Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.
Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.
Формула биквадратного уравнения:
Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.
ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0
Как решаются биквадратные уравнения?
Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю
Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.
\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.
Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.
Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.
Выносим переменную x 2 за скобку,
Приравниваем каждый множитель к нулю
Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end
Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)
Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end
Ответ: решения нет.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется уравнение вида:
$$ ax^4+bx^2+c = 0, a \neq 0 $$
Алгоритм решения биквадратного уравнения
Шаг 1. Ввести новую переменную: $z = x^2 \ge 0$.
Переписать уравнение для новой переменной: $az^2+bz+c = 0$
Шаг 2. Решить полученное квадратное уравнение.
Если $D \gt 0$, $z_ <1,2>= \frac<-b \pm \sqrt
Если D = 0,$z_0 = -\frac<2a>$. Проверить условие $z \ge 0$, если корень отрицательный, решений нет, переход на шаг 4.
Если $D \lt 0$, решений нет, переход на шаг 4.
Шаг 3.Если после шага 2 остались положительные корни, найти x: $x = \pm \sqrt
Шаг 4. Работа завершена.
Шаг 1. $z = x^2 \ge 0, z^2+7z-30 = 0$
$z_1 = -10 \lt 0, z_2 = 3 \gt 0 $
Шаг 3. Находим корни из положительного $z: x_ <1,2>= \pm \sqrt<3>$
Метод разложения на множители
Решение уравнений, в которые переменная x входит с различными натуральными степенями и вещественными коэффициентами, по существу, является поиском корней многочлена.
Число $x_0$ называют корнем многочлена $P_n (x) = a_n x^n+a_
Для многочлена $P_n$ (x) произвольной степени n справедливо следующее.
Если $x = x_0$ является корнем многочлена $P_n$ (x), то $P_n (x) = (x-x_0) P_
Таким образом, разными способами находя корни и формируя скобки, можно постепенно добиваться понижения степени «оставшегося» многочлена, пока не будут найдены все корни.
При разложении многочлена
- множители вида (x-a) называют линейными множителями ;
- множители вида $ (x^2+bx+c)$, для которых $D \lt 0$, называют неприводимыми квадратичными множителями .
Любой многочлен $P_n$ (x) можно представить в виде конечного числа линейных и/или неприводимых квадратичных множителей.
Причём, такое представление единственно с точностью до порядка множителей.
Для разложения многочленов на множители применяются разные методы:
- вынесение общего множителя за скобку (см. §19 справочника для 7 класса);
- группировка (см. §20 справочника для 7 класса);
- формулы сокращенного умножения (см. §25 справочника для 7 класса);
- метод неопределённых коэффициентов;
- выделение полного квадрата и т.п.
Решим уравнение $2x^3-x^2-8x+4 = 0$.
Раскладываем на множители: $x^2 (2x-1)-4(2x-1) = 0$
$$ (x^2-4)(2x-1) = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)(2x-1) = 0 $$
Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = \frac<1><2>$
Метод замены переменной
Замена переменной – это уравнение, с помощью которого можно упростить исходное уравнение, и перейти к решению системы из двух более простых уравнений:
$Исходное \quad сложное \quad уравнение \iff <\left\< \begin
Например, для биквадратных уравнений:
$$ ax^4+bx^2+c = 0 \iff <\left\< \begin
Можно предложить аналогичные схемы для других уравнений:
$$ ax+b \sqrt
И, в общем виде, для любой рациональной степени n:
$$ ax^<2n>+bx^n+c = 0 \iff <\left\< \begin
В других случаях замена переменной не настолько очевидна.
Но при удачном выборе, этот метод очень упрощает задачу.
Раскроем скобки:$ x^2-x = \frac<24>
$$ z = \frac<24>
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ \left[ \begin
При использовании метода замены переменной не забывайте возвращаться к исходной переменной.
Выделение полного квадрата
Метод выделения полного квадрата является одним из методов разложения на множители. Его идея – представить многочлен в виде разности квадратов двух других многочленов степенью пониже, и разложить разность на две скобки:
$$ P_n (x) = Q_k^2 (x)-R_m^2 (x) = (Q_k (x)-R_m (x))(Q_k (x)+R_m (x)) $$
Такое разложение не всегда возможно.
