Блок схема линейного уравнения bx c 0

Основные блок-схемы решения линейных и квадратичных задач с параметрами

Разделы: Математика

Задачи с параметрами (ЗсП) традиционно являются наиболее сложными для учащихся, поскольку требуют от них умения логически рассуждать и проводить анализ решения. Подобные задачи являются первыми исследовательскими задачами, с которыми встречаются школьники. Для их решения не требуются знания, выходящие за пределы школьной программы, но недостаточно применения лишь стандартных приемов, а необходимо глубокое понимание всех разделов элементарной математики.

В данной статье предпринята попытка систематизации и формализации (в форме блок-схем) наиболее часто встречающихся и наиболее типичных ЗсП. При этом выделены классы задач, решаемых по единой методике.

Рассматриваются аналитические методы решения ЗсП, сводящиеся к исследованию линейных или квадратных уравнений (неравенств), а также квадратного трехчлена. Такой выбор обусловлен тем, что курс школьной математики ограничен «вглубь», по существу, «теорией квадратичного».

Линейные уравнения

Определение. Уравнение вида ax=b, где a, b принадлежат множеству всех действительных чисел, будем называть стандартным видом линейного уравнения. Всевозможные варианты, возникающие при решении линейных уравнений, отразим в блок–схеме I.

Количество корней линейного уравнения отразим в блок-схеме II:

Пример 1. Для всех действительных значений параметра m решите уравнение m 2 x–2=4x+m.

Решение. Приведем заданное линейное уравнение к стандартному виду:

m 2 x–2=4x+m, m 2 x–4x=m+2, (m 2 –4)x=m+2.(1)

Следуя схеме I, рассмотрим два случая для коэффициента при x:

1)если m 2 – 4 не равно 0, m не равно ±2, то x=(m+2)/(m 2 -4), x=1/(m–2);

а) при m = –2 уравнение (1) примет вид 0х=0, отсюда х – любое действительное число;

б) при m = 2 уравнение (1) примет вид 0х= 4, отсюда следует, что корней нет.

Ответ. Если m 2 то x=1/(m–2); если m= – 2, то x – любое действительное число; если m=2, то корней нет.

Пример 2. При каких значениях параметра k уравнение 2(k–2x)=kx+3 не имеет корней?

Решение. 2(k–2x)=kx+3, (k+4)x=2k–3. В силу схемы II уравнение не имеет корней, если k+4=0 и 2k–3 не равно 0 => k= –4 и k не равно 1,5 => k = –4.

Ответ. k=–4.

Системы линейных уравнений

Определение 1. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Определение 2. Система называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Количество решений системы линейных уравнений отразим в блок-схеме III.

Замечание. Так как уравнение прямой y=kx+b в общем виде записывается следующим образом ax+by+c=0, то взаимное расположение двух прямых отразим в блок-схеме IV.

Пример. При каких значениях параметра c система из двух уравнений c 2 x+(2–c)y–4=c3 и (2c–1)y+cx+2=c 5 совместна?

Решение. Запишем систему в стандартном виде: c 2 x+(2–c)y=c 3 +4 и cx+(2c–1)y=c 5 –2. Сначала найдем значения c, при которых эта система не имеет решений. В силу схемы III имеем условие,

c 2 /с=(2-с)/(2с–1), с не равно (c 3 +4)/(c 5 –2),

которое равносильно системе из уравнения и неравенства

с=(2–с)/(2с–1) и с не равно (c 3 +4)/(c 5 –2).

Решением системы является с=1. Итак, система имеет решения при всех действительных значениях с, кроме с=1.

Ответ. с — любое действительное число, с не равно 1.

Линейные неравенства

Определение. Неравенство вида ax>b, ax b, ax b, отразим в блок-схеме V.

Пример. Для всех значений параметра m решите неравенство 5x–m>mx–3.

Решение. 5x–m>mx–3, (5–m)x>m–3.

Следуя схеме V, рассмотрим три случая для коэффициента при х:

2)если 5–m 5, то x 2. Откуда следует, что решений нет.

Ответ. Если m (m–3)/(5–m); если m=5, то решений нет; если m>5, то х 2 +bx+c=0, где a, b, c — любые действительные числа, a>0, называется квадратным уравнением относительно действительного переменного x.

Ситуации, возникающие при решении квадратных уравнений, отразим в блок–схеме VI.

Пример. При каких значениях параметра c уравнение (c–2)x 2 +2(с–2)x+2=0 не имеет корней?

