Биквадратные уравнения 8 класс примеры для тренировки
3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 8. БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решить биквадратные уравнения:
458. 1) х 4 + х 2 — 2 = 0;
2) х 4 — 3х 2 — 4 = 0;
3) 9х 4 + 8х 2 — 1 = 0;
4) 20х 4 — х 2 — 1 = 0.
459. 1) х 4 — 26х 2 + 25 = 0;
2) х 4 — 40х 2 + 144 = 0;
3) 4х 4 — 5х 2 + 1 = 0;
4) 4х 4 — 17х 2 + 4 = 0.
460. 1) х 4 — 18х 2 + 81=0;
2) 256х 4 — 32х 2 +1=0;
3) х 4 — 8х 2 + 20 = 0;
4) 5х 4 — 4х 2 + 1 = 0.
462. Убедиться, что уравнение х 4 + 10х 2 + 9 = 0 не имеет действительных корней. Почему этот вывод можно сделать, не решая уравнения?
463. Дано биквадратное уравнение ах 4 + bх 2 + с = 0, где а, b, с—данные действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательное неизвестное у = х 2 , исследовать корни данного уравнения и результаты исследования занести в таблицу 4.
464. Решить уравнения:
465. Почему биквадратное уравнение, имеющее корень, равный т, имеет также и второй корень, равный — т?
466. Один из корней биквадратного уравнения равен 2, а другой корень 2√ 2 . Составить уравнение.
* 467. Составить биквадратное уравнение, сумма квадратов корней которого равна 26, а произведение корней равно 36.
468. Разложить на множители:
469. Сократить дроби:
470. Решить уравнения посредством введения вспомогательного неизвестного:
471. Решить уравнения выделением из левой части полного квадрата:
1) х 4 — 20х 2 + 64 = 0;
2) х 4 — 13х 2 + 36 = 0;
3) х 4 — 4х 2 + 1 = 0;
4) х 4 — 2х 2 +1 = 0.
472*. Зная, что т и п— корни уравнения х 2 + рх + q = 0, найти биквадратное уравнение, имеющее корни —т, —п, т и п.
473. Решить уравнения:
474*. В какой системе счисления число 100 запишется в виде 10 201?
475. Сумма площадей двух квадратов равна 4,25 дм 2 . Найти коэффициенты подобия этих квадратов, если известно, что их стороны выражаются взаимно обратными числами.
476. Каким радиусом следует описать дугу с центром на окружности, радиус которой R, чтобы расстояние между точками пересечения этой дуги с данной окружностью было равно а, где а 3 ; R√ 2 и R.
Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.
Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.
Формула биквадратного уравнения:
Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.
ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0
Как решаются биквадратные уравнения?
Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю
Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.
\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.
Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.
Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.
Выносим переменную x 2 за скобку,
Приравниваем каждый множитель к нулю
Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end
Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end
Ответ: решения нет.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
Конспект открытого урока по алгебре в 8-м классе на тему «Биквадратные уравнения»
Разделы: Математика
Класс: 8
Ключевые слова: карточки
Цели урока:
- образовательная: дать определение биквадратного уравнения, научиться решать биквадратные уравнения, исследовать от чего зависит количество корней биквадратного уравнения;
- воспитательная: формировать умение работать в парах, выслушивать мнение товарища, доказывать свою точку зрения;
- развивающая: развивать навыки самостоятельной и исследовательской работы.
Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.
Форма урока: урок-исследование.
Оборудование: учебник «Алгебра, 8» авторов Г.В. Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А. Бунимович и др., компьютер.
Приложение: презентация «Биквадратное уравнение и его корни», для создания которой использована программа PowerPoint из пакета программ Microsoft Office.
План урока:
- Организационный момент. Слайд 1.
- Актуализация знаний. Слайд 2, 3, 4.
- Открытие детьми темы урока. Слайд 5, 6.
- Постановка детьми целей урока. Слайд 7.
- Пример решения биквадратного уравнения. Слайд 8.
- Работа в парах – исследование. Слайд 9.
- Итоги исследования. Слайд 10.
- Итог урока. Слайд 11.
- Задание на дом. Слайд 12.
Ход урока
1. Организационный момент.
Начало урока — организационный момент, готовность, приветствие.
— Здравствуйте, ребята! Садитесь. Представится.
-Начинаем урок алгебры. Сегодня вы будете исследователями! Желаю вам удачи, хорошего настроения и взаимопонимания! Девизом урока пусть будут слова Л. Н. Толстого. Слайд 1.
2. Актуализация знаний.
Обратите внимание на уравнение: 10х 2 + 12х + 2019 = 0.
— Назовите вид данного уравнения.