Рассмотрим выделение полного квадрата для квадратного трёхчлена:
$$ = a \Biggl(x+\frac <2a>\Biggr)^2 — \frac
Нами выделен полный квадрат $(x+\frac<2a>)^2$.
Данное выражение используется для построения и анализа графиков парабол (см. §28 данного справочника).
А его разложение на две линейные скобки, известное как теорема Виета (см. §26 данного справочника), возможно только при условии $D \ge 0$.
Решить уравнение $x^4+4x^2-1 = 0$
Выделим полный квадрат и разложим на множители:
$$ \left[ \begin
Примеры
Пример 1. Решите биквадратные уравнения:
Делаем замену: $2x^4+7x^2-4 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2$
$$ z = \frac<-7 \pm 9> <4>= \left[ \begin
Выбираем положительный z и возвращаемся к исходной переменной x:
Делаем замену: $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение: $z^2-10z+24 = 0 \Rightarrow (z-4)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
Пример 2. Решите уравнения аналогичные биквадратным:
Делаем замену: $x+4 \sqrt
Решаем квадратное уравнение: $ z^2+4z-60 = 0 \Rightarrow (z+10)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Выбираем положительный корень и возвращаемся к исходной переменной:
Делаем замену: $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-7z-8 = 0 \Rightarrow (z+1)(z-8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
При замене куба знак z может быть любым, берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
Пример 3. Решите уравнения с помощью замены переменной:
Заметим, что $(x+3)^2 = x^2+6x+9$. Получаем:
$$ (x^2+6x)^2-(x^2+6x+9) = 33 \Rightarrow (x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 $$
Решаем квадратное уравнение: $ z^2-z-42 = 0 \Rightarrow (z+6)(z-7) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
Делаем замену: $ \frac<4>
Решаем уравнение относительно z:
$$ \frac<4>
$$ 2z^2+2z-9z-4 = 0 \Rightarrow 2z^2-7z-4 = 0 $$
$$ D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $$
$$ z = \frac<7 \pm 9> <4>= \left[ \begin
Выбираем корень больше 3 и возвращаемся к исходной переменной:
$$ x^2+3 = 4 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_ <1,2>= \pm 1$$
Пример 4*. Решите уравнения:
Приведём это уравнение к биквадратному.
В линейных множителях (x+a) выберем все a =
Найдем их среднее арифметическое (см. §52 справочника для 7 класса)
Замена переменных $z = x+a_
Упрощаем уравнение, используя формулу разности квадратов:
$$ (z^2-9)(z^2-1) = 945 \Rightarrow z^4-10z^2+9 = 945 \Rightarrow z^4-10z^2-936 = 0 $$
Получили биквадратное уравнение.
Делаем замену: $z^4-10z^2-936 = 0 \iff <\left\< \begin
Решаем квадратное уравнение:
$$ D = 100+4 \cdot 936 = 3844 = 62^2, t = \frac<10 \pm 62> <2>= \left[ \begin
Выбираем положительный корень и возвращаемся к переменной z:
$$ z = \pm \sqrt
Возвращаемся к исходной переменной x:
$$ x = z-4 = \pm 6-4 = \left[ \begin
$$ z- \frac<1>
$$ z^2-2,1z-1 = 0 \Rightarrow D = 2,1^2+4 = 8,41 = 2,9^2; z = \frac<2,1 \pm 2,9> <2>= \left[ \begin
Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.
$$ \left[ \begin
В первом уравнении $D = 0,4^2-4 \lt 0$, решений нет.
Во втором уравнении (x-2)(x-1/2) = 0 $\Rightarrow \left[ \begin
Биквадратные уравнения — примеры с решениями
Появление методики
Уравнения начали составлять ещё в Древнем Вавилоне. Это было вызвано потребностью находить площади земельных участков, выполнять инженерные работы. Составляли равенства и астрономы, высчитывая расстояния до обнаруживаемых космических тел. Квадратные равенства встречаются в клинописных текстах греков и вавилонян. При этом в этих записях попадаются уравнения, содержащие кубическую или биквадратную степень.
