Ax b 0 найти корень уравнения
Уравнение вида , где − переменная, − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше первой .
Если , то решением уравнения является любое число.
Если и , то уравнение корней не имеет.
Если , то уравнение называется линейным и имеет ровно одно решение
Корнем этого уравнения является число 1, поскольку при подстановке вместо этого числа получается верное числовое равенство.
Решите уравнение 0 ∙ + 1 = 0.
Имеем:
Это уравнение не имеет решений, поскольку ни при каких значениях переменной (которая, очевидно, явно не входит в уравнение) равенство не имеет место.
Ответ. Нет решений.
Решите уравнение 0 ∙ + 1 = 1.
Имеем
Решением этого уравнения является любое действительное число. В самом деле, при любом значении переменной равенство является верным.
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c, где a, b, c — некоторые числа (причём обязательно a ≠ 0),
В таком уравнении:
- x — переменная, которая присутствует в таком уравнении во второй степени,
- a — первый коэффициент,
- b — второй коэффициент,
- c — свободный член.
Ещё такое уравнение называется квадратный трёхчлен, т.к. самая большая степень в нём квадрат и он состоит из 3 одночленов.
Для решения таких уравнений сначала находится дискриминант по этой формуле:
- D корней не существует,
- D = 0 есть один корень,
- D > 0 есть два корня.
Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = (–1)² – 4×1×(–3) = 1 + 12 = 13, D > 0 есть два корня.
Когда уже точно известно, что корни существуют, и известно количество этих корней, можно приступить к их поиску с помощью этой формулы:
Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = 13.
x1 = (1 + √13)/2 ≈ (1 + 3,60555)/2 ≈ 2,302775
x2 = (1 – √13)/2 ≈ (1 – 3,60555)/2 ≈ -1,302775
Примеры
Пример 1
20x² – 15x – 10 = 0
Лучше сразу выписать так: a = 20, b = – 15, c = – 10.
1. Ищем дискриминант: формула D = b² – 4ac D = (– 15)² – 4 × 20 × (– 10) = 225 + 800 = 1025; D > 0 значит есть два корня.
2. Ищем эти корни: формула корней
2.1. Разбиваем формулу на две части, первый корень:
Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.
x1 = ((–(–15)) + √ 1025)/(2×20) = (15 + 32,0156) / 40 ≈ 1,17539
2.2. Второй корень:
Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.
x2 = ((–(–15)) – √ 1025)/(2×20) ≈ (15 – 32,0156) / 40 ≈ -0,42539
Пример 2
a = –1, b = 6, c = 18
Дискриминант D = b² – 4ac
D = 6² – 4×(–1)×(18) = 36 + 72 = 108, D > 0 есть два корня
a = –1, b = 6, c = 18, D = 108
x1 = ((–6) +√108)/(–2) = ((–6) + 10,3923)/(–2) = – 2,19615
x2 = ((–6) –√108)/(–2) = ((–6) – 10,3923)/(–2) = 8,19615
Как разложить квадратный трёхчлен на множители?
Продолжим с примером уравнения 20x² – 15x – 10 = 0
Мы уже нашли корни
x1 ≈ 1,17539, x2 ≈ -0,42539
Выносим коэффициент x² за скобки, и оба корня ставятся с противоположными знаками таким образом:
20x² – 15x – 10 = 20 (x – 1,17539) (x+0,42539)
Хотите проверить? Открываем скобки и проверяем
20 (x – 1,17539) (x+0,42539) = 20 (x²–1,17539x + 0,42539x–0,42539×1,17539) = 20 (x²–0,75x – 0,4999991521) =
Погрешность в 0,000016958 должна быть из-за округления в предыдущих расчётах.
Виды квадратных уравнений
Полное и неполное квадратное уравнение
В полном уравнении присутствуют все три его члена (ax² + bx + c = 0). В противном случае уравнение неполное, например:
–x² – 9 = 0 (отсутствует bx)
x² + 16x = 0 (отсутствует с)
–5x² = 0 (отсутствуют bx и с)
Т.е. это когда коэффициент с = 0 или b = 0 (или оба одновременно равны нулю). Внимание: о том, что «a» может быть равно нулю, не говорится, т.к. таким образом уравнение станет линейным (ax + b = 0).
Как решать неполное квадратное уравнение?
