Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Высшая математика

n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде

В векторной форме автономная система имеет вид x‘ = F(x) (не зависит от t), где

Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x‘ зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.

Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:

Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть x = φ( t ) — решение автономной системы, определенное на отрезке [ a , b ] . Множество точек x = φ( t ) , t ∈ [ a , b ] — кривая в пространстве R _x n . Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство R _x n , в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы .

Точка a называется положением равновесия ( точкой покоя ) автономной системы, если F ( a ) = 0 .

Равенство x = φ( t ) , t ∈ [ a , b ] — параметрические уравнения фазовой траектории.

Интегральная кривая системы изображается в ( n + 1) –мерном пространстве R_{x, t} n+1 и может быть определена уравнениями

Ясно, что соответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство R_x .

На рисунке приведено изображение интегральной кривой автономной системы и соответствующей фазовой траектории.

Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если независимая переменная не входит явно в систему.
В теории автономных систем принято обозначать независимую переменную буквой t, а искомое решение — .
Ограничимся случаем n = 2 и в дальнейшем рассматриваем автономные системы второго порядка:

Будем полагать, что правые части системы f₁(x₁, x₂ ) , f₂(x₁, x₂) непрерывно дифференцируемы в области , т.е. справедлива теорема существования и единственности. Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx₁/dt и dx₂/dt зависят только от x₁ и x₂. Автономные системы называют также динамическими системами.

Пусть x₁=j₁(t), x₂= j₂(t) — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения

задают в параметрической форме кривую на плоскости. Эта кривая называется фазовой кривой или фазовой траекторией системы. Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы. Для n >2 фазовые траектории располагаются в фазовом пространстве.

Если на рисунке изображено несколько фазовых кривых системы, характеризующих качественное поведение решений системы (кривые с одинаковыми асимптотами, предельными точками и пр.), то такое изображение называется фазовым портретом системы.

Интегральные кривые рассматриваемой системы изображаются в трехмерном пространстве переменных (t, x₁, x₂) и, если x₁= f ₁(t), x₂= f ₂(t) — решение системы, то интегральная кривая задается в параметрической форме уравнениями

а фазовая траектория — не что иное, как проекция интегральной кривой на фазовую плоскость (плоскость (x₁, x₂).

ПРИМЕР 1. Фазовые кривые автономной системы.

Для фазовых кривых (фазовых траекторий) автономной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью
, ,
справедливы следующие утверждения:

• Если существует такая точка , что , то , является решением автономной системы, т.е. соответствующая фазовая траектория — точка.
• Если точка (x₁(t), x₂(t)) принадлежит некоторой фазовой кривой, то при любой постоянной С точка (x₁(t+С), x₂(t+С)) принадлежит той же фазовой кривой.
• Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают.
• Фазовая траектория, отличная от точки, есть гладкая кривая (в каждой ее точке есть ненулевой касательный вектор).
• Всякая фазовая кривая принадлежит к одному из трех типов— гладкая кривая без самопересечений, замкнутая гладкая кривая (цикл), точка.
• Если фазовая кривая, отвечающая решению , есть гладкая замкнутая кривая, то это решение — периодическая функция.

ПРИМЕР 2. Типы фазовых кривых.

Точка , в которой правая часть системы обращается в нуль,, называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.

ПРИМЕР 3. Точки покоя автономной системы.

Если в каждой точке области задан n-мерный вектор
,, то говорят, что в области G задано векторное поле. Запишем автономную систему второго порядка

в векторной форме:

где
,
Автономная система

полностью определяется заданием векторного поля
.
Действительно, в каждой точке

гладкой фазовой кривой

существует касательный вектор
(x'(t₀ ), y'(t₀ ))
равный (в силу системы) вектору
,
иными словами, векторное поле

автономной системы задает в каждой точке направление касательной к фазовой кривой системы, проходящей через эту точку.
Точки векторного поля, в которых вектор — нулевой, называют особыми точками векторного поля. Таким образом, точки покоя автономной системы — это особые точки векторного поля.

ПРИМЕР 4. Векторное поле автономной системы.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter