Биквадратное уравнение с комплексными числами
. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке
© Контрольная работа РУ — примеры решения задач
Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.
Рассматривать будем на таком примере:
Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:
Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:
Что и требовалось доказать.
Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .
Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.
Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:
, ,
,
,
В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.
Решим квадратное уравнение .
Первым шагом определим дискриминант уравнения:
В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:
Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:
– сопряженные комплексные корни
Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:
,
Теперь можно решить любое квадратное уравнение!
У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.
В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .
У уравнения типа есть ровно n корней z0, z1, z2, … zn-1, которые можно вычислить с помощью формулы:
,
где – это модуль комплексного числа w,
φ – его аргумент,
а параметр k принимает значения: .
Найдем корни уравнения: .
Перепишем уравнение как: .
В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z0 и z1. Детализируем общую формулу:
, .
Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :
Число w находится в 1-ой четверти, значит:
Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.
Детализируем еще немного общую формулу:
, .
Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.
Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:
.
Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:
.
Ответ: ,
Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.
Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:
Как выполнить чертеж?
Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.
Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:
.
Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z0.
Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z1.
По этому же алгоритму ставим точку z2.
Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Комплексные числа
- Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и комплексной переменной.
Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и комплексной переменной.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Решить квадратное уравнение.
1.508. $z^2+2z+5=0.$
Решение.
$D=2^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16$
Ответ: $z_1=-1+2i;$ $z_2=-1-2i.$
1.509. $4z^2-2z+1=0.$
Решение.
$D=(-2)^2-4\cdot 4\cdot 1=4-16=-12$
Решить биквадратное уравн ение
1.516. $z^4+18z^2+81=0.$
Решение.
Сделаем замену переменных:
Получаем квадратное уравнение:
$D=(18)^2-4\cdot 1\cdot 81=324-324=0.$
Далее сделаем обратную замену:
$\Rightarrow z_<1, 2>=\pm\sqrt <-9>=\pm\sqrt 9\sqrt<-1>=\pm 3i.$
Ответ: $z_<1,2>=z_<3,4>=\pm3i.$
Домашнее задание
Решить биквадратное уравн ение
1.517. $z^4+4z^2+3=0.$
Ответ: $z_<1,2>=\pm i$ $z_<3,4>=\pm\sqrt 3i.$
1.518. $z^4+9z^2+20=0.$
Ответ: $z_<1,2>=\pm 2i$ $z_<3,4>=\pm\sqrt 5i.$
http://www.calc.ru/Chisla-Izvlecheniye-Korney-Iz-Kompleksnykh-Chisel-Kvadratnoy.html
http://mathportal.net/index.php/kompleksnye-chisla/reshenie-kvadratnykh-uravnenij-s-veshchestvennymi-koeffitsientami-i-kompleksnoj-peremennoj