Асташова И.В., Никишкин В.А.
- Яна Крупская 4 лет назад Просмотров:
1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Асташова И.В., Никишкин В.А. ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Москва 2004
2 УДК ББК Р е ц е н з е н т д-р физ.-мат. наук, проф. А.В. Филиновский (кафедра высшей математики МГТУ им. Н.Э. Баумана) Асташова И.В., Никишкин В.А. Практикум по курсу «Дифференциальные уравнения». Учебное пособие. М.: МЭСИ, 2004, 92 с., ил. В пособии приводятся краткие теоретические сведения, решения типовых задач и практические задания по основным разделам курса «Дифференциальные уравнения», читаемого студентам МЭСИ. Данное пособие может быть использовано как для самостоятельной подготовки студентов, так и для проведения домашних и аудиторных контрольных работ (по каждому из 24 разделов курса предлагается 30 вариантов заданий). ББК
3 ВВЕДЕНИЕ В предлагаемом сборнике содержатся задания по основным разделам курса «Дифференциальные уравнения», читаемого студентам МЭСИ, обучающимся по специальностям («Математическое обеспечение и администрирование информационных систем») и («Математические методы в экономике»). Данное пособие может быть использовано как для самостоятельной подготовки студентов, так и для проведения домашних и аудиторных контрольных работ (по каждому из 24 разделов курса предлагается 30 вариантов заданий). Пособие может оказаться полезным для студентов МЭСИ, обучающихся по другим специальностям, при изучении раздела «Дифференциальные уравнения»в общих курсах «Высшая математика»и «Математический анализ». Авторы пособия выражают глубокую благодарность аспирантам И.В. Горючкиной, А.В. Гридневу, Ю.В. Завгородней, Е.С. Карулиной за помощь в подготовке текста. Программа для построения фазового портрета нелинейной динамической системы написана А.В. Гридневым. 3
4 Содержание 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПО- РЯДКА Уравнения с разделяющимися переменными Однородные уравнения Линейные уравнения, уравнение Бернулли Уравнения в полных дифференциалах ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ОБЫКНОВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫС- ШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью произвольного вида ЗАДАЧА ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ- НЫХ УРАВНЕНИЙ Примеры некоторых экономических задач Примеры некоторых физических и экологических задач СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Решение систем линейных дифференциальных уравнений Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом Эйлера Решение линейных неоднородных систем с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Решение линейных неоднородных систем методом вариации произвольных постоянных Исследование положения равновесия линейной однородной системы с постоянными коэффициентами Таблица. Фазовые траектории положения равновесия линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Построение фазового портрета динамической системы ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗ- ВОДНЫХ Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными Метод Даламбера Задача Коши для бесконечной струны. Формула Даламбера Смешанная задача для полуограниченной струны с однородными граничными условиями Смешанная задача для ограниченной струны с однородными граничными условиями Метод Фурье Решение смешанной задачи для волнового уравнения Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 96 4
5 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА или просто дифференциаль- Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка ным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (x, y, y ) = 0, (1) где x независимая переменная, y = y(x) неизвестная функция аргумента x, F (x, y, y ) заданная функция переменных x, y, y = dy dx. Уравнение y = G(x, y) (2) называется уравнением, разрешенным относительно первой производной. Решением дифференциального уравнения на интервале I называется дифференцируемая функция y = ϕ(x), превращающая это уравнение в тождество на I. График решения y = ϕ(x) называется интегральной кривой. Для уравнений (1) и (2) можно поставить следующую задачу: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию: y(x 0 ) = y 0. (3) Задача (1), (3) (задача (2), (3)) называется задачей Коши. Общим решением уравнения (1) (уравнения (2)) называется функция зависящая от одной произвольной постоянной C, и такая, что y = ϕ(x, C), (4) 1. она удовлетворяет уравнению (1) (уравнению (2))при любых допустимых значениях постоянной C; 2. каково бы ни было начальное условие (3), можно подобрать такое значение C 0 постоянной C, что решение y = ϕ(x, C 0 ) будет удовлетворять заданному начальному условию (3). При этом предполагается, что точка (x 0, y 0 ) принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения. Частным решением уравнения (1) (уравнения (2)) называется решение, получаемое из общего решения (4) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной C. Первым интегралом (общим интегралом) уравнения (1) (уравнения (2)) называется функция Φ(x, y) = C или Ψ(x, y, C) = 0, (5) при каждом C определяющая решение y уравнения (1) (уравнения (2)) как функцию от x. Соотношения (4) (5) определяют семейство интегральных кривых уравнения (1) (уравнения (2)). Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию. Так как с геометрической точки зрения координаты x и y равноправны, то наряду с уравнением dy dx = f(x, y) можно рассматривать уравнение dx dy = 1 и считать, что его решения также f(x, y) определяют интегральные кривые уравнений (1) или (2). Таким образом, функции x = const, x = ψ(y) также можно считать решениями уравнений (1), (2). 5
6 1.1. Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде Умножая уравнение (6) на y = f(x)g(y). (6) dx g(y), получаем дифференциальное уравнение вида dy = f(x) dx, (7) g(y) так что коэффициент при dx будет зависеть только от x, а коэффициент при dy только от y. Уравнение (7) называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными, а способ приведения уравнения (6) к виду (7) называется разделением (отделением) переменных. Общим интегралом дифференциального уравнения (7) является равенство dy g(y) = f(x) dx. (8) Если в уравнении (8) вычислим интегралы, то общее решение будет иметь вид Φ(x, y, C) = 0. Если мы решим это уравнение относительно y (или x), то получим уравнение семейства интегральных кривых в явной форме: y = ϕ(x, C), (или x = ψ(y, C)), где C произвольная постоянная. При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее y, возможна потеря решений, обращающих это выражение в нуль. Уравнение вида y = f(ax + by) приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z = ax + by (или z = ax + by + C, где C произвольная постоянная). П р и м е р. Решить уравнение Р е ш е н и е. Приводим уравнение (9) к виду (7): x 2 y 2 y + 1 = y. (9) x 2 y 2 dy dx = y 1, x2 y 2 dy = (y 1) dx, делим обе части уравнения на x 2 (y 1): y 2 dx dy = y 1 x 2. Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения: y 2 dx y 1 dy = x 2 ; y y + ln y 1 = 1 x + C. При делении на x 2 (y 1) могло быть потеряно решение y = 1, но y = 1 является решением уравнения (9), поэтому добавим его к полученному общему решению. y О т в е т: y + ln y 1 = 1 x + C, y = 1. 6
7 Контрольное задание 1 В каждом варианте найти общий интеграл дифференциального уравнения: 1. dy = 4 y 2 dx x dy. 2. x 2 dy = 2x y dx dy. 3. 2xy 2 dx dy = x 2 dy 8x dx. 4. y dy + y dx = 2x 2 y dy. 5. y 2 dx 2y dy = 2xy dy 4 dx. 6. dy = y dx x dy. 7. x dy dx = y dx. 8. y 2 dx 2xy dy = 4y dy dx. 9. 2x 4 y 2 dx dy = x 2 dy. 10. x 2 dy = y dx 4 dy x y dx x 2 dy = 4 dy dy y dx = 2 dx x 2 dy dx x dy = dy y 2 dx x dx x 2 dy = 4 dy 2xy 2 dx dy = 4 y 2 dx x 2 dy y 2 dx 4 dy = x 2 dy. 17. y dx 2 dy = x dy x 2 y dy = y dx + 8y dy dy = 2x 9 y 2 dx x 2 dy. 20. y dx 9 dy = x 2 dy dx = 9 x 2 dy y dx. 22. dy 2xy dx = 4x dx x 2 dy dx = 9 x 2 dy y 2 dx. 24. y 2 dx x dy = 2 dy 4 dx xy 2 dx = x dy + x dx. 26. dx = 2y x dy y 2 dx y dy dx = y 2 dx 2x 2 y dy. 28. dx = 2y 4 x 2 dy y 2 dx. 29. y 2 dx + x dy = 4 dx y 2 dx 2 dy = x dy. 7
8 1.2. Однородные уравнения Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида F (x, y, y ) = 0, если для всех k имеем F (kx, ky, y ) k p F (x, y, y ). (10) Это уравнение может быть приведено к виду y = f ( y x). (11) Дифференциальное уравнение (11) или (10) будем решать методом замены переменных. Именно, вместо неизвестной функции y введем неизвестную функцию z, положив z = y x. Подставляя в уравнение (11) y = zx, с учетом того, что по правилу дифференцирования произведения y = z x + zx = z x + z, для новой неизвестной функции z получим дифференциальное уравнение z x + z = f(z), которое является уравнением ( с разделяющимися ) переменными. Уравнение вида y = f a1x+b 1y+c 1 ax+by+c приводится к однородному с помощью замены x = ξ+α, y = η + β, где ξ, η новые переменные, (α, β) точка пересечения прямых a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и ax + by + c = 0. Если эти прямые не пересекаются, то a 1 x + b 1 y = k(ax + by); следовательно, уравнение имеет вид y = f(ax + by), которое рассматривалось в предыдущем пункте. Некоторые уравнения можно привести к однородным заменой y = z m. Чтобы найти число m, надо в уравнении сделать замену y = z m. После замены найдем m, при котором выполняется уравнение (10). Если такого числа m не существует, то уравнение не приводится к однородному этим способом. П р и м е р. Найти решение уравнения x dy = (x + y) dx, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1. Р е ш е н и е. Это уравнение однородное. Полагаем z = y x, y = xz. Тогда dy = x dz + z, dx. Подставляя в исходное уравнение, получим x(x dz + z dx) = (x + xz) dx; x dz = dx. Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными: Возвращаясь к переменной y, получим dz = dx ; z = ln x + C. x y = x(ln x + C). Кроме того, имеется решение x = 0, которое было потеряно в процессе решения при делении на x. Из начального условия имеем y(1) = 1(ln 1 + C) = 1, откуда C = 1 и y = x(ln x + 1). О т в е т: y = x(ln x + 1). 8
9 Контрольное задание 2 В каждом варианте найти общий интеграл дифференциального уравнения: 1. (2y 2 xy) dx = (x 2 xy + y 2 ) dy. 2. (4x 2 + 4xy + 5y 2 ) dx = 4x(x + y) dy. 3. (6y 3 + 2x 2 y) dx = (5xy 2 + x 3 ) dy. 4. (x + 3y) dx = (3x y) dy. 5. (4x 2 + 4xy + 3y 2 ) dx = (4x 2 + 2xy) dy. 6. y(x y) dx x 2 dy = (6y 3 + 4x 2 y) dx = (5xy 2 + 2x 3 ) dy. 8. xy = y + (2x + y)(ln (2x + y) ln x). 9. (2x 2 + 4xy) dy = (x 2 + 2xy + 5y 2 ) dx x 2 y = y 2 + 5xy + 2x y(x 2 + y 2 ) dx = (5xy 2 + 3x 3 ) dy. 12. y = xy y2 x 2 2xy. 13. (4x 2 + 6xy + 3y 2 ) dx = (6x 2 + 2xy) dy. 14. y = y x + e y x. 15. (3x 2 + 2xy) dy = (x 2 + 3xy + 3y 2 ) dx x 2 dy = (x 2 + y 2 ) dx. 17. x(3y 2 + x 2 ) dy = (4y 3 + 2x 2 y) dx. 18. xy = y + (x + 2y)(ln (x + 2y) ln x). 19. (4x y) dy = (x + 4y) dx. 20. (6x y) dy = (x + 6y) dx xy = 2y + x tg 2y x. 22. x(3y 2 + 2x 2 ) dy = 4y(y 2 + x 2 ) dx. 23. x 2 y xy + y 2 y = (x 2 + 2xy) dx + xy dy = (3x 2 + 4xy) dy = (x 2 + 3xy + 5y 2 ) dx. 26. y 2 + x 2 dy dy dx = xy dx. 27. (x 2 + 2xy + 3y 2 ) dx = 2x(x + y) dy x(y 2 + x 2 ) dy = (4y 3 + 6x 2 y) dx. 29. xy = 4x 2 y 2 + y. 30. (4x 2 + 6xy + 5y 2 ) dx = (6x 2 + 4xy) dy. 9
