Ax by c 0 уравнение

Общее уравнение прямой

В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0, где a, b и c — некоторые числа (a и b не равны нулю одновременно).

Уравнение вида ax+by+c=0 — общее уравнение прямой.

Пусть в координатной плоскости задана некоторая прямая m.

Построим отрезок AB так, что AB⊥m и AB∩m=F, AF=BF (то есть прямая m — серединный перпендикуляр к AB).

Отметим на прямой m произвольную точку M(x;y).

В прямоугольных треугольниках AFM и BFM:

1) MF — общий катет;

2) AF=BF (по построению).

Значит ΔAFM =ΔBFM (по двум катетам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM=BM.

Возведём в квадрат обе части равенства:

Уравнение принимает вид: ax+by+c=0.

В силу произвольности выбранной точки M этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой m (если же M(x;y)∉m, то AM≠BM и координаты точки M уравнению не удовлетворяют).

Так как точки A и B различны, хотя бы одна из разностей x₂-x₁, y₂-y₁ отлична от нуля, значит a и b не обращаются в нуль одновременно. Отсюда следует, что уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Частные случаи расположения прямой в декартовой системе координат

Подставим эти значения в уравнение прямой: 0·x+by+c=0. Отсюда by+c=0, by=-c,

Это уравнение задаёт прямую, параллельную оси абсцисс.

В частности, y=0 — уравнение оси Ox.

Это уравнение задаёт прямую, параллельную оси ординат.

В частности, x=0 — уравнение оси Oy.

ax+by+0=0, ax+by=0, by=-ax,

Это уравнение задаёт прямую, проходящую через начало координат.

При b≠0 (то есть для прямых, не параллельных оси Oy) общее уравнение прямой ax+by+c=0 может быть преобразовано:

Общее уравнение прямой на плоскости. Неполные уравнения прямой

Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0. Этим уравнением можно задать любую прямую. Коэффициенты А, В, С при этом определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.

Уравнение Ax + By + C = 0 называется неполным уравнением прямой на плоскости, если хотя бы один из его коэффициентов А, В, С равен нулю.

Если коэффициент B = 0, A ≠ 0 ≠ C , то из уравнения Ax + By + C = 0 следует x = — C / A = a. Это уравнение прямой, параллельной оси Оу, отсекающей от оси Ох отрезок величиной а.

Если коэффициент A = 0, B ≠ 0 ≠ C то из уравнения Ax + By + C = 0 следует y = — C / B = b. Это уравнение прямой, параллельной оси Ох, отсекающей от оси Оу отрезок величиной b.

Если C = 0, то уравнение Ax + By + C = 0 принимает вид Ax + By = 0. Ясно, что эта прямая проходит через начало координат.

Если в уравнении Ax + By = 0 коэффициент B ≠ 0 , то отсюда получаем y = — x. Обозначив через

k = — , получаем уравнение, которое носит название уравнения прямой с угловым коэффициентом

Если в уравнении Ax + By = 0 A ≠ B = 0, то Ax = 0 и, сокращая на А, получаем уравнение оси Оу: x = 0.

Если в уравнении Ax + By = 0 B ≠ A = 0, то By = 0 и, сокращая на В, получаем уравнение оси Ох: y = 0.

Подведем итог исследования общего уравнения прямой Ax + By + C = 0:

1) Если A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0 , то уравнение Ax + By + C = 0 может быть записано в виде уравнения прямой в отрезках: x /a + y / b = 1 – прямая, отсекающая от осей координат отрезки величиной а и b соответственно.

2) Если A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, то уравнение может быть записано в виде: y = b – прямая параллельная оси Ох и отсекающая от оси Оу отрезок величины b.

3) Если A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, то уравнение может быть записано в виде: x = a – прямая параллельная оси Оу и отсекающая от оси Ох отрезок величины а.

4) Если A = 0, B ≠ 0, C = 0, то уравнение прямой имеет вид: y = 0 – прямая совпадает с осью Ох.

5) Если A ≠ 0, B = 0, C = 0, то уравнение прямой имеет вид: x = 0 – прямая совпадает с осью Оу.

6) Если A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, то уравнение может быть записано в виде: y = k * x – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

17. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой в «отрезках» (с выводом)

Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0. Этим уравнением можно задать любую прямую. Коэффициенты А, В, С при этом определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.

Уравнение прямой в отрезках: + = 1.Здесь знаменатели а и b – это координаты точек пересечения прямой с соответствующими координатными осями. С помощью такого уравнения невозможно задать прямую, проходящую через начало координат или параллельную одной из осей.

Пусть ни один из коэффициентов А, В, С общего уравнения прямой Ax + By + C = 0, не равен нулю. Перенесем свободный член С в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на (– С):

.

Обозначим . Тогда последнее уравнение можно записать в виде: : + = 1 – это уравнение прямой в отрезках

Для построения прямой достаточно взять две точки на этой прямой. Для построения прямой в отрезках удобно найти ее точки пересечения с координатными осями:

М(а, 0) – точка пересечения прямой : + = с осью Ох и

N(0, b) – точка пересечения прямой : + = с осью Оу.

Говорят, что прямая отсекает от координатных осей отрезки ОМ и ОN величина которых равна числам а и b соответственно. Под величиной отрезка ОА здесь понимается не его длина , а координата точки М, т.е. число а. Аналогично, величина отрезка ОN равна числу b.

Ax by c 0 уравнение

Уравнение прямой

Любая прямая в декартовых координатах x, y имеет уравнение вида:

ax + by + c = 0,

где a, b и c – некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел a, b не равно нулю.

Составим уравнение прямой, которая проходит через точки А(-1; 1), B(1; 0).

Решение.

Мы уже знаем, что прямая имеет уравнение вида ax + by + c = 0. Подставляя координаты А и B в этом уравнении, получим:

Выразим из этих уравнений два коэффициента a и b через третий. Если быть точнее, выразим коэффициенты a и b через коэффициент c:

В уравнении a + c = 0 находим значение a через c:

В уравнении –a + b + c = 0 находим значение b через c (одновременно заменив в нем и значение a уже найденным выше значением c):

b = a – c = -c – c = -2c.

Итак, мы получили новые значения a и b: a = -c, b = -2c.

Теперь в уравнении прямой ax + by + c = 0 ставим полученные значения a и b:

ax + by + c = —cx – 2cy + c = 0.

Сокращаем c и получаем окончательное уравнение искомой прямой: