Блок схема решение уравнения для теоремы виета

Блок схема решение уравнения для теоремы виета

Название работы: Теорема Виета

Категория: Конспект урока

Предметная область: Педагогика и дидактика

Описание: В соответствии с этим можно выделить следующие структурные элементы данного урока: 1 проверка домашнего задания; 2 подведение учащихся к теореме Виета; 3 формулирование теоремы Виета; 4 доказательство теоремы Виета.

Дата добавления: 2014-06-05

Размер файла: 31.88 KB

Работу скачали: 10 чел.

В зависимости от наличия тех или иных элементов учебного материала и характера их изложения определяются структурные элементы ( составные части ) урока

Например, урок по алгебре на тему «Теорема Виета» (VIII класс) содержит следующий учебный материал:

1) подведение учащихся к теореме Виета на основе отдельных примеров;

2) формулировка теоремы Виета;

3) доказательство теоремы Виета;

4) применение теоремы Виета к решению упражнений.

В соответствии с этим можно выделить следующие структурные элементы данного урока :

1) проверка домашнего задания;

2) подведение учащихся к теореме Виета;

3) формулирование теоремы Виета;

4) доказательство теоремы Виета;

5) применение теоремы Виета к решению упражнений;

6) задание на дом.

Совокупность всех выделенных структурных элементов урока определяет план урока . Так, план урока, посвященного изучению теоремы Виета, будет содержать выделенные выше пп. 1 – 6.

В дидактике наиболее распространенной является типология уроков в зависимости от дидактических целей : уроки овладения новыми знаниями, уроки формирования умений и навыков; уроки систематизации и обобщения знаний; уроки повторения и закрепления знании, умений и навыков; контрольно-проверочные уроки; комбинированные уроки, на которых одновременно решается несколько дидактических задач.

Урок по изучению теоремы Виета является уроком овладения новыми знаниями . Таким же является и тип урока по изучению теоремы, обратной теореме Виета.

В построении урока важным моментом является выбор общей цели урока и целей его составных частей . Для одного и того же урока цели могут быть сформулированы по-разному.

Например, для урока по изучению теоремы Виета целесообразно выделить следующие цели:

1) образовательные – ознакомить учащихся с теоремой, ее доказательством и первыми упражнениями на применение этой теоремы;

а) обеспечить интерес учащихся путем акцентирования элемента новизны : учащиеся ознакомятся с новой интересной закономерностью, связывающей корни квадратного уравнения с его коэффициентами;

б) стимулировать интерес учащихся путем проведения наблюдения данных таблицы, приводящего к обнаружению теоремы Виета;

в) стимулировать ответственное отношение учащихся к учебной работе путем поощрения их участия в проведении доказательства теоремы Виета;

3) развивающие – развитие умений обобщить результаты наблюдения, сформулировать учебную гипотезу в общем виде, указать способ логического обоснования теоремы.

В конспекте урока должны быть указаны цели урока в развернутой конкретной форме (например, так, как это сделано выше).

Далее можно окончательно определить содержание учебного материала данного урока:

1) составление таблицы, содержащей следующие столбцы: «квадратное уравнение» (приведенное, неприведенное), «корень », «корень », «», «», «вывод» (формулируется в устной форме). Уравнения, в целях экономии времени, подбираются из числа ранее решенных: ,
, и (уравнение, равносильное последнему) На основе этой таблицы подмечается искомая закономерность, формулируется теорема Виета;

2) доказательство теоремы, использующее формулы корней квадратного уравнения;

3) решение упражнений из действующего учебника с помощью теоремы Виета;

4) упражнения для домашнего выполнения.

Для того чтобы точнее спланировать действия учителя и учащихся на уроке, выбор методов и средств обучения, необходимо детально ознакомиться с изложением доказательства теоремы в учебнике, решить все упражнения для классной и домашней работы.

Учителю необходимо продумать и спланировать свою деятельность, деятельность учащихся (что должны делать дети на каждом этапе урока), разработать все пояснения учащимся, вопросы для беседы.

В данном случае основные составляющие деятельности студента на уроке:

1) Постановка целей урока в форме, доступной учащимся. Обеспечение заинтересованности учащихся сообщение основной «интриги» урока.

2) Предъявление учащимся таблицы, представленной выше.

3) Пояснения о том, что это за таблица, с какой целью она приводится (сообщается, что эта таблица поможет догадаться до теоремы Виета, которая связывает сумму и произведение корней квадратного уравнения с его коэффициентами; от учащихся же требуется проявить догадку и сообразительность, заметить искомую закономерность и сформулировать ее).

4) Организация наблюдений данных в таблице (в какой последовательности рассматривать уравнения, как добиться, чтобы закономерность для приведенного квадратного уравнения была подмечена уже на первом уравнении, тогда второе уравнение может быть использовано для подтверждения первоначальной догадки).

5) Обеспечение четкости формулировки закономерности для приведенного квадратного уравнения.

6) Обеспечение перехода к неприведенному квадратному уравнению, при этом акцент должен сделан уже на рассуждении (актуализировать необходимые знания, проанализировать связь между последними двумя уравнениями, догадаться о том, что при решении данной проблемы целесообразно от неприведенного уравнения перейти к равносильному приведенному уравнению);

7) Оказание помощи в формулировании закономерности для неприведенного квадратного уравнения.