10 1.3. Линейные уравнения, уравнение Бернулли Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида где p(x), q(x) заданные непрерывные функции. Чтобы его решить, надо сначала найти решение уравнения y + p(x)y = q(x), (12) y + p(x)y = 0 (это делается путем разделения переменных, см. пункт 1.1 настоящего параграфа) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную C на неизвестную функцию C(x). Затем выражение, полученное для y, подставить в уравнение (12) и найти функцию C(x). Данный метод решения уравнения (12) называется методом вариации произвольной постоянной. Обобщением линейного дифференциального уравнения (12) является уравнение Бернулли: y + p(x)y = q(x)y m, (m 1). (13) Чтобы решить уравнение (13), необходимо обе его части разделить на y m и сделать замену z = y 1 m. Так как z = (1 m)y m y, то уравнение (13) преобразовывается к уравнению вида (12). П р и м е р 1. Найти общее решение дифференциального уравнения y + 2y = y 2 e x. (14) Р е ш е н и е. Это уравнение Бернулли. Поделим обе части уравнения на y 2 и сделаем замену z = 1/y. Тогда получим следующее уравнение: z + 2z = e x. (15) Решим это уравнение методом вариации произвольной постоянной. Сначала решим однородное уравнение z + 2z = 0, являющееся уравнением с разделяющимися переменными. Его решение z = Ce 2x. Будем искать решение уравнения (15) в виде: z = C(x)e 2x. Подставим это выражение в уравнение (15): C (x)e 2x 2C(x)e 2x + 2C(x)e 2x = e x, откуда C(x) = e x + C 1. Таким образом, общее решение уравнения (15) есть z = e x + C 1 e 2x. Возвращаясь к переменной y, получим решение исходного уравнения: y (e x + C 1 e 2x ) = 1. Кроме того, функция y = 0 также является решением исходного уравнения. О т в е т: y (e x + C 1 e 2x ) = 1, y = 0. Для решения линейных уравнений и уравнения Бернулли можно использовать также метод Бернулли. Он заключается в следующем. Решение исходного уравнения (12) ищется в виде произведения двух неизвестных функций от x: y = uv. (16) Подставим выражение (16) и его производную y = u v + uv в уравнение (12): u v + uv + p(x)uv = q(x), u v + u (v + p(x)v) = q(x). Так как функции u и v мы можем выбрать произвольными (лишь бы произведение uv удовлетворяло исходному уравнению), выберем функцию v таким образом, чтобы v + p(x)v = 0. (17) 10
11 Уравнение (17) является уравнением с разделяющимися переменными. Возьмем его частное решение v = c 0 e p(x) dx (где c 0 0 произвольное число, при котором v имеет максимально простой вид). При таком выборе v получим уравнение для функции u вида откуда du v(x) = q(x), dx du = q(x) dx. (18) v(x) Осталось найти u и подставить u и v в соотношение (16). П р и м е р 2. Найти общее решение дифференциального уравнения y + 2xy = 2xe x2. Р е ш е н и е. Решим уравнение методом Бернулли. Сделаем замену y(x) = u(x)v(x) и получим u v + uv + 2xuv = 2xe x2. (19) За функцию v примем какое-нибудь частное решение дифференциального уравнения v + 2xv = 0. (20) При таком выборе v второе и третье слагаемые в левой части (19) исчезают. Для функции u имеем дифференциальное уравнение: u v = 2xe x2. (21) Уравнение (20) является уравнением с разделяющимися переменными и его интеграл равен ln v + x 2 = C 1. Здесь можно положить C 1 = 0 и взять частное решение v = e x2. Далее подставляем найденное v(x) в уравнение (21): u = 2x, и находим u = x 2 + C. Производя обратную подстановку, получим общее решение исходного уравнения: О т в е т: y = (x 2 + C)e x2. y = (x 2 + C)e x2. 11
12 Контрольное задание 3 В каждом варианте найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка: 1. y x ln x y = 2y 1 ln 6 x. 2. y + 1 2x x 2 y 1 = e 2y dy = 3x dy + dx. 4. y 3y tg x = 3y 2 tg 8 x. 5. y y ctg x = 2x sin x. 6. y 2xy = 2xe x2. 7. y tg x y = 3y 1 sin 8 x. 8. y x ln x y = 3x 3 ln 2 x. 9. y + xe x y = e (1 x)ex. 10. y x ln x y = 6y 2 ln 7 x. 11. xy = y x+1 + x. 12. dy dx = 1 x cos y+a sin 2y. 13. xy y = 2x 9 y y + y x = sin x x. 15. xy 2y = x 1 y 2 ctg x cosec x. 16. y y th x = ch 2 x. 17. y = xy + y ln y. 18. xy y = 2x 3 e 4x y e y dx (2y + xe y ) dy = (y 2 + 1) dx = (1 4xy) dy. 21. e x2 dy xye x2 dx + y 3 dx = x 2 y 2 y + xy 3 = xy + y = y 2 ln x. 24. y tg x y = y 1 sin 4 x y 2y = x3 y y x 4y = x 2 y. 27. xy y = x 6 y y + y x = x2 y y xy = y 3 e x xy y = 3x 3 e 6x y 1. 12
13 1.4. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнение P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (22) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y). Это имеет место в односвязной области, если P y Q x. Чтобы решить уравнение (22), надо найти функцию U(x, y), полный дифференциал от которой du = U x dx + U y dy равен левой части уравнения (22). Т.к. du = 0, то первый интеграл уравнения (22) можно записать в виде U(x, y) = C, где C произвольная постоянная. П р и м е р. Из семейства интегральных кривых дифференциального уравнения 2x cos 2 y dx + (2y x 2 sin 2y) dy = 0 выбрать ту, которая проходит через точку (1, 0). Р е ш е н и е. Здесь P (x, y) = 2x cos 2 y, Q(x, y) = 2y x 2 sin 2y и заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах вида: так как P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, Q(x, y) x = P (x, y) y = 2x sin 2y. Из равенства частных производных следует, что существует такая функция U(x, y), что du(x, y) = 2x cos 2 y dx + (2y x 2 sin 2y) dy. Т. к. U y = Q(x, y), можем найти U(x, y) с точностью до произвольной функции от x: U(x, y) = Q(x, y) dy = (2y x 2 sin 2y) dy + f(x), U(x, y) = y 2 + x2 cos 2y 2 + f(x). Чтобы найти f(x), продифференцируем найденную функцию U(x, y) по x: U x = x cos 2y + f (x) и приравняем к известному значению U x = 2x cos 2 y, т. е. 2x cos 2 y = x cos 2y + f (x) или, 2x cos 2 y = x(2 cos 2 y 1) + f (x). Отсюда f (x) = x. Проинтегрировав, найдем f(x) = x 2 /2 + c 1. Таким образом, U(x, y) = y 2 + x2 cos 2y 2 Уравнение семейства интегральных кривых имеет вид y 2 + x2 cos 2y 2 + x2 2 + c 1. + x2 2 = c. Из этого семейства кривых выделим ту, которая проходит через начало координат. Полагая x = 1, y = 0, получим c = 1. Уравнение искомой кривой О т в е т: y 2 + x 2 cos 2 y = 1. 2y 2 + x 2 cos 2y + x 2 = 2 или y 2 + x 2 cos 2 y = 1. 13
14 Контрольное задание 4 В каждом варианте найти общее решение дифференциального уравнения: 1. (x 3 + xy 2 ) dx + (x 2 y + y 3 ) dy = (2x y) dx+(2y+x) dy x 2 +y 2 = (x 3 3y 3 ) dx + 6(y 5 x 2 y 2 ) dy = (x y + 2) dx (x y 3) dy = (sin xy + xy cos xy) dx + x 2 cos xy dy = x 2 +y 2 y 2 dx 2×3 +5y y 3 dy = e x (2xy + x 2 y + y3 3 ) dx + ex (x 2 + y 2 ) dy = (2x + 3x 2 y) dx + (x 3 3y 2 ) dy = (3x 2 + 2xy + 2xy 6 ) dx + (x 2 + 6x 2 y 5 ) dy = (x 2y)y + x 2 + y = (e x + y + sin y) dx + (e y + x + x cos y) dy = x 2 (1 + y 5 ) dx + y 2 (3 + 5x 3 y 2 ) dy = (x + y 1) dx + (e y + x) dy = (3x 2 + y 2 + 6x 5 y 2 ) dx + (2xy + 2x 6 y) dy = xy dx + (x 2 y 2 ) dy = (2 9xy 2 )x dx + (4y 2 6x 3 )y dy = (y 2 + 6x 5 y 2 ) dx + (2xy + 3y 2 + 2x 6 y) dy = (y 3 2xy) dx + (3xy 2 x 2 ) dy = x(x + 2y) dx + (x 2 y 2 ) dy = (xy + xy 6 ) dx + (x 2 + 3xy 2 + 6x 2 y 5 ) dy = (x 3 + y) dx + (x y) dy = (2xy + y 2 + 4x 3 y 4 ) dx + (x 2 + 2xy + 4x 4 y 3 ) dy = 0. ( ) 23. (x y) dx + x dy = ( ) x sin y y 2 dx + (x2 +y) cos y cos 2y 1 dy = (2x 3 xy 2 ) dx + (2y 3 x 2 y) dy = 0. ) 26. (2x + e x/y ) dx + e (1 x/y x y dy = (2xy 1) dx + (x 2 + 1) dy = (sin y + y 2 sin x) dx + (x cos y 2y cos x) dy = (2x + 1)y = 4x + 2y. 30. (3x 2 sin y + y sin x) dx + (x 3 cos y cos x) dy = 0. 14
15 2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Метод решения таких уравнений состоит в том, что в исходном уравнении порядка n, n 2, делается такая замена z(x) или p(y), относительно которой получается уравнение более низкого порядка m 16 Контрольное задание 5 В вариантах 1 23 найти общее решение дифференциального уравнения, в вариантах найти частное решение дифференциального уравнения 1. x(y x) = y. 2. y 3 y + 1 = y (x 2 + 1) 2xy = (y ) 2 = y (y 1). 5. (y ) 2 y = y yy (y ) 2 = y y + y tg x = sin 2x. 8. y = 24 (x+2) yy = (y ) 2 (y ) xy V y IV = y (e x + 1) + y = xy + x(y ) 2 y = yy = (y ) xy + y 3 = x 2 y = (y ) y y = 2(1 x). 17. y cos x + y sin x = xyy + x(y ) 2 yy = y = ae y. 20. yy = (y ) 2 + y y 2 + (y ) yy = (y ) y y IV + (y ) 2 = yy y y = 0. (1 + ln y x 24. y = y x ), y(1) = 1 2, y (1) = y = 2x(y ) 2, y(2) = 3, y (2) = y y 2 + yy (y ) 2 = 0, y(0) = 1, y (0) = y + ( (y ) 2 6x ) y = 0, y(1) = 2, y (1) = y = 1 + (y ) 2, y(0) = 1, y (0) = y = y x + x2 y, y(2) = 0, y (2) = xy = 1 + (y ) 2, y(1) = 0; y(e 2 ) = 1. 16
17 3. ОБЫКНОВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 3.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка n имеет вид: a 0 y (n) + a 1 y (n 1) a n 1 y + a n y = 0, где a j = const, (j = 0. n). (23) Чтобы его решить, необходимо составить характеристическое уравнение a 0 λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n = 0 (24) и найти все его корни: λ 1. λ n. Общее решение уравнения (23) есть сумма, состоящая из слагаемых вида C j e λjx для каждого простого корня λ j уравнения (24) и слагаемых вида (C 1 + C 2 x + C 3 x C k x k 1 )e λx для каждого кратного корня λ кратности k уравнения (24). Здесь все C j произвольные постоянные. Если все коэффициенты a j уравнения (23) вещественные, то слагаемые, отвечающие комплексным корням λ = α ± iβ уравнения (24), можно записать в вещественной форме: если эти корни простые, и C 1 e αx cos βx + C 2 e αx sin βx, P k 1 e αx cos βx + Q k 1 e αx sin βx, если каждый из корней α + iβ, α iβ имеет кратность k. Здесь P k 1, Q k 1 многочлены от x степени k 1. Их коэффициенты произвольные постоянные. П р и м е р. Найти частное решение дифференциального уравнения y 4y + 5y = 0, удовлетворяющее следующим начальным условиям: y(0) = 5, y (0) = 7, y (0) = 13. Р е ш е н и е. Это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение: λ 3 4λ 2 + 5λ = 0. Найдем его корни: λ(λ 2 4λ + 5) = 0, λ 1 = 0, λ 2,3 = 2 ± i. Общее решение дифференциального уравнения y = c 1 + c 2 e 2x cos x + c 3 e 2x sin x. Для того, чтобы воспользоваться начальными условиями, найдем y и y : y = 2c 2 e 2x cos x c 2 e 2x sin x + 2c 3 e 2x sin x + c 3 e 2x cos x, y = 3c 2 e 2x cos x 4c 2 e 2x sin x + 3c 3 e 2x sin x + 4c 3 e 2x cos x. Подставим в общее решение y, в y и в y начальные условия и решим полученную систему: c 1 + c 2 = 5, 2c 2 + c 3 = 7, 3c 2 + 4c 3 = 13. откуда c 1 = 2, c 2 = 3, c 3 = 1. Подставив в общее решение полученные значения постоянных, получим частное решение О т в е т: y = 2 + 3e 2x cos x + e 2x sin x. y = 2 + 3e 2x cos x + e 2x sin x. 17