Решение. Рассмотрим два случая:

1) если с–2 не равно 0, c не равно 2, то D 2 –2(c–2) 2 +(c+4)x+c+7=0 имеет только отрицательные корни?

Решение. В силу условия задачи необходимо рассмотреть два случая (линейный и квадратичный):

1) если c–1=0, c=1, то уравнение примет вид 5x+8=0, x= –5/8 – отрицательный корень;

2) если c–1 не равно 0, c не равно 1, то, следуя схеме VII, получим систему

Решением ее являются промежутки –22/3 2 +bx+c, где a не равно 0, называется квадратичной. График квадратичной функции называется параболой.

Абсциссы точек пересечения параболы y=ax 2 +bx+c с осью (Ox) являются корнями уравнения ax 2 +bx+c=0.

Учитывая это, отразим взаимное расположение параболы и оси (Ox) в следующей схеме:

Замечание. Если уравнение параболы имеет вид y=a(x–p) 2 +q, то (p; q) – координаты вершины параболы.

Пример 1. При каких значениях параметра a вершина параболы y=(x–7a) 2 +a 2 –10+3a лежит в III координатной четверти?

Решение. Пусть (x₀, y₀) – координаты вершины параболы. В силу замечания имеем x₀=7a, y₀=a 2 –10+3a. Так как вершина параболы лежит в третьей четверти, то

Ответ. –5

Пример 2. При каких значениях параметра b график функции y=(4–b 2 )x 2 +2(b+2)x–1 лежит ниже оси (Ox)?

Решение. Рассмотрим два случая.

1. Пусть 4–b 2 =0, b= + 2;

1) если b=2, то прямая y=8x–1 не лежит ниже оси (Ox);

2) если b= –2, то прямая y= –1 лежит ниже оси (Ox).

2. Пусть 4–b 2 не равно 0. Тогда в соответствии со схемой VIII получим

Объединяя ответы, получим b 2 +bx+c=0. Введем функцию y(x)= ax 2 +bx+c. Тогда расположение корней этого уравнения на числовой оси отразим в блок–схеме IX.

Следствие. С учетом схемы IX схема VII для знаков корней квадратного уравнения примет следующий вид:

Пример. При каких значениях параметра a корни уравнения x 2 –2(a+3)x+a 2 +6,25a+8=0 больше 2?

Решение. Введем функцию y(x)=x 2 –2(a+3)x+a 2 +6,25a+8; x₀ – абсцисса вершины этой параболы. Так как корни уравнения находятся справа от числа 2, то в соответствии со схемой IX имеем:

Решение. Данная задача равносильна следующей: при каких значениях параметра b система

имеет одно решение?

Решим неравенство (2): 2x 2 –2x–1>0, x_1,2=0,5(1±(3) 1/2 ), x 1/2 ) или x>0,5(1+(3) 1/2 ).

Найдем корни уравнения (1): D=(2b–7) 2 , x₁=2, x₂=2b–5. Поскольку корень x₁=2 удовлетворяет неравенству (2), то система имеет одно решение в следующих случаях:

1) если x₂=2b–5 не удовлетворяет неравенству (2), то 0,5(1–(3) 1/2 ) 1/2 ) или 0,25(11–O3) 1/2 );

Ответ. 0,25(11–(3) 1/2 ) 1/2 ), b=3,5.

Пример 2. При каких значениях параметра p уравнение 5–4sin 2 x–8cos 2 (x/2)=3p имеет корни?

Решение. Преобразуем заданное уравнение:

5– 4sin 2 x–8cos 2 (x/2)=3p => 5–4(1–cos2x)–4(1+cosx)=3p => 4cos 2 x–4cosx–3p–3=0.

Сделаем замену cosx=t. Тогда заданная задача равносильна следующей: при каких значениях p система

4t2–4t–3p–3=0, (1)
-1 2 –4t–3p–3; t₀–вершина этой параболы. В силу схемы IX случаи 1, 2 и 3 описываются следующей совокупностью:

Правила построения алгоритмов на языке блок-схем

Laboratory work No.7.

Algorithm.

1. To understand basic concept and features of algorithm

2. To acquire practical skills to develop block diagram

Basic concepts of an aalgorithm

Алгоритм — строго определенная последовательность действий, определяющих процесс перехода от исходных данных к искомому результату.

Свойства алгоритма

• Дискретность. Алгоритм должен представлять процесс решения задачи как последовательность выполнения простых действий (шагов, этапов).

