Библиотека математика уравнения и неравенства

Математическое пособие «Уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Математическое пособие

Уравнения и неравенства

Методические указания

Пособие по данной теме, является наглядным, позволяет систематизировать знания учащихся. Все темы подробно разобраны (поэтапно). Материал служит как в качестве изучения темы с «нуля», так и в качестве вспомогательного материала. Включает в себя разобранные примеры, задания для самостоятельной работы (закрепления знаний).

Уравнения и неравенства– важнейшие понятия математики.

В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину непосредственно нельзя измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение, которым она удовлетворяет. Так получают уравнения и неравенства для определения неизвестных величины, которые каждый должен уметь решать.

Решение уравнений и неравенств

Уравнение – это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными.

Значения переменных, которые обращают уравнение в верное числовое равенство, называются корнями или решениями уравнения. Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Обычный путь решения уравнения состоит в том, что с помощью преобразований его сводят к более простым уравнениям.

Два уравнения называются равносильными , если каждое решение первого уравнения есть решение второго и наоборот, каждое решение второго есть решение первого. Перечислим преобразования, приводящие данное уравнение к равносильному ему уравнению:

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же выражение, которое не обращается в нуль ни при каких значениях переменных, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнение с одной переменной называется линейным , если переменная входит в уравнение не выше, чем в первой степени.

Пример: 1) х +8( х –2)=2 х –3 – линейное уравнение;

2) х 3 – х 2 +3 х –4=–3 х +5 – не является линейным.

Стандартный вид линейного уравнения с одной переменной:

Для решения уравнения переносим слагаемое, не содержащее переменную вправо и делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном:

.

Для решения любого линейного уравнения нужно привести его к стандартному виду.

Пример: Решить уравнение:

Приведем уравнение к виду (*), для чего раскроем скобки и перенесем все члены уравнения влево

Приведем подобные члены

Перенесем слагаемое, не содержащее переменную вправо и поделим обе части уравнения на коэффициент при х , на (–3)

– 3 х =4  .

Ответ: .

Приведем уравнение к стандартному виду (*)

Перенесем слагаемое, не содержащее переменную вправо и поделим обе части уравнения на коэффициент при х на (–11)

 х =1.



приведем все дроби к общему знаменателю

Это уравнение не является линейным, но его можно свести к решению нескольких линейных уравнений. Разложим левую часть уравнения на множители, для чего сгруппируем 1-е и 2-е слагаемые и 3-е и 4-е слагаемые.

вынесем х из первого слагаемого и (–2) из второго

вынесем ( х 2 –1) за скобки

разложим первый сомножитель на множители, используя формулу разности квадратов

Произведение равно нулю, когда хотя бы одно из сомножителей равно нулю:

Таким образом, решение уравнения свелось к решению трех линейных уравнений, находим корень каждого из этих уравнений:

Рассмотрим пример решения уравнения с параметром (то есть уравнения, где коэффициенты при неизвестном могут принимать различные числовые значения и выражены буквами).

Здесь х – неизвестное, а – параметр.

Перенесем слагаемые, содержащие переменные влево, а слагаемые, не содержащие переменную, вправо

Следующий шаг при решении линейного уравнения: разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, но в нашем случае этот коэффициент зависит от параметра а, и может быть равен нулю, в такой ситуации делить на этот коэффициент нельзя, поэтому рассмотрим случай, когда коэффициент при неизвестном равен нулю отдельно.

а) Если а –2=0, то есть а =2, то уравнение принимает вид

и ни при каком значении х мы не получим верного равенства, следовательно в этом случае уравнение решений не имеет

б) Если а –2  0, то есть а  2, то поделим обе части уравнения на (а–2), получим

Таким образом мы получили:

Ответ: при а =2 решений нет;

при а  2 .

 Решить уравнение с параметром:

.

Так как в знаменателе дроби может стоять только выражение отличное от нуля, то

Уравнение имеет смысл, если а  2 и а  0. Решим уравнение при этих условиях. Приведем дроби к общему знаменателю

дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель от нуля отличен

получили линейное уравнение с параметром а, относительно переменной х .

а) Если 3+ а =0, то есть а =–3, получим

и ни при каком х верного числового равенства мы не получим.

б) Если 3+ а  0, то есть а  –3, то

.

Ответ: при уравнение решений не имеет;

при .

2. Квадратные уравнения

Квадратным уравнением называют уравнение вида

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1 называется приведенным.

Любое квадратное уравнение можно привести к приведенному, разделив обе части уравнения на коэффициент при х 2 , при этом полученное приведенное уравнение будет равносильно данному.

Пример: 3 х 2 –4 х +7=0  .

Для нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bx + с =0 пользуются формулами:

где D = b 2 –4 ac .