Несмотря на довольно хорошее развитие алгебры в стародавнее время, находимые упоминания о равенствах содержат только ответы, без указаний способов решений. Задачи с примерами решения биквадратных уравнений встречаются у астронома Ариабхатта и индийского учёного Брахмапутра. Формулы для решения сложных уравнений были изложены в сборнике «Книга абака», написанной в 1202 году итальянцем Фибоначчи. Это издание способствовало развитию математики, в частности, алгебре, в Италии, Германии, Франции. Большой вклад в развитие теории решения внесли и советские учёные-математики: Чеботарев, Четаев.
В XVI веках в Китае был разработан способ нахождения корней равенств высшей степени методом Цинь Цзю-шао, после успешно применявшимся в работах Руффини и Горнера.
Этот метод использовал способ подбора, но применим был только для случаев, когда в ответе присутствовали только целые числа.
Все способы решения биквадратных уравнений сводились к приведению их к простому квадратному равенству. Была найдена формула, позволяющая решать уравнения с помощью радикалов (корней). Впервые этот метод предложил Виета, но он был рассчитан только на положительные ответы. Итальянские же учёные Тарталья, Кордано, Бомбелли стали учитывать и отрицательные корни. В итоге Декарт, Жирар и Ньютон привели способы решения к современному виду.
Биквадратные выражения стали разделять на полные и неполные. В алгоритмическом языке корнями уравнения начали называть такие значения неизвестной составляющей, при которой решаемое выражение обращается в правильное числовое равенство. То есть чтобы решить задачу, нужно найти всевозможные его корни или доказать, что решения быть не может.
Основные понятия
Биквадратным уравнением будет называться равенство вида: a*p 4 + b*p 2 + c = 0. Переменные a, b, c могут быть различными числами, при этом A не должно равняться нулю. Символ C называют свободным членом. За P принимают неизвестную переменную, требующую вычисления. Решение уравнений сводится к поиску чисел, которые при подстановке вместо P сделают равенство верным.
Согласно теореме Безу, число корней многочлена, не равного нулю, не может превосходить величину его степени. При этом любой многочлен с коэффициентами ненулевой степени должен иметь хотя бы одно решение. Тут следует отметить, что корень уравнения может быть комплексным. То есть таким выражением, степень которого равна w x = z, где x — степень, а w — комплексное число. Понятие комплексного числа уже относится к высшей математике. Обозначают его символом (z) 1/x .
Для того чтобы доказать справедливость утверждения Безу, нужно за корень многочлена f принять c1 и составить равенство f = (p — c1) f 1 . Тогда (f 1 Є K [p]), где К — является элементом поля многочлена, но лишь при условии, что f можно разделить на (p — c). Если принять за c2 корень f1, то f1 = (p — c 2)* f 2 (f 2 Є K [ p ]), а это значит что будет верным выражение: f = (p — c 1) * (p — c 2) * f2. Для длинного многочлена вида: f = (p — c 1) * (p — c 2) *…* (p — c) * s, где многочлен (s Є K [p]) не имеет решений.
Так как значения с1, с2… Cm — это все возможные корни f, то для любого поля будет верным: f (p) = (c — c1) * (c — c2)…(c — cm) * s (p). Учитывая, что s (p) не равно нулю, а f (p) = 0 только в том случае, если C равно некоторому числу I, величина корней многочлена f не может быть более значения m.
Таким образом, уравнение может иметь четыре, три, два, или одно решение. При этом есть вероятность, что ответа может совсем и не быть. Принцип, по которому решаются биквадратные уравнения, следующий:
- вводят новую переменную y = p 2 ;
- подставляют используемую переменную в решаемое уравнение;
- используя методы решения квадратных уравнений, находят корни равенства;
- найденные величины подставляют в выражение y = p 2 и вычисляют исходные корни.