8) Обеспечение возможности самостоятельного формулирования учащимися теоремы Виета для приведенного и неприведенного квадратных уравнений.

9) Подведение итогов конкурса – поощрение и оценивание учащихся, проявивших догадку и сообразительность.

10) Определение метода обучения, используемого при ознакомлении учащихся с доказательством теоремы Виета.

11) Закрепление доказательства теоремы Виета.

12) Подбор ключевых задач по данной теме и к данному уроку.

13) Организация и управление учебной работой над задачами.

14) Определение возможных затруднений учащихся при решении каждой задачи.

15) Определение конкретной помощи ученику в каждом случае (какие подсказки, сообщаются ли они учителем в готовом виде, используется ли помощь ученику со стороны других учащихся и т.д.).

16) Подведение итогов урока. Оценивание учащихся.

17) Подготовка и задание домашней работы.

Основные составляющие деятельности ученика на уроке:

1) наблюдения, выводы, связанные с таблицей – в устной форме;

2) самостоятельное доказательство теоремы Виета с записью его на классной доске и в тетрадях;

3) письменное решение задач учеником на классной доске;

4) письменное решение задач учащимися в тетрадях;

5) ответы ученика на вопросы учителя и учащихся;

6) задание вопросов учителю, вызвавших затруднения ученика.

Составление конспекта урока

Требования к конспекту урока .

При составлении конспекта урока обычно придерживаются следующей схемы:

1) указываются дата проведения урока, его номер по тематическому плану, название темы урока и класс, в котором он проводится;

2) указываются образовательные, воспитательные и развивающие цели урока;

3) приводится план урока с нумерацией его этапов и указанием затрат времени для каждого из них;

4) перечисляются учебное оборудование и используемая методическая литература;

5) далее следует основная часть конспекта, в которой описывается «живая» картина – ход урока: действия учителя и учащихся.

Пример конспекта урока по изучению теоремы Виета .

Тема урока: «Теорема Виета», VIII кл, СШ №.

Цели урока: образовательные; воспитательные; развивающие.

(Цели этого урока были сформулированы выше.)

1. Проверка домашнего задания (5 мин.).

2. Подведение к теореме Виета (5 мин.).

3. Формулирование теоремы Виета (2 мин.).

4. Доказательство теоремы Виета с предварительным составлением его блок-схемы (10 мин.).

5. Решение задач (20 мин.).

6. Задание на дом (3 мин.).

Учебное оборудование: таблица с записью результатов вычислений, плакат с блок-схемой доказательства теоремы Виета.

Ход урока (описание картины урока)

1. Проверка домашнего задания .

(Описание этого важного пункта плана пока опустим.)

2. Подведение к теореме Виета .

– На данном уроке познакомимся с теоремой Виета. Эта теорема выражает интересную закономерность, существующую между суммой (произведением) корней квадратного уравнения и его коэффициентами. Чтобы заметить эту закономерность, рассмотрим таблицу 1, в которой приведены ранее решенные квадратные уравнения. От нас требуется заполнить данную таблицу и с ее помощью заметить искомую закономерность.

Таблица 1 . Таблица для обнаружения теоремы Виета

теорема Виета проект (разработка)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное казенное образовательное учреждение

«Очкуровская средняя общеобразовательная школа»

Николаевского муниципального района Волгоградской области

Выполнила: Оноприенко Кристина,

обучающаяся 8 класса

МКОУ «Очкуровская СОШ»

2.Докозательство теоремы Виета……………………………………………..6

3.Состаление блока уравнений решаемых по теореме Виета……………….8

Практическая значимость проекта…………………………………… . 12

Список источников информации…………………….………………………. 14

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни — дробь уж готова!
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби ровна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b , в знаменателе а.

Актуальность темы проекта: Применение теоремы Виета является уникальным приемом для решения квадратных уравнений устно. В учебнике очень мало квадратных уравнений, решаемых по теореме Виета. Я и мои одноклассники допускаем ошибки.

Объектом исследования является теорема Виета , как неотъемлемая часть решения квадратных уравнений на уроках алгебры .

Предмет исследования – теорема Виета и составление блока уравнений для закрепления навыка решения квадратных уравнений.

Гипотеза: я предположила, что научиться безошибочно решать уравнения по теореме Виета можно, для этого нужен применяя тренажер.

Цель проекта : составить тренажер уравнений, решаемых по теореме Виета.

узнать историю открытия теоремы Виета;

провести исследование зависимости коэффициентов квадратного

уравнения и произведения и суммы его корней.

научиться доказывать теорему Виета;

самостоятельно составить уравнения, решаемые по теореме Виета

оформить блок уравнений на бумажном носителе и составить тренажер в электронном виде

предложить одноклассникам тренажер для решения уравнений по теореме Виета

сравнение результатов самостоятельной работы до проекта и после тренировки решение квадратных уравнений применяя теорему Виета

изучение и анализ электронных источников и литературы

самостоятельная работа по составлению блока уравнений и тренажера

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт.

Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Обретя покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных — согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: «Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D».

В трактате «Дополнения к геометрии» он стремился создать некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «. 14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер. в Париже. Ему было более шестидесяти лет».

2 .Доказательство теоремы Виета

Теорема Виета для квадратного уравнения

О чем эта статья:

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

• если D 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Объединим числитель и знаменатель в правой части.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

Перемножаем числители и знаменатели между собой:

Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:

Далее произведем трансформации в числителе:

Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.

   При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.