Линейные уравнения с параметром
Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение: \(x=\frac \) при \(p(a)≠0.\) Если же \(p(a)=0\) и \(q(a)=0\), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда \(p(a)=0\),а \(q(a)≠0\), то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с \(x\) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров: Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\). Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда \((a-7)≠0\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac<5a-3> Найдите все \(a\), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число. Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(x\), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку \(x\) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: \((a-1)=0\),т.е. \(a=1\) $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число. Из ОДЗ видно, что \(5a+x≠0\) и \(x-5a≠0,\) таким образом, \(x≠±5a.\) Приведем уравнение к общему знаменателю \(x^2-25a^2\) и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$ После преобразований получили линейное уравнение. Первый случай: \(a=0.\) Получаем уравнение \(0*x=0.\) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме \(x=0\) (ОДЗ \(x≠±5a\)). Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет. Класс: 7 Загрузить презентацию (327 кБ) Цели урока: Тип урока: введение нового материала. Учебник: «Алгебра-7» авт. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. издательство «Мнемозина», 2008 год. I. Проверка домашнего задания (работа выполнялась на двойных листах и сдаётся на проверку). Готовые решения проецируются на доску и разбирается (проговаривается) алгоритм решения. № 624. Решите уравнение: а) 0,3(2x – 1) – 0,4 (x + 8) = 1,2x – 1; в) – 6(2 – 0,2x) + 11 = – 4(3 – 0,3x) – 1; № 625. Решите уравнение а) (2x – 1)(3x + 7) – (1 + 6x)(x + 2) = 4; № 626. Решите уравнение № 622. При каких значениях a уравнение ax = 2a – 1: а) имеет единственный корень; (при a 0) II. Устная работа (задания проецируются на доску) 1. Найдите корни уравнения: а) 14 + 3x = 5 – x ; (– 2,25) 2. При каких значениях a число 3 является корнем уравнения? а) ax = – 6; (при a = – 2) 3. Укажите контрольные значения, при которых уравнение не имеет решений или решением является любое число? а) (5 – a) x = 0; б) (b + 4) x = 5; в) ax = x. III. Изучение нового материала Учитель. Сегодня на уроке мы с вами будем учиться решать линейные уравнения с параметрами. Задание 1 Рассмотрим уравнение mx + 3 = 4m – 2x. Оно содержит две переменные: m и x. 1. Вопрос. Чем же они отличаются? (одна из переменных, например m, принимает любые значения, тогда переменная x принимает не все значения, а только те, которые получаются при заданных значениях переменной m). 2. Задание. Решите данное уравнение при m = 2, – 1, 0. если m = 2, то уравнение примет вид 2x + 3 = 8 – 2x. Ответ: ; 3. Задание. Решите данное уравнение, задав свое значение для переменной m. 4. Вопрос. Можем ли мы перебрать все значения параметра m, чтобы найти значения x? (нет) 5. Возникла проблемная ситуация. Как же решить данное уравнение mx + 3 = 4m – 2x? 6. Вопрос. Всегда ли можно выполнить деление? (нет). 7. Задание. Найдите контрольные значения, при которых уравнение не имеет решений. Запишем решение уравнения далее так: Задание 2 (разобрать так же подробно на доске) Решите уравнение n 2 x + 3nx = 5n + 15; n 2 x + 3nx = 5n + 15; 1) при n = – 3 уравнение примет вид 0x = 0, x – любое число; Задание 3. Самостоятельное решение уравнений с последующей проверкой на доске. 1. 2кx – 5(2 + x) = 7. 2кx – 5(2 + x) = 7; 1) при к = 2,5 уравнение примет вид 0x = 17, решений нет; 2. a 2 x – 2a = a 2 + ax a 2 x – 2a = a 2 + ax; 1) при a = 0 уравнение примет вид 0x = 0, x – любое число; IV. Подведение итогов 1. Что мы сегодня рассматривали на уроке? (решение линейных уравнений с параметрами.) а) освобождение от знаменателя, умножив обе части равенства на одно и тоже отличное от нуля число; V. Выставление оценок VI. Домашнее задание 1) № 631; № 632; № 633. Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. Министерство обороны Российской Федерации Федеральное государственное общеобразовательное учреждение «Оренбургское президентское кадетское училище» ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ. (Методические рекомендации для преподавателей и воспитанников) http://urok.1sept.ru/articles/628776 http://infourok.ru/metodicheskoe_posobie_metody_resheniya_lineynogo_uravneniya_s_parametrami-388686.htm
Ответ: При \(a=7\) \(x∈∅;\)
при \(a≠7\) \(x=\frac<5a-3>
Второй случай: \((a-1)≠0\), т.е. \(a≠1\) $$x=\frac<(a-1)(a-4)>
Ответ: \(a=1.\)«Линейные уравнения с параметрами». 7-й класс
Презентация к уроку
0,6x – 0,3 – 0,4x – 3,2 = 1,2x – 1;
0,6x – 0,4x –1,2x = 0,3 + 3,2– 1;
– x = 2,5;
x = –2,5. Ответ: – 2,5.
– 12 + 1,2x + 11 = – 12 + 1,2x – 1;
1,2x – 1,2x = 12 – 11 + 1;
0x = 2. Ответ: решений нет.
6x 2 + 14x – 3x – 7 – (x + 2 + 6×2 + 12x) = 4;
6x 2 + 14x – 3x – 7 – x – 2 – 6×2 – 12x = 4;
6x 2 + 14x – 3x – x – 6x 2 – 12x = 4 + 7 + 2;
– 2x = 13;
x = – 6,5. Ответ: – 6,5.
б) имеет бесконечно много корней; (таких значений a нет)
в) не имеет корней? (при a = 0).
б) 105y – 28 = 105y + 7;
в) 34x + 2 = 34x + 2. (x – любое число)
б) 8x = 3a . (при a = 8)
если m = – 1, то уравнение примет вид – x + 3 = – 4 – 2x. Ответ: – 7;
если m = 0, то уравнение примет вид 3 = – 2x. Ответ: – 1,5 )
Переменную m, значения которой мы задаём, называют параметром (фиксированным числом).
Определение: решить уравнение с параметром – значит, для любых допустимых значений параметра найти значения неизвестной переменной.
Нет ли другого подхода к решению уравнения?
Оказывается существует. Для решения линейного уравнения с параметром применяется тот же
алгоритм решения, как и для линейного уравнения без параметра, т.е.перенос слагаемых и
приведение подобных слагаемых. Всегда ли эти операции выполняются? (да).
Выполним указанные операции:
n (n + 3) x = 5 (n + 3);
n = – 3; 0 – контрольные значения параметра
2) при n = 0 уравнение примет вид 0x = 15, решений нет;
2кx – 5x – 10 = 7;
2кx –5x = 7 + 10;
(2к –5) x = 17;
2к –5 = 0, к = 2,5 – контрольное значение параметра
a 2 x – ax = a 2 + 2a;
a(a – 1)x = a (a + 2);
a(a – 1) = 0, a = 0; 1 – контрольные значения параметра
2) при a = 1 уравнение примет вид 0x = 3, решений нет;
2. В чем заключался алгоритм решения таких уравнений? Какие равносильные преобразования применяли?
б) раскрытие скобок;
в) перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком;
г) приведение подобных слагаемых.
2) Дополнительное заданиеМетодическое пособие «Методы решения линейного уравнения с параметрами»