18 Контрольное задание 6 В каждом варианте найти частное решение линейного однородного уравнения с заданными начальными условиями: 1. y + y = 0, y(0) = 1, y (0) = 1, y (0) = y 5y + 8y 4y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = y 5y = 0, y(0) = 5, y (0) = 28, y (0) = y + 4y = 0, y(0) = 3, y (0) = 2, y (0) = y 3y + 3y y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = y + 9y = 0, y(0) = 2, y (0) = 3, y (0) = y 3y + 2y = 0, y(0) = 0, y (0) = 5, y (0) = y + 7y + 11y + 5y = 0, y(0) = 2, y (0) = 1, y (0) = y + 3y = 0, y(0) = 6, y (0) = 15, y (0) = y + 3y = 0, y(0) = 6, y (0) = 0, y (0) = y + 4y + y 6y = 0, y(0) = 9, y (0) = 13, y (0) = y + 2y = 0, y(0) = 6, y (0) = 7, y (0) = y + 2y = 0, y(0) = 8, y (0) = 0, y (0) = y y 16y 20y = 0, y(0) = 5, y (0) = 3, y (0) = y + y + y + y = 0, y(0) = 3, y (0) = 2, y (0) = y 5y + 6y = 0, y(0) = 1, y (0) = y 2y + 2y = 0, y(0) = 0, y (0) = y 2y + 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = y 3y + 3y y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = y 4y + 3y = 0, y(0) = 6, y (0) = y + 2ay + a 2 y = 0, y(0) = a, y (0) = y + 2y + 2y = 0, y(0) = 1, y (0) = y + 4y + 5y = 0, y(0) = 3, y (0) = y + 3y + 3y + y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = y 2y + y = 0, y(0) = 4, y (0) = y 4y + 4y = 0, y(0) = 3, y (0) = y + 4y + 29y = 0, y(0) = 0, y (0) = y 4y + 3y = 0, y(0) = 2, y (0) = y y = 0, y(0) = 3, y (0) = 1, y (0) = y 5y + 4y = 0, y(0) = 5, y (0) = 8. 18
19 3.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: a 0 y (n) + a 1 y (n 1) a n 1 y + a n y = f(x), где a j = const, (j = 0. n). (25) Если правая часть f(x) состоит из сумм и произведений функций вида b 0 + b 1 x b m x m, e ax, cos βx, sin βx, частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Для уравнений с правой частью f(x) = P m (x)e ax, где P m (x) = b 0 + b 1 x b m x m, существует частное решение вида y 1 = x r Q m (x)e ax, (26) где Q m (x) многочлен с неопределенными коэффициентами степени m. Число r = 0, если a не корень характеристического уравнения (24), а если a корень, то r равно кратности этого корня. Чтобы найти коэффициенты многочлена Q m (x), надо решение (26) подставить в дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях уравнения. Если в правую часть уравнения входят cos bx и sin bx, то их можно выразить через показательную функцию по формулам Эйлера. Если же коэффициенты a j левой части уравнения (25) вещественны, то для уравнения с правой частью можно искать частное решение в виде e ax (P n (x) cos bx + Q m (x) sin bx) (27) y 1 = x r e ax (R l (x) cos bx + T l (x) sin bx), (28) где r = 0, если a + ib не корень характеристического уравнения, и r равно кратности корня a + ib в противном случае, а R l и T l многочлены степени l, равной наибольшей из степеней m и n многочленов P и Q. Чтобы найти коэффициенты многочленов R l и T l, надо подставить решение (28) в уравнение (25) и приравнять коэффициенты при подобных членах. Если правая часть уравнения равна сумме нескольких функций вида (27), то частное решение линейного уравнения с правой частью f 1 + f f p равно сумме частных решений уравнений с той же левой частью и правыми частями f 1. f p. Общее решение линейного неоднородного уравнения во всех случаях равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного уравнения с той же левой частью. П р и м е р 1. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y 5y + 6y = 5xe 2x. Р е ш е н и е. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y есть сумма общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения y 1 и частного решения неоднородного уравнения y 2 : y = y 1 + y 2. Найдем y 1. Составим соответствующее однородное уравнение y 5y + 6y = 0. Корни характеристического уравнения λ 2 5λ + 6 = 0: λ 1 = 2, λ 2 = 3. Общее решение однородного уравнения будет иметь вид y 1 = c 1 e 2x + c 2 e 3x. Найдем частное решение неоднородного уравнения в виде y 2 = x r (Ax + B)e 2x. Здесь r = 1, так как a = λ 1 = 2 корень характеристического уравнения кратности 1. Для нахождения неизвестных коэффициентов A и B подставим выражение функции y 2 и ее производных 19
20 в уравнение и, сократив на e 2x, сравним коэффициенты при одинаковых степенях x левой и правой частей. Получим 6 y 2 = (Ax 2 + Bx)e 2x 5 y 2 = 2(Ax 2 + Bx)e 2x + (2Ax + B)e 2x 1 y 2 = 4(Ax 2 + Bx)e 2x + 4(2Ax + B)e 2x + 2Ae 2x. (6A 10A + 4A)x 2 + (6B 10B 10A + 4B + 8A)x + ( 5B + 4B + 2A) = 5x = 0x 2 + 5x + 0, x 2 x x 0 (6A 10A + 4A) = 0 (6B 10B 10A + 4B + 8A) = 5 ( 5B + 4B + 2A) = 0. Откуда находим A = 5 2 ; B = 5, т.е. y = x ( 5 2 x 5) e 2x. О т в е т: Общее решение неоднородного уравнения y = c 1 e 2x + c 2 e 3x + x ( 5 2 x 5) e 2x. П р и м е р 2. Решить уравнение y + y = 4 sin x. Р е ш е н и е. Решаем соответствующее однородное уравнение y + y = 0. Корни характеристического уравнения λ = 0, λ 1,2 = ±i. Общее решение однородного уравнения имеет вид y 1 = c 1 cos x + c 2 sin x. Найдем частное решение неоднородного уравнения с правой частью f(x) = 4 sin x = e 0x (0 cos x + 4 sin x). Имеем a = 0, b = 1, тогда r = 1, так как a ± bi = 0 ± i корни характеристического уравнения кратности 1; n = 0, m = 0, тогда l = 0, R l (x) = A, T l (x) = B. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y 2 = e 0x x 1 (A cos x + B sin x) = Ax cos x + Bx sin x. Для нахождения коэффициентов A и B, подставим y 2 и его производные в исходное уравнение: 1 y 2 = Ax cos x + Bx sin x, 0 y 2 = A cos x Ax sin x + B sin x + Bx cos x, 1 y 2 = A sin x A sin x Ax cos x + B cos x + B cos x Bx sin x. Приравниваем коэффициенты при sin x и cos x в левой и правой частях уравнения: sin x Bx 2A Bx = 4, cos x Ax Ax + 2B = 0, откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях уравнений системы, находим A = 2, B = 0, и, подставляя в формулу для y 2 (x), получим y 2 (x) = 2x cos x, откуда y(x) = y 1 (x) + y 2 (x) = c 1 cos x + c 2 sin x 2x cos x. О т в е т: Общее решение уравнения: y(x) = c 1 cos x + c 2 sin x 2x cos x. 20
21 Контрольное задание 7 В каждом варианте найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: 1. y 3y + 2y = (x 2 + x)e 3x. 2. y 2y + y = 6xe x. 3. y + y = sin x. 4. y + 7y + 10y = 2xe 2x. 5. y + 6y + 9y = 5e 3x sin x. 6. y + 2y + y = e x cos x. 7. y + 5y + 6y = 5e 2x cos x. 8. y + 4y = x y 2y = x 2 x. 10. y + 9y = 3 cos 3x. 11. y + 2y + y = e x (x + 3). 12. y 3y + 2y = e 3x (3 4x). 13. y + 2y = 4x y y + y y = 2xe x. 15. y + 6y + 9y = 10 sin x. 16. y 5y + 4y = 4x 2 e 2x. 17. y 4y + 5y 2y = 2x y y 6y = 6x y + y = x y + y = 2 sin x y 4y = x y 3y + 2y = x cos x. 23. y + 2y = 4x y + 2y = 2 sin x. 25. y 4y = xe 2x. 26. y + y = 2e x. 27. y 4y = sin x. 28. y + 2y + 5y = e x sin 2x. 29. y + 2y + 2y = xe x. 30. y + y = x 2. 21
22 Контрольное задание 8 В каждом варианте найти вид общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (не вычисляя коэффициентов): 1. y + y = 2 cos 2 x y y 6y = e x sin 3x. 3. y + y = 4 sin x + sin 4x. 4. y 3y = cos x + e 3x sin x. 5. y + 4y = x sin 2x x y 4y = sin x (x 2 + 5)e 4x. 7. y 4y + 3y = xe x + cos 2x. 8. y + 2y + 5y = 2xe x x 2 cos x. 9. y + 2y + 2y = e x cos x + x 3 2x y + y = cos 2 x. 11. y 3y + 2y = cos 2x + x 3 e 2x. 12. y + 4y = x 1 + cos 4x. 13. y 3y = x + cos x. 14. y 8y + 20y = 5xe 4x sin 2x 2x y + 3y 4y = e 4x + xe x. 16. y + y = x sin x + cos 2xe x. 17. y + 4y = 2 sin 2x 3 cos 2x y + y = sin x 2e x. 19. y 3y + 2y = 3x + 5 sin 2x. 20. y 2y 8y = e x 8 cos 2x. 21. y + 9y = 2x sin x + xe 3x. 22. y + 6y + 10y = 3xe 3x 2e 3x cos x. 23. y 9y = 3e 3x cos x. 24. y 2y + 5y = e x cos x x y + y = 4 cos x + (x 2 + 1)e x. 26. y 4y + 8y = e 2x + sin 2x. 27. y IV + 2y + 2y + 2y + y = xe x cos x. 28. y + 2y + 5y = 4xe x 68 cos 2x + x. 29. y 4y = xe 2x + sin x + x y V + 4y = e x + 3 sin 2x
23 3.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью произвольного вида Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (25) с непрерывной правой частью f(x) произвольного вида решается методом вариации произвольных постоянных. Пусть найдено общее решение y = C 1 y C n y n соответствующего линейного однородного уравнения. Тогда решение уравнения (25) ищется в виде y = C 1 (x)y C n (x)y n. Функции C k (x) определяются из системы C 1y C ny n = 0 C 1y C ny n = C 1y (n 2) C ny n (n 2) = 0 C 1y (n 1) C ny n (n 1) = f(x), a 0 где a 0 коэффициент при старшей производной в уравнении (25). П р и м е р. Решить дифференциальное уравнение y IV 2y + y = x + 2×2 x 5. Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение имеет вид: λ 4 2λ 3 + λ 2 = 0. Его корни: λ 1 = λ 2 = 0, λ 3 = λ 4 = 1. Следовательно, общее решение однородного уравнения, соответствующего исходному уравнению, есть y 1 = C 1 + C 2 x + (C 3 + C 4 x)e x. Ищем общее решение исходного уравнения в виде: y = C 1 (x) + C 2 (x)x + (C 3 (x) + C 4 (x)x)e x. (29) Для нахождения неизвестных функций C k запишем систему: C 1(x) + C 2(x)x + (C 3(x) + C 4(x)x)e x = 0, C 2(x) + (C 3(x) + C 4(x)(x + 1))e x = 0, (C 3(x) + C 4(x)(x + 2))e x = 0, (C 3(x) + C 4(x)(x + 3))e x x + 2×2 = x 5. Решая систему, получаем: C 4(x) = x + 2×2 x 5 e x, C 3(x) = 2×3 + 16x x + 48 x 5 e x, C 2(x) x + 2×2 = x 5, C 1(x) = 2×3 8x x 5. Интегрируя эти выражения, получим: C 1 (x) = 2 x + 4 x 2 12 x 4 + C 1, C 2 (x) = 6 x 4 4 x 3 1 x 2 + C 2, ( 12 C 3 (x) = x x ) x 2 e x + C 3, C 4 (x) = ( 6x 4 2x ) 3 e x + C 4. Подставляя эти выражения в (29), получим общее решение исходного уравнения: О т в е т: y = C 1 + C 2 x + (C 3 + C 4 x)e x + 1/x. y = C 1 + C 2 x + (C 3 + C 4 x)e x + 1/x. (30) 23
24 Контрольное задание 9 В каждом варианте найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: 1. y IV y = 1 cos x. 2. y y = 3. y 4y = 1 π 2 cos (x/π). 1 2 e x. 4. y + y = 2 ctg x. 5. y + 4y = 16 cos 4x. 6. y V + 4y = 9 sin 3x. 7. y IV + y = e x 1 + e x. 8. y IV 16y = 4 sin 3x. 23. y + y 4 = 1 4 ctg x y + 3y + 2y = e x 2 + e x. 25. y 3y + 2y = e x. 26. y + 2y + y = 5e x 3 x y + 2y + y = 2e x 3 x. 28. y + 2y + y = e x x y y = 1 5e x y + 5y + 6y = e 2x e 2x y + y = 9e 3x 3 + e 3x. 10. y y = (sin x) y + y = 1 π 2 sin (x/π). 12. y + π 2 y = π2 cos πx. 13. y + 3y = 9e3x 1 + e 3x. 14. y + 4y = 8 ctg 2x. 15. y 6y + 8y = e 2x. 16. y 9y + 18y = 9e3x 1 + e 3x. 17. y + π 2 y = π2 sin πx. 18. y + 6y + 8y = 4e 2x 2 + e 2x. 19. y y = e x 2 + e x. 20. y + 4y = 4 ctg 2x. 21. y 3y + 2y = 22. y + 16y = 16 sin 4x e x. 24
25 4. ЗАДАЧА ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ Рассмотрим задачу где a 0 (x), a 1 (x), a 2 (x) непрерывные функции, a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = λy, x 0 0. При λ = 0 общее решение уравнения (34) имеет вид y = C 1 + C 2 x и также не удовлетворяет условиям (35) (36) ни при каких C 1, C 2, если C C 2 2 > 0. При λ > 0 общее решение уравнения (34) имеет вид y = C 1 cos λx + C 2 sin λx. (37) Тогда y = C 1 λ sin λx+c2 λ cos λx. Из граничных условий (35) (36) имеем систему уравнений для определения C 1 и C 2 : λ y (1/2) = C 1 λ sin 2 + C λ 2 λ cos 2 = 0, y(3/2) = C 1 cos 3 λ C 2 sin 3 λ 2 = 0,
