Башмаков уравнения и неравенства скачать бесплатно

Глава III. Неравенства 64
§ 11. Свойства неравенств 64
§ 12. Условные неравенства 66
§ 13. Неравенства с одним неизвестным 72
§ 14. Неравенства с двумя неизвестными 78
§ 15. Уравнения и неравенства с параметрами 81
§ 16. Графический метод 86
Краткие итоги 93

ПРЕДИСЛОВИЕ
Решить уравнение, решить неравенство. С этим сортом задач мы сталкиваемся очень часто. Пишем подряд какие-то формулы, радуемся, когда они становятся проще и проще, наконец, видим желанное равенство, например х=100, и объявляем, что уравнение решено. Это напоминает прополку грядки человеком, которому не сказали, что на ней должно расти.
Цель этой книжки — помочь научиться пропалывать грядку так, чтобы все нужное оставить, а все лишнее — выдернуть. Сначала мы познакомимся со всеми растениями, которые будут расти на нашей грядке, научимся их быстро узнавать, классифицировать, удобно обозначать. Этому посвящена довольно длинная вводная глава. Затем мы попробуем точно сформулировать, чего же мы добиваемся, что мы понимаем под словами «решить уравнение», «решить неравенство» и т. п., обдумаем смысл тех операций, тех преобразований, которые мы используем для достижения цели.
Все это вместе довольно легко, потому что сложной теории здесь нет, большая часть книжки состоит просто из примеров. С другой стороны, хотя заниматься мы будем самыми привычными вещами, иногда привычки придется ломать и создавать новые.
Круг рассмотренных вопросов намеренно ограничен: разбираются почти исключительно алгебраические уравнения и неравенства, совсем мало места отведено интересным и важным задачам, касающимся доказательства неравенств, которые, как мы надеемся, будут включены в одну из книжек этой серии.
Книжка носит ярко выраженный «технический» характер. В ней много задач, требующих только хорошего владения школьным материалом, близких к конкурсным задачам при поступлении в институт. Примеры, показываемые в тексте, требуют внимательного разбора с карандашом в руке.
Книга рассчитана на школьников 9—10 классов, учителей и лиц, самостоятельно занимающихся математикой.
Я глубоко благодарен Н. Б. Васильеву, Д. А. Владимирову, В. Л. Гутенмахеру, Ю. И. Ионину, Д. К. Фаддееву, прочитавшим рукопись и много сделавшим для ее улучшения.

§ 1. Числа
В этой книге мы всюду имеем дело с вещественными числами. Мы не будем здесь давать определение того, что такое вещественное число. Вместо этого просто перечислим те свойства чисел, которыми мы пользуемся.
Что же мы обычно делаем с числами?
Прежде всего, мы совершаем арифметические действия — сложение и умножение, с помощью которых мы можем из двух чисел получить третье — их сумму или произведение.
Эти действия обладают рядом свойств. Основными свойствами сложения являются следующие: (…)
Число 0 по отношению к действиям умножения и деления является исключительным. Произведение любого числа на нуль равно нулю. Деление же на нуль не имеет смысла (не определено).
Важным свойством умножения является следующее: если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Множество всех вещественных чисел удобно представлять себе как множество всех точек некоторой прямой, называемой в таком случае координатной прямой или числовой осью. Соответствие между числами и точками числовой оси при обучении математике не менее существенно, чем, например, соответствие между буквами и звуками при обучении чтению. Оно лежит в основе языка, на котором излагаются целые главы математики. Этот язык настолько привычен, что мы часто вместо слова «число» говорим «точка» и наоборот. Поэтому, например, мы не будем старательно различать координатную прямую (числовую ось) и числовую прямую, т. е. само множество вещественных чисел 6.
Напомним, что для того, чтобы каждая точка оси была изображением некоторого числа, одних рациональных чисел оказывается недостаточно. Для того чтобы сплошь заполнить числами всю прямую, к множеству рациональных чисел присоединяют новые, иррациональные числа. Вместе все эти числа, рациональные и иррациональные, носят название вещественных или действительных чисел.
В этом «полном» множестве вещественных чисел уже можно определять такие операции, как извлечение корня, возведение в произвольную степень, взятие логарифма (правда, все эти операции безоговорочно выполнимы только для положительных чисел), и другие. Остановимся коротко на операции извлечения корня, необходимой при решении алгебраических уравнений.
(…)
Кроме операций над числами нам приходится рассматривать отношения между ними — отношение равенства (совпадают они между собой или нет) и отношение порядка, или, как мы будем часто говорить, отношение «больше — меньше». (…)
Отношение порядка между числами очень наглядно представляется геометрически. Если положительное направление оси выбрано слева направо, то точка, соответствующая большему числу, расположена правее. Свойства отношения «больше — меньше» будут изучены подробно в главе II.
А пока займемся тем, что введем обозначения для некоторых множеств на прямой. Эти обозначения будут несколько отличаться от принятых в настоящее время в школьных учебниках. Однако именно они применяются в большей части современной математической литературы, и учащимся полезно с ними познакомиться.
(…)