Квадратные уравнения можно решать любым удобным способом. Типичная схема состоит всего из четырёх шагов и редко вызывает трудности понимания. Пожалуй, сложности могут возникнуть только при нахождении комплексных корней.
Решение равенств
Без знания методов нахождения корней в квадратных уравнениях решить самостоятельно биквадратное равенство не удастся, так как исходное неравенство в итоге приводится к виду квадратичного. Существует несколько способов, позволяющих быстро найти нужные корни или доказать невозможность существования равенства.
К основным относят:
- разложение части уравнения с неизвестной на множители;
- вынос за скобки полного квадрата;
- использование специальных формул;
- графический метод;
- теорему Виета.
Разложение многочлена на множители основано на группировании и нахождении дискриминанта, то есть знака, по виду которого можно судить о существовании корней. Для решения используется формула: a * p 2 + b * p + c = a * (p — p 1) * (p — p 2), где p и являются корнями уравнения. Этот способ понятен и используется при обучении учащихся решению задач такого типа.
Нахождение корней методом выделения полного квадрата требует опыта использования формул сокращённого умножения, особенно если коэффициентами являются рациональные числа. При решении используется выражение: (a + b) 2 = a 2 + 2* a * b + b 2 и (a — b) 2 = a 2 — 2* a * b + b 2 .
Существуют специальные формулы нахождения корней квадратного, а значит, и биквадратного уравнения. Выглядят они следующим образом: p 1 = (- b — (b 2 — 4 ac) ½ ) / (2* a) и p 2 = (- b + (b 2 + 4 ac) ½ ) / (2* a). С их помощью можно решить любое уравнение. При этом часто для упрощения решения вводят замену подкоренному выражению (b 2 — 4 ac) обозначая его буквой D — дискриминант. Если D больше нуля, то есть два корня, если меньше — решений нет. Если же D = 0, то существует только один корень.
Франсуа Виет, проводя математические исследования, смог обнаружить зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами. Он установил, что если p1 и p2 являются решениями равенства, то их сумма будет равна второму коэффициенту с другим знаком, а произведение свободному члену. То есть для уравнения вида: p2 +r*p + k = 0, будет справедливо записать, что p1 + p2 = — r, p1 * p2 = k.
Графическое решение требует построения зависимостей. График первой представляет собой параболу, проходящую через начало координат, а второй — прямую. Для того чтобы выделить зависимости используют перенос. В результате получается две функции: y = a * p 2 и y = -(r * p+k). Построение функций и нахождение точек пересечения занимает много времени, поэтому этот метод практически никогда не используется.
Примеры уравнений
Решения любым из способов имеют свои достоинства и недостатки. По мнению математиков, проще решать уравнения, используя теорему Виета. Например, пусть дано выражение: 4p 4 — 5p + 1 = 0, необходимо найти все бинарные корни. В первую очередь задание нужно привести к виду квадратного равенства. Для этого вводится переменная m = p 2 . Тогда заданное уравнение можно записать как 4 m 2 — 5m + 1 = 0.
Теперь можно определить дискриминант: D = (-5) 2 — 4 * 4 * 1 = 9. Используя формулы нахождения корней, вычисляют: m1 = (5+3) / 8 = 1, m2 = (5−3) / 8 = ¼. Оба ответа удовлетворяют условию, то есть больше нуля. Подставив полученные значения в исходные выражения, решают неполные квадратные уравнения: p1 = 1; p2 = -1; p3 = ½; p4 = -½. Это цифры и будут искомыми корнями.
Довольно легко решаются уравнения с помощью метода Виета. Вероятность допущения ошибки при определении корней в этом случае стремится к нулю. Например, p 4 — 10 * p 2 + 9 = 0. Чтобы избавиться от четвёртой степени, вводят переменную p. В результате уравнение принимает вид: p 2 — 10 * p 2 + 9 = 0. Теперь можно найти корни, используя обратную теорему Виета: p 1 = 9, p 2 = 1. Так как оба ответа больше нуля, то действительными корнями уравнения будут: p 1 = 3, p 2 = -3, p 3 = 1, p 2 = -1.