26 или C 1 sin λ 2 + C 2 cos λ 2 = 0, C 1 cos 3 λ 2 + C 2 sin 3 λ 2 = 0. Система (38) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель равен 0: sin λ 2 cos λ 2 λ = = sin cos 3 λ 2 sin 3 λ 2 sin 3 λ λ cos 2 2 cos 3 λ = cos λ = Отсюда λ = π 2 + πn, λ = λ n = ( π 2 + πn ) 2, n = 0, 1, 2. Тогда из уравнения (38) λ ( π C 2 = C 1 tg 2 = C 1 tg 4 + πn ). 2 Подставляя это выражение в (37), получим ( π ) ) y = y n = cos 2 + πn x + tg sin Отсюда при n = 2k: ( π 4 + πn 2 ( π ) ( π ) ( π ) 2 + πn x = cos 2 + πn x + ( 1) n sin 2 + πn x. (38) ( π ) ( π ) y 2k = cos 2 + 2πk x + sin 2 + 2πk x, (39) а при n = 2k + 1: ( π ) ( π ) y 2k+1 = cos 2 + 2πk x sin 2 + 2πk x. (40) О т в е т: Собственные числа: λ n = ( π 2 + πn ) 2; собственные функции определяются соотношениями (39) и (40). 26
27 Контрольное задание 10 В каждом варианте найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма- Лиувилля): 1. y + λy = 0, 1 x 2, y(1) = y (2) = y + λy = 0, π/4 x π/2, y(π/2) = y (π/4) = y + λy = 0, 3/2 x 2, y(3/2) = y (2) = y + λy = 0, 1/2 x 1, y(1) = y (1/2) = y + λy = 0, π/2 x π, y(π/2) = y (π) = y + λy = 0, 3/4 x 1, y(1) = y (3/4) = y + λy = 0, π/4 x π/2, y(π/4) = y (π/2) = y + λy = 0, π x 2π, y(2π) = y (π) = y + λy = 0, 1/2 x 1, y(1/2) = y (1) = y + λy = 0, π/2 x 3π/4, y(3π/4) = y (π/2) = y + λy = 0, 3/4 x 1, y(3/4) = y (1) = y + λy = 0, 1 x 3/2, y(3/2) = y (1) = y + λy = 0, π x 2π, y(π) = y (2π) = y + λy = 0, 1/4 x 1/2, y(1/2) = y (1/4) = y + λy = 0, π/2 x 3π/4, y(π/2) = y (3π/4) = y + λy = 0, π/2 x 3π/2, y(3π/2) = y (π/2) = y + λy = 0, 1 x 3/2, y(1) = y (3/2) = y + λy = 0, 3/4 x 5/4, y(5/4) = y (3/4) = y + λy = 0, 1/4 x 1/2, y(1/4) = y (1/2) = y + λy = 0, π x 3π/2, y(3π/2) = y (π) = y + λy = 0, π/2 x 3π/2, y(π/2) = y (3π/2) = y + λy = 0, π/2 x 5π/2, y(5π/2) = y (π/2) = y + λy = 0, 3/4 x 5/4, y(3/4) = y (5/4) = y + λy = 0, 1/2 x 3/2, y(1/2) = y (3/2) = y + λy = 0, π/2 x 5π/4, y(π/2) = y (5π/4) = y + λy = 0, π x 3π/2, y(π) = y (3π/2) = y + λy = 0, 3π/4 x 5π/4, y(3π/4) = y (5π/4) = y + λy = 0, 1 x 2, y(2) = y (1) = y + λy = 0, 3/2 x 2, y(2) = y (3/2) = y + λy = 0, π/2 x π, y(π) = y (π/2) = 0. 27
28 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 5.1. Примеры некоторых экономических задач П р и м е р 1. Рост денежных вкладов. Сумма A руб. положена в банк под r % в год. Найти закон изменения суммы при условии, что приращение начисляется непрерывно. Р е ш е н и е. Общая сумма P вклада в результате начисления процентов один раз в конце года составит ( P = A 1 + r ). 100 Если проценты будут начисляться по истечении полугода, то ( P = A 1 + r ) 2, 200 если поквартально, то ( P = A 1 + r ) 4, 400 и если ежемесячно, то ( P = A 1 + r ) В общем случае наращенная сумма в конце года составит ( P = A 1 + r ) m 100m при r % годовых, начисляемых m раз в год (например, 365 раз в год, т.е. ежедневно). По истечении t лет общая сумма составит (( P = A 1 + r ) m ) t. 100m Если число m начислений процентов в год будет беспредельно увеличиваться, то P = (( lim A 1 + r ) m ) r ( ( = A lim 1 + r ) 100m ) tr 100 r = Ae tr 100. m + 100m m + 100m В течение короткого промежутка времени dt приращение суммы P составит dp = d(ae tr r tr r 100 ) = Ae 100 dt = P dt. Таким образом, дифференциальное уравнение задачи имеет вид dp dt = r 100 P. П р и м е р 2. Эффективность рекламы. Предположим, что торговыми учреждениями реализуется продукция B, о которой в момент времени t = 0 из числа потенциальных покупателей N знает лишь x человек. Предположим далее, что для ускорения сбыта продукции B были даны рекламные объявления по радио и телевидению. Последующая информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом. Построить закон изменения x(t). Р е ш е н и е. С большой степенью достоверности можно сказать, что после рекламных объявлений скорость изменения числа знающих о продукции B пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей, так и числу покупателей, о нем еще не знающих. Если условиться, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало N γ человек, то приходим к дифференциальному уравнению dx dt = kx(n x) (41) 28
29 с начальным условием x = N γ при t = 0. В уравнении (41) коэффициент k это положительный коэффициент пропорциональности. Интегрируя уравнение (41), находим Полагая C 1 = e NC, приходим к равенству отсюда 1 N ln x = kt + C. N x x N x = C 1e Nkt, x = N C 1e Nkt C 1 e Nkt + 1 = N, (42) 1 + P e Nkt где P = 1 c 1 = e NC. В экономической литературе уравнение (42) обычно называют уравнением логистической кривой. Если учесть теперь начальные условия, то равенство (42) перепишется в виде N x = 1 + (γ 1)e Nkt. П р и м е р 3. Спрос и предложение. Пусть в течение некоторого (достаточно продолжительного) времени крестьянин продает на рынке фрукты (например, яблоки), причем продает их после уборки урожая с недельными перерывами. Тогда при имеющихся у крестьянина запасах фруктов недельное предложение будет зависить как от ожидаемой цены в наступающей неделе, так и от предполагаемого изменения цены в последующие недели. Если в наступающей неделе предполагается, что цена упадет, а в последующие недели повысится, то предложение будет сдерживаться при условии превышения ожидаемого повышения цен над издержками хранения. При этом предложение товара в ближайшую неделю будет тем меньшим, чем большим предполагается в дальнейшем повышение цены. И наоборот, если в наступающей неделе цена будет высокой, а затем ожидается ее падение, то предложение увеличится тем больше, чем большим предполагается понижение цены в дальнейшем. Составить дифференциальное уравнение, описывающее процесс формирования цены при условии равновесия между спросом и предложением. Р е ш е н и е. Если обозначить через p цену на фрукты на наступающей неделе, а через p так называемую тенденцию формирования цены (производную цены по времени), то как спрос, так и предложение будут функциями указанных величин. При этом, как показывает практика, в зависимости от разных факторов спрос и предложение могут быть различными функциями цены и тенденции формирования цены. В частности, одна из таких функций задается линейной зависимостью, математически описываемой соотношением y = ap + bp + c, где a, b и c некоторые вещественные постоянные. А тогда, если, например, в рассматриваемой задаче цена на фрукты составляла 1 условную единицу за 1 кг, через t недель она уже была p(t) условных единиц за 1 кг, а спрос q и предложение s определялись соответственно соотношениями q = a 1 p + b 1 p + c 1, s = a 2 p + b 2 p + c 2, то для того чтобы спрос соответствовал предложению, необходимо выполнение равенства или a 1 p + b 1 p + c 1 = a 2 p + b 2 p + c 2, αp + βp + γ = 0, где α = a 1 a 2, β = b 1 b 2, γ = c 1 c 2. Отсюда приходим к дифференциальному уравнению αdp βp + γ = dt. Интегрируя, находим p = Ce β α t γ β. 29
30 Если же учесть начальное условие p = 1 при t = 0, то окончательно получаем ( p = 1 + γ ) e β α t γ β β. (43) Таким образом, если требовать, чтобы между спросом и предложением все время сохранялось равновесие, необходимо, чтобы цена изменялась в соответствии с формулой (43). Если β = 0 и α 0, то получающееся дифференциальное уравнение p = γ α имеет решение, выражающееся другой формулой: p = C γ α t или с учетом начального условия p = 1 γ αt. В случае β = 0, α 0, γ 0 и γ α > 0 цена будет убывать до нуля и при t > α γ становится отрицательной, чего не может быть в реальности. Это противоречие говорит о применимости данной математической модели только в указанном случае при малых t. Если α = 0 и β 0, то имеем алгебраическое уравнение βp + γ, откуда p = γ β. Цена постоянна, что полностью соответствует отсутствию в уравнении фактора, изменяющего цену. Ставить какиелибо начальные условия в этом случае неправомерно. П р и м е р 4. Экономика. Рассмотрим экономическую систему, в которой правительственные расходы G 0 постоянны. В каждый момент t в экономике существует спрос D(t), определяющий желаемый уровень потребления и капиталовложений. Задача состоит в том, чтобы сбалансировать экономику таким образом, чтобы объем производства Y (t) совпадал со спросом, т. е. D(t) Y (t). Однако на практике производство не может мгновенно реагировать на изменение спроса. Существует запаздывание τ, которое связано со временем, необходимым для постройки нового завода и т. п. Р е ш е н и е. Чтобы сбалансировать экономику при наличии запаздывания, необходимо составлять планы на будущее и строить производство так, чтобы удовлетворять прогнозируемый спрос, полагая D(t) = (1 s)y (t τ) + I(t) + G 0, (44) где s > 0 предельная склонность к сбережению, I(t) уровень капиталовложений. В уравнении (44) считаем, что за время τ капиталовложения существенно не изменяются, т. е. I(t τ) = I(t). Теперь, если учесть, что Y (t τ) = Y (t) τy (t)+α(τ)τ 2, где функция α(τ) ограничена при τ 0, то увидим, что уравнение (44) означает достижение баланса с точностью до величины первого порядка относительно τ при (1 s)τy (t) = sy (t) + I(t) + G 0 (45) для всех t R. Хотя величина I(t) за время порядка τ существенно не изменяется, она не является постоянной. Капиталовложения зависят от общей тенденции развития производства. Одна из возможных стратегий в области капиталовложения «принцип акселератора», согласно которому желательно выполнение соотношения I(t) ay (t), a > 0. Это равенство не может точно выполняться с силу запаздывания, но можно приблизиться к нему, если взять I (t) = b(ay (t) I(t)), b > 0. (46) Уравнения (45) и (46) служат основой динамической модели экономики. Их можно привести к более привычному виду, найдя I из (45), подставив I из (45) в (46) и приравняв I из (45) и из (46): (1 s)τy + (s ba + (1 s)τb)y + sby = 0, (47) где y = Y G 0 /s. Таким образом, разность между объемом производства и постоянной величиной G 0 /s удовлетворяет уравнению y + 2ky + ω 2 0y = 0, где k = s ba + (1 s)τb, ω 2 sb 0 = 2τ(1 s) τ(1 s). П р и м е р 5. В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его массе. Составить уравнение, позволяющее определить, во сколько раз увеличится эта масса в течение времени t. 30