Основные понятия
1. Числовое равенство (числовое неравенство) — это высказывание вида (…)
2. У равнение (условное неравенство) — это переменное высказывание вида (…)
3. Область определения уравнения (неравенства) — множество значений аргумента, при которых определены все функции, входящие в уравнение (неравенство).
4. Решение, или корень, уравнения (неравенства) — значение аргумента, при подстановке которого получается верное равенство (верное числовое неравенство).
5. Решить уравнение (неравенство) — найти множество его решений.
6. Уравнения (неравенства) равносильны — это значит, что множества их решений совпадают.

Советы
1. Процесс решения уравнения состоит обычно в получении цепочки следствий — уравнений, множества решений которых содержат множества решений предыдущих. Получив в качестве следствия уравнение, множество решений которого нам известно, можно либо сделать проверку, либо проследить за равносильностью переходов. Так же решают и системы уравнений.
2. При решении неравенств и доказательстве тождеств нужно пользоваться равносильными переходами.
3. Переход с помощью некоторой операции от одного неравенства (уравнения) к другому заведомо является равносильным, если для этой операции имеется «обратная». Например, можно обе части умножить на положительную функцию, прибавить к ним любую функцию, применить некоторую монотонно возрастающую функцию.
4. Решение следует начинать с того, что выписать все ограничения на область определения.
5. Преобразуя одну часть уравнения (неравенства) или переходя от одного уравнения (неравенства) к другому, нужно обязательно следить за тем, чтобы выполняемые операции имели смысл при всех значениях переменных из области определения.
6. Иногда полезно рассмотреть несколько «случаев»: разбить области определения на несколько множеств, на каждом из которых удобно совершить переход к более простому уравнению (неравенству).
7. Если нужно найти множество точек, удовлетворяющих одновременно нескольким условиям, записываемым уравнениями, неравенствами и т. п. (решить систему),то надо взять пересечение множеств точек, удовлетворяющих отдельным условиям.
Если нужно найти множество точек, удовлетворяющих хотя бы одному из нескольких условий (рассмотреть несколько возможных случаев), то надо взять объединение множеств точек, удовлетворяющих отдельным условиям.
8. Очень часто, особенно при решении неравенств и при необходимости перебирать много частных случаев, помогают графические иллюстрации.
9. При решении уравнений и неравенств с параметром надо в ответе перечислить решения при всех значениях параметра.
10. Несколько советов по поводу решения задач на составление уравнений (с параметрами): не забудьте выписать все условия и ограничения; получив ответ, проверьте, все ли слагаемые в сумме имеют одинаковую размерность (нельзя, например, складывать длину и скорость); проверьте ответ в каком-либо простом частном случае; подставьте простое численное значение параметра и посмотрите, правдоподобный ли получился результат.