D называется дискриминантом квадратного уравнения, от его знака зависит число корней квадратного уравнения. Если:

D =0, – уравнение имеет один корень;

D >0, уравнение имеет два корня.

Пример: Решить уравнение.

В данном случае а =4, b =–7, с =3.

D = b 2 –4 ac =49–4  4  3=49–48=1>0  уравнение имеет два корня.

.

Ответ: .

Зная корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0 можно разложить трехчлен, стоящий слева на множители. Если х ₁ , х ₂ – корни уравнения ax 2 + bx + c =0, то ax 2 + bx + c = a ( x – x ₁ )( x – x ₂ ), если квадратное уравнение имеет один корень x ₁ , то ax 2 + bx + c = а ( х – х ₁ ) 2 .

Корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q =0 можно находить, используя теорему Виета :

Теорема: Сумма корней квадратного уравнения x 2 + px + q =0 равна коэффициенту при х , взятому с противоположным знаком; произведение корней равно свободному члену уравнения, то есть если x ₁ , x ₂ – корни уравнения, то

.

I способ . .

Найдем дискриминант квадратного уравнения

 уравнение имеет два корня, найдем их по формулам:

.

II способ . Умножим обе части первоначального уравнения на 3, получим приведенное квадратное уравнение, равносильное данному

Найдем корни квадратного уравнения, используя теорему Виета:

Если х ₁ , х ₂ – корни, то:

делителями числа 5 являются  1;  5, но только (–1) и (–5) в сумме дают (–6), поэтому х ₁ =–5; х ₂ =–1. Получили те же корни уравнения.

.

Приведем уравнение к стандартному виду, для чего перенесем все дроби с противоположным знаком влево, и приведем их к общему знаменателю

.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель от нуля отличен. Знаменатель этой дроби отличен от нуля при любых значениях х , поэтому приравняем к нулю числитель

.

Ответ: .

Рассмотрим примеры решения уравнений, которые квадратными не являются, но которые могут быть сведены к решению квадратных уравнений.

Перенесем все члены уравнения влево

слагаемые имеют одинаковые сомножители, вынесем одинаковые множители за скобку

Левая часть уравнения – есть произведение двух сомножителей, правая – нуль. Произведение равно нулю только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению двух уравнений: линейного и квадратного:

х =2

.

Ответ: .

 .

Выражение, содержащее дробь имеет смысл, если знаменатель дроби отличен от нуля, поэтому 2 х –5  0  , х  0.

Приведем дроби к общему знаменателю

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, знаменатель от нуля отличен. Мы уже выяснили условия, при которых знаменатель отличен от нуля, поэтому приравняем к нулю числитель дроби и решим квадратное уравнение.

(2 х ) 2 –2  2  5 х +(5) 2 =0

(2 х –5) 2 =0 

но при знаменатель дроби обращается в нуль, поэтому это значение переменной решением уравнения не является.

Ответ: решений нет.

 .

Найдем значения переменной, которые обращают в нуль знаменатель дроби, для чего решим уравнение

Разложим многочлен, стоящий слева на множители.

таким образом, имеем уравнение:

Произведение равно нулю только в том случае, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, поэтому уравнение сводится к решению двух уравнений:

 уравнение корней не имеет

таким образом, знаменатель дроби отличен от нуля при условии u  1.

Переходим к решению первоначального уравнения. Приравняем числитель дроби к нулю и решим квадратное уравнение.

решим приведенное уравнение, используя теорему Виета:

так как при u =1 знаменатель дроби обращается в нуль, решением уравнения будет только u =–2.

Линейные неравенства с одной переменной

Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше, чем периметр квадрата со стороной 4 см?

Решение: Если обозначить неизвестную сторону прямоугольника через х , то периметр прямоугольника будет равен: ( х +6)  2. Периметр же квадрата со стороной 4 см равен

По условию надо найти такие значения х , при которых ( х +6)  2>16.

Решение задачи свелось к решению неравенства, содержащего переменную. К решению неравенств приводят и многие другие задачи.

Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения (или доказать, что их нет).

Неравенства называются равносильными , если множества их решений совпадают (неравенства, не имеющие решений также равносильны). При нахождении решений неравенств применяются утверждения, похожие на те, которыми мы пользовались при нахождении решений уравнений:

Решение неравенства не изменяется, если перенести какое-нибудь слагаемое в другую часть, изменив его знак на противоположный.

Решение неравенства не изменится, если умножить обе части этого неравенства на одно и то же положительное число; при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число надо поменять знак неравенства на противоположный.

Используя это утверждение, решим полученное в задаче неравенство.

Ответ: длина стороны прямоугольника должна быть больше 2.

Рассмотрим примеры решения други х неравенств.

.