— Назовите коэффициенты данного уравнения (10.12.2019)
— О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата занятия) Слайд 2.
— Повторим формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Для этого продолжите предложения или ответьте на вопросы письменно в тетради. Далее выйдет желающий представитель с каждого ряда оформит на доске, получившиеся ответы. Слайд 3.
Проверка у доски.
— Решите устно квадратные уравнения, они нам пригодятся далее при решении. Как называются эти уравнения? Слайд 4.
+ Неполные квадратные уравнения.
+ 1) нет корней;
2) x=3 и x= -3;
3) x=0 и x= -5;
4) x=2 и x= -2;
5) нет корней;
6) x=√5 и x= -√5.
3. Открытие темы урока.
— Для того чтобы узнать тему урока, давайте разгадаем что же у нас тут зашифровано? Слайд 5.
+ Приставка «Би» обозначает два, т.е. «дважды квадратное».
— Как вы думаете, к какому математическому понятию относится это определение?
+ Оно относится к слову «уравнение».
— Совершенно верно! Теперь вы можете сказать, какова тема нашего сегодняшнего урока.
+ Тема урока «Решение биквадратных уравнений». Слайд 6.
4. Постановка целей урока.
— Каковы для вас цели урока?
+ Мы должны узнать, какое уравнение называется биквадратным.
— Хорошо. Но ведь, как и любое уравнение, оно должно иметь корни. Значит, чему ещё вы должны научиться?
+ Как найти его корни.
Слайд 7.
+ Биквадратным называется уравнение вида ах 4 + вх 2 + с = 0, где а ≠ 0.
— Существенно ли замечание, что а ≠ 0?
+ Да, т.к. если а будет равно 0, то уравнение будет квадратным (неполным).
— Хорошо. Приведите пример биквадратного уравнения.
+ Например, 10х 4 + 5х 2 + 3 = 0 (Дети приводят примеры биквадратных уравнений).
5. Пример решения биквадратного уравнения.
— Давайте разберем способ решения биквадратного уравнения х 4 + 3х 2 – 28= 0.
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:
;
;
Возвращаюсь к прежней переменной, для этого подставим вместо переменной t полученные числа:
Ответ: .
— Алгоритм решения биквадратного уравнения следующий:
Слайд 8.
- Ввести замену переменной: пусть х 2 = t;
- Составить квадратное уравнение с новой переменной: at 2 + bt + c=0;
- Решить новое квадратное уравнение;
- Вернуться к замене переменной;
- Решить получившиеся квадратные уравнения;
- Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения;
- Записать ответ.
6. Работа в парах – исследование (совместное выполнение заданий на решение биквадратных уравнений).
— Сейчас вам необходимо поработать в парах и исследовать: сколько корней может иметь биквадратное уравнение. Возьмите карточку №1, котороя лежит у вас на столе. Алгоритм работы задан на карточках. Внимательно прочитайте и следуйте по алгоритму.
— По окончанию данного этапа работы, вам необходимо образовать новую пару. Для этого ученик, сидящий за II вариантом должен пересесть на одно место назад, так как показано на схеме слайда, а последний ученик пройдет за первую парту. Слайд 9.
— Тем ребятам, кому не хватило пары и тем, кто сидит на последней (нечетной) парте, необходимо выполнить индивидуальное задание.
— После того как произошла смена напарников, организуйте работу в новых парах в соответствии с инструкцией на Карточке №2.
7. Итоги исследования.
— Сейчас мы сделаем выводы о том, от чего зависит количество корней биквадратного уравнения.
+ Фронтальный опрос по заполнению таблицы.
Сопоставления результатов предположениям, выдвинутым в ходе работы над первым биквадратным уравнением (Карточка №1)
-Итоги исследования мы поместим в таблицу.
— Посмотрите и прокомментируйте. Слайд 10. — заполнение таблицы
8. Итог урока.
-Сегодня на уроке вы самостоятельно разобрались с биквадратными уравнениями. И мы должны подвести итог.
— Каждая группа получает набор бумаги, вырезанной в форме ладошки. Задача группы – написать о том:
- Какие у вас были затруднения на уроке?
- Нашли ли вы выход из затруднения?
- Остались ли у вас затруднения после окончания урока?
- Что понравилось на уроке?
- Что не понравилось на уроке? Слайд 11.
+После заполнения все ступни вывешиваются на доску и прочитываются.
9. Задание на дом.
-Решить 2 уравнения и заполнить последние 2 строки таблицы. Слайд 12.
http://tutomath.ru/baza-znanij/bikvadratnye-uravneniya.html
http://urok.1sept.ru/articles/681518