Биквадратные уравнения 8 класс определение

Конспект открытого урока по алгебре в 8-м классе на тему «Биквадратные уравнения»

Разделы: Математика

Класс: 8

Ключевые слова: карточки

Цели урока:

• образовательная: дать определение биквадратного уравнения, научиться решать биквадратные уравнения, исследовать от чего зависит количество корней биквадратного уравнения;
• воспитательная: формировать умение работать в парах, выслушивать мнение товарища, доказывать свою точку зрения;
• развивающая: развивать навыки самостоятельной и исследовательской работы.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Форма урока: урок-исследование.

Оборудование: учебник «Алгебра, 8» авторов Г.В. Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А. Бунимович и др., компьютер.

Приложение: презентация «Биквадратное уравнение и его корни», для создания которой использована программа PowerPoint из пакета программ Microsoft Office.

План урока:

1. Организационный момент. Слайд 1.
2. Актуализация знаний. Слайд 2, 3, 4.
3. Открытие детьми темы урока. Слайд 5, 6.
4. Постановка детьми целей урока. Слайд 7.
5. Пример решения биквадратного уравнения. Слайд 8.
6. Работа в парах – исследование. Слайд 9.
7. Итоги исследования. Слайд 10.
8. Итог урока. Слайд 11.
9. Задание на дом. Слайд 12.

Ход урока

1. Организационный момент.

Начало урока — организационный момент, готовность, приветствие.

— Здравствуйте, ребята! Садитесь. Представится.

-Начинаем урок алгебры. Сегодня вы будете исследователями! Желаю вам удачи, хорошего настроения и взаимопонимания! Девизом урока пусть будут слова Л. Н. Толстого. Слайд 1.

2. Актуализация знаний.

Обратите внимание на уравнение: 10х 2 + 12х + 2019 = 0.

— Назовите вид данного уравнения.

— Назовите коэффициенты данного уравнения (10.12.2019)

— О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата занятия) Слайд 2.

— Повторим формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Для этого продолжите предложения или ответьте на вопросы письменно в тетради. Далее выйдет желающий представитель с каждого ряда оформит на доске, получившиеся ответы. Слайд 3.

Проверка у доски.

— Решите устно квадратные уравнения, они нам пригодятся далее при решении. Как называются эти уравнения? Слайд 4.

+ Неполные квадратные уравнения.

+ 1) нет корней;
2) x=3 и x= -3;
3) x=0 и x= -5;
4) x=2 и x= -2;
5) нет корней;
6) x=√5 и x= -√5.

3. Открытие темы урока.

— Для того чтобы узнать тему урока, давайте разгадаем что же у нас тут зашифровано? Слайд 5.

+ Приставка «Би» обозначает два, т.е. «дважды квадратное».

— Как вы думаете, к какому математическому понятию относится это определение?

+ Оно относится к слову «уравнение».

— Совершенно верно! Теперь вы можете сказать, какова тема нашего сегодняшнего урока.

+ Тема урока «Решение биквадратных уравнений». Слайд 6.

4. Постановка целей урока.

— Каковы для вас цели урока?

+ Мы должны узнать, какое уравнение называется биквадратным.

— Хорошо. Но ведь, как и любое уравнение, оно должно иметь корни. Значит, чему ещё вы должны научиться?

+ Как найти его корни.

Слайд 7.

+ Биквадратным называется уравнение вида ах 4 + вх 2 + с = 0, где а ≠ 0.

— Существенно ли замечание, что а ≠ 0?

+ Да, т.к. если а будет равно 0, то уравнение будет квадратным (неполным).

— Хорошо. Приведите пример биквадратного уравнения.

+ Например, 10х 4 + 5х 2 + 3 = 0 (Дети приводят примеры биквадратных уравнений).

5. Пример решения биквадратного уравнения.

— Давайте разберем способ решения биквадратного уравнения х 4 + 3х 2 – 28= 0.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:

Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

;

;

Возвращаюсь к прежней переменной, для этого подставим вместо переменной t полученные числа:

Ответ: .

— Алгоритм решения биквадратного уравнения следующий:

Слайд 8.

1. Ввести замену переменной: пусть х 2 = t;
2. Составить квадратное уравнение с новой переменной: at 2 + bt + c=0;
3. Решить новое квадратное уравнение;
4. Вернуться к замене переменной;
5. Решить получившиеся квадратные уравнения;
6. Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения;
7. Записать ответ.

6. Работа в парах – исследование (совместное выполнение заданий на решение биквадратных уравнений).

— Сейчас вам необходимо поработать в парах и исследовать: сколько корней может иметь биквадратное уравнение. Возьмите карточку №1, котороя лежит у вас на столе. Алгоритм работы задан на карточках. Внимательно прочитайте и следуйте по алгоритму.

— По окончанию данного этапа работы, вам необходимо образовать новую пару. Для этого ученик, сидящий за II вариантом должен пересесть на одно место назад, так как показано на схеме слайда, а последний ученик пройдет за первую парту. Слайд 9.

— Тем ребятам, кому не хватило пары и тем, кто сидит на последней (нечетной) парте, необходимо выполнить индивидуальное задание.

— После того как произошла смена напарников, организуйте работу в новых парах в соответствии с инструкцией на Карточке №2.

7. Итоги исследования.

— Сейчас мы сделаем выводы о том, от чего зависит количество корней биквадратного уравнения.

+ Фронтальный опрос по заполнению таблицы.

Сопоставления результатов предположениям, выдвинутым в ходе работы над первым биквадратным уравнением (Карточка №1)

-Итоги исследования мы поместим в таблицу.

— Посмотрите и прокомментируйте. Слайд 10. — заполнение таблицы

8. Итог урока.

-Сегодня на уроке вы самостоятельно разобрались с биквадратными уравнениями. И мы должны подвести итог.

— Каждая группа получает набор бумаги, вырезанной в форме ладошки. Задача группы – написать о том:

1. Какие у вас были затруднения на уроке?
2. Нашли ли вы выход из затруднения?
3. Остались ли у вас затруднения после окончания урока?
4. Что понравилось на уроке?
5. Что не понравилось на уроке? Слайд 11.

+После заполнения все ступни вывешиваются на доску и прочитываются.

9. Задание на дом.

-Решить 2 уравнения и заполнить последние 2 строки таблицы. Слайд 12.

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — уравнение, которое можно привести к виду:

Для решения биквадратных уравнений x 2 заменяется на любую другую букву, например, на y, то есть:

Следовательно, относительно y, уравнение является квадратным и решается по формуле корней квадратного уравнения, а затем вычисляются корни биквадратного уравнения, если они есть.

Пример. Решить уравнение:

Решение: Заменяем x 2 на y, чтобы получить квадратное уравнение:

D = b 2 — 4ac = (-10) 2 — 4 · 1 · 9 = 100 — 36 = 64, D > 0.