Алгебра

Уравнения и неравенства БИБЛИОТЕЧКА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ ВЫПУСК 5 (Башмаков) 1976

Назначение: Книга рассчитана на школьников 9—10 классов, учителей и лиц, самостоятельно занимающихся математикой

Авторство: Марк Иванович Башмаков

Формат: PDF, Размер файла: 1.74 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. Введение

§ 2. Высказывания 11

Глава II. Уравнения 23

§ 4. Числовые равенства 20

§ 6. Связь между уравнениями 28

§ 8. Корни многочленов 48

§ 9. Графическое исследование уравнений 51

§ 10. Системы уравнений 56

Глава III. Неравенства 64

§ 11. Свойства неравенств 64

§ 12. Условные неравенства 66

§ 13. Неравенства с одним неизвестным 72

§ 14. Неравенства с двумя неизвестными 78

§ 15. Уравнения и неравенства с параметрами 81

§ 16. Графический метод 86

Краткие итоги 93

Скачать учебник СССР — Уравнения и неравенства БИБЛИОТЕЧКА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ ВЫПУСК 5 1976 года

Скачать.

Решить уравнение, решить неравенство. С этим сортом задач мы сталкиваемся очень часто. Пишем подряд какие-то формулы, радуемся, когда они становятся проще и проще, наконец, видим желанное равенство, например х=100, и объявляем, что уравнение решено. Это напоминает прополку грядки человеком, которому не сказали, что на ней должно расти.

Цель этой книжки — помочь научиться пропалывать грядку так, чтобы все нужное оставить, а все лишнее — выдернуть. Сначала мы познакомимся со всеми растениями, которые будут расти на нашей грядке, научимся их быстро узнавать, классифицировать, удобно обозначать. Этому посвящена довольно длинная вводная глава. Затем мы попробуем точно сформулировать, чего же мы добиваемся, что мы понимаем под словами «решить уравнение», «решить неравенство» и т. п., обдумаем смысл тех операций, тех преобразований, которые мы используем для достижения цели.

Все это вместе довольно легко, потому что сложной теории здесь нет, большая часть книжки состоит просто из примеров. С другой стороны, хотя заниматься мы будем самыми привычными вещами, иногда привычки придется ломать и создавать новые.

Круг рассмотренных вопросов намеренно ограничен: разбираются почти исключительно алгебраические уравнения и неравенства, совсем мало места отведено интересным и важным задачам, касающимся доказательства неравенств, которые, как мы надеемся, будут включены в одну из книжек этой серии.

Книжка носит ярко выраженный «технический» характер. В ней много задач, требующих только хорошего владения школьным материалом, близких к конкурсным задачам при поступлении в институт. Примеры, показываемые в тексте, требуют внимательного разбора с карандашом в руке.

Книга рассчитана на школьников 9—10 классов, учителей и лиц, самостоятельно занимающихся математикой.

Я глубоко благодарен Н. Б. Васильеву, Д. А. Владимирову, В. Л. Гутенмахеру, Ю. И. Ионину, Д. К. Фаддееву, прочитавшим рукопись и много сделавшим для ее улучшения.

В этой книге мы всюду имеем дело с вещественными числами. Мы не будем здесь давать определение того, что такое вещественное число. Вместо этого просто перечислим те свойства чисел, которыми мы пользуемся.

Что же мы обычно делаем с числами?

Прежде всего, мы совершаем арифметические действия — сложение и умножение, с помощью которых мы можем из двух чисел получить третье — их сумму или произведение.

Эти действия обладают рядом свойств. Основными свойствами сложения являются следующие: (…)

Число 0 по отношению к действиям умножения и деления является исключительным. Произведение любого числа на нуль равно нулю. Деление же на нуль не имеет смысла (не определено).