31 Р е ш е н и е. Примем за аргумент время t, а за искомую функцию N(t) массу действующего фермента в момент времени t. Пусть N(0) = N 0. Быстрота прироста действующего фермента представляет собой скорость изменения функции N = N(t) со временем t. С другой стороны, по условию задачи скорость изменения N(t), т. е. dn/dt, пропорциональна массе действующего фермента, а именно, dn dt = kn, где k > 0 коэффициент пропорциональности. Таким способом получается дифференциальное уравнение, описывающее процесс. П р и м е р 6. Макромодель роста К числу макромоделей роста относятся модель роста Харрода-Домара с фиксированными коэффициентами и неоклассическая модель, предполагающая переменные коэффициенты производства. В каждой из этих моделей производственная функция Y = F (K, L), где Y национальный доход, K капитал, L труд, характеризуется неизменным эффектом масштаба, а в качестве центральной переменной выступает соотношение капитал/труд: x = K/L (48) Если мы прологарифмируем обе части (48) по натуральному основанию, то получим ln x = ln K ln L. После чего продифференцировав это выражение по t, приходим к следующему соотношению: ẋ x = K K L L (49) (здесь и далее ẋ = dx/dt, K = dk/dt, L = dl/dt). Сначала, положив y = Y/L и исходя из предположения о линейной однородности производственной функции, мы можем записать последнюю как y = F (K/L, 1). Представив правую часть этого уравнения в виде f(x), получим производственную функцию вида y = f(x), (50) где y = Y/L производительность труда, x = K/L капиталовооруженность (фондовооруженность). Теперь примем следующие допущения: 1. Для каждого отрезка времени доля непотребленной части национального дохода, т.е. норма накопления, s = (Y C)/Y, является постоянной, и для каждого отрезка времени увеличение накопленного капитала равно новому инвестиционному спросу, предъявленному на данном отрезке времени, а именно I = K. (51) 2. Рост предложения труда является постоянной величиной, равной n, что формально может быть записано как L/L = n, (52) другими словами, n темп прироста труда. Исходя из сделанных допущений, выведем основное уравнение роста макроэкономики. С учетом допущения (2) уравнение (49) переписывается следующим образом: ẋ = x K K nx. Поскольку составляющие национального дохода потребление и накопление, т.е. Y = C + I, то, принимая во внимание (50), имеем x K K = x I K = Y L I Y = sf(x), 31
32 откуда получаем ẋ = sf(x) nx. (53) П р и м е р 7. Модель для описания простейших процессов макроэкономической динамики. Пусть y = y(t) объем производства некоторого производителя, реализованный к моменту времени t. Предположим, что цена на данный товар остается постоянной (в пределах рассматриваемого промежутка времени). Тогда функция y(t) удовлетворяет уравнению y = ky, (54) где k = mpl, m норма инвестиций, p продажная цена, l коэффициент пропорциональности между величиной инвестиций и скоростью выпуска продукции. П р и м е р 8. Функции спроса и предложения имеют вид: y = 25 2p + 3 dp, x = 15 p + 4dp dt dt. Найти зависимость равновесной цены от времени, если в начальный момент p = 9. Р е ш е н и е. Из условия равенства спроса и предложения имеем: 25 2p + 3 dp dt = 15 p + 4dp dt, откуда dp = 10 p, dt т.е. получаем уравнение с разделяющимися переменными Примеры некоторых физических и экологических задач Для решения некоторых задач электротехники можно пользоваться следующими законами теории электрических цепей. Для каждого узла цепи сумма всех протекающих токов равна сумме вытекающих токов. Алгебраическая сумма напряжений источников тока, содержащихся в любом замкнутом контуре цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех остальных участках этого контура. Падение напряжения на сопротивлении R равно JR; падение напряжения на самоиндукции L равно L dj dt ; падение напряжения на конденсаторе емкости C равно q/c, где q = q(t) заряд конденсатора в момент t; при этом dq dt = J; во всех трех случаях J = J(t) сила тока, протекающего через рассматриваемый участок цепи в данный момент времени t. В этих формулах J выражается в амперах, R в омах, L в генри, q в кулонах, C в фарадах, t в секундах, напряжение в вольтах. П р и м е р 9. Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по закону E = V sin wt, сопротивление R и емкость C. Найти силу тока в цепи при установившемся режиме 1. Р е ш е н и е. Сила тока J = J(t) на любом участке цепи одна и та же (по закону о последовательном соединении). Падение напряжения на сопротивлении равно RJ, а на емкости q/c. Следовательно, RJ + q = V sin wt. C Дифференцируя и пользуясь тем, что dq dt = J, получим уравнение R dj dt + J C = V w cos wt. (55) Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для отыскания установившегося режима найдем периодическое частное решение этого уравнения. Исходя из вида правой части уравнения, ищем решение в виде J(t) = A 1 cos wt + B 1 sin wt. (56) 1 Установившимся режимом называется такой режим, при котором сила тока постоянна или меняется периодически 32
33 Подставляя J(t) и dj dt в (55) и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получим систему двух уравнений, из которой можно найти коэффициенты A 1 и B 1. Но в электротехнике важнее знать не коэффициенты A 1 и B 1, а амплитуду изменения тока. Поэтому выражение (56) переписывают в виде J(t) = A sin (wt ϕ). (57) Подставляя (57) в (55), переходя к тригонометрическим функциям углов wt и ϕ, приравнивая коэффициенты сначала при sin wt, а затем при cos wt, получим RAw sin ϕ + A C cos ϕ = 0 > RAw cos ϕ A C sin ϕ = V w. Отсюда найдем tg ϕ = 1 RCw, A = V R2 + (wc) 2. Поясним, почему найденное периодическое решение называется установившимся режимом. Общее решение уравнения (55) равно сумме найденного частного решения (57) и общего решения линейного однородного уравнения R dj dt + J = 0. (58) C Так как общее решение уравнения (58) J = ke t/(rc) (k произвольная постоянная) стремится к нулю при t +, то любое решение уравнения (55) при t + неограниченно приближается к найденному периодическому частному решению (57). П р и м е р 10. Колебательный контур, представляющий собой замкнутую электрическую цепь, обладает емкостью C, индуктивностью L и активным сопротивлением R. При переходе энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки (и обратно) часть энергии контура затрачивается на активных сопротивлениях, в результате чего величина напряжения на конденсаторе постепенно уменьшается. Найти закон изменения заряда конденсатора q (рис.1). Рис. 1: к примеру 10 Р е ш е н и е. Ток в контуре определяется как частное от деления падения напряжения на сопротивлении на величину этого сопротивления: J = V R R = V C V L. R Здесь V C напряжение на конденсаторе, V L напряжение на катушке индуктивности, т.е. V L = L dj dt. Проводим элементарные алгебраические преобразования и получим исходное дифференциальное уравнение цепи: L dj dt + RJ V C = 0. 33
34 Ток в контуре J = dq, где q заряд конденсатора; dt Тогда уравнение цепи примет вид: dj dt = q d2 dt 2 ; V C = q C. L d2 q dt 2 R dq dt q C = 0 или d 2 q dt 2 + R dq L dt + q = 0. (59) LC Для решения уравнения (59) составим характеристическое уравнение откуда Для краткости введем обозначения: Тогда Обозначая w 2 v α 2 = w p, получим Заряд конденсатора выразится формулой: m 2 + R L m + 1 LC = 0, m 1,2 = R 2L ± ( R 2L 1 LC = w2 v, ) 2 1 LC. R 2L = α. m 1,2 = α ± α 2 w 2 v = α ± i w 2 v α 2. m 1 = α + w p i, m 2 = α w p i, q = e αt (M cos w p t + N sin w p t). (60) Значения M и N находятся из начальных условий: при t = 0, q = Q max ; при t = 0, J = 0, так как при t = 0 разряда конденсатора нет. Таким образом, при t = 0 на конденсаторе максимальный заряд q = Q max, но по уравнению (60) при t = 0, q = M. Следовательно, q = e αt (Q max cos w p t + N sin w p t), (61) J = dq dt = eαt [(w p N αq max ) cos w p t (w p Q max + αn) sin w p t]. (62) Из второго начального условия и уравнения (62) следует N = Q max α w p. Подставляя значения N в уравнения (61), (62), получим: Уравнение (63) есть уравнение затухающих колебаний. q = Q max e αt (cos w p t + α w p sin w p t). (63) П р и м е р 11. Модель «хищники и жертвы». Приведем пример модели, которая описывается системой дифференциальных уравнений. При составлении уравнений, описывающих процесс биоценоза в животном мире, будем учитывать вполне реальные допущения: 34
35 пища «жертвы»не ограничена средой обитания; «хищник»питается только «жертвой»; прирост «жертв»пропорционален их численности; убыль «жертв»пропорциональна произведению числа «жертв»и «хищников»; прирост «хищников»пропорционален произведению числа «хищников»и «жертв»; убыль «хищников»пропорциональна произведению числа «хищников»и «жертв». Модель такого биоценоза с учетом введенных допущений определяется следующей системой из двух нелинейных дифференциальных уравнений: dn 1 = α 1 N 1 β 2 N 1 N 2, dt dn 2 dt = α 2 N 2 + β 1 N 1 N 2, где N 1 число особей «жертв»; N 2 число особей «хищников»; α 1 коэффициент естественного прироста «жертв»; α 2 коэффициент естественной убыли «хищников»; β 1 коэффициент уничтожения «хищниками»своих «жертв»; β 2 коэффициент защиты «жертв»от «хищников». Приведем уравнения (64) к нормированному виду: dx = Bx(1 y), dτ dy dτ = y(x 1), где x = N 1 β 1 /α 2 относительное число «жертв»; y = N 2 β 2 /α 1 относительное число «хищников»; τ = tα 2 нормированное время; B = α 1 /α 2 коэффициент. (64) (65) 35
36 Контрольное задание 11 В каждом варианте составить дифференциальное уравнение и решить задачу: 1. Цепь с сопротивлением R и индуктивностью L внезапно замыкается накоротко. Найти закон изменения тока J(t) в катушке, если до замыкания по цепи протекал постоянный ток J Население Ростова-на-Дону на 1 января 1995 г. составило 1 млн 23 тыс. человек. Какую численность города можно ожидать в 2000 г., если годовой прирост за 1994 год составил 0,22%? (Составить дифференциальное уравнение.) 3. Найти закон установления тока в цепи с сопротивлением R, индуктивностью L, включенной к источнику синусоидального напряжения V = V 0 sin (wt + ϕ). 4. Разность потенциалов на зажимах катушки равномерно падает от V 0 = 2 В до V 1 = 1 В в течение 10 с. Каков будет ток в конце десятой секунды, если в начале опыта он был A? Сопротивление катушки 0.12 Ом, коэффициент индуктивности 0.1 Гн. 5. В электрическую цепь с сопротивлением R = 1.5 Ом в течение 2 мин равномерно вводится напряжение (от нуля до 120 В). Кроме того, автоматически вводится индуктивность, так что число генри в цепи равно числу, выражающему ток в амперах. Найти зависимость тока от времени в течение первых двух минут опыта. 6. Сила тока J в цепи с сопротивлением R, индуктивностью L и напряжением V удовлетворяет дифференциальному уравнению L dj + RJ = kt, dt где k, L и R постоянные. Найти J при начальных условиях J t=0 = J Изолированному проводнику сообщен заряд q 0 = 1000 CGSE единиц. Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Скорость потери заряда в данный момент пропорциональна наличному заряду проводника. Какой заряд останется на проводнике по истечении времени t = 10 мин, если за первую минуту потеряно 100 CGSE единиц? 8. Рост, выживание и деление клеток определяются потоком питательных веществ через оболочку клетки. Это означает, что на ранних стадиях клеточного роста увеличение массы клетки в момент времени t пропорционально квадрату радиуса клетки, а масса клетки пропорциональна его кубу. Вывести дифференциальное уравнение, описывающее изменение массы клетки в зависимости от времени t, если начальная масса клетки равна a. 9. В цепи поддерживается напряжение V = 300 В. Сопротивление цепи R = 150 Ом. Коэффициент самоиндукции L = 30 Гн. За какое время с момента замыкания цепи возникающий в ней ток J достигнет 99% своей предельной величины? 10. Конденсатор емкостью C включается в цепь с напряжением V и сопротивлением R. Определить заряд q конденсатора в момент t после включения. 11. Электрическая цепь состоит из последовательно включенного источника тока, дающего напряжение V, сопротивления R, конденсатора емкости C и выключателя, который включается при t = 0. Конденсатор до замыкания цепи не заряжен. Найти зависимость силы тока от времени (при t > 0). 12. Последовательно включены сопротивление R и конденсатор емкости C, заряд которого при t = 0 равен q. Цепь замыкается при t = 0. Найти силу тока в цепи при t > Последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону V (t) = V 0 sin wt, сопротивление R и самоиндукция L. Найти силу тока в цепи (установившийся режим). 36
