уравнения к квадратному уравнению t 2 −3·t+2=0 с новой переменной t , которое имеет два корня t₁=1 и t₂=2 . Обратная замена происходит путем составления совокупности двух уравнений и . Это рациональные уравнения. Решением первого является x=2 , а решением второго является x=1,5 . Так методом введения новой переменной получено решение исходного уравнения: 1,5 , 2 .

Подробное описание метода введения новой переменной, включающее обоснование метода, алгоритм решения уравнений этим методом и примеры решения характерных уравнений, дано в этой статье.

Метод разложения на множители

Метод разложения на множители предназначен для решения уравнений f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 , где f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) – некоторые выражения, x – переменная. То есть, методом разложения на множители решаются уравнения, в левой части которых находится произведение нескольких выражений, а в правой – нуль. Суть метода состоит в замене решения уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 решением совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения.

Приведем простой пример. Уравнение может быть решено методом разложения на множители. Переходим от исходного уравнения к совокупности двух уравнений и . Иррациональное уравнение имеет единственное решение x₁=1 . Логарифмическое уравнение тоже имеет единственное решение x₂=4 . Значит, совокупность уравнений имеет два решения x₁=1 , x₂=4 . Но области допустимых значений для исходного уравнения, которой является множество (3, +∞) , принадлежит лишь одно из решений x₁=1 , x₂=4 , а именно, x₂=4 . Оно и является единственным корнем уравнения .

Подробное описание этого метода и решения других характерных примеров смотрите в статье «метод разложения на множители».

Метод решения уравнений «дробь равна нулю»

Из названия понятно, что этот метод используется при решении уравнений f(x)/g(x)=0 . Например, он позволяет решить уравнение . Метод состоит в переходе от решения уравнения f(x)/g(x)=0 к решению уравнения f(x)=0 на ОДЗ для исходного уравнения. Следовательно, чтобы решить уравнение , надо решить уравнение (x−1)·(x 2 −4)=0 на ОДЗ для исходного уравнения.

Обоснование метода и примеры с решениями смотрите здесь.

Метод решения уравнений через преобразования

Метод базируется на преобразовании уравнений с целью выстраивания последовательностей равносильных уравнений и уравнений-следствий со сравнительно простыми последними уравнениями, по решениям которых находятся решения исходных уравнений.

Например, для решения уравнения 3·x 4 −48=0 последовательно проводятся два преобразования: переносится слагаемое −48 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком, после чего проводится деление обеих частей уравнения на число 3 . В результате получается равносильное уравнение x 4 =16 , причем очень простое в плане решения. Оно имеет два корня x₁=−2 и x₂=2 . Они и составляют решение исходного уравнения.

Вот другой пример. Замена выражения в левой части уравнения тождественно равным выражением (x−1)·(x+2) дает уравнение-следствие (x−1)·(x+2)=0 , имеющее два корня x₁=1 и x₂=−2 . Проверка показывает, что только первый корень является корнем исходного уравнения, а второй корень – посторонний.

Какие преобразования используются при решении уравнений? Когда нужно делать проверку для отсеивания посторонних корней, а когда такую проверку делать необязательно? Ответы на эти и многие другие вопросы по теме есть в этом материале.

Метод решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам

Иногда в результате преобразования уравнений получаются числовые равенства. Например, уравнение сводится к верному числовому равенству 0=0 , а уравнение сводится к неверному числовому равенству 0=5 . Решением уравнений, сводящихся к верным числовым равенствам, является множество, совпадающее с ОДЗ для исходного уравнения. Так, решением уравнения является множество x≥0 . А уравнения, сводящиеся к неверным числовым равенствам, не имеют решений. То есть, уравнение не имеет решений.

Здесь есть один нюанс. Если среди преобразований, приводящих уравнение к верному числовому равенству, есть возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то нельзя утверждать, что решением уравнения является любое число из ОДЗ. Этот нюанс разобран в статье «решение уравнений, сводящихся к числовым равенствам».

Функционально-графический метод

Обзор методов решения уравнений продолжаем функционально-графическии методом. Этот метод предполагает использование функций, отвечающих частям решаемого уравнения, а точнее, их графиков и свойств. Можно выделить три основных направления функционально-графического метода:

• Графический метод
• Метод, базирующийся на возрастании-убывании функций
• Метод оценки

Давайте рассмотрим их.

Графический метод

Первое направление базируется на использовании графиков функций. Это так называемый графический метод решения уравнений. По этому методу, во-первых, выполняется построение в одной прямоугольной системе координат графиков функций, отвечающих частям уравнения. Во-вторых, по чертежу определяется количество точек пересечения графиков, сколько точек пересечения – столько и корней у решаемого уравнения. В-третьих, определяются абсциссы точек пересечения – это значения корней.

Например, графически можно решить уравнение . Из чертежа, приведенного ниже, видно, что графики имеют единственную точку пересечения с абсциссой 2 . Это единственный корень уравнения.

Метод, базирующийся на возрастании-убывании функций

Второе направление в своей основе имеет использование свойств возрастающих и убывающих функций. Соответствующий метод используется тогда, когда есть возможность подобрать корень уравнения и доказать возрастание функции, отвечающей одной из частей уравнения, и убывание функции, отвечающей другой части уравнения. В этом случае подобранный корень является единственным.
Приведем пример. Для уравнения 3 (1−x) 3 +1=2 x несложно подобрать корень, им является число 1 . Также несложно обосновать убывание функции, соответствующей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Это доказывает единственность подобранного корня.