Определить, что решать биквадратное уравнение не имеет смысла, можно, используя комбинаторный анализ. Например, p 4 + 11*p 2 + 10 = 0. Для его решения необходимо расписать каждые члены уравнения, используя определение равенства. Так как каждый член p 4 , 11*p 2 , 10 должен быть больше либо равен нулю, то справедливым будет выражение: p 4 + 11*p 2 + 10 > 0.
Отсюда можно сделать вывод, что p 4 + 11*p 2 + 10 решения не имеет, ведь сумма неотрицательных чисел с положительным не может быть равной нулю. И также можно разложить и доказать бесперспективность поиска для задания с одними минусами, например, -2 p 4 — 45 p 2 — 12 = 0.
Но не всегда уравнение будет иметь четыре корня. Например, p 4 +4 *p 2 — 21=0. Если принять p 2 = m, квадратное уравнение изменится до вида: m 2 +4*m -21=0, отсюда m 1 = -7, m 2 =3. Теперь нужно решить первоначальное уравнение. Первый ответ не имеет действительных корней, из второго же находят решение. Им будут корни: m 1 = (3) ½ и m 2 = -(3) ½ .
Разложение на множители
Самостоятельная работа, дающаяся в школе, часто предполагает решение биквадратных равенств методом разложения на множители. Связанно это с тем, что этот способ позволяет понять принцип нахождения корней для многочлена любой степени.
Например, нужно разложить уравнение p 4 + p 3 — 6p 2 на множители. В первом действии неизвестное выносится за скобки p 2 (p 2 + p — 6). Во втором, используя формулу нахождения решений, вычисляют: p 1 = (-1 + (1 2 — 4 * (-6)) ½ ) / 2, p 2 = (-1 — (1 2 — 4 * (-6)) ½ ) / 2. Отсюда корни уравнения будут p1 = -3, p2 = 2. Подставив полученные значения в заданное выражение, можно записать: p 2 + p — 6 = (p — p 1)*(p — p 2) = (p + 3) * (p-2).
Пошагово описать разложение многочлена можно на следующем примере: p 4 + 2p 3 + 3p 2 + 4p +2. Решают его в следующей последовательности:
- Предположив, что решение имеет хотя бы один рациональный корень, можно утверждать, что он и будет делителем второго члена. Значит, он будет любым из цифр: -2, -1, 1, 2.
- Подставив эти числа в уравнение, получим четыре ответа: 6, 0, 12, 54. То есть одним из корней будет -1.
- Разделив многочлен на (p- p1), запишем уравнение p 3 + p 2 + 2p + 2.
- Теперь можно составить равенство: p 4 + 2p 3 + 3p 2 + 4p +2 = (p + 1) * (p 3 + p 2 + 2p + 2).
- Для решения уравнения, стоящего во второй части произведения, делают предположение, что кубический многочлен имеет целый корень числа 2, а значит, его ответом будет так же -1.
- Сгруппировав члены, можно записать: (p + 1) * p 2 + 2 * (p + 1) = (p + 1) * (p 2 + 2).
- Из-за того, что уравнение p 2 + 2 = 0 не может иметь действительных корней, разложение будет иметь вид: p 4 + 2p 3 + 3p 2 + 4p +2 = (p + 1) 2 * (p 2 + 2).
Вычисление корней требует внимательности и усердия. Для проверки своих навыков можно использовать онлайн-калькуляторы. Это сервисы, использующие специальное программное обеспечение, часто написанное на Паскале, умеют быстро и безошибочно рассчитывать корни любого примера.
Чтобы решить биквадратное уравнение онлайн, особых умений или знаний правил не нужно. Всё, что требуется — это ввести в предложенную форму параметры решаемого равенства. Из наиболее популярных интернет-порталов выделяют Allcalc. Используя его, можно проверить свои знания, исправить допущенные ошибки при самостоятельном расчёте. Причём свои услуги сайт предлагает совершенно бесплатно.
http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/reshenie-uravnenij-svodyashchihsya-k-kvadratnym/
http://nauka.club/matematika/reshenie-bikvadratnykh-uravneniy.html