37 14. Колебательный контур, представляющий собой замкнутую электрическую цепь, обладает емкостью C, индуктивностью L, активным сопротивлением R и источником самоиндукции E = E(t). Найти дифференциальные уравнения, описывающие законы изменения силы тока и напряжения в цепи. 15. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источников тока с э.д.с. E(t) = E 0 sin wt, индуктивности L, сопротивления R и емкости C, причем R 2 C 4L 38 Рис. 2: к задаче Судно выходит из точки O и с постоянной скоростью плывет по направлению оси OY (рис.2). В тот же момент времени (t=0) из точки A, расположенной на расстоянии OA = a от судна, выходит вдогонку на пересечение катер, плывущий со скоростью, дважды превышающей скорость судна. Найти уравнение описанной катером кривой погони и минимальное время, необходимое ему для достижения судна. 28. Цепь длиной l = 4 м соскальзывает с гладкого горизонтального стола. В начальный момент движения со стола свисал конец цепи длиной a = 0.5 м. Пренебрегая трением, найти время соскальзывания всей цепи со стола. 29. Пуля входит в брус толщиной 12 см со скоростью 200 м/с, а вылетает из него, пробив его, со скоростью 60 м/с. Брус задерживает движение пули, сила сопротивления которого пропорциональна квадрату скорости движения. Найти время движения пули через брус. 30. В сосуд, содержащий 10 л воды, непрерывно поступает со скоростью 2 л в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут? 38
39 6. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 6.1. Решение систем линейных дифференциальных уравнений Система обыкновенных дифференциальных уравнений dx i dt = f i(t, x 1, x 2. x n ), (i = 1. n) (66) называется системой в нормальной форме или системой, разрешенной относительно производных от неизвестных функций x i = x i (t). Решением системы уравнений (66) на интервале I называется совокупность дифференцируемых на I функций x i = ϕ i (t), i = 1. n, таких что все уравнения системы (66) обращаются в тождества при любом значении t. Система Ẋ(t) = AX(t), где Ẋ(t) = dx (67) dt где X = (x 1. x n ) n-мерный вектор, A постоянная квадратная матрица размера n n, называется линейной однородной системой дифференциальных уравнений. Система Ẋ(t) = AX(t) + f(t), (68) где X = (x 1. x n ) n-мерный вектор, A постоянная квадратная матрица размера n n, f(t) вектор-функция с компонентами f i (t), называется линейной неоднородной системой дифференциальных уравнений Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Самым простым методом интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений является метод сведения системы к одному уравнению. Этот метод называется методом исключения. П р и м е р. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений Р е ш е н и е. Выражая z из первого уравнения x = dx dt = 4x + 2y + 5z, y = dy dt = 6x y 6z, (69) z = dz dt = 8x + 3y + 9z. z = 1 5 (x + 4x 2y) (70) и дифференцируя его z = 1 5 (x + 4x 2y ), подставляем эти выражения во второе и третье уравнения системы: y = 1 5 ( 6x + 6x + 7y), x = 5x + 2y 4x 3y. (71) Исключим отсюда y и выразим y: x = 5x ( 6x + 6x + 7y) 4x 3y, y = 5x + 13x 8x. (72) Дифференцируем (72): y = 5x + 13x 8x, (73) и подставляем (72) и (73) в первое уравнение (71): x 4x + 5x 2x = 0. 39
40 Это однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид Отсюда, учитывая уравнение (72), получаем x = (C 1 + C 2 t)e t + C 3 e 2t. y = 3C 2 e t 2C 3 e 2t. Наконец, подставляя выражения x и y в уравнение (70), находим z = (C 1 C 2 + C 2 t)e t + 2C 3 e 2t. О т в е т: Итак, общее решение системы (69) x = (C 1 + C 2 t)e t + C 3 e 2t, y = 3C 2 e t 2C 3 e 2t, z = (C 1 C 2 + C 2 t)e t + 2C 3 e 2t. 40
41 Контрольное задание 12 В каждом варианте решить систему дифференциальных уравнений методом исключения: 1. ẋ = 3x + 2y, ẏ = 3x + 4y. 20. ẋ = 2x y, ẏ = 4x 3y. 2. ẋ = 3x 4y, ẏ = x 2y. 21. ẋ = 4x 5y, ẏ = 5x 4y. 3. ẋ = 2x y, ẏ = 5x 2y. 22. ẋ = 7x + 3y, ẏ = x 3y. 4. ẋ = x 2y, ẏ = 7x 8y. 23. ẋ = 9x 5y, ẏ = 5x y. 5. ẋ = 3x 2y, ẏ = 2x y. 24. ẋ = x 2y, ẏ = 2x + y. 6. ẋ = 4x 2y, ẏ = x + 2y. 25. ẋ = 8x 3y, ẏ = 2x + 3y. 7. ẋ = 5x + 3y, ẏ = x + 3y. 26. ẋ = 2x + y, ẏ = 4x y. 8. ẋ = 2x y, ẏ = 5x 4y. 27. ẋ = 2x 5y, ẏ = 4x 2y. 9. ẋ = 3x y, ẏ = 13x 3y. 28. ẋ = 2x 3y, ẏ = 4x 9y. 10. ẋ = x 3y, ẏ = 7x 9y. 29. ẋ = 7x 4y, ẏ = 4x y. 11. ẋ = 5x 3y, ẏ = 3x y. 30. ẋ = x y, ẏ = x + y. 12. ẋ = x 9y, ẏ = x + y. 13. ẋ = 4x + y, ẏ = 2x + 5y. 14. ẋ = 5x 3y, ẏ = 4x 3y. 15. ẋ = x 2y, ẏ = 13x y. 16. ẋ = 5x + y, ẏ = 2x 4y. 17. ẋ = 6x y, ẏ = x + 4y. 18. ẋ = x 2y, ẏ = x + 3y. 19. ẋ = x 3y, ẏ = 5x + 9y. 41
42 Решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом Эйлера Однородная система уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид: ẋ 1 = a 11 x a 1n x n, ẋ n = a n1 x a nn x n, (74) dx или Ẋ(t) = AX(t) (матричная форма записи системы (74)). Здесь ẋ означает dt. Эту систему можно решить методом Эйлера, т. е. сведя задачу к отысканию собственных чисел λ j и собственных векторов ξ j матрицы A. Общее решение X(t) системы (74) есть линейная комбинация частных решений X j (t), соответствующих различным собственным числам λ j. 1. Собственное число λ j является простым корнем характеристического уравнения матрицы A. Тогда этому λ j соответствует один линейно независимый собственный вектор ξ j и частное решение будет иметь вид X j (t) = c j ξ j e λjt, (75) где c j произвольная постоянная. Если λ j = α + βi комплексное число, а все коэффициенты системы (74) вещественны, то λ j = α βi также будет являться собственным числом и частное решение X j (t) можно выразить через вещественные функции: 2. Собственное число λ j имеет кратность k. X j (t) = c j1 Re ( ξ j e λjt) + c j2 Im ( ξ j e λjt). (76) (a) Если собственному числу λ j соответствует k линейно независимых собственных векторов ξ (1) j. ξ (k) j, то соответствующее ему частное решение будет иметь вид: X j (t) = c j1 ξ (1) j e λjt c jk ξ (k) j e λjt. (77) При этом комплексно-сопряженной паре собственных чисел кратности k соответствует частное решение ( ( X j (t) = c j1 Re ξ (1) ξ (k) ) ) j e λjt c jk Re j e λjt + ( ) ξ (1) j e λjt c j2k Im +c j(k+1) Im ( ξ (k) j e λjt ). (b) Если собственному числу λ j соответствует m 43 Составляем и решаем характеристическое уравнение: 1 λ λ λ = 0, (1 λ)(λ2 λ 2) = 0. Отсюда находим собственные числа матрицы A: λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 2. Все они являются вещественными и простыми, поэтому все частные решения будут иметь вид (75). Для каждого λ j найдем собственный вектор ξ j = ξ j1 ξ j2, являющийся решением системы ξ j3 (1 λ j )ξ j1 ξ j2 + ξ j3 = 0, (A λ j E)ξ j = 0 или ξ j1 + (1 λ j )ξ j2 ξ j3 = 0, 2ξ j1 ξ j2 λ j ξ j3 = 0. Найдем вектор ξ 1, соответствующий собственному числу λ 1 = 1. Получим систему 2ξ 11 ξ 12 + ξ 13 = 0 ξ ξ 12 ξ 13 = 0 2ξ 11 ξ 12 + ξ 13 = 0, откуда ξ 1 = Получили частное решение, соответствующее λ 1 : X 1 (t) = ξ 11 ξ 12 ξ = e t. Аналогично находим откуда ξ 2 = и ξ 3 = 1 0 1, X 2 (t) = e t, X 3 (t) = Следовательно, общее решение системы (80) будет иметь вид 1 X(t) = C 1 X 1 (t) + C 2 X 2 (t) + C 3 X 3 (t) = C e 2t. e t + C e t + C e 2t. О т в е т: Общее решение системы (80): x = C 1 e t + C 2 e t + C 3 e 2t, y = 3C 1 e t + C 2 e t, z = 5C 1 e t + C 2 e t + C 3 e 2t. П р и м е р 2. Решить систему уравнений ẋ = 3x + 2y, ẏ = x + y. Р е ш е н и е. Находим корни характеристического уравнения: 3 λ λ = 0, откуда λ 1,2 = 2 ± i. 43
44 Корни простые комплексные, поэтому решение, соответствующее λ 1 и λ 2 = λ 1 будет иметь вид (76). Найдем один собственный вектор для любого собственного числа, например, ξ 2 для λ 2 = 2 i: (1 + i)ξ21 + 2ξ (A λ 2 E)ξ 2 = 0, 22 = 0, ξ 21 + ( 1 + i)ξ 22 = 0. ( ) 1 i Отсюда получим ξ 2 =. По формуле (76) находим частное решение для λ 1 2 : X 2 (t) = ( 1 i 1 ) e (2 i)t = ( 1 i 1 ) ( (cos t i sin t)e 2t cos t sin t + i( cos t sin t) = cos t + i sin t ) e 2t Выделяем вещественную и мнимые части: ( cos t sin t X 2 (t) = cos t ) ( e 2t cos t sin t + i sin t ) e 2t. Тогда общее решение системы имеет вид: X(t) = C 1 Re X 2 (t) + C 2 Im X 2 (t) = C 1 ( cos t sin t cos t ) e 2t + C 2 ( cos t + sin t sin t ) e 2t. О т в е т: x = C1 (cos t sin t)e 2t + C 2 (cos t + sin t)e 2t, y = C 1 cos te 2t + C 2 sin te 2t. П р и м е р 3. Найти решение системы ẋ = y 2x 2z, ẏ = x 2y + 2z, ż = 5z 3y + 3x. (81) Р е ш е н и е. Матрица A системы (81) имеет вид: Решая характеристическое уравнение 2 λ λ λ = 0, находим собственные числа матрицы A: λ 1,2 = 1, λ 3 = 3. Они являются вещественными и λ = 1 имеет кратность 2. Найдем собственные векторы ξ 1 = ξ 11 ξ 12 для λ 1,2 = 1. Получим систему ξ 13 ξ 11 + ξ 12 2ξ 13 = 0, (A λ 1 E)ξ 1 = 0, ξ 11 ξ ξ 13 = 0, 3ξ 11 3ξ ξ 13 = 0, откуда получаем уравнение ξ 11 = ξ 12 2ξ При ξ 12 = 0, ξ 13 = 1 имеем ξ (1) 1 = При ξ 12 = 1, ξ 13 = 0 имеем ξ (2) 1 =
45 ξ (1) 1 и ξ (2) 1 линейно независимы, следовательно, частное решение для λ 1,2 будет иметь вид (77): X 1 = C e t + C e t. 1 0 Собственный вектор ξ 3, соответствующий λ 3 = 3 получен так же, как и примере 1: ξ 3 = О т в е т: Общее решение системы (80): x = 2C 1 e t + C 2 e t + C 3 e 3t, y = C 2 e t C 3 e 3t, z = C 1 e t 3C 3 e 3t
46 П р и м е р 4. Решить систему линейных уравнений ẋ = 2x y z, ẏ = 2x y 2z, ż = 2z x + y. (82) Р е ш е н и е. Выпишем матрицу коэффициентов правой части системы (82) A = Решим характеристическое уравнение 2 λ λ λ = 0. Получим λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1. Таким образом, собственные числа вещественные кратные, кратности k = 3. Будем искать собственные векторы ξ (j), соответствующие собственному значению λ = ξ (j) (A λe)ξ (j) 1 = ξ (j) 2 = ξ (j) 3 Решая эту систему линейных уравнений получаем, что Мы получили ξ (j) = ξ (j) 1 ξ (j) 2 ξ (j) 3 = ξ (1) = c 1 + c 2 c 1 c = c 1, ξ (2) = c 2 т. е. m = 2, где m количество линейно независимых собственных векторов. Решение системы (82) будем искать в виде произведения многочлена степени k m = 1 на e λt, т. е. в виде a 0 + a 1 t X(t) = b 0 + b 1 t c 0 + c 1 t e t. (83) Требуется найти коэффициенты a 0. c 1. Для этого подставим решение (83) в систему (82): a 0 e t + a 1 e t + a 1 te t = 2(a 0 + a 1 t)e t (b 0 + b 1 t)e t (c 0 + c 1 t)e t, b 0 e t + b 1 e t + b 1 te t = 2(a 0 + a 1 t)e t (b 0 + b 1 t)e t 2(c 0 + c 1 t)e t, (84) c 0 e t + c 1 e t + c 1 te t = (a 0 + a 1 t)e t + (b 0 + b 1 t)e t + 2(c 0 + c 1 t)e t. Перенесем правую часть системы (84) в левую и разделим обе части на e t, таким образом получим систему a 0 + a 1 + b 0 + c 0 + ( a 1 + b 1 + c 1 )t = 0, 2a 1 + b 1 + 2b 0 + 2c 0 + ( 2a 1 + 2b 1 + 2c 1 )t = 0, (85) a 0 b 0 c 0 + c 1 + (a 1 b 1 c 1 )t = 0. Из системы (85) следует, что a 0 + a 1 + b 0 + c 0 = 0, a 1 + b 1 + c 1 = 0, 2a 0 + b 1 + 2b 0 + 2c 0 = 0, 2a 1 + 2b 1 + 2c 1 = 0, a 0 b 0 c 0 + c 1 = 0, a 1 b 1 c 1 = 0.,