Способ решения, когда b=0
5x² = 5, делим всё на 5
x = ± √1 ⇔ x = 1 или x = –1
Первый способ решения, когда c=0 (это быстрый метод)
x² + 16x = 0 (выносим x за скобки)
x (x + 16) = 0, таким образом, либо x = 0, либо то, что в скобках, равно нулю,
x = 0 или (x + 16)= 0
(x + 16)= 0 ⇔ x = – 16
Второй способ решения, когда c=0
Неполное уравнение (c=0, b=0 или когда оба равны нулю) можно решить по той же системе, как и полное, правильно выписав коэффициенты (но это долго и нерационально).
a = 1, b = 16, c = 0 (здесь отсутствует c, значит он равен нулю)
Дискриминант: D = b² – 4ac = 16² – 4×1×0 = 16² = 256 >0, есть два корня.
Ищем корни X1,2 = ((–b) ±√D)/(2×(a)) =>
x1 = ((–16) + √256)/(2×(1)) = ((–16) + 16)/2 = 0
x2 = ((–16) – √256)/(2×(1)) = ((–16) – 16)/2 = –32/2 = – 16
Способ решения, когда b=0 и c=0
Приведённое квадратное уравнение
Чтобы получить приведённое квадратное уравнение, нужно лишь разделить обе части уравнения на a:
x² + px + q = 0, где:
3x² – 6x = 0 (делим всё на 3) ⇔ x² – (6/3)x = 0 ⇔ x² – 2x = 0 (неполное приведённое)
2x² – 4x – 2 = 0 (делим всё на 2) ⇔ x² – (4/2)x – (2/2) = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 (полное приведённое)
Геометрический смысл решения корней квадратных уравнений
Корни квадратного уравнения ещё являются и нулями функции, т.е. если вы ищете нули функции (в каких точках функция пересекает ось Ox), то вы их найдёте именно через этот процесс: поймёте, если они существуют, рассчитав дискриминант, затем найдёте их, используя формулу корней.
Вспомним наш пример уравнения 20x² – 15x – 10 = 0.
Узнайте также, что такое Теорема Виета и Парабола.
Линейные уравнения
Линейные уравнения – уравнения, которые можно представить в виде \(ax+b=0\), где \(a\) и \(b\) – какие-либо числа.
Проще говоря, это такие уравнения , в которых переменные (обычно иксы) в первой степени . При этом не должно быть переменных в знаменателях дробей .
А тут \(a=0, b=5\) (пояснение: данное уравнение может быть представлено в виде \(0\cdot x+5=0\))
Здесь \(a\) и \(b\) изначально не определены, но преобразовав уравнение, мы сможем их найти.
Тоже самое, \(a\) и \(b\) пока что неизвестны.
Решение линейных уравнений
При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство.
В простых уравнениях корень очевиден сразу или легко находиться подбором. Например, понятно, что корнем уравнения \(x+3=5\) будет число \(2\), ведь именно двойка при подстановке ее вместо икса даст \(5=5\) – верное равенство.
Однако в более сложных случаях ответ сразу не виден. И тогда на помощь приходят равносильные преобразования .
Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду
Это число и будет корнем.
То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:
1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения.
Например: прибавим \(5\) к обеим частям уравнения \(6x-5=1\)
Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение.
Например: разделим уравнение \(-2x=8\) на минус два
Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду \(ax=b\), и мы делим на \(a\), чтобы убрать его слева.
3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д.
Чаще всего при решении линейного уравнения приходиться делать несколько разных преобразований.
Пример. Решить линейное уравнение \(6(4-x)+x=3-2x\)
Прибавляем \(2x\) слева и справа
Вычитаем \(24\) из обеих частей уравнения
Опять приводим подобные слагаемые
Теперь делим уравнение на \(-3\), тем самым убирая коэффициент перед иксом в левой части.
Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство — одинаковые числа слева и справа. Пробуем.
Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.
Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.
Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?
Ваша цель – привести уравнение к виду \(x=[число]\), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.
Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения \(x+3=13-4x\).
Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от \(x=[число]\)? Что нам мешает? Что не так?
Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать — вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.
Хорошо. Теперь что мешает? \(4x\) справа, ведь там должны быть только числа. \(4x\) вычитается — убираем прибавлением.
Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.
Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением.
Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.
Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один. Однако могут встретиться два особых случая.
http://www.uznaychtotakoe.ru/kvadratnoe-uravnenie/
http://cos-cos.ru/math/74/