• Детерминированность (Однозначность).Каждое действие (шаг, этап) должно быть четким, однозначным, исключающим произвольное толкование и не оставляющим места для двусмысленности.

• Результативность. Алгоритм должен приводить к решению задачи или сообщению, что задача решений не имеет за конечное число шагов.

• Конечность. Каждое отдельное действие, как и весь алгоритм должны иметь возможность реального исполнения. Поэтому алгоритм имеет предел, т. е. конечен.

• Массовость. Алгоритм разрабатывается в общем виде так, чтобы его можно было применять для класса задач, различающихся только исходными данными.

Способы записи алгоритмов

Существуют разные способы записи алгоритмов:

Ø операторный (программа на алгоритмическом языке).

а) Словесно-формульный способ. Например, требуется решить квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0 в области действительных чисел. Математической моделью этой задачи является известная формула корней квадратного уравнения:

На основании этой формулы запишем алгоритм:

1. Задать значения а, b, c.

2. Вычислить дискриминант d = b 2 – 4ac.

3. Сравнить дискриминант с нулем, если он больше нуля, то вычислить корни по формуле y _1,2= … , иначе сообщить «В области действительных чисел уравнение решений не имеет».

4. Записать результат: «Корни уравнения у₁ и у₂»_.

б) Графический способ описания алгоритма иначе называют блок — схемой. В блок-схемах используются геометрические фигуры, каждая из которых изображает какую-либо операцию или действие, а также этап процесса решения задачи. Каждая фигура называется блоком. Порядок выполнения этапов показывается стрелками, соединяющими блоки. Блоки необходимо размещать сверху вниз или слева направо в порядке их выполнения.

Таблица 1.Наиболее часто употребляемые блоки

Обозначение блока	Выполняемая функция
	Начало или Конец алгоритма
Вычисление	Вычисляемые действия
		Проверка условия: выбор одного из двух направлений
	Ввод или Вывод данных
	Организация циклических процессов
	Направление линий потока – стрелки

Правила построения алгоритмов на языке блок-схем

1. Блок-схема строится сверху вниз.

2. В любой блок-схеме имеется один элемент, соответствующий началу, и один элемент, соответствующий концу.

3. Должен быть хотя бы один путь из начала блок-схемы к любому элементу.

4. Должен быть хотя бы один путь от каждого элемента блок-схемы в конец блок-схемы.

в) Операторный способ (алгоритмический язык).

Алгоритм – это задание для исполнителя. Исполнитель выполняет алгоритм, т. е. делает то, что написано в алгоритме. Если исполнитель точно выполнит то, что написано в алгоритме, то он получит результат.

Для того чтобы человек и компьютер понимали друг друга, разработаны специальные языки для записей алгоритмов – алгоритмические языки. Самые доступные алгоритмические языки – это Бейсик (Basic), Паскаль (Pascal), Фортран (Fortran).

Алгоритмический язык отличается от машинного языка тем, что состоит из слов и символов, как естественный язык. Алгоритмический язык отличается от естественного языка тем, что в нем мало основных слов (обычно 30-40) и очень строгие правила составления предложений.

Типы алгоритмов

Линейный алгоритм – это алгоритм, в котором действия выполняются только один раз и строго в том порядке, в котором они записаны.

Пример. Составить алгоритм вычисления площади трапеции с основаниями a,b и высотой h. S =(a+b)/2 * h

Разветвляющийся алгоритм – это алгоритм, в котором то или иное действие выполняется после анализа условия. Процесс анализа условия и выбора одной из ветвей на блок-схеме показывают с помощью логического блока. Пример разветвляющейся структуры показан на рис. 1.

Процесс анализа условия и выбора одной из ветвей на блок-схеме показывают с помощью логического блока. Логический блок имеет один вход и два выхода (ветвь «да» и ветвь «нет»).

В блок-схемах разветвляющихся алгоритмов всегда есть логический блок.

Пример блок-схемы решения квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Циклический алгоритм (цикл)- это алгоритм, в котором группа операторов выполняется несколько раз подряд. Блок-схема цикла обязательно содержит логический блок, ее структура показана на рис.

Выполняется циклический алгоритм так: сначала проверяется условие, если условие верно (истина), то выполняется тело цикла (действия или группа операторов) и, далее, изменяются значения параметра цикла и снова проверяется условие и т. д. На каком-то шаге условие не выполнится (ложь) и тогда происходит выход из цикла и продолжается выполнение программы.

Пример: построение блок-схем алгоритма циклической структуры.