47 Решение этой системы есть a 0 C 1 + C 2 + C 3 a 1 C 1 b 0 b 1 = C 3 2C 1 c 0 C 2 c 1 C 1, где C 1, C 2, C 3 произвольные постоянные. Подставив найденные значения a 0. c 1 в решение (83), получим О т в е т: x = (C 1 + C 2 + C 3 + C 1 t)e t, y = (C 3 + 2C 1 t)e t, z = (C 2 C 1 t)e t. 47
48 1. Контрольное задание 13 В каждом варианте решить систему дифференциальных уравнений методом Эйлера: ẋ = 2x y + z, ẏ = x + 2y z, ż = x y + 2z. ẋ = 8y, ẏ = 2z, ż = 2x + 8y 2z. ẋ = x + y + z, ẏ = x y + z, ż = x + y z. ẋ = 2x y + z, ẏ = x + z, ż = y 2z 3x. ẋ = x 2y, ẏ = y z, ż = z. ẋ = 2x + y 2z, ẏ = x, ż = x + y z. ẋ = 4y + z, ẏ = z, ż = 4y. ẋ = x + y + 5z, ẏ = 2y + z, ż = 3z. ẋ = x + y, ẏ = y + z, ż = z + x. ẋ = x, ẏ = 2x y, ż = x + y z. ẋ = x + z, ẏ = 2y + z, ż = y 3z. ẋ = 2x y, ẏ = x 2y, ż = x + 3y z. ẋ = x + z, ẏ = 2y z, ż = y z. ẋ = 4x 2y z, ẏ = x + 3y z, ż = x 2y + 2z ẋ = 2x y, ẏ = x + 2y, ż = x y + z. ẋ = 3x y z, ẏ = 2y z, ż = y + 2z. ẋ = 5x y z, ẏ = 4y z, ż = y + 4z. ẋ = 6x 2y z, ẏ = x + 5y z, ż = x 2y + 4z. ẋ = 3x + y z, ẏ = 2x + 2y z, ż = 2x + y + 4z. ẋ = 2x z, ẏ = x + y z, ż = x + 2z. ẋ = 5x + y z, ẏ = 2x + 4y z, ż = 2x + y + 6z. ẋ = 3x 2y + 2z, ẏ = 3y, ż = 2y + z. ẋ = 7x + 2y 2z, ẏ = 4x + 5y 2z, ż = 3z. ẋ = 9x 6y 6z, ẏ = 2x + 5y 2z, ż = 2x + 2y 13z. ẋ = 5x 2y 4z, ẏ = 3y, ż = 2x + 2y + 7z. ẋ = 7x 4y 2z, ẏ = 2x + 5y 2z, ż = 9z. ẋ = 9x, ẏ = 2x + 7y 4z, ż = 2x 2y + 5z. ẋ = 13x + 2y 2z, ẏ = 6x + 9y 6z, ż = 2x 2y + 5z. 48
49 ẋ = 2x + y z, 29. ẏ = x + 2y z, ż = z. 30. ẋ = 3x 2y + 2z, ẏ = 2x y + 2z, ż = 2x 2y + 3z. 49
50 Решение линейных неоднородных систем с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Общее решение X(t) = x 1(t). системы x n (t) ẋ 1 = a 11 x a 1n x n + f 1 (t), (86) ẋ n = a n1 x a nn x n + f n (t), находится в виде суммы где X 1 (t) общее решение однородной системы ẋ 1 = a 11 x a 1n x n, ẋ n = a n1 x a nn x n, X(t) = X 1 (t) + X 2 (t), (87) а X 2 (t) частное решение неоднородной системы (86). Если функции f 1 (t). f n (t) состоят из сумм и произведений многочленов P m (t) = b 0 + b 1 t b m t m и e αt, cos βt, sin βt, то частное решение X 2 (t) системы (86) можно искать методом неопределенных коэффициентов, подобно тому, как это делалось для линейного неоднородного дифференциального уравнения (см. 3.2). Если f j (t) = P mj (t)e γt, где P mj (t) многочлен степени m j, то частное решение X 2 (t) системы (86) ищется в виде Q 1 m+r(t)e γt X 2 (t) =. (89) Q n m+r(t)e γt где Q j m+r(t) многочлен степени m + r с неопределенными коэффициентами, m = max m j, r = 0, j если γ не является корнем характеристического уравнения a 11 λ. a 1n. a n1. a nn λ = 0, а если γ корень, то r равно кратности этого корня. Неизвестные коэффициенты многочленов определяются путем подстановки решения (89) в систему (86) и приравнивания коэффициентов подобных членов. Аналогично определяются степени многочленов и в случае, когда f j (t) содержит произведение многочленов P j m j (t) и e αt cos βt и e αt sin βt. П р и м е р 5. Решить линейную неоднородную систему ẋ = 2x 4y + 4e 2t, ẏ = 2x 2y. Р е ш е н и е. Решаем сначала однородную систему ẋ = 2x 4y, ẏ = 2x 2y. Характеристическое уравнение 2 λ λ = 0 имеет корни λ 1,2 = ±2i. Для корня λ = 2i находим собственный вектор ξ: ( ) ( ) 2 2i 4 ξ1 = 0, 2 2 2i ξ 2 (88) 50
51 т.е. (2 2i)ξ1 4ξ 2 = 0, 2ξ 1 (2 + 2i)ξ 2 = 0, что равносильно (1 i)ξ 1 = 2ξ 2, или ξ 2 = 1 i 2 ξ 1. Положив ξ 1 = 2, получим Получим частное решение ξ = ( ξ1 ξ 2 ) = X(t) = ( 2 1 i ( 2 1 i ). ) e 2i. (90) Так как коэффициенты системы вещественны, второе решение, соответствующее корню λ = 2i, можно не искать, оно будет комплексно сопряженным с первым. Выделяя в (90) действительную и мнимую часть, получим два линейно независимых решения: Тогда ( = X(t) = ( 2 1 i 2 cos 2t + 2i sin 2t cos 2t + sin 2t + i(sin 2t cos 2t) ) (cos 2t + i sin 2t) = ) ( = X 1 (t) = C 1 Re X(t) + C 2 Im X(t) = C 1 ( 2 cos 2t cos 2t + sin 2t 2 cos 2t cos 2t + sin 2t ) ( + i ) + C 2 ( Переходим к нахождению частного решения исходной системы. Имеем ( ) ( ) f1 (t) 4e 2t F (t) = =. f 2 (t) 0 2 sin 2t sin 2t cos 2t 2 sin 2t sin 2t cos 2t Таким образом γ = 2; P m1 (t) = 4 многочлен нулевой степени, откуда m 1 = 0, P m2 (t) = 0 также многочлен нулевой степени, откуда m 2 = 0. Тогда m = 0, и частное решение X 2 (t) системы ищем в виде ( ) Ae 2t X 2 (t) = Be 2t. ( ) 2Ae Тогда Ẋ2(t) 2t = 2Be 2t, и, подставляя в исходную систему найденное решение, получаем: 4B 4A = 4, A = 0, B = 1. Тогда и из формулы (88) получим X(t) = X 1 (t) + X 2 (t) = C 1 ( 2Ae 2t = 2Ae 2t 4Be 2t + 4e 2t, 2Be 2t = 2Ae 2t 2Be 2t. X 2 (t) = 2 cos 2t cos 2t + sin 2t ( 0 e 2t ) ) + C 2 ( 2 sin 2t sin 2t cos 2t ). ). ) ( ) 0 + e 2t. О т в е т: x = 2C1 cos 2t + 2C 2 sin 2t, y = C 1 (cos 2t + sin 2t) + C 2 (sin 2t cos 2t) + e 2t. 51
52 Контрольное задание 14 В каждом варианте решить систему неоднородных дифференциальных уравнений: 1. ẋ = 2x + y + e t, ẏ = 3x + 4y. 20. ẋ = x 5y, ẏ = x + y 5 cos 2t. 2. ẋ = x y, ẏ = 4x + y + e t. 21. ẋ = 2x + y, ẏ = x + 4y e 3t. 3. ẋ = x + 8y, ẏ = x + y + e 3t. 22. ẋ = 3x y, ẏ = 4x y 4e t. 4. ẋ = x + y + e 2t cos t, ẏ = 2x + 3y. 23. ẋ = 3x + 2y, ẏ = 2x + y + 2te t. 5. ẋ = x 3y + 2e t cos 3t, ẏ = 3x + y. 24. ẋ = 5x + 3y, ẏ = 3x y e 2t. 6. ẋ = x 5y + 3 sin 2t, ẏ = x + y. 25. ẋ = 2x + y + e 3t, ẏ = 3x + 4y te 3t. 7. ẋ = 2x + y + 3e 3t, ẏ = x + 4y. 26. ẋ = x y + te t, ẏ = 4x + y e t. 8. ẋ = 3x y + 2e t, ẏ = 4x y. 27. ẋ = x + y + cos t, ẏ = 2x + 3y + sin t. 9. ẋ = 3x + 2y + te t, ẏ = 2x + y. 28. ẋ = x + y + e 2t cos t, ẏ = 2x + 3y 3e 2t sin t. 10. ẋ = 5x + 3y + 4e 2t, ẏ = 3x y. 29. ẋ = 2x + y + cos t, ẏ = x + 4y + sin t. 11. ẋ = 2x + y + te 2t, ẏ = 3x + 4y 3e 2t. 30. ẋ = x 5y + cos 2t, ẏ = x + y + t sin 2t. 12. ẋ = x y + 3e t, ẏ = 4x + y 4te t. 13. ẋ = x + 8y + e 2t, ẏ = x + y + te 2t. 14. ẋ = x 5y + cos 2t, ẏ = x + y 2 sin 2t. 15. ẋ = 2x + y, ẏ = 3x + 4y + e 5t. 16. ẋ = x y + 4e 3t, ẏ = 4x + y. 17. ẋ = x + 8y + e 3t, ẏ = x + y. 18. ẋ = x + y, ẏ = 2x + 3y 3e 2t sin t. 19. ẋ = x 3y, ẏ = 3x + y e t sin 3t. 52
53 Решение линейных неоднородных систем методом вариации произвольных постоянных Решение системы ẋ 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + f 1 (t), ẋ n = a n1 (t)x 1 + a n2 (t)x a nn (t)x n + f n (t), (91) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Определим сначала общее решение однородной системы ẋ 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n, ẋ n = a n1 (t)x 1 + a n2 (t)x a nn (t)x n. Затем, как и в случае одного линейного неоднородного уравнения (см. п. 3.3), записываем вместо постоянных c 1. c n в формуле общего решения однородной системы функции c 1 (t). c n (t) и для определения этих функций подставляем X(t) в систему (91). П р и м е р. Решить систему ẋ = 2y x, ẏ = 4y 3x + e 3t /(e 2t + 1). Р е ш е н и е. Решаем однородную систему ẋ = x + 2y, ẏ = 3x + 4y. (92) (93) Характеристическое уравнение: 1 λ λ = 0. Его корни λ 1 = 2, λ 2 = 1. Найдем собственные векторы. Для λ 1 = 2 имеем ( откуда тогда Для λ 2 = 1 имеем ( ) ( ) ξ11 = 0, ξ 12 ξ 1 = ( 2 3 ) ( ) ξ21 = 0, ξ 22 ( 1 ξ 2 = 1 3ξ11 + 2ξ 12 = 0, 3ξ ξ 12 = 0, ). 2ξ21 + 2ξ 22 = 0, 3ξ ξ 22 = 0, ). Общее решение системы (93) будет иметь вид X 1 (t) = c 1 ξ 1 e λ1t + c 2 ξ 2 e λ2t = c 1 ( 2 3 ) e 2t + c 2 ( 1 1 ) e t. Ищем общее решение системы (91) в виде ( 2 X(t) = c 1 (t) 3 ) ( e 2t 1 + c 2 (t) 1 ) e t. 53
54 Имеем x(t) = 2c1 (t)e 2t + c 2 (t)e t, y(t) = 3c 1 (t)e 2t + c 2 (t)e t. (94) Откуда получим ẋ(t) = 2c 1 (t)e 2t + 4c 1 (t)e 2t + c 2(t)e t + c 2 (t)e t, ẏ(t) = 3c 1(t)e 2t + 6c 1 (t)e 2t + c 2(t)e t + c 2 (t)e t. Подставим x(t) и y(t), определяемые формулами (94), в систему (91) 2c 1(t)e 2t + 4c 1 (t)e 2t + c 2(t)e t + c 2 (t)e t = 6c 1 (t)e 2t + 2c 2 (t)e t 2c 1 (t)e 2t c 2 (t)e t, 3c 1(t)e 2t + 6c 1 (t)e 2t + c 2(t)e t + c 2 (t)e t = 12c 1 (t)e 2t + 4c 2 (t)e t 6c 1 (t)e 2t 3c 2 (t)e t + +e 3t /(e 2t + 1), 2c 1 (t)e 2t + c 2(t)e t = 0, 3c 1(t)e 2t + c 2(t)e t = e 3t /(e 2t + 1), c 2 (t) = 2c 1(t)e t, c 1(t) = e t /(e 2t + 1), c1 (t) = arctg e t + C 1, c 2 (t) = ln(e 2t + 1) + C 2. Тогда X(t) = ( x(t) y(t) ) = ( ) 2(arctg e t + C 1 )e 2t + ( ln(e 2t + 1) + C 2 )e t 3(arctg e t + C 1 )e 2t + ( ln(e 2t + 1) + C 2 )e t. О т в е т: общее решение системы (91) есть x = 2(arctg e t + C 1 )e 2t + ( ln(e 2t + 1) + C 2 )e t, y = 3(arctg e t + C 1 )e 2t + ( ln(e 2t + 1) + C 2 )e t. 54
55 Контрольное задание 15 В каждом варианте найти общее решение системы дифференциальных уравнений: 1. ẋ = 2x 4y t, ẏ = x + y + 3t 2 / ẋ = y, ẏ = 2x + 3y + 1/(2 + e t ). 2. ẋ = y + tg 2 t 1, ẏ = x + tg t. 21. ẋ = y, ẏ = 2x 3y + e t /(1 + e t ). 3. ẋ = y, ẏ = x + 1/ cos t. 22. ẋ = y, ẏ = 2x + 3y + e t /(1 + e t ). 4. ẋ = x + y cos t, ẏ = 2x y + cos t + sin t. 23. ẋ = y, ẏ = x + 1/ sin t. 5. ẋ = 4x 2y + 2/(e t 1), ẏ = 6x + 3y 3/(e t 1). 24. ẋ = y, ẏ = 8x 6y + 4e 2t /(2 + e 2t ). 6. ẋ = y, ẏ = 5x + 4y + e 2t /cos t. 25. ẋ = y, ẏ = 1x + 2 ctg t. 7. ẋ = y, ẏ = x + 1/t 2 + ln t. 26. ẋ = y, ẏ = 2y + 4e 2t /(1 + e 2t ). 8. ẋ = 3x + y + 1/t 4 ln t, ẏ = x + y + 1/t. 27. ẋ = y, ẏ = 16x + 16/ sin 4t. 9. ẋ = x y 1/ cos t, ẏ = 2x y. 28. ẋ = y, ẏ = y + e t /(2 + e t ). 10. ẋ = y, ẏ = π 2 x + π 2 / cos πt. 29. ẋ = y, ẏ = y + e t /(2 + e t ). 11. ẋ = y, ẏ = 8x + 6y + 4/(1 + e 2t ). 30. ẋ = y, ẏ = 4x + 4/ cos 2t. 12. ẋ = y, ẏ = 4x + 8 ctg 2 t. 13. ẋ = y, ẏ = 18x + 9y + 9e 3t /(1 + e 3t ). 14. ẋ = y, ẏ = x/π 2 + 1/(π 2 cos(t/π)). 15. ẋ = y, ẏ = 8x + 6y + 4/(2 + e 2t ). 16. ẋ = y, ẏ = 16x + 16/cos 4t. 17. ẋ = y, ẏ = 9x + 9/cos 3t. 18. ẋ = 3x 2y, ẏ = 2x y + 15e t t. 19. ẋ = y, ẏ = x/4 1/4 ctg(t/2). 55