Ответ:

Ответ: .

 Найти все значения а , при которых квадратное уравнение: (2 а –1) х 2 +2 х –1=0 имеет два действительных различных корня.

Решение: Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда дискриминант уравнения больше нуля. Вычислим дискриминант уравнения и потребуем, чтобы он был больше нуля.

решим полученное неравенство

таким образом, уравнение имеет два различных действительных корня при .

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему , если ставится задача найти все числа, каждое из которых является решением каждого из указанных неравенств. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой.

Например:

Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность , если ставится задача найти все числа, каждое из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств. Неравенства, образующие совокупность, обычно объединяются квадратной скобкой.

Например:

Чтобы найти решение системы неравенств нужно найти общую часть промежутков, которые являются решениями неравенств системы.

Н
анесем полученные решения на числовую ось и выберем пересечение всех трех промежутков.

Общей частью всех трех промежутков является промежуток .

Ответ: .



Решением первого неравенства является вся числовая ось, поэтому

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите все значения а , при которы х квадратное уравнение ( а –1) х 2 –(2 а +3) х + а +5=0 имеет действительные корни.

Решить системы неравенств:

2. 3.

Алгебраические уравнения и неравенства, Методическое пособие по математике для подготовительных курсов, Петрович А.Ю., 2008

Алгебраические уравнения и неравенства, Методическое пособие по математике для подготовительных курсов, Петрович А.Ю., 2008.

По материалам занятий, проводимых на подготовительных курсах в (Московском физико-техническом институте (МФТИ),приведены на доступном уровне основные методы решения алгебраических уравнений и неравенств. Большинство разобранных примеров и задач для самостоятельного решения предлагались на письменных вступительных экзаменах в МФТИ.

Для абитуриентов, слушателей подготовительных курсов, старшеклассников.

§ 1. Целые алгебраические уравнения
Целыми называются уравнения вида Р(n) = 0, где Р(х) — многочлен. Хорошо известно решение линейных и квадратных уравнений, т. е. уравнений первой и второй степени. Существуют общие формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней, но они очень громоздки, требуют извлечения корней из комплексных чисел и практически невыгодны. Поэтому уравнения третьей и более высоких степеней, если они не относятся к одному из стандартных типов (биквадратные, возвратные и т. д.), обычно решают так.

§2. Рациональные уравнения
Рациональными называются уравнения вида R (х) = 0, где R(x) — рациональная функция, значения которой получаются из значения аргумента х и постоянных действительных чисел при помощи четырех арифметических действий. Такая функция может быть представлена в виде отношения двух многочленов. При решении рационального уравнения нужно учитывать ОДЗ (область допустимых значений) — множество значений х, которые обращают в нуль знаменатели возникающих выражений.

§3. Рациональные неравенства
Рациональными называются неравенства вида R (х) > 0; R(x) 0, R(x) Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Алгебраические уравнения и неравенства, Методическое пособие по математике для подготовительных курсов, Петрович А.Ю., 2008 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И.

М.: Наука. Гл. ред. физ.мат.лит. 1987. — 240 с.

Настоящая книга представляет собой справочное пособие, содержащее систематическое изложение методов решения уравнений и неравенств с одним неизвестным: иррациональных, логарифмических и показательных уравнений и неравенств, а также уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины.

Теоретическую основу составляют понятия равносильного перехода и эквивалентности двух уравнений или неравенств.

В начале каждого параграфа приводятся краткие теоретические сведения, затем на решениях типовых задач разбираются различные методы решения уравнений или неравенств. Далее рассматриваются методы решения уравнений или неравенств, зависящих от параметра. В конце параграфа имеются задания и упражнения на отработку приведенных методов решения.

Для более полного усвоения материала в книге даны задачи различной трудности.

Книга тесно примыкает к пособию авторов «Задачи по математике. Алгебра», в котором изложены методы решения рациональных уравнений, неравенств и систем.

Формат: djvu / zip

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
Глава 1. Эквивалентные уравнения и неравенства . 5
§ 1. Равносильные уравнения 5
§ 2. Равносильные неравенства 21
Глава 2. Уравнения с одним неизвестным 34
§ 1. Уравнения, содержащие знак абсолютной величины 34
§ 2. Иррациональные уравнения 49
§ 3. Показательные уравнения 80
§ 4. Логарифмические уравнения 96
Глава 3. Неравенства с одним неизвестным 128
§ 1. Неравенства, содержащие знак абсолютной величины 128
§ 2. Иррациональные неравенства 144
§ 3. Показательные неравенства 161
§ 4. Логарифмические неравенства 180
Ответы 213
Дополнение. Некоторые задачи, предлагавшиеся на письменных вступительных экзаменах по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова 233

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел » Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. «