Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .
Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A — 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 — 2 B A x 2 = 0 x 2 — 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:
4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 — 4 x 2 = 2 x 2 — 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
2 x 2 — 2 x + 1 = 0 D = ( — 2 ) 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 — D 2 · 2 = 1 2 — i
2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 3 = — 2 + D 2 · 2 = — 1 2 + i x 4 = — 2 — D 2 · 2 = — 1 2 — i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x = 1 2 ± i и x = — 1 2 ± i .
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0
х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0
Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2 :
A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 — 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C — 2 A = 0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :
2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0
2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0
Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2
2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 — 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0
Решим полученное квадратное уравнение:
D = 2 3 + 2 2 — 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 — 8 6 = = 12 — 4 6 + 2 = 2 3 — 2 2 y 1 = — 2 3 — 2 + D 2 · 2 = — 2 3 — 2 + 2 3 — 2 4 = — 2 2 y 2 = — 2 3 — 2 — D 2 · 2 = — 2 3 — 2 — 2 3 + 2 4 = — 3
Вернемся к замене: x + 1 x = — 2 2 , x + 1 x = — 3 .
Решим первое уравнение:
x + 1 x = — 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 2 = — 14 x 1 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 + i · 14 4 x 2 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 — i · 14 4
Решим второе уравнение:
x + 1 x = — 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 1 x 3 = — 3 + D 2 = — 3 2 + i · 1 2 x 4 = — 3 — D 2 = — 3 2 — i · 1 2
Ответ: x = — 2 4 ± i · 14 4 и x = — 3 2 ± i · 1 2 .
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.
Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 — 3 = 0 .
Решение
Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2 y 2 + 5 y — 3 = 0 D = 5 2 — 4 · 2 · ( — 3 ) = 49 y 1 = — 5 + D 2 · 2 = — 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = — 5 — D 2 · 2 = — 5 — 7 4 = — 3
Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = — 3 .
Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .
Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .
Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .
Решение
Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 — 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = — 145 + D 2 · 16 = — 145 + 143 32 = — 1 16 y 2 = — 145 — D 2 · 16 = — 145 — 143 32 = — 9
Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = — 1 16 или x 2 = — 9 .
Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 — x — 6 = 0 .
Решение
Имеем А = 3 , В = 3 , С = — 1 , D = — 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 y 3 — 3 y 2 + 21 y — 19 = 0
Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 — 3 · 1 2 + 21 · 1 — 19 = 0 .
Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0
x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 — 1 2 x — 5 2 = 0
x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x — 2 = 0
Корнями первого уравнения будут x = — 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = — 2 .
Ответ: x 1 , 2 = — 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = — 2 .
Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.
Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.
Формула биквадратного уравнения:
Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.
ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0
Как решаются биквадратные уравнения?
Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю
Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.
\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.
Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.
Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.
Выносим переменную x 2 за скобку,
Приравниваем каждый множитель к нулю
Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end
Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end
Ответ: решения нет.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
Решение уравнений четвертой степени
Вы будете перенаправлены на Автор24
В общем случае решение уравнения четвёртой степени осуществляется с использованием методов решения уравнений для высших степеней, например, методом Феррари или с помощью схемы Горнера. Но некоторые уравнения 4-ой степени имеют более простое решение.
Существует несколько особых типов уравнений четвертой степени, со способами решения которых вы познакомитесь ниже:
- Биквадратное уравнения $ax^4+bx^2+c=0$;
- Возвратные уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Уравнения вида $ax^4+b=0$.
Решение биквадратных уравнений четвёртой степени
Биквадратные уравнения $ax^4+bx^2+c=0$ сводятся к квадратным путём замены переменной $x^2$ на новую, например, на $y$. После замены решается новое полученное уравнение, а затем значение найденной переменной подставляется в уравнение $x^2=y$. Результатом решения будут корни уравнения $x^2=y$.
Решите уравнение $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Раскроем скобки в многочлене:
В таком виде становится очевидно, что в качестве новой переменной можно выбрать выражение $y=x^2-3x$, подставим её:
Теперь решим два квадратных уравнения $x^2-3x=-4$ и $x^2-3x=-6$.
Корни первого уравнения $x_1<1,2>=4;-1$, второе решений не имеет.
Решение возвратных уравнений 4 степени
Эти уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ повторяют своими коэффициентами при младших членах коэффициенты при многочленах со старшими степенями. Для решения такого уравнения сначала делят его на $x^2$:
Затем заменяют $(x+\frac<1>
Готовые работы на аналогичную тему
После этого ищем корни уравнений $x+\frac<1>
Аналогичным методом решаются возвратные уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Данное уравнение – возвратное уравнение вида $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Поэтому разделим всё уравнение на $x^2$:
Произведём замену выражения $x+\frac<2>
Рассчитаем корни данного уравнения, они равны $y_1=3$ и $y_2=-\frac<7><3>$.
Соответственно, теперь необходимо решить два уравнения $x+\frac<2>
Следовательно, корнями исходного уравнения являются $x_1=1, x_2=2$.
Уравнения вида $ax^4+b=0$
Корни уравнения такой разновидности находятся с помощью применения формул сокращённого умножения.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 03 2021
http://tutomath.ru/baza-znanij/bikvadratnye-uravneniya.html
http://spravochnick.ru/matematika/reshenie_uravneniy_chetvertoy_stepeni/