Системы линейных однородных уравнений
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).
- Шаг №1
- Шаг №2
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Свойства систем линейных однородных уравнений
Теорема. Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.
Теорема. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.
Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из ( n-r ) решений.
Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений
Однородные СЛАУ
Однородной СЛАУ называется система, все правые части которой равны нулю одновременно.
Однородная СЛАУ, записанная в матричном виде, $A X=\Theta$ всегда совместна, так как $X=\Theta$ всегда является ее решением.
Заметим, что если $x_<1>, x_<2>$ — это два решения однородной СЛАУ, то их линейная комбинация также будет решением однородной СЛАУ:
$$Y=\lambda_ <1>x_<1>+\lambda_ <2>x_<2>$$ $$A Y=A\left(\lambda_ <1>x_<1>+\lambda_ <2>x_<2>\right)=\lambda_ <1>A x_<1>+\lambda_ <2>A x_<2>=\lambda_ <1>\Theta+\lambda_ <2>\Theta=\Theta$$
Если однородная квадратная СЛАУ имеет ненулевое решение, то определитель матрицы системы равен нулю.
Задание. Выяснить, имеет ли однородная СЛАУ $\left\<\begin
$$\Delta=\left|\begin
Так как определитель не равен нулю, то система имеет только нулевое решение $x=y=0$
Ответ. Система имеет только нулевое решение.
Фундаментальная система решений
Рассмотрим множество всех столбцов, которые являются решениями исходной системы.
Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.
Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.
Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.
Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы $\left\<\begin
Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):
$$A=\left(\begin
с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:
$$A \sim\left(\begin
Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:
$$A \sim\left(\begin
От четвертой строки отнимем $\frac<4><3>$ третьей и третью строку умножим на $\frac<1><3>$ :
$$A \sim\left(\begin
Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что
$$A \sim\left(\begin
Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:
$$A \sim\left(\begin
то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:
Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:
Здесь $x_<2>, x_<4>$ — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_<1>, x_<3>, x_<5>$ — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом случае получили, что $r=3$ — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$
Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3=2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).
Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:
Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения $x_<2>=1$ , $x_<4>=0$ получаем, что $\left\<\begin
Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:
$$X_<1>=\left(\begin
Общее решение является линейной комбинацией частных решений:
$$X=C_ <1>X_<1>+C_ <2>X_<2>=C_<1>\left(\begin
где коэффициенты $C_<1>, C_<2>$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:
Придавая константам $C_<1>, C_<2>$ определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.
Размерность и базис линейного пространства
Определения размерности и базиса
Линейное пространство называется n-мерным , если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.
Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов ( базисных векторов ).
Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если — базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.
Действительно, размерность пространства равна . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора , получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.
Следствие 1. Если — базис пространства , то , т.е. линейное пространство является линейной оболочкой базисных векторов.
В самом деле, для доказательства равенства двух множеств достаточно показать, что включения и выполняются одновременно. Действительно, с одной стороны, любая линейная комбинация векторов линейного пространства принадлежит самому линейному пространству, т.е. . С другой стороны, любой вектор пространства по теореме 8.1 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. . Отсюда следует равенство рассматриваемых множеств.
Следствие 2. Если — линейно независимая система векторов линейного пространства и любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации (8.4): , то пространство имеет размерность , а система является его базисом.
В самом деле, в пространстве имеется система линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов n)» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы . Значит, и — базис .
Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему векторов n-мерного линейного пространства можно дополнить до базиса пространства.
В самом деле, пусть — линейно независимая система векторов n-мерного пространства . Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: . Любой вектор образует с векторами линейно зависимую систему , так как вектор линейно выражается через остальные. Поскольку в n-мерном пространстве существует линейно независимых векторов, то и существует вектор , который не принадлежит . Дополняя этим вектором линейно независимую систему , получаем систему векторов , которая также линейно независимая. Действительно, если бы она оказалась линейно зависимой, то из пункта 1 замечаний 8.3 следовало, что , а это противоречит условию . Итак, система векторов линейно независимая. Значит, первоначальную систему векторов удалось дополнить одним вектором без нарушения линейной независимости. Продолжаем аналогично. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: . Если , то — базис и теорема доказана. Если , то дополняем систему вектором и т.д. Процесс дополнения обязательно закончится, так как пространство конечномерное. В результате получим равенство , из которого следует, что — базис пространства . Теорема доказана.
1. Базис линейного пространства определяется неоднозначно. Например, если — базис пространства , то система векторов при любом также является базисом . Количество базисных векторов в разных базисах одного и того же конечномерного пространства, разумеется, одно и то же, так как это количество равно размерности пространства.
2. В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один из возможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называют стандартным.
3. Теорема 8.1 позволяет говорить, что базис — это полная система элементов линейного пространства, в том смысле, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы.
4. Если множество является линейной оболочкой , то векторы называют образующими множества . Следствие 1 теоремы 8.1 в силу равенства позволяет говорить, что базис — это минимальная система образующих линейного пространства , так как нельзя уменьшить количество образующих (удалить хотя бы один вектор из набора ) без нарушения равенства .
5. Теорема 8.2 позволяет говорить, что базис — это максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства, так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.
6. Следствие 2 теоремы 8.1 удобно применять для нахождения базиса и размерности линейного пространства. В некоторых учебниках оно берется за определение базиса, а именно: линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом, если любой вектор пространства линейно выражается через векторы . Количество базисных векторов определяет размерность пространства . Разумеется, что эти определения эквивалентны приведенным выше.
Примеры базисов линейных пространств
Укажем размерность и базис для примеров линейных пространств, рассмотренных выше.