За более полной информацией следуйте сюда

Метод оценки

Третье направление основано на использовании свойств ограниченности функций. Это так называемый метод оценки. Согласно этому методу, в первую очередь нужно оценить значения выражений, находящихся в левой и правой части уравнения. Если множества, соответствующие полученным оценкам, не пересекаются, то уравнение не имеет корней. Если множества имеют конечное число общих элементов t₁ , t₂ , …, t_n , то решение уравнения f(x)=g(x) заменяется решением совокупности систем , , …, . Если же множества, соответствующие оценкам имеют бесконечно много общих элементов, то надо либо уточнять оценки, либо искать другой метод решения.

Например, методом оценки можно решить уравнение . Значения левой части этого уравнения не превосходят нуля, а значения правой части не меньше нуля. Это позволяет перейти к системе , решение которой дает искомое решение уравнения.

Метод освобождения от внешней функции

Метод освобождения от внешней функции используется для решения уравнений h(f(x))=h(g(x)) , где f , g и h – функции, причем функция y=h(t) принимает каждое свое значение по одному разу, в частности, строго возрастает или строго убывает, а x – независимая переменная. Этот метод состоит в переходе от уравнения h(f(x))=h(g(x)) к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения.

Например, методом освобождения от внешней функции можно решить уравнение . Здесь в качестве внешней функции выступает y=h(t) , где . Эта функция возрастающая как сумма двух возрастающих функций и , значит, каждое свое значение она принимает по одному разу. Это позволяет перейти от исходного уравнения к уравнению . Равносильные преобразования позволяют привести последнее уравнение к квадратному уравнению x 2 +x−2=0 , которое имеет два корня x₁=−2 и x₂=1 . Из этих корней только x₁=−2 принадлежит ОДЗ для исходного уравнения. Следовательно, x₁=−2 – единственный корень исходного уравнения.

Рекомендуем детально разобраться с этим методом решения уравнений, обратившись к материалу статьи «метод освобождения от внешней функции».

Метод решения уравнений через ОДЗ

Через ОДЗ решаются уравнения, области допустимых значений которых являются либо пустыми множествами, либо состоят из конечного количества чисел. Когда ОДЗ есть пустое множество, уравнение не имеет решений. Когда ОДЗ состоит из конечного количества чисел, то следует по очереди проверить эти числа через подстановку. Те из них, которые удовлетворяют решаемому уравнению являются его корнями, остальные – не являются.

Например, уравнение не имеет решений, так как ОДЗ для него есть пустое множество. А для уравнения ОДЗ состоит из двух чисел −1 и 7 . Проверка подстановкой показывает, что −1 является корнем уравнения, а 7 – не является.

Более полная информация по этому методу решения уравнений содержится в этой статье.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Этот метод, в основном, используется для решения иррациональных уравнений. Он заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень с целью избавления от корней. Например, возведение обеих частей уравнения в квадрат дает уравнение без корня 1−5·x=(x−3) 2 . Возведение в нечетную степень дает равносильное уравнение. Возведение в четную степень в общем случае дает уравнение-следствие, поэтому, при этом необходимо позаботиться об отсеивании посторонних корней. Причем отсеивание следует проводить способом, не связанным с ОДЗ, обычно, через проверку подстановкой, так как возведение частей уравнения в четную степень может приводить к появлению посторонних корней в рамках ОДЗ.

Аналогично разбираемый метод может использоваться и для решения уравнений, в которых фигурируют степени с рациональными и иррациональными показателями. Решения соответствующих примеров смотрите здесь.

Метод решения уравнений по определению логарифма

По определению логарифма, как правило, решают уравнения следующего вида log_h(x)f(x)=g(x) , например, log₂(x 2 +4·x+3)=3 , log₂(9−2 x )=3−x , log_x(3·x lgx +4)=2·lgx и т.п.

Согласно методу решения уравнений по определению логарифма, решение уравнения log_h(x)f(x)=g(x) заменяется решением уравнения f(x)=(h(x)) g(x) на ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Например, от уравнения log_x(3·x lgx +4)=2·lgx можно перейти к уравнению 3·x lgx +4=x 2·lgx на ОДЗ для исходного уравнения.

Более полная информация содержится в основной статье.

Метод потенцирования

Методом потенцирования решаются логарифмические уравнения, обе части которых являются логарифмами по одному и тому же основанию, например, lgx=lg(3·x+5) , и т.п. Метод заключается в замене решения уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) решением уравнения f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения. По этому методу от уравнения lgx=lg(3·x+5) следует перейти к уравнению x=3·x+5 на ОДЗ для исходного уравнения, которая определяется двумя условиями: x>0 , 3·x+5>0 .

Обоснование метода и примеры с подробными решениями смотрите в этой статье.

Метод логарифмирования

Метод подразумевает логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же основанию. К нему следует прибегать тогда, когда логарифмирование позволяет избавиться от степеней с переменной в показателях. В частности, его можно использовать для решения показательных уравнений, обе части которых являются степенями с одинаковыми основаниями, например, 5 1−x =5 2·x+1 . Почленное логарифмирование этого уравнения дает очень простое уравнение 1−x=2·x+1 , решение которого дает решение исходного уравнения.

Также метод подходит для решения показательных уравнений, степени в которых имеют разные основания и отличающиеся показатели, например, . Более того, метод логарифмирования является чуть ли не основным методом решения показательно-степенных уравнений, вроде таких x lgx−1 =100 , .

Более детальная информация и примеры с решениями есть в этом материале.