56 6.2. Исследование положения равновесия линейной однородной системы с постоянными коэффициентами Положением равновесия системы ẋ = P (x, y), ẏ = Q(x, y), где функции P и Q непрерывные, называется такая точка (x, y), в которой P (x, y) = 0 и Q(x, y) = 0. Для однородных систем с постоянными коэффициентами ẋ = ax + by, ẏ = cx + gy, (95) точка (0,0) всегда является положением равновесия (но могут быть и другие положения равновесия, см. [8]). Ниже в этом пункте рассматривается точка (0,0). Для исследования положения равновесия системы (95) следует найти корни характеристического уравнения a λ b c g λ = 0. (96) В зависимости от значений корней уравнения (96), положение равновесия имеет разные типы (см. таблицу на стр. 58). Чтобы построить траектории (фазовые кривые) (x(t), y(t)), t I R> системы (95) на плоскости XOY в случае седла, узла и вырожденного узла, нужно сначала найти те фазовые кривые, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат. Эти прямые всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы A системы. В случае узла остальные фазовые кривые касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению λ. Для определения направления движения по траекториям в окрестности особых точек следует определить направление касательного вектора к траектории в некоторой точке, достаточно близкой к особой точке, подставив ее координаты в систему (95), и далее (по непрерывности) определить направление движения по другим траекториям. При этом движение по фазовым траекториям происходит в направлении к устойчивым положениям равновесия и от неустойчивых положений равновесия. П р и м е р 6. Исследовать положение равновесия x = 0, y = 0 системы дифференциальных уравнений ẋ = x, ẏ = 2x + y. Р е ш е н и е. Находим собственные значения: 1 λ λ = 0, λ 1,2 = 1. Числа λ 1, λ 2 одинаковые и положительные, поэтому положение равновесия неустойчивый вырожденный узел (см. таблицу на стр. 58, п. 7). О т в е т: Положение равновесия (0,0) исходной системы неустойчивый вырожденный узел. П р и м е р 7. Исследовать положение равновесия x = 0, y = 0 системы дифференциальных уравнений ẋ = x 2y, ẏ = 4x 3y. Р е ш е н и е. Найдем собственные значения: 1 λ λ = 0, λ 1,2 = 1 ± 2i. Числа λ 1, λ 2 комплексно-сопряженные и их действительные части меньше нуля. Следовательно положение равновесия устойчивый фокус (см. таблицу на стр. 58, п. 6). 56
57 О т в е т: Положение равновесия (0,0) исходной системы устойчивый фокус. П р и м е р 8. Исследовать положение равновесия x = 0, y = 0 системы дифференциальных уравнений ẋ = 5x, ẏ = 5y. Р е ш е н и е. Согласно п. 7а таблицы на стр. 58 положение равновесия неустойчивый дикритический узел. О т в е т: Положение равновесия (0,0) исходной системы неустойчивый дикритический узел. 57
58 Таблица. Фазовые траектории положения равновесия линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 58
59 Контрольное задание 16 В каждом варианте исследовать положение равновесия данной системы дифференциальных уравнений и изобразить ее фазовые траектории на плоскости XOY 1. ẋ = 3x y, ẏ = 13x 3y. 20. ẋ = 2x 3y, ẏ = 4x 9y. 2. ẋ = x 3y, ẏ = 7x 9y. 21. ẋ = 7x 4y, ẏ = 4x y. 3. ẋ = 5x 3y, ẏ = 3x y. 22. ẋ = x y, ẏ = x + y. 4. ẋ = x 9y, ẏ = x + y. 23. ẋ = 3x + 2y, ẏ = 3x + 4y. 5. ẋ = 4x + y, ẏ = 2x + 5y. 24. ẋ = 3x 4y, ẏ = x 2y. 6. ẋ = 5x 3y, ẏ = 4x 3y. 25. ẋ = 2x y, ẏ = 5x 2y. 7. ẋ = x 2y, ẏ = 13x y. 26. ẋ = x 2y, ẏ = 7x 8y. 8. ẋ = 5x + y, ẏ = 2x 4y. 27. ẋ = 3x 2y, ẏ = 2x y. 9. ẋ = 6x y, ẏ = x + 4y. 28. ẋ = 4x 2y, ẏ = x + 2y. 10. ẋ = x 2y, ẏ = x + 3y. 29. ẋ = 5x + 3y, ẏ = x + 3y. 11. ẋ = x 3y, ẏ = 5x + 9y. 30. ẋ = 2x y, ẏ = 5x 4y. 12. ẋ = 2x y, ẏ = 4x 3y. 13. ẋ = 4x 5y, ẏ = 5x 4y. 14. ẋ = 7x + 3y, ẏ = x 3y. 15. ẋ = 9x 5y, ẏ = 5x y. 16. ẋ = x 2y, ẏ = 2x + y. 17. ẋ = 8x 3y, ẏ = 2x + 3y. 18. ẋ = 2x + y, ẏ = 4x y. 19. ẋ = 2x 5y, ẏ = 4x 2y. 59
60 Система 6.3. Построение фазового портрета динамической системы ẋ = P (x, y), ẏ = Q(x, y), (97) где P (x, y), Q(x, y) непрерывно дифференцируемые функции в некоторой области D R 2, называется динамической системой, а совокупность ее траекторий фазовым портретом системы. Траекториями системы (97) фазовыми кривыми могут являться точка (положение равновесия), замкнутая кривая (периодическое решение), незамкнутая кривая (непериодическое решение). Направление движения на фазовой кривой L это направление движения точки (x(t),y(t)) по L в сторону возрастания t. Построить фазовый портрет системы это значит выяснить качественную картину разбиения фазовой плоскости на траектории, для чего надо найти особые точки (положения равновесия), предельные циклы (если они имеются) и изобразить траектории в окрестности этих точек, а затем «склеить» траектории по непрерывности. Предельным циклом системы называется замкнутая фазовая кривая, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, по которым точка неограниченно приближается к этой замкнутой кривой при t + или t. При выяснении вопроса о существовании предельных циклов системы (97) можно воспользоваться, например, принципом кольца: если на фазовой плоскости можно указать такое кольцо r 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 R 2, что все решения системы (97), начинающиеся на границе кольца, входят внутрь кольца или все выходят из кольца, то внутри кольца имеется предельный цикл системы. Координаты особых точек системы (97) находим из решения системы P (x, y) = 0, (98) Q(x, y) = 0. Для исследования характера особых точек нелинейной системы (97) надо сделать замену переменных и перенести начало координат в рассматриваемую точку. Таким образом, для особой точки M 0 (x 0, y 0 ) делаем замену x x0 = u, (99) y y 0 = v, откуда x = u + x0, y = v + y 0, и система (97) преобразуется в переменных u и v к виду u = P1 (u, v), v = Q 1 (u, v). (100) Далее функции P 1 (u, v) и Q 1 (u, v) следует разложить в окрестности нуля по формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда система (100) запишется в виде u = au + bv + ϕ(u, v), (101) v = cu + dv + ψ(u, v). Запишем линейную систему u = au + bv, v = cu + dv, получаемую из системы (101) при ϕ(u, v) = ψ(u, v) = 0. Если вещественные части корней характеристического уравнения a λ b c d λ = 0 (102) 60
61 отличны от нуля, то положение равновесия x = x 0, y = y 0 системы (97) имеет тот же тип, что и положение равновесия u = 0, v = 0 системы (102). Если же для системы (102) особая точка (0, 0) является центром, для системы (101) она может быть фокусом или центром. Для наличия центра достаточно, чтобы фазовые кривые имели ось симметрии, проходящую через исследуемое положение равновесия. Очевидно, ось симметрии существует, если уравнение dy Q(x, y) = dx P (x, y) не меняется при замене x на x (или y на y). Для наличия фокуса необходимо и достаточно, чтобы положение равновесия было асимптотически устойчиво при t + или при t. Для определения направления движения по траекториям в окрестности особых точек следует определить направление касательного вектора к траектории в некоторой точке, достаточно близкой к особой точке, подставив ее координаты в формулу (97), и далее (по непрерывности) определить направление движения по другим траекториям. При этом движение по фазовым траекториям происходит в направлении к устойчивым положениям равновесия и от неустойчивых положений равновесия. П р и м е р 9. Построить фазовый портрет системы ẋ = ln (1 y + y 2 ), ẏ = 3 x 2 + 8y. (103) Р е ш е н и е. Найдем особые точки системы: ln (1 y + y 2 ) = 0, 3 x 2 + 8y = 0, 1 y + y 2 = 1, 3 = x 2 + 8y, y 2 y = 0, 9 = x 2 + 8y. Из первого уравнения имеем 2 корня: y 1 = 0, y 2 = 1. Подставим эти значения во второе уравнение и найдем соответствующие значения x: a) при y = 0 : x 2 = 9, x 1 = 3, x 2 = 3; б) при y = 1 : x 2 = 1, x 1 = 1, x 2 = 1. Убедившись, что все корни удовлетворяют нашей системе, получили четыре особые точки: A(3, 0), B( 3, 0), C(1, 1), D( 1, 1). Исследуем особые точки на устойчивость и определим их тип. 1. Точка A(3, 0). Сделаем замену переменных: u = x 3, v = y, откуда x = u + 3, y = v. Тогда система (103) примет вид: u = ln (1 v + v 2 ), v = 3 (u + 3) 2 + 8v. Разложим правые части уравнений полученной системы в ряд Тейлора 2. u = v + v , v = u 4 3 v + 4 uv Отбрасывая нелинейные слагаемые, получим следующую систему: u = v, v = u 4 3 v. 2 Разложение по формуле Тейлора функции f(u, v) в окрестности точки (u 0, v 0 ) следует искать в виде f(u, v) = f(u 0, v 0 ) + f u (u 0, v 0 )(u u 0 ) + f v (u 0, v 0 )(v v 0 )
62 Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы A системы (103): A λe = λ λ = 0, λ λ 1 = 0, 3λ2 + 4λ 3 = 0, λ 1 = следовательно, точка A(3, 0) ( седло. Собственные векторы: v 1 = Точка B( 3, 0). Замена переменных u = x + 3, v = y, > 0, λ 2 = ) (, v 2 = откуда ). x = u 3, y = v, приводит систему (103) к виду u = ln (1 v + v 2 ), v = 3 (u 3) 2 + 8v, u = v + v , v = u 4 3 v + 4 uv И соответствующая линейная система имеет вид u = v, v = u 4 3 v. Решая характеристическое уравнение A λe = λ λ = 0, находим корни λ 1 = 1 3 (2 5i), λ 2 = 1 3 (2 + 5i). Т.к. Re λ 1 63 Т.к. λ 1 0, λ 2 = 64 Рис. 3: к примеру 9. Фазовые портреты в окрестности особых точек системы (103) 64
65 Рис. 4: к примеру 9. Общая картина фазового портрета системы (103) Рис. 5: к описанию алгоритма построения фазового портрета системы (97) 65
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Устойчивость по Ляпунову
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 9Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения.Часть 2 — Производное решение дифференциальных уравненийПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Уравнения с частными производными 1 порядкаПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Фазовый портретПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Устойчивость решений линейных системПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Линейные уравнения второго порядкаПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 2Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Решение систем уравненийПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Системы дифференциальных уравненийПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 13Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 14Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 11Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 16Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 12Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 10Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 6Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 7Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 1Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Устойчивость по Ляпунову
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 9Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения.Часть 2 — Производное решение дифференциальных уравненийПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Уравнения с частными производными 1 порядкаПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Фазовый портретПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Устойчивость решений линейных системПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Линейные уравнения второго порядкаПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 2Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Решение систем уравненийПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Системы дифференциальных уравненийПодробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 13Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 14Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 11Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 16Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 12Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 10Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 6Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 7Подробнее
Асташова И. В. — Дифференциальные уравнения. Часть 2 — Лекция 1Подробнее
http://abesu.org/astashova-i-v-differencialnye-uravneniya-chast-2-ustoychivost-po-lyapunovu
http://abesu.org/astashova-i-v-differencialnye-uravneniya-chast-2-ustoychivost-po-lyapunovu