Вычислить сумму N чисел, последовательно вводимых с клавиатур.

На рис.2 для реализации циклического процесса использованы комбинации блоков присваивания и ветвления.

Задания.

Задание 1. Представить словесно-формульный и графический вид алгоритма решения задачи.

Задание 2. Разработать и нарисовать блок-схему алгоритма вычисления функции.

Задание 3. Ниже приведены блок-схемы некоторых алгоритмов (рис. 3.1 – 3.4). Который из них является блок-схемой линейной структуры?

Который из них является блок-схемой циклической структуры?

Который из них является блок-схемой разветвленной структуры?

Изображение алгоритма в виде блок-схемы

Блок-схемой называется наглядное графическое изображение алгоритма.

В блок-схеме отдельные этапы алгоритма изображают при помощи различных геометрических фигур – блоков.

Последовательность выполнения этапов указываются при помощи стрелок, соединяющих эти фигуры. Блоки сопровождаются надписями.

Типичные действия алгоритма изображаются следующими геометрическими фигурами:

Блок начала (конца) алгоритма

Надпись: «начало» («конец»).

Блок ввода-вывода данных

Надпись: «ввод» («вывод»)

и список переменных вводимых (выводимых).

Блок решения (арифметический)

Надпись: операция или группа операций.

Надпись: логическое условие.

2.3. Составной оператор

Это группа операторов, отделенных друг от друга точкой с запятой, начинающихся с открывающей фигурной скобки < и заканчивающихся закрывающейся фигурной скобкой >.

Транслятор воспринимает составной оператор как один оператор.

2.4. Операторы ветвления

Алгоритмы разветвленной структуры применяются, когда в зависимости от некоторого условия необходимо выполнить либо одно, либо другое действие.

Условный оператор, соответствующий приведенной блок-схеме, имеет вид:

if (выражение) оператор_1;

Вычисляется выражение. Если оно не равно нулю, т.е. имеет значение true, выполняется оператор_1, в противном случае (выражение равно нулю, т.е. false) – оператор_2.

Если в зависимости от некоторого условия выполняется некоторое действие, а в противном случае ничего не происходит, то алгоритм имет вид:

Условный оператор в этом случаеимет конструкцию:

if (выражение) оператор;

Эту запись можно назвать «пропуск оператора else».

Здесь оператор либо выполняется, либо пропускается, в зависимости от значения выражения.

Если в какой-либо ветви условного процесса требуется выполнить несколько операторов, следует использовать составной оператор.

2.5. Примеры программ

Задача 2. Известны коэффициенты а, b и с квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Вычислить корни квадратного уравнения.

Входные данные: a, b, c.

Выходные данные: х1, х2.

printf(\n vvedite a \n);

printf(\n vvedite b \n);

printf(\n vvedite c \n);

Задача 2. Решить ax4+bx2+c=0 биквадратное уравнение (y=x2).

Найти: х1, х2, х3, х4.

1. Вычисление дискриминанта уравнения d.

2. Если d ³ 0, определяются y1 и y2, а иначе корней нет.

3. Если y1, y20 , то корней нет.

4. Если y1, y2 ³0 , то вычисляются четыре корня по формулам и выводятся значения корней.

5. Если условия 3) и 4) не выполняются, то необходимо проверить знак y1. Если y1³0, то вычисляются два корня по формуле . Если же y2³0, то вычисляются два корня по формуле . Вычисленные значения корней выводятся.

Задача 3.Решить кубическое уравнение:

(1)

После деления на a уравнение (1) принимает канонический вид:

(2)

где , , .

В уравнении (2) сделаем замену и получим приведенное уравнение (3)

, (3)

Где , .

Число действительных корней приведенного уравнения (3) зависит от знака дискриминанта :

Количество корней кубического уравнения

При положительном дискриминанте кубического уравнения (3) действительный корень вычисляется по формулам:

(4)

где .

При отрицательном дискриминанте уравнение (3) имеет 3 действительных корня:

, (5)

Где , .

После расчета корней приведенного уравнения (3) по формулам (4) или (5) необходимо перейти к корням заданного кубического уравнения (1):

[1] Текстовые файлы, в которых содержится описание используемых в программе элементов.

[2] Служат для уточнения внутреннего представления и диапазона значений стандартных типов

[3] Поток – виртуальный канал связи, создаваемый в программе для передачи данных

Статьи к прочтению:

КИНОШНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ — БЕЗ БЮДЖЕТА!