Важным свойством умножения является следующее: если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Множество всех вещественных чисел удобно представлять себе как множество всех точек некоторой прямой, называемой в таком случае координатной прямой или числовой осью. Соответствие между числами и точками числовой оси при обучении математике не менее существенно, чем, например, соответствие между буквами и звуками при обучении чтению. Оно лежит в основе языка, на котором излагаются целые главы математики. Этот язык настолько привычен, что мы часто вместо слова «число» говорим «точка» и наоборот. Поэтому, например, мы не будем старательно различать координатную прямую (числовую ось) и числовую прямую, т. е. само множество вещественных чисел 6.

Напомним, что для того, чтобы каждая точка оси была изображением некоторого числа, одних рациональных чисел оказывается недостаточно. Для того чтобы сплошь заполнить числами всю прямую, к множеству рациональных чисел присоединяют новые, иррациональные числа. Вместе все эти числа, рациональные и иррациональные, носят название вещественных или действительных чисел.

В этом «полном» множестве вещественных чисел уже можно определять такие операции, как извлечение корня, возведение в произвольную степень, взятие логарифма (правда, все эти операции безоговорочно выполнимы только для положительных чисел), и другие. Остановимся коротко на операции извлечения корня, необходимой при решении алгебраических уравнений.

Кроме операций над числами нам приходится рассматривать отношения между ними — отношение равенства (совпадают они между собой или нет) и отношение порядка, или, как мы будем часто говорить, отношение «больше — меньше». (…)

Отношение порядка между числами очень наглядно представляется геометрически. Если положительное направление оси выбрано слева направо, то точка, соответствующая большему числу, расположена правее. Свойства отношения «больше — меньше» будут изучены подробно в главе II.

Математика. Башмаков М.И.

3-е изд. — М.: 2017.— 256 с. М.: 2014.— 256 с.

Учебник написан в соответствии с программой изучения математики в учреждениях НПО и СПО и охватывает все основные темы: теория чисел, корни, степени, логарифмы, прямые и плоскости, пространственные тела, а также основы тригонометрии, анализа, комбинаторики и теории вероятностей. Для обучающихся в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

Формат: pdf ( 2017, 256с.)

Формат: pdf ( 2014, 256с.)