1. Нулевое линейное пространство не содержит линейно независимых векторов. Поэтому размерность этого пространства полагают равной нулю: . Это пространство не имеет базиса.
2. Пространства имеют размерности 1, 2, 3 соответственно. Действительно, любой ненулевой вектор пространства , образует линейно независимую систему (см. пункт 1. замечаний 8.2), а любые два ненулевых век тора пространства коллинеарны, т.е. линейно зависимы (см. пример 8.1). Следовательно, , а базисом пространства является любой ненулевой вектор. Аналогично доказывается, что и . Базисом пространства служат любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке (один из них считается первым базисным вектором, другой — вторым). Базисом пространства являются любые три некомпланарных (не лежащих в одной или параллельных плоскостях) вектора, взятые в определенном порядке. Стандартным базисом в является единичный вектор на прямой. Стандартным базисом в считается базис , со стоящий из двух взаимно перпендикулярных единичных векторов плоскости. Стандартным базисом в пространстве считается базис , составленный из трех единичных попарно перпендикулярных векторов, образующих правую тройку.
3. Пространство содержит не более, чем , линейно независимых векторов. В самом деле, возьмем столбцов из и составим из них матрицу размеров . Если n» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADEAAAAQCAMAAACIsme9AAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMActEwobEQRsAhMfCRYeCBZdtIVwAAAMRJREFUKM+dkdsSwyAIRJUKivHC/39tJY6Npplm0jxEHT3A7hrzx/dyAZ8RnOUhYaLYh4SVOA9Z+ZbAbTn64O6YDfVZWhhvzlWIU/t9ZCSblkbehZkhJEHHBDhkpGhkOzk4MzazQFtDf4SCTXmkL9ddGYynLLovocsAKFf2coKji5MjBl1Wf8dUeTru1ZPwSMO3nrCEuio3LFUxaIpUhlHC19lLPLnbZUglrVuaY822QL8SrLtJGECn77dxGugicer19OYNWVcGI0RZra4AAAAASUVORK5CYII=» />, то столбцы линейно зависимы по теореме 3.4 о ранге матрицы. Следовательно, . В пространстве не трудно найти п линейно независимых столбцов. Например, столбцы единичной матрицы
линейно независимы. Следовательно, . Пространство называется n-мерным вещественным арифметическим пространством . Указанный набор векторов считается стандартным базисом пространства . Аналогично доказывается, что , поэтому пространство называют n-мерным комплексным арифметическим пространством .
4. Напомним, что любое решение однородной системы можно представить в виде , где , a — фундаментальная система решений. Следовательно, , т.е. базисом пространства решений однородной системы служит ее фундаментальная система решений, а размерность пространства , где — количество неизвестных, а — ранг матрицы системы.
5. В пространстве матриц размеров можно выбрать 6 матриц:
которые линейно независимы. Действительно, их линейная комбинация
равна нулевой матрице только в тривиальном случае . Прочитав равенство (8.5) справа налево, заключаем, что любая матрица из линейным образом выражается через выбранные 6 матриц, т.е. . Следовательно, , а матрицы являются базисом (стандартным) этого пространства. Аналогично доказывается, что .
6. Для любого натурального в пространстве многочленов с комплексными коэффициентами можно найти п линейно независимых элементов. Например, многочлены линейно независимы, так как их линейная комбинация
равна нулевому многочлену только в тривиальном случае . Поскольку эта система многочленов линейно независима при любом натуральном л, пространство бесконечномерное. Аналогично делаем вывод о бесконечной размерности пространства многочленов с действительными коэффициентами. Пространство многочленов степени не выше, чем , конечномерное. Действительно, векторы образуют базис (стандартный) это го пространства, так как они линейно независимы и любой многочлен из можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:
7. Пространство непрерывных функций является бесконечно мерным. Действительно, для любого натурального многочлены , рассматриваемые как непрерывные функции, образуют линейно независимые системы (см. предыдущий пример).
В пространстве тригонометрических двучленов (частоты ) с действительными коэффициентами базис образуют одночлены . Они линейно независимы, так как тождественное равенство возможно только в тривиальном случае . Любая функция вида линейно выражается через базисные: .
8. Пространство действительных функций, определенных на множестве , в зависимости от области определения может быть конечномерным или бесконечномерным. Если — конечное множество, то пространство конечномерное (например, ). Если — бесконечное множество, то пространство бесконечномерное (например, пространство последовательностей).
9. В пространстве любое положительное число , не равное единице, может служить базисом. Возьмем, например, число . Любое положительное число можно выразить через , т.е. представить в виде , где . Следовательно, размерность этого пространства равна 1, а число является базисом.
10. Пусть — базис вещественного линейного пространства . Определим на линейные скалярные функции , положив:
При этом, в силу линейности функции , для произвольного вектора получаем .
Итак, определены элементов (ковекторов) сопряженного пространства . Докажем, что — базис .
Во-первых, покажем, что система линейно независима. В самом деле, возьмем линейную комбинацию этих ковекторов и приравняем ее нулевой функции
Подставляя в это равенство , получаем . Следовательно, система элементов пространства линейно независима, так как равенство возможно только в тривиальном случае.
Во-вторых, докажем, что любую линейную функцию можно представить в виде линейной комбинации ковекторов . Действительно, для любого вектора в силу линейности функции получаем:
т.е. функция представлена в виде линейной комбинации функций (числа — коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система ковекторов является базисом сопряженного пространства и (для конечномерного пространства ).
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_5_6.php
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=razmernost-i-bazis-linyeinogo-prostranstva