Оглавление
Основные обозначения 3
Предисловие 4
Глава 1. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ 7
Занятие 1. Целые и рациональные числа 7
Занятие 2. Действительные числа 11
Занятие 3. Приближенные вычисления 15
Занятие 4. Комплексные числа 18
Беседа. Числа и корни уравнений 22
Глава 2. КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ 26
Занятие 1. Повторение пройденного 26
Занятие 2. Корень п-й степени 29
Занятие 3. Степени 33
Занятие 4. Логарифмы 37
Занятие 5. Показательные и логарифмические функции 40
Занятие 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 46
Беседа. Вычисление степеней и логарифмов 49
Глава 3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ 52
Занятие 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей 52
Занятие 2. Параллельность прямых и плоскостей 56
Занятие 3. Углы между прямыми и плоскостями 58
Беседа. Геометрия Евклида 61
Глава 4. КОМБИНАТОРИКА 66
Занятие 1. Комбинаторные конструкции 66
Занятие 2. Правила комбинаторики 69
Занятие 3. Число орбит 72
Беседа. Из истории комбинаторики 77
Глава 5. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 79
Занятие 1. Повторение пройденного 79
Занятие 2. Координаты и векторы в пространстве 83
Занятие 3. Скалярное произведение 85
Занятие 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей 88
Беседа. Векторное пространство 90
Глава 6. ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ 93
Занятие 1. Углы и вращательное движение 93
Занятие 2, Тригонометрические операции 98
Занятие 3. Преобразование тригонометрических выражений 103
Занятие 4. Тригонометрические функции 109
Занятие 5. Тригонометрические уравнения 114
Беседа. Из истории тригонометрии 120
Глава 7. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 122
Занятие 1. Обзор общих понятий 122
Занятие 2. Схема исследования функции 127
Занятие 3. Преобразования функций и действия над ними 131
Занятие 4. Симметрия функций и преобразование их графиков 136
Занятие 5. Непрерывность функции 139
Беседа. Развитие понятия функции 141
Глава 8, МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА 143
Занятие 1. Словарь геометрии 143
Занятие 2. Параллелепипеды и призмы 145
Занятие 3. Пирамиды 148
Занятие 4. Круглые тела 151
Занятие 5. Правильные многогранники 154
Беседа. Платоновы тела 157
Глава 9. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 159
Занятие 1. Процесс и его моделирование 159
Занятие 2. Последовательности 165
Занятие 3. Понятие производной 171
Занятие 4. Формулы дифференцирования 176
Занятие 5. Производные элементарных функций 180
Занятие 6. Применение производной к исследованию функций 183
Занятие 7. Прикладные задачи 187
Занятие 8. Первообразная 193
Беседа. Формула Тейлора 195
Глава 10. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ 198
Занятие 1. Площади плоских фигур 198
Занятие 2. Теорема Ньютона—Лейбница 201
Занятие 3. Пространственные тела 207
Беседа. Интегральные величины 213
Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 219
Занятие 1. Вероятность и ее свойства 219
Занятие 2. Повторные испытания 222
Занятие 3. Случайная величина 225
Беседа. Происхождение теории вероятностей 228
Глава 12. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 230
Занятие 1, Равносильность уравнений 230
Занятие 2. Основные приемы решения уравнений 233
Занятие 3. Системы уравнений 238
Занятие 4. Решение неравенств 242
Беседа, Разрешимость алгебраических уравнений 247
Ответы 249

Предисловие
Математика за 2500 лет своего существования накопила богатейший инструмент для исследования окружающего нас мира. Однако, как заметил выдающийся русский математик и кораблестроитель академик А. Н. Крылов, человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами». Ему прежде всего нужно ознакомиться со «столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть».
Данная книга научит вас обращаться с такими математическими инструментами, как функции и их графики, геометрические фигуры, векторы и координаты, производная и интеграл. Несмотря на то что первое знакомство с олыиинством из этих понятий состоялось у вас раньше, книга представляет х заново. Это удобно для тех, кто немного забыл изучавшийся ранее материал, и полезно всем, так как даже в знакомых вещах обнаружатся новые стороны и связи.
Для облегчения работы с учебником самые важные положения и формулировки выделены. Большую роль играют иллюстрации, поэтому необходимо внимательно рассмотреть относящийся к тексту чертеж для лучшего понимания текста (еще в древности использовали этот способ изучения математики — рисовали чертеж и говорили: «Смотри!»).
Помимо несомненной практической ценности получаемых математических знаний изучение математики оставляет в душе каждого человека неизгладимый след. С математикой многие связывают объективность и честность, стремление к истине и торжеству разума. У многих на всю жизнь остается уверенность в своих силах, возникшая при преодолении тех несомненных трудностей, которые встретились при изучении математики. Наконец, большинство из вас открыто к восприятию той гармонии и красоты мира, которые вобрала в себя математика, поэтому не стоит к каждой странице учебника, к каждой задаче подходить с оценкой, будет ли это использоваться в той новой жизни, которая ждет вас после окончания учебы.
Темы, которым посвящен учебник, — теория чисел, пространственные тела, основы математического анализа, начала теории вероятностей — имеют не только прикладное значение. Они содержат богатые идеи, ознакомление с которыми необходимо каждому человеку.
Хочется надеяться, что изучение математики, которому должен помочь /учебник, позволит вам убедиться в высоком уровне своих возможностей, укрепит желание продолжать свое образование и доставит много радостных минут общения с «незыблемыми законами, которыми отмечен весь порядок мироздания».

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел » Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. «